分层自适应稀疏网格和准蒙特卡罗算法

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英文标题：
《Hierarchical adaptive sparse grids and quasi Monte Carlo for option
  pricing under the rough Bergomi model》
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作者：
Christian Bayer, Chiheb Ben Hammouda and Raul Tempone
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  The rough Bergomi (rBergomi) model, introduced recently in [5], is a promising rough volatility model in quantitative finance. It is a parsimonious model depending on only three parameters, and yet remarkably fits with empirical implied volatility surfaces. In the absence of analytical European option pricing methods for the model, and due to the non-Markovian nature of the fractional driver, the prevalent option is to use the Monte Carlo (MC) simulation for pricing. Despite recent advances in the MC method in this context, pricing under the rBergomi model is still a time-consuming task. To overcome this issue, we have designed a novel, hierarchical approach, based on i) adaptive sparse grids quadrature (ASGQ), and ii) quasi-Monte Carlo (QMC). Both techniques are coupled with a Brownian bridge construction and a Richardson extrapolation on the weak error. By uncovering the available regularity, our hierarchical methods demonstrate substantial computational gains with respect to the standard MC method, when reaching a sufficiently small relative error tolerance in the price estimates across different parameter constellations, even for very small values of the Hurst parameter. Our work opens a new research direction in this field, i.e., to investigate the performance of methods other than Monte Carlo for pricing and calibrating under the rBergomi model.
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中文摘要：
最近在[5]中引入的粗糙Bergomi（rBergomi）模型是定量金融中一种很有前景的粗糙波动率模型。这是一个仅依赖三个参数的简约模型，但非常符合经验隐含波动率曲面。在缺乏模型的分析性欧式期权定价方法的情况下，由于分数驱动因素的非马尔可夫性质，流行的期权是使用蒙特卡罗（MC）模拟进行定价。尽管MC方法在这方面取得了最新进展，但rBergomi模型下的定价仍然是一项耗时的任务。为了克服这个问题，我们设计了一种新的分层方法，基于i）自适应稀疏网格求积（ASGQ）和ii）准蒙特卡罗（QMC）。这两种技术都结合了布朗桥构造和Richardson对弱误差的外推。通过揭示可用的规律性，我们的分层方法证明了与标准MC方法相比，当在不同参数星座的价格估计中达到足够小的相对误差容限时，即使对于非常小的赫斯特参数值，我们的分层方法也能获得相当大的计算收益。我们的工作在这一领域开辟了一个新的研究方向，即在rBergomi模型下研究蒙特卡罗以外的定价和校准方法的性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：蒙特卡罗 蒙特卡 Hierarchical Quantitative parsimonious

粗糙Bergomi模型下期权定价的分层自适应稀疏网格和拟蒙特卡罗方法Christian-Bayer*Chiheb Ben Hammouda+Ra'ul Tempone§§AbstractThe rough Bergo mi（rBergomi）模型，最近在[5]中引入，是一种很有前景的定量金融粗糙波动率模型。这是一个仅依赖三个参数的简约模型，但与经验隐含波动率曲面非常吻合。在模型的分析性欧式期权定价方法中，由于分数驱动因素的非马尔可夫性质，流行的期权是使用蒙特卡罗（MC）模拟进行定价。尽管MC方法在这方面取得了最新进展，但rBergomimodel下的定价仍然是一项耗时的任务。为了克服这个问题，我们设计了一种新的分层方法，基于i）自适应稀疏gr-ids求积（ASGQ）和ii）准蒙特卡罗（QMC）。这两种技术都结合了布朗桥构造和理查森对弱误差的外推。通过揭示可用的规律性，我们的hierarchicalmethods证明了与标准MC方法相比，当在不同参数星座的价格估计中达到非常小的相对误差容限时，即使对于非常小的Hurst参数值，我们的hierarchicalmethods也能获得巨大的计算收益。

