重新审视转型和定向技术距离函数

在本小节中，我们展示了条件T1–T5和T6*不要暗示有效JPF的存在，讨论F¨are（1983）和F¨are et al.（1985）的几个单调性条件，并证明非对称变换函数和有效联合生产函数在这些条件下的等价性。引理2.1.8（F¨are，1983）。有效联合生产函数存在的充要条件是，对于所有（y，x）∈ Y×X，我们有Y∈ eff P（x）当且仅当x∈ 效果（y）。示例2.1.6证明了条件T1–T5和T6*不要暗示高效JPF的存在。其中，输出对应满足条件T1–T5和T6*; 然而，（1/2，1）6∈ EFF P（1）和1∈ 效果（1/2，1）。因此，不存在高效的jointproduction函数。F¨are（1983年，第16-17页）引入了附加条件T7*, 称为输入和输出对应的有效严格单调性，并证明了当输入和输出是强可支配的时，存在有效联合生产函数的必要性和有效性：T7*. 对于所有y∈ Yand代表所有x∈ 十、 E1。工作（y）∩ 有效（v）= 如果y≥ vE2、EFF P（x）∩ E eff P（z）= 如果x≥ z、 直觉上，E1指出，如果在任何输入减少时，生产计划的可行性没有保留，那么任何输出的增加也不可行。E2反过来指出，如果任何产出的增加都不可行，那么任何投入的减少也不可行；另见F¨are（1983年，第16页）。非对称变换函数的等价性和有效JPFalthrough条件T1–T5和T6*–T7型*暗示存在一个有效的联合生产函数，它们对非对称变换函数和有效JPF等价的能力并不容易看到。

事实上，如果这些条件不排除x的存在∈ x如果我们f P（x）6=E f P（x），那么对于某些（y，x），可能会出现f i（y，x）=0∈ Y×x，当i被任意选择时，Y属于P（x）的弱系数，但不属于P（x）的有效子集。下面的例子andlemma证明了事实确实如此。示例2.1.9。对于所有x∈ R+，设P（x）={y∈ R+| y≤ X和y+y≤ x+x}；见图2。如果x的一个分量为零，则WE ffp（x）=E ffp（x）；然而，如果x>0，我们f P（x）6=E f P（x）。该输出对应满足条件T1–T5和T6*; 与示例2.1.6中使用的参数类似的参数表明，P的图是凸的。y1y20 1 2 3 4 50 1 2 3 4P（1，0）P（0，2）P（1，3）图2：P（x）={y∈ R+| y≤ X和y+y≤ x+x}表示所有x∈ R+。其逆对应关系由L（y）={x给出∈ R+| x≥ yand x+x≥ y+y}表示所有y∈ R+，输出集和输入集的有效子集由ffp（x）={y给出∈ R+| x≤ y≤ x+x和y=（x+x）- y} Andeff L（y）={x∈ R+| 0≤ x个≤ y和x=（y+y）- x} 。在这种情况下，属性E2成立，因为无论何时x，E ffp（x）和E ffp（z）都是不相交的≥ z、 属性E1也成立，因为无论何时y，effl（y）和effl（v）都是不相交的≥ v、 我们得出结论，条件T1–T5和T6*–T7型*不意味着每个x的输出集的最弱子集和有效子集相等∈ 十、 引理2.1.10。让生产可能性设置满足条件T1–T5和T6*–T7型*. 如果对于某些x，我们f P（x）6=E f P（x）∈ 十、 那么，对于某些i，fi不是有效的jointproduction函数∈ {1，…，m}。证据假设存在x∈ x这样我们就可以得到f P（x）6=E f P（x），并在f P（x）\\E f P（x）中选择。自y起∈ 我们提供P（x），所有w∈ P（x），存在i∈{1，…，m}这样wi≤ yi和yi>0。自y 6起∈ f P（x），存在u∈ 对于某些k和uj，P（x）如uk>YK≥ yjif j 6=k。

