重新审视转型和定向技术距离函数

由于这是包括DTDF在内的联立方程组的计量经济学估计中使用的唯一（据我们所知）函数形式，因此有必要搜索满足性质D1和D2的其他函数形式。Chambers（1996，第14-18页）和Hudgins and Primont（2007，第38-41页）考虑了输入和输出的排水功能sq（y，x）=α+nXi=1αixi+mXk=1βkyk+nXi=1nXj=1αijxixj+mXk=1mX`=1βk\'yky`+nXi=1mXk=1γikxiyk，并对其参数施加限制，这些参数包括方向向量，并确保输入、输出的结果函数，方向Q（y，x；gy，gx）满足变换特性D1。特别是，除了对称性限制之外，对于所有i，j，αij=αji∈ {1，…，n}和βk`=β\'k对于所有k，`∈ {1，…，m}，Chambers（1996，第14页）规定了以下翻译限制：∈ {1，…，n}，mXk=1γikgyk-nXj=1αijgxj=0；mXk=1βkgyk-nXi=1αigxi=-1.andmX`=1βk`gy`-对于所有k，nXi=1γikgxi=0∈ {1，…，m}。我们遵循Atkinson和Tsionas（2016，第303页）解决了参数αn=gxnmXk=1βkgyk的这些限制-n-1Xi=1αigxi+1！，αin=αni=gxnmXk=1γikgyk-n-1Xj=1αijgxj！就我而言∈ {1，…，n- 1} ，αnn=gxnmXk=1γnkgyk-n-1Xj=1mXk=1γjkgyk-n-1Xp=1αjpgxp！gxjgxn！，βkm=βmk=gymnXi=1γikgxi-m级-1X`=1βk`gy`！对于所有k∈ {1，…，m- 1} ，βmm=gymnXi=1γimgxi-m级-1X`=1nXi=1γi`gxi-m级-1Xr=1β\'rgyr！gy健身房！将它们合并到输入和输出的二次函数中，得到q（y，x；gy，gx）=α+n-1Xi=1αixi-gxigxnxn+mXk=1βkyk+gykgxnxn+xngxn+n-1Xi=1n-1Xj=i（i=j）αijxi-gxigxnxnxj公司-gxjgxnxn+m级-1Xk=1m-1X`=k（k=`）βk`yk公司-Gykgym公司y型`-gy\'Gym公司+nXi=1mXk=1γikxi+GXIGYMMyk+gykgxnxn-nXi=1mXk=1γikgxigykxngxn+ymgym.此函数不是齐次函数-1，因此不是方向技术距离函数。

由于不容易获得同时满足D1和D2属性的函数形式，我们在第3.2节中提出了另一种方法，即从对称变换函数导出方向距离函数，在第2.2.3.2节中讨论了从对称变换函数导出的DTDF考虑以下参数优化问题：（P）最大化β取决于-βgyj- yj公司≤ 0表示所有j∈ {1，…，m}，βgxi- xi≤ 0代表所有i∈ {1，…，n}，F（y+βgy，x- βgx）≤ 0,β ∈ R、 其中（y，x）∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}是参数，F是满足性质F1–F4的对称变换函数。根据定义3.1.1，对于每个（y，x）∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}，则（P）的最佳值等于与（2.2.2）定义的生产可能性集相关的定向技术距离函数的值。我们现在的目标是为每个（y，x）找到问题（P）的最佳值∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}。为此，我们接下来定义了对应关系I+、J+、Γ、S和∧，但为了简化符号，我们在整个讨论过程中，只要这些向量固定，就不再依赖于（y，x）和/或（gy，gx）的图像集。固定（y，x）∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}，设I+={I∈ {1，…，n}| gxi>0}和J+={J∈ {1，…，m}| gyj>0}。当我们丢弃冗余约束时，（P）的最优值变成（3.2.1）sup{β∈ 【supj∈J+{-yj/gyj}，infi∈I+{xi/gxi}]\\{-∞, +∞} | F（y+βgy，x- βgx）≤ 0}.在这里，我们遵循惯例 = -∞ 和inf = +∞.设Γ表示集合[supj∈J+{-yj/gyj}，infi∈I+{xi/gxi}]\\{-∞, +∞} 并考虑函数f[S]：Γ→ R由F[S]（β）=F（y+βgy，x）给出- βgx）适用于所有β∈ Γ. 函数F[S]是F对线段或射线S={（y，x）+β（gy）的限制，-gx）|β∈ Γ}，包含在Rm+n+中。

