仿射粗糙模型

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英文标题：
《Affine Rough Models》
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作者：
Martin Keller-Ressel, Martin Larsson, Sergio Pulido
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The goal of this survey article is to explain and elucidate the affine structure of recent models appearing in the rough volatility literature, and show how it leads to exponential-affine transform formulas.
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中文摘要：
这篇综述文章的目的是解释和阐明粗糙波动率文献中出现的最新模型的仿射结构，并说明它如何导致指数仿射变换公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Affine_Rough_Models.pdf (197.22 KB)

2022-6-11 07:32:40 上传

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关键词：Mathematical Differential Applications Quantitative Probability

粗略模型*Martin Keller Ressel+Martin LarssonSergio Pulido§2018年12月20日摘要这篇调查文章的目的是解释和阐明粗糙波动率文献中出现的最新模型的结构，并说明其如何导致指数变换公式。1引言随机波动率模型在定量金融文献中有着悠久的历史；见e.g.Duffee等人（2003年）；Kallsen（2006）和其中列出的参考文献。这些模型通常采用DST=StpVtdBt的形式，（1.1），其中S是资产价格，（即期）方差V由一个有效过程建模。可以说，最突出的例子是Heston（1993）模型，其中V遵循s calarsquare根差异。a ffne性质导致各种感兴趣量的可处理傅里叶-拉普拉斯变换。例如，对数价格满足指数转换公式[exp（v log ST）| Ft]=exp（v log ST+φ（T- t） +ψ（t- t） Vt），（1.2）*作者要感谢爱德华多·阿比·贾比尔和克里斯塔·库奇罗的宝贵讨论和建议。Martin Keller Ressel感谢DFG对ZUK 64和KE 1736/1-1的财政支持。

Martin Larsson感谢SNF赠款205121163425的财政支持。Sergio Pulido感谢MATH AmSud项目SaSMoTiDep 18MATH-17提供的财政支持。+德国德累斯顿大学数学随机研究所，邮编01062，martin。凯勒-ressel@tudresden.de.苏黎世ETH数学系，R–amistrasse 101，CH-8092，苏黎世，瑞士，马丁。larsson@math.ethz.ch.§巴黎萨克雷大学恩西分校埃弗里-瓦尔-德松大学数学研究所（LaMME），巴黎萨克雷大学，UMR CNRS 8071，I BGBI 23 Boulevard de France，91037，Evry Cedex，France，sergio。pulidonino@ensiie.fr.whereφ，ψ是依赖于v的Riccati型普通微分方程的解。现货方差和积分现货方差也存在类似的公式。不幸的是，这些模型并没有产生似乎在经验上发生的波动率的粗略轨迹，参见Gatheral等人（2018），并且难以捕捉隐含波动率的期限结构及其偏差，参见Fukasawa（2017）。尽管如此，仍有可能构建具有这些特征的随机波动率模型，以及产生类似于（1.2）的公式的“有效结构”。Guennoun等人（2018年）最近完成了这项工作；El Euch和Rosenbau m（2016）；Abi Jaber等人（2017年）；Gatheral和Keller-Ressel（2018），以及相关观点已在inComte et al.（2012）中出现。本章的目的是解释和阐明这种“结构”，并说明它如何导致指数形式的转换。我们将给出四个观点。第2节的重点是一类具有系数的V的阶跃卷积方程，其中包含El Euch和Rosenbaum（2016）的Rougheston模型，作为直接特例。这是第一个观点。

第三节中的第二个观点是将这些模型视为前向方差模型，其重点是前向方差cu rveξt（t）=E【VT | Ft】。（1.3）第4节中的第三个观点是将修改后的前向方差曲线视为随机偏微分方程的解。最后，当卷积核是一个可能的度量的拉普拉斯变换时，第四个透视图（第5节）可用。这导致了均值回复过程的混合表示。二是，这为描述关联傅里叶-拉普拉斯泛函的Riccati方程提供了多个视角。空间限制使我们无法对所有结果进行严格的证明。尽管如此，还是提出了一些证明和推导，之所以选择这些证明和推导，是因为它们既有指导意义，又不会太长。我们偶尔使用卷积表示法（f* g） （t）=Rtf（t- s） 函数f和g的g（s）ds，以及类似的（f* dZ）t=Rtf（t- s） 当Z是半鞅时。2随机卷积方程考虑随机卷积方程vt=V+ZtK（t- s） b（Vs）ds+ZtK（t- s） σ（Vs）dWs，（2.1）对于某些实连续函数b和dσ，核K∈ Llo c（R+），初始条件V∈ R、 布朗运动W。（2.1）的解决方案通常被理解为具有连续路径。示例2.1。取b（x）=λ（θ-x） ，σ（x）=ζ√x、 幂律核Kα-pow（t）=tα-1/Γ（α）与α∈ （，1），我们在粗略的Heston模型Ofel-Euch和Rosenbaum（2016）中获得了即期方差过程。当α=1时，我们恢复了经典Heston模型中的即期方差过程。我们的重点是V是一个a ffene Volterra过程的情况，即b（x）和σ（x）在x中是a ffene。这个定义自然地推广到更高的维度：b（x）是向量，σ（x）是矩阵，需要b（x）和σ（x）σ（x）成为x中的一员。

