分层自适应稀疏网格和准蒙特卡罗算法

，fWHtNalong a给定的时间网格。在文献中，基本上有两种建议的方法来实现这一点：i）基于协方差的方法（精确模拟）[5，7]：Wt，WtN，fWHt，fWHtNtogether形成一个（2N）维高斯随机向量，具有可计算的协方差矩阵，因此可以使用协方差矩阵的Cholesky分解产生Wt…的精确样本，WtN，fWHt，fWHtNfrom 2N维高斯随机向量作为输入。这种方法准确但速度慢。模拟需要ON飞行。请注意，运营成本为N飞行。ii）[10]的混合方案：该方案使用了一种不同的方法，基本上基于Euler离散化，并通过接近零的幂函数和其他地方的阶跃函数来近似（2.2）中的核函数，从而得到幂函数的维纳积分和黎曼和的近似组合（有关更多详细信息，请参见（2.5）和[10]）。这种近似是不精确的，因为这里生产的样品没有精确的重量分布，WtN，fWHt，fWHtN。然而，它们比简单的Euler离散化产生的样本要准确得多，并且比方法（i）快得多。与方法（i）一样，在这种情况下，我们需要一个2N维高斯随机输入向量来产生一个Wt样本，WtN，fWHt，fWHtN。2.3.1关于我们方法中模拟方案的选择我们方法中模拟方案的选择是基于弱速率的观察行为。通过我们的数值实验（测试示例见表5.1），我们观察到，尽管混合和精确sch-emes似乎收敛于O阶的微弱误差(t） ，对于这两种方案，弱速率的pr e-渐近行为是不同的（我们在第3节中简要讨论了弱误差）。

如图2.1所示，对于表5.1中的集合1参数，混合格式具有一致的收敛行为，即它从一开始就以渐进的方式运行，而精确格式则没有。另一方面，对于精确的方案，常数似乎要小得多。这两个特性使混合s模式成为在我们的环境中工作的最佳选择，而我们的方法是基于层次表示的，包括使用Richardson外推（见第4.4节）。10-310-210-1100t10-310-210-1100101 | E[克（Xt）-g（X）]|弱错误基数=1.02比率=1.00（a）10-310-210-1100t10-310-210-1100 | E[g（Xt）-g（X）]|弱误差b=0.76rate=1.00（b）图2.1（3.1）中定义的弱误差b的收敛性，使用6×10样本的MC，用于表5.1中的集合1参数。我们参考CRB（如（2.4）中的E[g（X）]，参考CNRB（如（4.1）中的E[g（X）]t） 】。上下限为95%置信区间。a） 用杂交方案b）用精确方案。2.3.2混合模式用N表示时间步数。如第2.3.1节所述，在这项工作中，我们使用hyb rid模式，该模式在等距网格{0，N，N，…，NTN}上由以下公式给出：≈呜呜声=√2小时最小值（i，κ）Xk=1ZiN-kN+NiN-千牛在里面- sH-1/2dWs+iXk=κ+1bkN公司H-1/2锌-kN+NiN-kNdWs公司,（2.5）导致κ=1 in（2.6）fWHiN≈呜呜声=√2HWi+iXk=2bkN公司H-Wi公司-（k）-1） N个- Wi公司-千牛!, 1.≤ 我≤ N、 （2.6）式中（2.7）Wi=ZiNi-1N（英寸- s） H类-1/2dWs，bk=kH+- （k）- 1） H+H+！H-.（2.6）中的总和在模拟中需要最大的计算效率。考虑到（2.6）可以看作是离散卷积（见[10]），我们采用快速傅立叶变换对其进行评估，这将导致O（N log N）浮点运算。我们注意到变量wh，WHN。

，通过采样NI.i.d从（κ+1）维高斯分布中提取并计算离散卷积生成的WH[NT]Nare。对于κ=1的情况，我们用（W（1），W（2））表示这些从n开始的高斯随机向量对，更多细节请参见[10]。3弱错误讨论据我们所知，在粗糙的volatilitycontext中没有进行适当的弱错误分析，这在缺乏马尔可夫结构的情况下被证明是微妙的。然而，我们在本节中尝试在rBergomi模型的上下文中简要讨论它。在这项工作中，我们感兴趣的是近似E[g（XT）]，其中g是一些光滑函数，X是rBergomi动力学下的资产价格，因此XT=XT（W（1）[0，t]，fW[0，t]），其中W（1）是标准布朗运动，fW是分数布朗运动，如（2.2）所示。然后我们可以用混合格式和精确格式表示E[g（XT）]的近似值，如下所示：XT公司W（1）[0，T]，fW[0，T]我≈ Ehg公司XN公司W（1），W（1）N，W，西尼罗河i（混合方案），EhgXT公司W（1）[0，T]，fW[0，T]我≈ Ehg公司XN公司W（1），W（1）N，fW，fWN公司i（精确格式），其中w是（2.5）给出的w的近似值，XNis是使用Ntime步长对X的近似值。下面，为了简化符号，letW=（W，…，WN），W=（W（1），W（1）N）和fW=（fW，…，fWN）。然后，第4节所述方法中理查森外推的使用主要由猜想3.1证明。猜想3.1。