性质F2–F4意味着F[S]是一个连续的、严格递增的凸函数，因此它有一个左逆。也就是说，存在一个函数g:R→ Γ使GSo F[S]=IdΓ，其中IdΓ：Γ→ Γ是Γ上的标识函数。同样，设∧={β∈ ΓF[S]（β）≤ 0}. 有三种情况需要考虑。首先，如果∧=,然后，对于所有β，F[S]（β）>0∈ Γ且无输出–在穿过点（y，x）的射线或线段上，在方向（gy，-gx）是可行的。否则∧6=和∧=Γ或∧ Γ. 接下来显示，如果集合∧和Γ相等，则集合Γ必须在上方有界，而如果∧是Γ的适当子集，则sup∧=GS（0）。引理3.2.2。让变换函数F满足性质F1–F4。如果∧=Γ，则SUP∧=mini∈I+{xi/gxi}。证据假设F[S]（β）≤ 0表示所有β∈ Γ和gx=0。由此得出F（y+βgy，x）≤ 0表示所有β∈ [最大值∈J+{-yj/gyj}，∞), 这意味着P（x）是无界的。然而，这与条件T5相矛盾。因此，每当∧=Γ时，gx6=0，因此sup∧=mini∈I+{xi/gxi}。引理3.2.3。让变换函数F满足性质F1–F4。如果∧6= 和∧ Γ，则sup∧=GS（0）。证据假设∧是Γ的非空真子集。然后存在β，β∈ Γ使得F[S]（β）≤ 0和F[S]（β）>0。Γ的连通性和F[S]的连续性意味着F[S]的范围是连通的，因此0∈ ran F[S]；即存在β*∈ Γ使得F[S]（β*) = 同样，假设sup∧6=GS（0）。因为GS（0）=GS（F[S]（β*)) =[GSo F[S]]（β*) = IdΓ（β*) = β*, 因此β*< sup∧。因此，存在￠β∈ ∧如∧β>β*, 这与F[S]严格递增相矛盾。因此，每当∧6= 和∧ Γ. 我们在定理3.2.4中总结了这些结果。定理3.2.4。让变换函数F满足性质F1–F4。

固定（y，x）∈Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}和let→DF（y，x；gy，gx）表示参数优化问题（P）的最优值。然后（3.2.5）→DF（y，x；gy，gx）=GS（0）如果∧6= 和∧ Γ;迷你∈I+{xi/gxi}如果∧6= 和∧=Γ；-∞ 如果∧=.证据定理3.2.4源自引理3.2.2和3.2.3以及上述讨论。要获得上述结果背后的一些直觉，请考虑定向技术距离函数→DF由（3.2.5）给出，其中下标表示其对非对称变换函数F的依赖性。正如Chambers等人（1998年，第354页）所讨论的，对于可行的输出-输入束（y，x），DTDF返回从（y，x）到其投影到（2.2.2）定义的生产可能性集边界上的距离（gy，-gx），如果方向向量的范数等于单位。然而，（y，x）在T边界上的投影可能在T的有效子集内，也可能不在T的有效子集内。如果投影属于eff，则变换函数约束tf（y+βgy，x-βgx）≤ 0 in（P）在最佳β下饱和*, i、 e.，F（y+β*gy，x-β*gx）=0。这源自定理2.2.3和引理3.2.3。如果投影不属于束流，则光线或线段S不与束流相交，并且（y，x）投影到Rm+n+边界的子集，该子集包含一个或多个（但不是全部）零分量的输入向量。图3显示了gy=0时的这两种情况。另外，请注意→DF（y，x；gy，gx）=0并不意味着（y，x）∈ 效果。x1x200L（y）x-gx（1）-gx（2）x（1）x（2）x（1）=x- β1*· gx（1）x（2）=x- β2*· gx（2）F（y，x（1））=0F（y，x（2））<0图3：（y，x）在（0，-g（2）x）不属于效力。