在本章中，我们重点讨论一维a ffne情况，因此b（x）=β- λx和σ（x）=α+ax（2.2），对于一些实参数β，λ，α，a，使得α+aVt≥ 0表示所有t≥ 后一个条件提出了当a 6=0时（2.1）解的存在性问题，我们在此不详细讨论。然而，让我们陈述以下结果，其证据可在Abi Jaber等人（2017年）中找到。定理的第（二）部分要求对核作如下假设：K是严格正的且完全单调的。有γ∈ （0，2）使得Rhk（t）dt=O（hγ）和Rt（K（t+h）- K（t））dt=O（hγ），每t<∞.（2.3）（在a C处召回th∞函数f：（0，∞) → R是完全单调的，如果(-1） kf（k）≥ 0，k≥ 特别是，示例2.1中的幂律核满足（2.3），γ=2α- 1、定理2.2。考虑方程（2.1），其系数b（x）和σ（x）如（2.2）和核K所示∈ Llo c（R+）。（i） 假设α≥ 0和a=0。对于任何初始条件V，都存在一个路径唯一的强解V∈ RVolterra-Ornstein-Uhlenbeck过程。（ii）假设α=0，a>0，β≥ 0和K满意度（2.3）。对于任何初始条件V，存在唯一律R+-值弱解V∈ R+；Volterra平方根过程。在任何一种情况下，V的轨迹都是小于γ/2的任意阶H¨older连续的。备注2.3。如果解V适应布朗运动W生成的过滤g，则称其为强解。对于弱解，这不是必需的，在弱解中，可以根据需要自由构造布朗运动。路径唯一性意味着由相同布朗运动驱动的任意两个解V和V′to（2.1）必须具有相同的轨迹（outsidenullset）。不知道（ii）中是否存在路径唯一性。Volterra-Heston模型是一种形式为（1.1）的随机波动率模型，其中点方差V是Volterra平方根过程。

本章的大部分内容都涉及这些模型。过程V通常既不是马尔可夫过程，也不是半鞅过程。这导致在以下章节中提出的备选观点难以回避。3远期方差模型（2.1）的有用观点是作为远期方差模型，如B¨uhler（2006）所述；Bergomi和Guyon（2012）和d Bayer等人（2016）。考虑一个模型（1.1），其中点方差过程V由随机卷积方程（2.1）给出，其中a ffne driffb（x）=λ（θ- x） ，即Vt=V+λZtK（t- s） （θ- Vs）ds+ZtK（t- s） σ（Vs）dWs。（3.1）我们的第一个目标是推导（1.3）中定义的远期方差ξt（t）的SDE。为此，我们指出，对于任何内核k∈ 存在一个唯一的核R∈ Llo c（R+），称为第二类k的预解或预解，su ch thatk（t）- r（t）=Ztr（t- s） k（s）ds，t≥ 0.示例3.1。如果k（t）≡ c为常数，则r（t）=ce-计算机断层扫描。如果k（t）=c tα-1/Γ（α）与幂律核成正比，则r（t）=ctα-1Eα，α(-ctα）式中，Eα，α表示小函数。远期方差动态现在可以描述为如下。提案3.2。设Rλ为λK的预解式。与（3.1）满足ξt（t）相关的前向方差ξt（t）=λRλ（t- t） σ（Vt）dwt初始条件ξ（t）=V1.-ZTRλ（s）ds+ θZTRλ（s）ds。如果λ=0，则解释λ-1Rλ=K，注意在这种情况下Rλ=0。证据S上限λ6=0；否则，证明更容易，并且不使用解决方案。用1表示取常数值1的函数。即期方差过程V由V=V+λK给出* (θ - V）+K* （σ（X）dW）。因此，V- Rλ* V=V（1- Rλ* 1） +λ（K- Rλ* K）* (θ - V）+（K-Rλ* K）*（σ（V）dW）。根据预解式的定义，K- Rλ* K=λRλ。插入并取消-Rλ* getV=V（1）两侧的V项- Rλ* 1） +θRλ* 1+λRλ* （σ（V）dW）。