两个语句的结合意味着对于某些i 6=k，ui=yi和yi>0。让U={i∈ {1，…，m}| ui=yi，yi>0}。然后，对于所有j 6，uj>yjor uj=yj=0∈ U、 设Vi={Vi∈ R+|（y，…，vi，…，ym）∈ P（x）}假设，对于所有i∈ U、 存在▄vi∈ 看到了吗？vi>yi。设▄vi=（y，▄vi，▄，ym）对于所有i∈ U、 因为P（x）对于所有x都是凸的∈ Rn+，那么P（x）3θu+π∈Uθivi*> 如果{θj | j中的权重为y∈ {0} ∪ U} 严格为正，求和为1。这与y相矛盾∈ 我们提供P（x）。因此，存在i∈ U使vi≤ 适用于所有vi∈ 六、自易以来∈ Vi，它的结果是yi=max Vi=t（y-i、 x），意味着Fi（y，x）=0，尽管y为6∈ E ff P（x）。因此，{y∈ Rm+| Fi（y，x）=0}6 本i的有效P（x）。总之，在T1–T5和T6条件下*–T7型*, 存在三个联合生产函数。然而，如果输出集的弱有效子集和有效子集对于somex不相等∈ 十、 然后，对于某些i，非对称变换函数将跟踪该输出集的有效子集，但不是唯一的。显然，如果要建立非对称变换函数和有效JPF的等价性，就不可能免除一个更强的单调性条件，以确保每个x的输出集的弱和有效子集的相等性∈ 十、 F¨are等人（1985年，第33-34页）定义了输入和输出对应关系（T6）的弱有效严格单调性，并证明它对所有y的WE ffl（y）=e ffl（y）是有效的∈ Yand for WE ffp（x）=E ffp（x）for all x∈ 十、 前提条件T4成立：T6。对于所有y∈ Yand代表所有x∈ 十、 WE1。我们提供（y）∩ WE OFFL（v）= 如果y≥ vWE2、WE OFF P（x）∩ WE OFF P（z）= 如果x≥ z、 直观地说，WE1指出，如果所有非零输入的减少导致某些productionplan不可行，那么任何输出的增加也不可行。

WE2指出，如果增加所有非零输出是不可行的，那么减少任何输入也是不可行的。F¨are（1986，第674页）表明，条件T6意味着当输入和输出是强可支配的时，存在和等价的等量、加权系数和有效的联合生产函数。最后，我们引入条件T7，它与ProductionPoabilities集的凸性一起，意味着每个输入向量x∈ Xcan生成一个大于0的输出向量，即所有严格正的组件：T7。对于所有x∈ X代表所有我∈ {1，…，m}，存在y∈ P（x）使得yi>0。例如，示例2.1.9中的输出对应关系不满足T7，因为所有y都为y=0∈ P（1，0）。要了解为什么这个假设对于证明下面的定理至关重要，假设存在i∈ {1，…，m}使得所有y的yi=0∈ P（x）对于某些x∈ 十、 在P（X）中选择y，例如，在P（1，0）\\{（1，0）}中选择（1/2，0）。那么yi=0和t（y-i、 x）=max{0}=0，这意味着Fi（y，x）=0。因此，FIA假设值为零的输出-输入向量集可能不仅包含有效JPF假设值为零的集合，还包含可行束（y，x），以便y 6∈ eff P（x）如果针对无法使用给定输入向量x产生的输出执行最大化∈ 十、 在证明我们的主要结果之前，我们有兴趣确定与生产可能性集上施加的条件T1–T7兼容的生产过程类型。条件T7要求，对于特定的输入向量，要么不能产生任何输出（如果x 6∈ 十） 或者他们都可以（如果X∈ 十） 。Frisch（1965年，第10-11页）讨论了满足这一要求的两种生产类型：联合生产和组合生产。