在这种情况下，β*=→DF（y，x；0，g（2）x）=最小值xi/g（2）xi | i∈ 我+g（2）x.的某些属性→DF，类似于Chambers（1996）和Chambers etal所述。（1996年、1998年），总结在定理3.2.6中。定理3.2.6。设变换函数F满足性质F1–F4和方向技术距离函数→DFbe由（3.2.5）给出。然后→DFSATIES属性1–D6（y、x）∈ Rm+n+和所有（gy、gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}：D1。→DF（y+αgy，x- αgx；gy、gx）=→DF（y，x；gy，gx）- α对于每个α∈ R满足（y+αgy，x- αgx）∈ Rm+n+；D2。→DF（y，x；ψgy，ψgx）=ψ-1.→DF（y，x；gy，gx），对于所有ψ>0；D3。→DF（0，0；gy，gx）=0；D4。→DF（y，x；gy，gx）≥ 0当且仅当F（y，x）≤ 0;D5。→DFis不减少输入，即。，→DF（y，x；gy，gx）≥→如果x，则为DF（y，x；gy，gx）≥ x、 和输出不增加，即如果y≤ y和→DF（y，x；gy，gx）>-∞, 然后→DF（y，x；gy，gx）≥→DF（y，x；gy，gx）；D6。→DFI是（y，x）的真凹函数。证据属性D1和D2源自（3.2.1）和命题3.1.2，属性D3源自F1和F3，而属性D6源自F1-F4。接下来，我们展示→当满足属性F2和F3时，DFsatis表示属性D4。Chambers等人（1998年，第354-355页）证明了D4的一般版本。固定（y，x）∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}。首先，假设F（y，x）≤ 0.自0∈ Γ和F[S]（0）≤ 0，即0≤ sup∧=→DF（y，x；gy，gx）。相反，假设→DF（y，x；gy，gx）≥ 那么集合∧是非空的，且∧=Γ或∧ Γ. 如果集合∧和Γ相等，则F[S]（β）≤ 0表示所有β∈ Γ，因此F[S]（0）≤ 如果∧是Γ的真子集，那么GS（0）≥ 引理3.2.3中的0。在这种情况下，0∈ ran F【S】，因此GS（0）=β*表示F[S]（β*) = 从这个结果和严格单调性ofF[S]，可以得出F[S]（0）≤ 0、还有待证明→Dfsaties属性D5。

由于∧（y，x；gy，gx），DTDF的输入不会减少 ∧（y，x；gy，gx）如果x≥ x、 只要财产F3成立。接下来，假设≤ y和→DF（y，x；gy，gx）>-∞. 我们只证明了∧（y，x；gy，gx）是Γ（y，x；gy，gx）的另一个适当子集的情况。Letβ*=→DF（y，x；gy，gx），首先假设β*∈ Γ（y，x；gy，gx）。性质F3表示F（y+β*gy，x- β*gx）<0，因此β*≤ sup∧（y，x；gy，gx）。接下来，假设β*6.∈ Γ（y，x；gy，gx）。然后是β*< 最大值{-yj/gyj | j∈ J+（gy）}≤ β ≤ 每个β的sup∧（y，x；gy，gx）∈ ∧（y，x；gy，gx），假设为非空。最后，从属性D4可以看出，对于所有（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}，集合{（y，x）∈ Rm+n+|→DF（y，x；gy，gx）≥ 0}和{（y，x）∈ Rm+n+| F（y，x）≤ 0}相等，并且它们都满足定理2.2.1中的性质T1–T7。为了便于解释，我们在本节末尾给出了一个示例，说明如何从满足特性F1–F4的对称变换函数显式导出directionaltechnology距离函数。示例3.2.7。考虑变换函数F，输入和输出可分离，由F（y，x）=q（y）给出- f（x），其中q:Rm+→ R是一个二次输出函数，由q（y）=Pmk=1βkyk+Pmk=1Pm`=1βk\'yky\'，对于所有k，`∈ {1，…，m}，和f:Rn+→ R是由f（x）=Pni=1αixi定义的线性输入函数。设b表示具有第k个分量β的rm中的向量，a表示具有第i个分量αi的rn中的向量。此外，设b表示m×m对称矩阵βk`并将Rnor的元素写入列向量形式。ThenF（y，x）=bTy+yTBy- aTx，B=BT。如果其参数满足以下约束条件：B>0，a>0，且B是非负半限定矩阵和正半限定矩阵，则F满足性质F3和F4。例如，见Lau（1972，p。

