分层自适应稀疏网格和准蒙特卡罗算法

q- 1、然后取平均值qn，q（f）=qq-1Xi=0Q（i）n（f）=qq-1Xi=0nn-1Xk=0fkz+（i） mod nn！！（4.10）由于我们对随机QMC方法的积分和总样本数的最终近似为MQMC=q×n。我们注意到，由于我们处理的是高斯随机性和内部支持中的积分，我们使用标准正态累积分布函数的逆函数作为预转换，将问题映射到[0，1]，然后使用随机QMC。此外，在我们的数值测试中，我们使用了使用latticeseqb2的预制点生成器。python中的pyfromhttps://people.cs.kuleuven.be/~德克。nuyens/qmc生成器/。备注4.5。我们强调，我们为QMC选择了一个最简单的规则（很容易指定和实现），那就是晶格规则，由于我们实现的层次表示（Richardson外推和Brownian bridge构造），该规则能够提供非常好的性能。此外，我们认为，使用更复杂的规则，如晶格序列或交错Sobol序列，可能具有类似甚至更好的性能。4.3布朗桥构造在有关ASGQ和QMC的文献中，提出了几种分层路径生成方法（PGM），以减少有效维度。在这些技术中，我们提到了Brownianbridge构造（36、37、14）、主成分分析（PCA）（2）和线性变换（LT）（29）。在我们的上下文中，时间离散化上的布朗运动可以使用标准的随机游走构造顺序构造，也可以使用其他PGM分层构造，如ListedBove所示。

对于我们的目的，为了有效地利用ASGQ或QMC方法，这些方法受益于各向异性，我们使用布朗桥结构，它产生的维度并不同等重要，这与随机游走过程相反，因为随机空间的所有维度都具有同等重要性。事实上，布朗桥使用低偏差点的前几个坐标来确定布朗路径的一般形状，最后几个坐标只影响路径的细节。因此，这种表示降低了问题的有效维度，通过降低计算成本，加速了ASGQ和QMC方法。让我们将{ti}Ni=0表示为时间步长网格。然后，布朗桥构造[26]由以下g组成：给定过去值Btian和未来值Btk，可以根据tj=（1）生成值Btj（ti<tj<tk- ρ） Bti+ρBtk+pρ（1- ρ） （k）-（一）tz，z~ N（0，1），其中ρ=j-ik-i、 4.4 Richardson外推我们与ASGQ和QMC方法结合的另一种表示是Richardson外推[43]。事实上，采用Richardson外推法的KR（外推法水平）显著减少了偏差，因此，减少了在最粗水平上需要的时间步数N，以达到一定的误差容限。因此，Richardson外推直接减少了积分问题的总维数，以达到一定的容错性。猜想4.6。让我们用（Xt）0表示≤t型≤（2.1）和（bX）给出的服从rBergomi动力学的Ta随机过程tti）0≤ti公司≤使用混合方案（如第2.3.2节所述）和时间步长的Tits近似t。

那么，对于足够小的t、 和一个合适的光滑函数f，weassume thatEhf（bXtT）i=E[f（XT）]+ct+Ot型.（4.11）使用离散化步骤2应用（4.11）t、 我们获得了EHF（bX2tT）i=E[f（XT）]+2ct+Ot型,意味着2EHF（bX2tT）i-Ehf（bXtT）i=E[f（XT）]+Ot型.对于更高级别的外推，我们使用以下内容：让我们表示为tJ=t型-j网格尺寸（其中这是最粗糙的网格大小），通过KR的Richardson外推水平，以及byI（J，KR）E[f（XT）]的近似值，直到KR水平（导致弱的KR阶误差），那么我们有以下递归i（J，KR）=KRI（J，KR- 1) -I（J- 1，KR- 1） 韩元- 1，J=1，2，KR=1，2。备注4.7。我们强调，通过我们的工作，我们对渐近前状态（少量时间步）感兴趣，理查森外推的使用由猜想3.1和4.6以及我们在该状态下观察到的实验结果（见第5.1节）证明，这表明弱误差的ord er one收敛。5数值实验在本节中，我们展示了通过不同数值实验获得的结果，对rBergomi模型进行了跨不同参数的星座分析。表5.1给出了这些示例的详细信息。第一组数据与经验结果最为接近【9，24】，这表明H≈ 0.1. ν=1.9和ρ=-[5]对0.9进行了调整，结果表明，这些值与2010年2月4日的SPX市场非常一致。对于表5.1中剩下的三组数据，我们想测试我们的方法在非常粗略的情况下的潜力，即H=0.02，对于三种不同的货币情况，S/K。事实上，层次方差递减方法，如MLMC，在这种情况下是无效的，因为强误差的表现很差，其顺序为H【38】。