当“出于物理、化学或技术原因，产出必须一起生产”（鲍姆加特纳，2000年，第7页）时，就会产生联合生产，只有在不需要的产出的生产量被免费处理时，某些产出的零数量以及其他产出的正数量才是可行的；另见劳埃德（1983年，第46页）。当生产是联合的，对于给定的输入向量，输出组合可以固定或在一定程度上变化（Frisch，1965，第11页）。换句话说，输出集的有效子集不一定是一个单态；但是，它不包含任何具有一个或多个零组件的输出向量。这意味着，对于所有x∈ 十、 输出集的最弱子集和有效子集不相等，因此条件T6不成立。从前面的讨论可以看出，如果输出是联合产生的，非对称变换函数和任何联合生产函数都是不等价的。根据Frisch（1965），当给定的输入向量有一个关于产生哪种输出的选择时，就会出现组合生产。例如，在两种产出的情况下，所有资源只能分配给第一种产出或第二种产出或两者的某种组合（第276-277页）。因此，相对输出量的选择具有最大的灵活性（Lynne，1974，第55页）；也就是说，可以使用给定的输入向量高效地生成任何输出混合。这种类型的生产符合条件T1–T7。接下来，我们证明了它们对于非对称变换函数和有效JPF的等价性的有效性。定理2.1.11。如果生产可能性满足条件T1–T7，则不对称转换和高效联合生产函数是等效的。证据

由于条件T4和T6意味着三个联合生产函数的存在和等价性，因此需要证明{（y，x）∈ （Rm+×X）∪ （Y×Rn+）| Fi（Y，x）=0}={（Y，x）∈ Y×X | Y∈ E eff P（x）}对于所有i∈ {1，…，m}；见（2.1.5）和（2.1.3）。首先，请注意，从t的定义来看，Fi（y，x）6=0表示所有（y，x）∈ （Y×X）∪ （Y×X）∪ （Y×X）和ALI∈ {1，…，m}，而条件T7和T4意味着该结果对所有（y，x）仍然有效∈ （Y×X）。因此，尽管我∈ {1，…，m}，{（y，x）∈ （（Y）∪ Y） ×X）∪ （Y×（X）∪ 十） ）| Fi（y，X）=0}=.Let（y，x）∈ Y×X，从{1，…，m}中选择i，并假设Fi（Y，X）=0。那么yi=t（y-i、 x）且yi>0或yi=0。案例1。假设yi=t（y-i、 x）和yi>0。从t的定义可以看出（y，…，vi，…，ym）6∈ P（x）如果vi>yi，加上输出的强可处理性，使v 6简化∈ P（x）如果v*> y、 因此，y∈ E ffp（x），因为E ffp（x）=无论何时条件T4和T6保持，我们ffp（x）。案例2。假设yi=t（y-i、 x），yi=0，y 6∈ E ff P（x）。根据条件T7，存在∈ P（x）使得ui>0。自y 6起∈ 我们有P（x），也有w∈ P（x）使得W*> y、 P（x）的凸性意味着τw+（1- τ）u∈ 所有τ的P（x）∈ [0, 1]. 删除τ=max{τj |τj=yj/wjif j 6=i，wj6=0}。自y起≥ 0和w*> y、 下面是eτ∈ (0, 1). 此外，eτw+（1- eτ）u≥ y和eui=eτwi+（1- eτ）ui>0。通过输出的强可处置性，（y，…，eui，…，ym）∈ P（x），因此t（y-i、 x）≥ eui>0=yi，这导致了矛盾。相反，对于某些i，假设Fi（y，x）6=0∈ {1，…，m}。如果yi>t（y-i、 x），然后是y 6∈ P（x），其中包括eff P（x）。如果yi<t（y-i、 x），然后P（x）3（y，…，t（y-i、 x），ym）≥ y、 意味着y 6∈ E ff P（x）。因此，如果y∈ E ffp（x），然后Fi（y，x）=0∈ {1，…，m}。