284），霍尔（1973），钱伯斯和法雷（1993），讨论可分离性。固定（y，x）∈ Rm+n+和（gy，gx）∈ Rm+n+\\{（0，0）}。F对线段或射线S的限制由F[S]（β）=β（gTyBgy）+β（bTgy+yTBgy+aTgx）+（bTy+yTBy）给出- aTx），其中常数项等于F（y，x），如果gTyBgy=0，则二次项消失。定向技术距离函数→DFI由（3.2.5）给出，其中GS（0）=[gTyBgy]-1[-（bTgy+yTBgy+aTgx）+（（bTgy+yTBgy+aTgx）-2（gTyBgy）F（y，x））1/2]如果gTyBgy>0，并且GS（0）=-F（y，x）/（bTgy+aTgx），如果gTyBgy=0，则满足定理3.2.6中的性质d1–D6。图4说明了当b=（1，1），a=（1，1），b=diag（1，1），y=（0.5，0.5），x=（1，1），gy=（0.5，0.5）和gx=（0，0）时的情况。xy型-2.-1 1 2-2.-1 1 2β*F[S]y1y20 10 1P（1，1）ygyy+β*· gyFigure 4:F[S]严格递增且凸于[-1.∞) 并假设β处的值为零*≈ 0.464.本节中建议的方法有一定的局限性。文献中讨论了输入、输出和不可分离变换函数的许多函数形式，并使用了各种方法来确保这些函数满足适当的单调性和凹凸性条件；例如，见Diewert（1973、1974）、Hasenkamp（1976）、Lau（1978）、Diewert and Wales（1987）和Kumbhakar（2011）。然而，对于大多数这些函数形式，F[S]的零点不能用闭合形式表示，因此必须采用数值逼近技术。需要进一步研究，以确定这在包括定向技术距离函数在内的联立方程组的计量经济学估计中是否可行。附录为方便起见，我们在此重复F¨are等人（1985，p。

28）和F¨areet al.（1994年，第39-40页）。定义1。输入集的等数量定义为asIsoq L（y）={x∈ L（y）|λx 6∈ L（y）如果λ∈ [0，1）}如果y∈ Y、 和Isoq L（0）={0}。定义2。输入集的弱有效子集定义为we ffl（y）={x∈ L（y）| x6∈ L（y）如果x*< x} 如果y∈ Y、 我们f f（0）={0}。定义3。输入集的有效子集定义为eff L（y）={x∈ L（y）| x6∈ L（y）如果x≤ x} 如果y∈ Y、 和eff L（0）={0}。定义4。输出集的等数量定义为asIsoq P（x）={y∈ P（x）|θy 6∈ P（x）如果θ>1}如果x∈ 十、 如果X，则Isoq P（X）={0}∈ 十、∪ 十、 定义5。输出集的弱有效子集定义为we ffp（x）={y∈ P（x）| y6∈ P（x）如果y*> y} 如果x∈ 十、 如果X，我们f P（X）={0}∈ 十、∪ 十、 定义6。输出集的有效子集定义为eff P（x）={y∈ P（x）| y6∈ P（x）如果y≥ y} 如果x∈ 十、 如果X，则E ffp（X）={0}∈ 十、∪ 十、 2017年春，在宾厄姆顿纽约州立大学进行研究期间，Spart对这项工作表示感谢。我非常感谢Subal C.Kumbhakar进行了许多富有洞察力的讨论。我也衷心感谢奥列格·巴登科、卡尔莫斯勒、斯文·奥托、安德烈·雷吉塔和多米尼克·维德提出的宝贵意见和建议。这项研究得到了科隆大学科隆管理、经济和社会科学研究生院博士奖学金的部分支持。参考文献Ayat，R.，&F¨are，R.（1979）。关于联合生产函数的存在性。NavalResearch物流季刊，26（4），627–630。Atkinson，S.E.，&Tsionas，M.G.（2016）。方向距离函数：最佳内生方向。《计量经济学杂志》，190（2），301–314。Baumg–artner，S.（2000年）。矛盾的联合生产与自然环境：经济学和热力学分析。德国海德堡：Physica Verlag。Bol，G.，&Moeschlin，O.（1975）。