我们的工作为该领域开辟了一个新的研究方向，即研究在rBergomi模型下定价和校准的蒙特卡罗方法以外的其他方法的性能。粗糙波动率；蒙特卡罗；自适应稀疏网格；拟蒙特卡罗；布朗桥构造；Richar-dson外推。1简介将波动率建模为随机的，而非布莱克-斯科尔斯模型中的确定性，这使得定量分析师能够解释期权价格数据中观察到的某些现象，尤其是隐含的波动率微笑。然而，这一系列模型的一个主要缺点是未能捕捉到隐含波动率微笑接近成熟的真实陡度。跳跃可以添加到股票价格模型中，以克服这种不需要的特性，例如通过将股票价格过程建模为指数L'evy过程。然而，股票价格过程中增加跳跃仍然存在争议[15，4]。*Weierstrass应用分析和随机研究所（WIAS），德国柏林+阿卜杜拉国王大学科技大学（KAUST），计算机、电气和数学科学与工程系（CEMSE），图瓦尔23955- 6900，沙特阿拉伯（chiheb。benhammouda@kaust.edu.sa).阿卜杜拉国王大学科技大学（KAUST），计算机、电气和数学科学与工程系（CEMSE），图瓦尔23955- 6900，沙特阿拉伯（劳尔。tempone@kaust.edu.sa).§亚历山大·冯·洪堡（Alexander von Humboldt）德国亚琛大学（RWTH Aachen University）不确定性量化数学教授。受Gatheral、Jaisson和Rosenbaum[24]对已实现波动率的统计分析以及隐含波动率的理论结果[3、22]的推动，粗糙随机波动率已成为定量金融的新范式，克服了不同随机波动率模型的观察局限性。

在这些模型中，波动率的轨迹比标准布朗运动的轨迹具有更低的规律性[5，24]。事实上，它们基于fr作用布朗运动（fBm），这是一个中心高斯过程，协方差结构取决于所谓的赫斯特参数H（关于fBm过程的更多详细信息，请参阅[33、17、12]）。在随机波动率情况下，0<H<1/2，fBm在cr校正和粗糙样本路径中具有负相关。Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【24】以经验证明了此类模型的优势。例如，他们表明，实际中的对数波动率与赫斯特指数H的fBm具有相似的行为≈ 在任何合理的时间尺度下为0.1（另见【23】）。Bennedsen、Lunde和d Pakkan en【9】证实了这些结果，他们研究了1000只美国股票，并表明每只股票的H位于（0，1/2）f。其他研究【9、5、24】表明，在解释金融市场中观察到的关键现象方面，这种粗糙波动率模型比标准随机波动率模型有更多的好处。Bayer、Friz和Gatheral提出的粗糙Bergomi（rBergomi）模型是最早开发的粗糙波动率模型之一。该模型仅依赖于thr ee参数，对经验波动率影响面有显著的拟合。rBergomimodel的构建是通过从实物指标转移到定价指标，并通过模拟价格来完成的，在标准普尔500指数没有多少参数的情况下，该模型能够很好地拟合隐含波动率表面。

该模型可以看作是Bergomi方差曲线模型的非马尔可夫扩展[11]。尽管r Bergomi模型具有很好的特点，但由于分数驱动因素的非马尔可夫性质，在s-Bergomi模型下的定价和套期保值仍然是一项具有挑战性和耗时的任务。事实上，标准的数值定价方法，如PDE离散化方案、渐近展开和变换方法，虽然在差异情况下很有效，但并不容易被转入粗糙集（rough-Heston模型[18、20、1、19]及其扩展[30、25]的显著例外）。此外，由于缺乏马尔可夫性和有效结构，传统的分析定价方法不适用。据我们所知，在此类模型下，唯一流行的期权定价方法是蒙特卡罗（MC）模拟。特别是，rBergomi模型的模拟方法s的最新进展，以及在这种模型下基于MC的pr结冰方法的不同变体，已在[5、6、10、35、31]中提出。例如，在[35]中，作者使用了一种新的方差缩减方法组合。在rBergomi模型下定价时，他们取得了比标准MC方法更大的计算收益。[32、21、7]对该模型下的期权定价和隐含效用有了更深入的分析理解。需要注意的是，由于强误差（即H阶）的不良行为，分层变异（hierarchicalvariance）推导方法（如多层蒙特卡罗（MLMC））在这种情况下是无效的【38】。尽管MC方法最近取得了一些进展，但rBergomi模型下的定价在计算上仍然很昂贵。