（3.2）过程Mu：=RuRλ（T- s） σ（Xs）dWs，u∈ [0，T]是鞅。在此之前，在T处计算（3.2）并取Ft条件期望得到ξT（T）=E[VT | Ft]=ξ（T）+ZTλRλ（T- s） σ（Vs）dWs，这是声称的结果。备注3.3。我们忽略了证明中的一些技术要点。首先，关联性属性（k* k）* dZ=k* （k）* dZ）用于某些核k，kand dZ=σ（X）dW。这个恒等式可以用随机Fubini定理来证明。其次，我们没有证明M真的是鞅，而不仅仅是局部鞅。对于σ（x）=α+ax，可以通过注意e【hMiT】=λZTRλ（T- s） E[σ（Xs）]ds≤ C（1+sups≤TE[| Xs |]），其中可以取C=λ（|α|+| a |）RTRλ（s）ds。右手边是有限的，所以实际上是一个平方可积鞅。详细信息由Abi Jaber等人（2017年）提供。3.1傅里叶-拉普拉斯变换和Riccati-Volterra方程在一种情况下（2.2），不仅条件期望有有用的表示，而且傅里叶-拉普拉斯变换也有有用的表示。现在，我们解释一下，一旦Volterra–Heston模型（对数价格符号L=对数S）以正向方差形式（dLt=-Vtdt+pVtdBtdξt（t）=λRλ（t- t） σpVtdWt。（3.3）此处λ≥ 0，dhB，W it=ρ的ρdt∈ [0，1]，对于某些σ>0的情况，扩散部分具有α=0和a=σ的α形式（2.2）。定义函数Q（u，z）=（u- u） +σρuz+σz，u，z∈ C、 （3.4）定理3.4。考虑Volterra-Heston模型（3.3）。固定T>0和（u、v、w）∈ C、 假设Riccati–Volterra方程ψ=vK+K* （Q（u，ψ）- λψ+w）（3.5）有一个解ψ∈ L（0，T）。然后辅助进程mt=expuLt+vξt（t）+wZTξt（s）ds+ztξt（s）Q（u，ψ（t- s） ）ds（3.6）是[0，T]上的局部鞅，且满足Dmtmtmt=upVtdBt+ψ（T- t） σpVtdWt。

（3.7）如果M是真鞅，则三元组（LT，VT，RTVsds）的联合条件傅里叶-拉普拉斯变换是E[exp（uLT+vVT+wRTVsds）| Ft]=Mt。两个关键假设当然是（3.5）有解，并且局部鞅M是真M artin鞅。以下定理给出了保证这一点的充分条件；Abi Jaber等人（2017）提供了证据。定理3.5。设K是满足（2.3）和Let（u，v，w）的核∈ C满足Re u∈ [0，1]，Re v≤ 0和Re w≤ 那么Riccati–Volterra方程（3.5）有唯一的全局解ψ，并且（3.6）中的局部鞅M是真鞅。现在，我们在v=w=0的特殊情况下给出定理3.4的证明。这简化了计算，一般情况下的证明是相似的。定理3.4的证明，v=w=0。减去Rλ*ψ从（3.5）两侧开始，其中nowv=w=0，并应用预解方程K-Rλ*K=λRλ，得到Riccati–Volterra方程的等效形式，ψ=λRλ* Q（u，ψ）。（3.8）我们的目标是将It^o公式应用于Mt，因此我们定义Gt=RTtQ（u，ψ（T- s） ）ξt（s）ds。因为ξt（s）=s的VS≤ t、 我们可以写egt=ZTQ（u，ψ（t- s） ）ξt（s）ds-ZtQ（u，ψ（T- s） ）VSD。关注第一学期。使用第一个命题3.2，然后是随机Fubini定理（Veraar，2012，Thm.2.2），最后是（3.8），我们得到ztq（u，ψ（T- s） ξt（s）ds=ZTQ（u，ψ（t- s） （）ξ（s）+σZt∧sλRλ（s- r） pVrdWrds=ZTQ（u，ψ（T- s） ξ（s）ds+σZtZTrQ（u，ψ（T- s） ）λRλ（s）- r） dspVrdWr=ZTQ（u，ψ（T- s） ξ（s）ds+σZtψ（T）- r） pVrdWr。因此，Gt=ZTQ（u，ψ（T- s） ξ（s）ds+σZtψ（T）- r） pVrdWr-ZtQ（u，ψ（T- s） ）VSD。这使我们能够将It^o公式应用于Mt=exp（uLt+Gt），给出DMTMT=u dLt+dGt+ud hLit+u d hL，Git+d hGit=（u）- u）- Q（u，ψ（T- t） ）+uρσψ（t- t） +σψ（t- t）Vtdt+upVtdBt+ψ（T- t） σpVtdWt。与（3.4）相比，dt项消失，因此M确实是局部鞅（3.7）。