连续生产对应的等数量。《海军研究后勤季刊》，22（2），391–398。Chambers，R.G.（1996年）。对精确投入、产出、生产率和技术变化测量的新认识（第96-05号工作文件）。马里兰大学帕克学院，MD.Chambers，R.G.，Chung，Y.，&F¨are，R.（1996）。收益和距离函数。《经济理论杂志》，70（2），407–419。Chambers，R.G.，Chung，Y.，&F¨are，R.（1998）。性能、方向距离函数和Nerlovian效率。优化理论与应用杂志，98（2），351–364。Chambers，R.G.，&F¨are，R.（1993）。生产模型中的投入产出可分性及其结构后果。《经济学杂志》，57（2），197-202。Diewert，W.E.（1973年）。职能部门和转换职能部门的职能形式。《经济理论杂志》，6（3），284-316。Diewert，W.E.（1974）。收入和要素要求功能的功能表。《国际经济评论》，15（1），119–130。Diewert，W.E.，&Wales，T.J.（1987）。灵活的函数形式和全局曲率条件。《计量经济学》，55（1），43–68。Frisch，R.（1965年）。生产理论。荷兰多德雷赫特：D.雷德尔出版公司。F¨are，R.（1983年）。关于严格单调生产对应。在W.Eichhorn、R.Henn、K.Neumann和R.W.Shephard（编辑）的《产量和价格的定量研究》（第11-18页）。德国沃尔茨堡：Physica Verlag。F¨are，R.（1986年）。关于三个联合生产函数的存在性和等价性。《斯堪的纳维亚经济杂志》，88（4），669-674。F¨are，R.、Grosskopf，S.、Lovell，C.A.K.（1985）。对生产效率的衡量。马萨诸塞州波士顿：Kluwer Nijho Off出版社。F¨are，R.、Grosskopf，S.、Lovell，C.A.K.（1994）。生产前沿。英国剑桥：剑桥大学出版社。霍尔，R.E.（1973）。具有多种输出的技术规格。

《政治经济学杂志》，81（4），878–892。Hanoch，G.（1970年）。联合生产中的同质性。《经济理论杂志》，2（4），423-426。Hasenkamp，G.（1976年）。多输出生产函数的规格和估计。德国柏林：斯普林格·维拉格。哈金斯，L.B.，和普里蒙特，D.（2007）。方向技术距离函数的导数性质。R.F¨are、S.Grosskopf和D.Primont（编辑），《聚合、效率和测量》（第31-43页）。纽约州纽约市：施普林格科学+商业媒体。Jorgenson，D.W.，&Lau，L.J.（1974）。技术和经济行为的双重性。《经济研究评论》，41（2），181–200。Kumbhakar，S.C.（2011年）。多输出生产函数的估计（工作纸）。纽约州立大学，宾厄姆顿，纽约。Lau，L.J.（1972）。具有多种输入和输出的技术的专业功能。《经济学与统计评论》，54（3），281–289。Lau，L.J.（1978）。测试并施加单调性、凸性和准凸性约束。M.Fuss和D.McFadden（编辑），《生产经济学：理论和应用的双重途径》（第1卷，第409-453页）。荷兰阿姆斯特丹：北荷兰出版公司。Lloyd，P.J.（1983年）。为什么企业生产多种产品？《经济行为与组织杂志》，4（1），41–51。Luenberger，D.G.（1992年a）。福利函数和二元性。《数理经济学杂志》，21（5），461-481。Luenberger，D.G.（1992年b）。经济效率和均衡的新优化原则。优化理论与应用杂志，75（2），221–264。Lynne，G.D.（1974年）。水资源开发中的多目标规划程序：权衡比（博士论文，俄勒冈州州立大学，科瓦利斯，OR）。检索自https://ir.library.oregonstate.edu/downloads/0z7090359.Malikov，E.，Kumbhakar，S.C.，&Tsionas，M.G.（2016）。