为了克服这一问题，我们基于i）自适应稀疏网格求积（ASGQ）和i）准蒙特卡罗（QMC），为遵循rBergomi模型的期权设计了新颖、快速的期权定价器。这两种技术都与布朗桥构造和理查森外推相结合。为了将这两种确定性求积技术（ASGQ和QMC）用于我们的目的，我们解决了构成新设计方法两个阶段的两个主要问题。在第一阶段，我们使用条件期望工具对被积函数进行平滑处理，正如[41]在马尔可夫随机波动率模型中所述，以及[8]在篮子期权中所述。在第二阶段，我们应用确定性求积方法来解决积分问题。在这一阶段，在使用ASGQ或QMC方法之前，我们应用两种分层表示，以克服由于用于模拟rBergomi动力学的离散化方案而面临高维积分的问题。考虑到ASGQ和QMC从各向异性中获益，第一个代表是基于Brow nian桥结构应用分层路径生成方法，目的是减少影响维度。第二种技术包括应用理查森外推来减少ebias（弱误差），这反过来又减少了在最粗略的水平上所需的时间步数，以达到一定的误差容限，从而达到积分问题所需的最大维数。

我们强调，我们处于pr e-渐近状态（对应于少量的时间步），理查森外推的使用仅限于猜想3.1和4.6，我们在该状态下观察到的实验结果表明，对于弱误差，我们具有一阶收敛性，并且前渐近机制足以实现对期权价格的有效准确估计。此外，Westerss强调，由于缺乏马尔可夫结构，在粗糙波动性背景下没有进行适当的弱误差分析，这被证明是微妙的。我们还认为，我们是第一个声称Hybrid格式和exact格式都有微弱的一阶误差的人，这至少在数值上是正确的。据我们所知，我们也是第一个在粗糙波动率模型的背景下提出（并设计）定价方法的人，该方法基于确定性求积方法。正如我们对不同参数星座的数值实验所示，我们提出的方法似乎与MC-app-roach相竞争，后者是这种情况下唯一流行的方法。假设一个目标价格估计值具有非常小的相对误差容限，我们提出的方法证明了与标准MC方法相比，即使对于非常小的H值，也有次瞬时计算收益。然而，我们并不声称这些收益将保持在协合状态，而协合状态要求更高的精度。此外，在这项工作中，我们仅限于将我们提出的新方法与标准MC进行比较。

与文献[35]中提出的MC变体进行更系统的比较，以供将来研究。我们强调，对（粗糙）随机波动率模型族应用确定性求积并非易事，但我们提出了一种克服积分域高维性的新颖方法，首先使用Richardson外推降低总维数，然后将布朗桥构造与ASGQ或QMC耦合，以优化我们提出的方法的性能。此外，我们提出的方法显示了与赫斯特参数H值相关的稳健性能，如H值非常低的不同数值样本所示。我们强调，分层方差缩减方法（如MLMC）的性能对H值非常敏感，因为粗糙波动率模型在某种意义上是非常困难的，因为它们承认均方近似的低收敛速度（强收敛速度）（见[38]）。虽然我们的重点是rBergomi模型，但我们的方法适用于一类广泛的随机波动率模型，尤其是粗糙波动率模型，因为我们提出的方法没有使用rBergomi模型的任何特殊性质，甚至可以对任何随机波动率模型以几乎类似的方式执行分析平滑步骤。本文的结构如下：我们从第2节开始，介绍我们在本研究中考虑的定价框架。我们提供了有关rBergomi模型、该模型下的期权定价以及在therBergomi动态下用于模拟资产价格的模拟方案的一些详细信息。我们还解释了如何选择最佳模拟方案来优化我们的方法。