在Diewert（1973，第287页）中可以找到在条件ST1–T5下成立的非对称变换函数的性质。此外，如果T满足T6和T7，则T的单调性可以增强为T在输入中严格增加，即，如果z≥ x和t（y-i、 z）>-∞, 然后t（y-i、 z）>t（y-i、 x），并严格减少输入，即如果v-我≤ y-土地t（v-i、 x）>-∞, 然后t（v-i、 x）>t（y-i、 x），对于任意i。在下一节中，我们将讨论扩展到对称变换函数，并展示该函数的性质，这些性质对于由其导出的满足条件T1–T7的生产可能性集是有效的。我们还证明了在这些假设下，对称变换函数是一个有效的联合生产函数。2.2对称变换函数let a对称变换函数F:Rm+×Rn+→ R代表生产技术，并假设F满足属性F1-F4，部分与Hanoch（1970，第423页）和Lau（1972，第281页）提出的属性F1重叠。F（0，0）=0；F是一个连续函数；F3.F在输入中严格递减，即如果x，则F（y，x）<F（y，x）≥ x、 并严格增加输出，即如果y，则F（y，x）>F（y，x）≥ yF是一个凸函数。定理2.2.1。如果变换函数F满足特性F1–F4，则集合（2.2.2）T={（y，x）∈ Rm+×Rn+| F（y，x）≤ 0}满足属性T1–T7:T1。T是Rm+×Rn+的非空子集；特别是，（0，0）∈ TT2、T闭合；T是凸的；T4.如果（y，x）∈ T和(-y、 x）=(-y、 x），然后（y，x）∈ TT5.P（x）对所有x有界∈ 十、T6.对于所有y∈ Yand代表所有x∈ 十、 WE1。我们提供（y）∩ WE OFFL（v）= 如果y≥ vWE2、WE OFF P（x）∩ WE OFF P（z）= 如果x≥ zT7.对于所有x∈ X代表所有我∈ {1，…，m}，存在y∈ P（x）使得yi>0。证据

T1、T2、T3和T4分别来自F1、F2、F4和F3，以及T的定义，而属性T7来自F1-F3。接下来，我们证明，如果F满足性质F1–F4，则T满足性质T5。莱克斯∈ x和定义P（x）={y∈ Rm+| F（y，x）≤ 0}. 让eidenote表示Rm+中的向量，该向量的第i个分量等于1，其他分量等于0。为每个人∈ {1，…，m}，考虑函数gi:R+→ R由gi（u）=F（uei，x）给出，这是F对射线{（0，x）+u（ei，0）|u的限制∈ R+}。性质F1–F4意味着gi是一个连续的、严格递增的凸函数，gi（0）<0。因此，对于所有我∈{1，…，m}，存在u*i> 0，使得gi（u*i） =0。从这个结果和性质F3可以看出，如果F（y，x）≤ 0，然后是y∈ C={y∈ Rm+| 0≤ 易≤ u*i对于每个i∈ {1，…，m}}。由于集合P（x）包含在闭单元C中，我们得出结论，P（x）是有界的。我们继续证明，如果F满足特性F2和F3，则T满足特性T6。设L（y）={x∈ Rn+| F（y，x）≤ 0}，假设y≥ v和x∈ 我们提供（y）。设置ε=| F（v，x）/2 |，其中F（v，x）<F（y，x）≤ 0按属性F3。由于F是连续的，因此存在δ>0，使得F（Bδ（v，x）∩ （Rm+×Rn+） Bε（F（v，x））。Letλ*= (1 - δ/（2kxk））如果δ/（2kxk）<1，且λ*= 否则为1/2。因此λ*∈ (0, 1), λ*x个*< x、 和（v，λ*x）∈ Bδ（v，x）∩ （Rm+×Rn+），这意味着F（v，λ*x） <0。因此，λ*x个∈ L（v）和x 6∈ 我们提供（v）。类似的论证表明，属性F2和F3意味着WE2。如第2.1节所述，如果生产可能性满足T1–T7属性，则存在三个联合生产函数和（Rm+×X）的子集∪ （Y×Rn+）upon，它们假定值0相等。我们的最终目标是证明，只要属性F1–F4成立，对称变换函数就是一个有效的联合生产函数。定理2.2.3。