如果我们用EHybBand Echolb分别表示混合格式和Cholesky格式产生的弱误差，那么Echolb=O(t） ，EHybB=O(t） 。我们通过编写hybb来激发猜想3.1=Ehg公司XT公司W（1）[0，T]，fW[0，T]我- Eg级XN公司W、 W≤Ehg公司XT公司W（1）[0，T]，fW[0，T]我- Ehg公司XN公司W、 fW公司我+Eg级XN公司W、 W- Ehg公司XN公司W、 fW公司我≤ ECholB公司+Eg级XN公司W、 W- Ehg公司XN公司W、 fW公司我.（3.1）从C-holesky格式的构造中，我们期望弱误差纯粹是离散误差，即isECholB=O(t） ，正如我们的数值实验所观察到的那样（对于表5.1中集合1的情况，见图2.1b）。（3.1）右侧的第二项基本上与（2.6）近似积分（2.2）有关。从我们的数值实验来看，这个项似乎至少是有序的t，其收敛速度与H无关（图5.1中集合1的情况见图2.1a）。4分层方法的详细信息我们记得，我们的目标是计算（2.4）中的期望值，并且我们从第2.3.2节中提醒我们需要2N维高斯输入，W（1），W（2）对于所使用的混合方案（N是时间网格中的时间步数）。

我们可以重写（2.4）asCRB（T，K）=E哥伦比亚广播公司S=经验值ρZT√vtdWt公司-ρZTvtdt, k=k，σ=（1- ρ） ZTvtdt≈ZR2NCBSGrB（w（1），w（2））ρN（w（1））ρN（w（2））dw（1）dw（2）：=CNRB，（4.1），其中GrBmaps 2N个独立的标准高斯随机输入，由W（1），W（2）, 输入到Black Scholes调用价格函数的参数，CBS（在（2.4）中定义）和ρNis多变量高斯密度，由ρN（z）=（2π）N/2e给出-zTz。因此，我们正在解决的初始积分问题存在于2N维空间中，随着混合方案中使用的时间步数N的增加，该空间变得非常大。我们的近似（4.1）中期望值的方法基于层次确定性正交，即i）使用与[27]中相同的构造的ASGQ和ii）基于晶格规则的随机化QMC。在第4.1节中，我们在上下文中描述了ASGQ方法，在第4.2节中，我们提供了实现的QMC方法的详细信息。为了有效地使用ASGQ或QMC方法，我们应用两种技术来克服由于用于模拟rBergomi动力学的离散化方案而面临高维被积函数的问题。第一步是应用基于布朗桥结构的分层路径生成方法，目的是减少影响维度，如第4.3节所述。第二种方法是应用理查森外推来减少偏差，从而得出积分问题所需的最大维数。

第4.4节提供了有关理查森外推的详细信息。如果我们使用ASGQestimator QN（由（4.4）定义）表示（2.4）中近似预期的总误差，那么我们得到一个自然误差分解Etot≤CRB公司- CNRB公司+CNRB公司- QN公司≤ EB（N）+EQ（TOLASGQ，N），（4.2），其中EQ是正交误差，ebi是偏差，TOLASGQ是用户为asgq方法选择的公差，cnrbi是用N个时间步计算的偏差价格，如（4.1）所示。另一方面，使用随机QMC或MC估计量，QMC（QMC）nca逼近（2.4）中期望值的总误差可以有etot的界≤CRB公司- CNRB公司+CNRB公司- QMC（QMC）N≤ EB（N）+ES（M，N），（4.3），其中ESis是统计误差，M是MC或随机化QMC方法使用的样本数。MC或随机化QMC的统计误差估计为CασM√M、 其中，M是样本数，95%置信区间的cα=1.96。备注4.1。我们注意到，由于（4.1），我们的方法（在以下章节中解释）可以扩展到任何（粗略的）随机波动率动力学，唯一的区别是使用另一个函数而不是GrBin（4.1），该函数中嵌入了所考虑模型的特殊性。4.1自适应稀疏网格求积（ASGQ）我们假设我们想要近似解析函数f:Γ的期望值E[f（Y）]→R使用Γ上求积公式的张量化。为了介绍简化的符号，我们从一维情况开始。设u s表示为βanon负整数，称为“随机离散化水平”，d表示为m:N→ N是一个严格递增的函数，m（0）=0，m（1）=1，我们称之为“节点级别函数”。在β级，我们考虑R中的一组m（β）不同的正交点，Hm（β）={yβ，yβ，…，ym（β）β} R、 和正交权重的aset，ωm（β）={ωβ，ωβ，…，ωm（β）β}。