我们强调，我们检查了我们的方法对其他参数集的鲁棒性，但出于说明目的，我们仅显示表5.1中所示参数集的结果。在所有的数值实验中，我们考虑了许多时间步长N∈ {2、4、8、16}，所有报告的误差都是相对误差，通过表5.1中提供的参考溶液进行归一化。参数参考溶液集1：H=0.07，K=1，S=1，T=1，ρ=-0.9，η=1.9，ξ=0.2350.0791（5.6e-05）第2组：H=0.02，K=1，S=1，T=1，ρ=-0.7，η=0.4，ξ=0.1 0.1246（9.0e-05）第3组：H=0.02，K=0.8，S=1，T=1，ρ=-0.7, η = 0 .4，ξ=0.1 0.2412（5.4e-05）第4组：H=0.02，K=1.2，S=1，T=1，ρ=-0.7, η = 0 .4，ξ=0.1 0.0570（8.0e-05）表5.1：参考解，是（2.4）中定义的rBergomimodel下的看涨期权价格的近似值，使用500个时间步和样本数的MC，M=8×10，用于不同的参数星座。括号之间的数字对应于统计误差估计。5.1弱误差我们通过准确估计第3节讨论的弱误差（偏差）开始数值实验，对于表5.1中的不同参数集，使用和不使用理查森外推。为了便于说明，我们只显示了表5.1中与集合1相关的弱错误（见图5.1）。我们注意到，我们在其他参数集上观察到了类似的行为，在某些情况下略有下降。我们强调，报告的弱利率对应于我们感兴趣的前渐近状态。我们并不热衷于估计具体的比率，而是针对不同数量的时间步长N，获得对弱误差（偏差）EB（N）的有效精确估计。

对于固定离散化，将相应的估计偏差解设置为ASGQ方法的参考解，以估计正交误差EQ（TOLASGQ，N）。10-1Δt10-1100∣E[克]∣XΔt）-g级∣十） ]∣图5.1：表5.1中1组参数的（3.1）中定义的弱误差EB（N）的收敛，使用MC。我们参考CRBas E【g（X）】，和CNRBas E【g（X）】t） 】。上限和下限是95%的置信区间。a） 没有理查兹的推断。b） Richardsonextrapolation（1级）。5.2比较MC、QMC和ASGQ的误差和计算时间本节，我们在误差和计算时间方面对MC、QMC和ASGQ进行了比较。我们展示了表格和曲线图，报告了THMC和QMC方法（偏差和统计误差或估计）以及ASGQ（偏差和正交误差估计）中涉及的不同相对误差。虽然价格估算中的相对误差容限非常小，但我们比较了所有方法所需的计算时间，以满足所需的误差容限。我们注意到，在所有情况下，实际工时（运行时）都是使用Intel（R）Xeon（R）CPUE5-268体系结构获得的。对于我们对每个参数集进行的数值实验，我们遵循以下步骤来获得报告的结果：i）对于固定数量的时间步长N，我们使用大量样本M计算有偏MC解CNRB的准确估计。

该步骤还为我们提供了由（4.2）定义的偏差误差EB（N）的估计值。ii）估计偏差解CNRB用作ASGQ方法的参考解，以计算（4.5）定义的求积err或EQ（TOLASGQ，N）。iii）为了比较不同的方法，选择样本数量MQMC和MMC，以便随机QMC、ES、QMC（MQMC）和MC、ES、MC（MMC）、满意度的统计误差是，QMC（MQMC）=ES，MC（MMC）=EB（N）=Etot，（5.1），其中EB（N）是（4.2）中定义的偏差，Etotis是总误差。我们在表5.2中总结了我们的数值结果，其中突出了ASGQ和QMC在MC方法上实现的计算结果，以满足一定的误差容限，我们将其设置为大约1%。我们注意到，对于每种方法，结果都是使用Richardson外推的最佳配置报告的。第5.2.1节、第5.2.2节、第5.2.3节和第5.2.4节提供了每种情况下参数集的更详细结果，如表5.1所示。参数se t总相对误差CPU时间比（ASGQ/MC）CPU时间比（QMC/MC）设置1 1%6.7%10%2 0.2%4.7%1.4%3 0.4%3.8%4.7%4 2%20%10%表5.2：通过不同方法获得的相对误差和计算增益总结。在该表中，我们重点介绍了ASGQ和QMC在满足一定误差容限的情况下，通过MCmethod获得的计算增益。我们注意到，对于每种方法，比率都是通过Richardson外推计算出最佳配置的。我们在第5.2.1节、第5.2.2节、第5.2.3节和第5.2.4.5.2.1节中提供了关于如何计算这些增益的详细信息。对于表5.1中集合1中的参数情况，我们在三种不同的情况下进行了数值实验：i）使用ou tRichardson外推，ii）使用（1级）Richardson外推，以及iii）使用（2级）Richardson外推。