如果对称变换函数F满足性质F1–F4，且生产可能性集由（2.2.2）定义，则F是有效的联合生产函数。证据首先，请注意X= 如果属性F1–F3保持不变。在定理2.1.11的证明中，我们需要证明{（y，x）∈ （Rm+×X）∪ （Y×X）| F（Y，X）=0}={（Y，X）∈ Y×X | X∈ 效果（y）}。性质F1和F3以及T的定义意味着{（y，x）∈ （Y×X）∪ （Y×X）∪ （Y×X）| F（Y，X）=0}=.Let（y，x）∈ Y×x，假设F（Y，x）=0。自x起∈ L（y）和，根据特性F3，如果x，F（y，x）>0≤ x、 下面是x∈ 效果（y）。为了证明相反，我们部分遵循了Bol和Moeschlin（1975，第398页）。假设thatx∈ F（y）和F（y，x）<0。考虑（0，1）中收敛到1的序列{λn}。然后λnx*< x代表所有n∈ N和序列{F（y，λnx）}通过F的连续性收敛到F（y，x）。因此，对于所有n（但不包括非常多的n），F（y，λnx）<0∈ N、 这与x相矛盾∈ 效果（y）。因此，每当x时，F（y，x）=0∈ 效果（y）。最后，我们注意到，可以使用相同的参数来验证Hanoch（1970，第423页）的断言，即T的有效子集由方程F（y，x）=0表示。特别是，设eff={（y，x）∈ T |（y，x）6∈ T如果(-y、 x）≤ (-y、 x）}。F¨are等人（1985年，第47页）表明，条件T4和T7*从第2.1节可以看出（y，x）∈ 有效且仅当x∈ F（y）和y∈ E eff P（x）表示所有（y，x）∈ 然而，当单调性条件T7时，这个结果仍然成立*已删除。然后从定理2.2.3得出，F（y，x）=0当且仅当（y，x）∈ 对所有人的影响（y，x）∈ Rm+×Rn+条件F1–F4.3方向技术距离函数3.1二次函数let（gy，gx）表示非零方向向量，其中gy∈ Rm+和gx∈ Rn+。

将Luenberger（1992a、1992b）的收益和短缺函数适应生产和效率测量环境，Chambers（1996）和Chambers等人（19961998）提供了以下定向技术距离函数的定义→DT:Rm+n+×（Rm+n+\\{（0，0）}）→ R∪ {-∞}.定义3.1.1（Chambers、Chung和F¨are，1998）。对于所有（y，x）∈ Rm+n+AND适用于所有人（gy、gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}，→DT（y，x；gy，gx）=sup{β∈ R |（y+βgy，x- βgx）∈ T}如果（y+βgy，x- βgx）∈ t对于某些β∈ R-∞ 否则Chambers（1996）和Chambers et al.（1996、1998）等建立了直接遵循其定义的定向技术距离函数的两个属性：平移属性（D1）和程度同质性-1在方向向量（D2）上。这一结果总结在提案3.1.2中。提案3.1.2。如果→dt是定向技术距离函数，然后→数据满足所有属性D1和D2（y、x）∈ Rm+n+和所有（gy、gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}：D1。→DT（y+αgy，x- αgx；gy、gx）=→DT（y，x；gy，gx）- α对于每个α∈ R满足（y+αgy，x- αgx）∈ Rm+n+；D2。→DT（y，x；ψgy，ψgx）=ψ-1.→DT（y，x；gy，gx），对于所有ψ>0。证据参见Luenberger（1992年a，第464页）、Chambers等人（1996年，第416页）和Hudginsand Primont（2007年，第40页）。等效地，如果函数不满足属性D1或属性D2，则它不是方向技术距离函数。接下来，我们证明了一个受限于满足平移性质的二次函数不是齐次的-1，因此它不是命题3.1.2中的DTDF。