我们还假设C（R）是R上实值连续函数的集合。然后我们定义求积算子asQm（β）：C（R）→ R、 Qm（β）[f]=m（β）Xj=1f（yjβ）ωjβ。在我们的例子中，我们在（4.1）中有一个多变量积分问题，f=CBSo GrB，Y=（W（1），W（2）），且Γ=R2N，在之前的符号中。此外，由于我们处理的是高斯密度，因此使用高斯-厄米特积分点是合适的选择。我们定义了任何多指数β∈ N2NQm（β）：C（R2N）→ R、 Qm（β）=2NOn=1Qm（βn），其中第n个求积运算符被理解为仅作用于f的第n个变量。实际上，我们通过使用网格Tm（β）=Q2Nn=1Hm（βn），基数为#Tm（β）=Q2Nn=1m（βn），并计算Qm（β）[f]=#Tm（β）Xj=1f（byj）ωj，其中byj∈ 一元求积规则权重的Tm（β）和ωjare乘积。对于s im plifynotation，以下我们用Qβ代替Qm（β）。直接逼近E[f[Y]]≈ 由于众所周知的“维度诅咒”，Qβ[f]不是一个合适的选择。我们使用分层ASGQ策略，特别是使用与[27]中相同的结构，并使用随机离散化和经典稀疏方法来获得e[f]的有效近似方案。具体来说，在我们的设置中，我们留下了一个独立选择的2N维高斯随机输入，产生了2N个ASGQ数值参数，我们将其用作多指标构建的基础。对于多指数β=（βn）2Nn=1∈ N2N，我们注意到Qβn的结果有关稀疏网格的更多详细信息，请参见[13]。用第i维中的若干数值点近似（4.1）等于m（βi）。我们进一步定义了一组差异QβNas如下：对于单个指数1≤ 我≤ 2N，让iQβN=（QβN- Qβ′N，β′=β- ei，如果βi>0，QβN，否则，其中eidenotes是第i个2N维单位向量。

然后Qβ定义为QβN=2NYi=1我！QβN。例如，当N=1时Qβ=Q（β，β）=Q（β，β）- Q（β-1,β)= Q（β，β）- Q（β-1，β）=Q（β，β）- Q（β，β-1)- Q（β-1，β）+Q（β-1,β-1).根据CNRBby（4.1）的定义，我们得到了伸缩特性CNRB=Q∞N个=∞Xβ=0···∞Xβ2N=0Q（β，…，β2N）N=Xβ∈N2NQβN。用于近似（4.1）的ASGQ估计量，并使用一组多指标I N2nis由（4.4）QIN=Xβ给出∈我QβN。这种情况下的Q值误差由（4.5）等式（TOLASGQ，N）给出=Q∞N- 秦≤Xβ∈N2N\\IQβN.我们确定了工作贡献，Wβ，是需要添加的计算成本QβNto QIN和误差贡献，Eβ是（4.5）中定义的正交误差将减少一次的度量值QβNhas被添加到QIN中，即Eβ=气∪{β} N个- 秦(4.6)Wβ=功[气∪{β} N]- 工作[秦]。（4.7）最优I的构建是通过设定阈值（见图4.1）来完成的，也就是说，对于某个阈值t，以及由（4.8）Pβ定义的层次SURPLUS的一个函数=|Eβ|Wβ，我们的ASGQ的最佳索引集I由I={β给出∈ N2N+：Pβ≥T}。（a） （b）（c）（d）（e）（f）图4.1:ASGQ方法ind ex集合贪婪构造的快照。后验自适应构造：给定一个索引集Ik，使用（4.8）计算相邻索引的性能，并选择性能最好的一个。备注4.2。在ASGQalgorithm中，q点层次结构m（β）的选择是灵活的，用户可以根据手头问题的收敛性来确定。例如，为了再现性，在我们的数值实验中，我们使用线性层次：m（β）=4（β- 1) + 1, 1 ≤ β、 表5.1中参数集1的结果。对于表5.1中的其余参数集，我们使用了几何层次：m（β）=2β-1+ 1, 1 ≤ β.备注4.3。