图e 5.2显示了三种不同情景下每种方法的数值复杂性比较。从该图中，我们得出结论，为了实现1%的相对误差，Richardson外推的1级是MC和随机QMC方法的最佳配置，而Richardson外推的2级是ASGQ方法的最佳配置。10-210-1100错误10-310-1101103105CPU时间斜率=-3.33MC+富（1级）斜率=-2.51MC+富（2级）（a）10-210-1100错误10-210-1100101102103CPU imeQMCslope=-1.98QMC+富（1级）斜率=-1.57QMC+富（2级）（b）10-210-1100错误10-310-210-1100101102103CPU时间Asgqslope=-5.18ASGQ+Rich（1级）斜率=-1.79ASGQ+Rich（2级）斜率=-1.27（c）图5.2：对于表5.1中的参数集1，比较不同方法与不同配置在Richardson外推水平方面的数值复杂性。a） MC方法。b） QMC方法。d） ASGQ方法。我们比较了图5.3中每种方法的这些优化配置，并且我们表明，就数值复杂性而言，GQ和QMC都优于MC。特别是，为了获得1%的原子相对误差，ASGQ加上理查森外推的2级，大约需要MC加上理查森外推的1级所做工作的6.7%，QMC加上理查森外推的1级所做工作的大约10%。

我们在附录A.1.10的图5.3中显示了比较方法的更详细输出-210-1100错误10-310-210-1100101102103104CPU时间MC+Rich（1级）斜率=-2.51QMC+Rich（1级）斜率=-1.57ASGQ+Rich（2级）斜率=-1.27图5.3：对于表5.1中的参数集1，不同方法与最佳配置的计算工作量比较，如图5.2所示。该图显示，为了实现低于1%的相对误差，ASGQ与Richardson外推的2级相结合，QMC与Richardson外推的1级相结合，具有类似的性能。此外，它们的表现明显优于MC方法加上Richardson外推的1级。5.2.2表5.1中第2组参数的情况在本节中，我们仅对没有Richardson外推的情况进行数值实验，因为结果表明我们满足足够小的相对误差容限，而无需应用Richardson外推。我们比较了图5.4中的不同方法，并确定ASGQ和QMC在数值复杂性方面都优于MC。特别是，为了实现大约0.2%的总相对误差，ASGQ r需要大约4.7%的MC工作，而QMC需要大约1.4%的MC工作。我们在附录A.2.10的图5.4中显示了比较方法的更详细输出-310-2错误10-1100101102103CPU时间斜率=-2.82ASGQslope=-1.94QMCslope=-1.55图5.4：表5.1中参数集2不同方法的计算功比较。

该图显示，为了实现低于1%的相对误差，ASGQ和QMCHA具有类似的性能，并且在计算时间方面，它们显著优于MC方法。5.2.3对于表5.1中集合3中的参数，在本节中，我们仅对没有Richardson外推的情况进行数值实验，因为结果表明我们满足足够小的相对误差容限，而无需应用Richardson外推。我们比较了图5.5中的不同方法，并确定ASGQ和QMC在数值复杂性方面都优于MC。特别是，为了实现大约0.4%的总相对误差，ASGQ r需要大约3.8%的MC工作，而QMC需要大约4.7%的MC工作。我们在附录A.3.10的图5.5中显示了比较方法的更详细输出-22 × 10-33 × 10-34 × 10-36 × 10-3错误10-1100101102CPU时间斜率=-4.00ASGQslope=-4.88QMCslope=-1.89图5.5：不同方法计算工作的比较，对于表5.1.5.2.4中的参数集3，对于表5.1中的参数集4，在本节中，我们仅对没有Richardsonextrapolation的情况进行数值实验。我们比较了图5.6中的不同方法，并确定就数值复杂性而言，GQ和QMC都优于MC。特别是，要实现大约2%的总相对误差，ASGQ需要大约20%的MC工作，QMC需要大约10%的MC工作。我们在附录A.4图5.6中显示了比较方法的更详细输出。与第5.2.1节所述的set 1参数的情况类似，我们认为Richardson外推将改善ASGQ和QMC方法的性能。

我们还应该指出，由于我们在这种情况下处于货币外制度，在将这些方法与重要抽样方法耦合后，可能需要对这些方法进行更公平的比较，以便在Payoff函数的右侧区域对更多点进行抽样。10-12 × 10-23 × 10-24 × 10-26 × 10-2错误10-210-1100101CPU时间斜率=-3.25ASGQslope=-3.27QMCslope=-1.62图5.6：不同方法计算工作的比较，对于表5.1.6结论和未来工作中的参数集4，我们提出了新颖、快速的期权定价，其基础遵循rBergomi模型，如[5]。新方法基于分层确定性四元方法：i）ASGQ使用与[27]中相同的结构，以及d ii）QMC方法。这两种技术都与Brown ian桥梁施工和Richardson对弱err or的外推相结合。鉴于在这种情况下，唯一普遍的选择是使用不同的MCmethod变体，这在计算上很昂贵，我们的主要贡献是提出一种基于确定性量化方法的MC方法的竞争替代方法。我们相信，我们是第一个在粗糙波动率模型的背景下提出（并设计）定价方法的人，该方法基于确定性求积，我们的方法为研究除MC之外的其他方法在粗糙波动率模型下的定价和校准性能开辟了一个新的研究方向。假设一个目标价格估计的相对误差容限非常小，我们提出的方法在rBergomi模型下定价时，即使赫斯特参数的值很小，也比标准MC方法有次瞬时计算收益。我们通过不同参数星座的数值实验展示了这些增益。