如果M是真鞅，我们得出如下结论：E[exp（uLT）| Ft]=E[MT | Ft]=MT，正如所声称的那样。备注3.6。设置g=Q（u，ψ），并将Q（u，·）应用于（3.8）yieldsg=Q（u，λRλ）的两侧* g） 。这是Gatheral和Keller-Ressel（2018）考虑的“卷积Riccati方程”，这导致了g而非ψ的等效公式。3.2代表性的必要性我们现在讨论的是Gatherel和Keller Ressel（2018）获得的理论3.4的相反情况。考虑类型ξt（t）=ηt（t）dWt的一般正向方差模型，其中ηt（t）在t中递减，ξt（t）是与形式为dSt=Sta（Vt）dWt的价格过程S相关的正向方差。假设对数价格的条件累积量生成函数LT=log STis的形式为[exp（uLT）| Ft]=expuLt+ZTtξt（t- s） g（s，u）ds适用于所有u∈ [0，1]和0≤ t型≤ T，对于某些连续函数g≤ 0.在ηt（t）的轻度可积条件下，Gatherel和K eller Ressel（2018）证明，a（Vt）=Apvt和ηt（t）=κ（t- t） 某常数a的PVT≥ 0和核κ。因此，模型的形式精确为（3.3），κ由预解式λRλ确定。3.3分数阶微积分和粗糙Heston模型考虑幂律核Kα-pow（t）=tα-1/Γ（α）用于粗略的Heston模型。Riemann–Liouville分数积分Iα通过与该核的卷积定义，Iαf=Kα-pow* f然后定义Riemann–Liouville分数阶导数DαasDαf=ddtI1-αf，它提供了分数积分的逆，其中Dα（Iαf）=Iα（Dαf）=f。

因此，在v=w=0的情况下，（3.5）等于toDαψ=Q（u，ψ）- λψ，这正是El Euch和Rosenbaum（2016）推导的分数Riccati方程。使用命题3.2和（3.8），我们可以将（3.6）中的指数改写为ξ，对于t=0* Q（u，ψ）=V1* Q（u，ψ）+（θ）- 五） （1）* Rλ* Q（u，ψ））=V1* Q（u，ψ）+λ（θ）- 五） （1）* ψ） =VI1-αψ + λθ (1 * ψ) .Thu s，在粗糙Heston模型中，定理3.4中的无条件变换公式，v=w=0，变成[exp（uLT）]=expuL+λθZTψ（s）ds+VI1-αψ（T）,这与El Euch和Rosenbaum（2016）的观点一致。4修改后的正向过程表示通过随机偏微分方程对（2.1）的另一种观点如下。从形式（2.1）的Volterra过程V开始，定义过程UT（x）=eVt+x-Zt+xtK（t- s+x）b（Vs）ds英尺.Abi Jaber和El Euch认为这一过程（2018b）。我们称之为修正的正向过程，因为如果我们不减去时间积分，我们就可以得到所谓的正向过程的Musiela参数化ξt（t+x）。条件期望的唯一终点是关于W的一个积分，它还不能用Ft来衡量。给定sut（x）=V+ZtK（t- s+x）b（Vs）ds+ZtK（t- s+x）σ（Vs）dWs，（4.1），可以用以下s PDE表示。提案4.1。工艺ut（x）i n（4.1）是SPDEdut（x）=(xut（x）+K（x）b（ut（0）））dt+K（x）σ（ut（0））dWt（4.2），初始条件u（x）=vf，用于所有x证明。正式采用（4.1）中的差异tK（t-s+x）=xK（t-s+x），ut（0）=Vt，得到（4.2）。更严格地说，注意K（t-s+x）=Tt-sK（x），wher eTt-sis将任何函数f映射到移位函数f（t）的移位运算符-s+·）。