在第3节中，我们将在rBergomi的上下文中讨论弱err或。然后，在第4节中，我们解释了构成我们提出的方法的不同构建块，基本上是ASGQ、QMC、布朗桥构造和Richardson外推。最后，在第5节中，我们展示了通过rBergomi模型的不同参数星座进行的不同数值实验获得的结果。报告的结果显示了我们提出的方法在这方面的潜力。2问题设置在本节中，我们介绍了我们在这项工作中考虑的定价框架。我们首先给出了文献[5]中提出的rBergomi模型的一些细节。然后，我们在第2.2节推导了rBergomi模型下欧洲看涨期权价格的公式。最后，我们解释了在rBergomimodel下用于模拟资产价格动态的方案的一些细节。2.1 rBergomi模型我们认为，rBergomi模型适用于【5】中定义的价格过程，标准化为r=0（ris为利率），由DST定义=√vtStdZt，vt=ξ（t）expηfWHt-ηt2H,（2.1）其中Hurst参数0<H<1/2且η>0。我们将vt称为方差过程，ξ（t）=E[vt]是前向方差曲线。这里，fWHis a specific Riemann-Liouville fBm process[34，40]，定义为fwht=ZtKH（t- s） dWs，t≥ 0，（2.2）其中内核KH:R+→ R+isKH（t- s）=√2H（t- s） H类-1/2,  0≤ s≤ t、 通过构造，FWA以局部（H）为中心- ）-H–Varhfwhti=t2H且依赖结构由EHFWHUFWHVi=u2HC定义的连续高斯过程vu公司, v>u，其中x≥ 1和γ=- HC（x）=2HZds（1- s） γ（x- s） γ。在（2.1）和（2.2）中，W，Z表示两个相关的标准布朗运动，相关ρ∈] - 1，0]，所以我们可以用WasZ=ρW+ρW来表示Z⊥= ρW+p1- ρW⊥,其中（W，W⊥) 是两个独立的标准布朗运动。

因此，S（0）=S的（2.1）的解可以写成asSt=SexpZtpv（s）dZ（s）-Ztv ds, S> 0vu=ξ（u）expηfWHu-ηu2H, ξ> 0.（2.3）2.2 rBergomi模型下的期权定价我们对rBergomi模型下的欧洲看涨期权定价感兴趣。假设S=1，并使用由W生成的σ-代数上的条件变元，用σ（W（t），t表示≤ T）（这是【41】在马尔可夫随机波动率模型中首次使用的论点），我们可以证明，买入价格由CRB（T，K）=E给出（ST- K）+= EE（ST- K） +|σ（W（t），t≤ T）= E哥伦比亚广播公司S=经验值ρZT√vtdWt公司-ρZTvtdt, k=k，σ=（1- ρ） ZTvtdt,（2.4）其中CBS（S，k，σ）表示Black-S-choles看涨价格函数，对于初始现货价格S，罢工价格k和波动率σ。（2.4）可通过使用Stinto-Stand St的正交分解得到，其中St=e{ρZt√vsdWs}，St=E{p1- ρZt√vsdW⊥s} ，和E（.）表示随机指数；然后，通过条件对数正态性，我们得到了对数St |σ{W（s），s≤ t}~ N日志St-(1 - ρ） Ztvsds，（1- ρ） Ztvsds.我们指出，在（2.4）中执行的基于条件的分析平滑使我们能够覆盖可用的正则性，从而得到一个在期望值内的平滑的分析被积函数。因此，应用确定性求积技术（如GQ或QMC）将成为计算买入价的一个合适选择，我们将在后面进行研究。【35】中使用了类似的条件，但仅用于减少差异的目的。2.3 rBergomi模型的模拟rBergomi动力学模拟中遇到的一个数值挑战是Rt的计算√vtdWtand V=RTvtdt in（2.4），主要是因为Volterrakernel KH（s）的奇异性- t） 在对角线s=t处。事实上，需要联合模拟两个高斯过程（Wt，fWHt：0≤ t型≤ T），导致Wt，WtNandfWHt。