如【27】所强调的，实现ASGQ最佳性能的一个重要要求是检查（4.6）定义的第一个和混合不同操作员的误差收敛性。我们在所有数值实验中都检查了这一要求，为了便于说明，我们在图4.2和4.3中展示了表5.1中参数集2的一阶和二阶差的误差收敛性。这些曲线图显示：i）Eβ相对于βi和ii指数快速下降）Eβ具有乘积结构，因为与相应的第一个差异算子相比，我们发现二次差异的误差衰减更快。2 3 4 5 6 7k10-1610-1410-1210-1010-810-610-4.∣ ΔE1Δkβ∣β= ∣[1∣0∣0∣0∣0∣0∣0∣0]费率=∣-7.13β=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]比率=-9.63β=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0]比率=-10.25β=[0 0 0 1 0 0 0 0 0]比率=-9.96（a）2 3 4 5 6 7k10-1610-1410-1210-1010-810-6.∣ ΔE1Δkβ∣β= ∣[0∣0∣0∣0∣1.∣0∣0∣0]费率=∣-8.79β=[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0]比率=-9.95β=[0 0 0 0 0 0 1 0]比率=-8.74β=[0 0 0 0 0 0 0 1]速率=-9.49（b）图4.2：一阶差的误差收敛速率|Eβ|，由表5.1中参数集2的（4.6）定义，（β=1+kβ）。i-thdimension中使用的正交点数量为Ni=2βi-1+ 1 . a） 关于W（1）。b） 关于W（2）。2 3 4 5 6 7k10-1610-1410-1210-1010-8.∣ ΔE1Δkβ∣β= ∣[1∣1.∣0∣0∣0∣0∣0∣0]费率=∣-9.92β=[1 0 1 0 0 0 0 0 0 0]比率=-7.78β=[1 0 0 1 0 0 0 0 0]比率=-9.55（a）2 3 4 5 6 7k10-1610-1410-1210-1010-8.∣ ΔE1Δkβ∣β= ∣[1∣0∣0∣0∣1.∣0∣0∣0]费率=∣-7.57β=[1 0 0 0 0 0 1 0 0]比率=-9.50β=[1 0 0 0 0 0 1 0]比率=-8.48β=[1 0 0 0 0 0 0 1]速率=-8.45（b）图4.3：二阶差的误差收敛速率|Eβ|，由表5.1中参数集2的（4.6）定义，（β=1+kβ）。i-thdimension中使用的正交点的数量为Ni=2βi-1+ 1. a） 关于W（1）。b） 关于W（2）。备注4.4。

第4.1节开头所述的分析性假设对于我们提出的方法的最佳性能至关重要。事实上，尽管我们在增加N时面临“维数诅咒”的问题，但f的一个特性使sparsegrids q值的谱收敛。4.2准蒙特卡罗（QMC）我们在这项工作中测试的第二类确定性求积是随机QMC方法。具体而言，我们使用QMC的格规则族[42、16、39]。格规则的主要输入是一个包含d个分量的整数向量（d是积分问题的维数）。事实上，给定一个称为生成向量的整数向量z=（z，…，zd），具有n个点的（秩1）格的形式为（4.9）Qn（f）：=nn-1Xk=0fkz mod nn型.晶格规则的质量取决于生成向量的选择。由于模块化操作，有必要考虑从1到n的值-此外，我们将值限制为n的相对素数，以确保n点的每个一维投影都有不同的值。因此，我们写z∈ Udn，Un：={z∈ Z：1≤ z≤ n- 1和gcd（z，n）=1}。出于实际目的，我们选择n为2的幂。生成向量的可能选择总数为（n/2）d。为了获得积分的无偏近似，我们使用了随机移位格规则，这也允许我们以与MC方法相同的方式获得实际误差估计。它的工作原理如下。我们生成q独立的随机移位（i） 对于i=0，q- 1根据[0，1]d的均匀分布。对于相同的固定晶格生成向量z，我们计算q差分移位晶格规则近似值，并用q（i）n（f）表示它们，对于i=0。