重新审视转型和定向技术距离函数

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英文标题：
《Revisiting Transformation and Directional Technology Distance Functions》
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作者：
Yaryna Kolomiytseva
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the first part of the paper, we prove the equivalence of the unsymmetric transformation function and an efficient joint production function (JPF) under strong monotonicity conditions imposed on input and output correspondences. Monotonicity, continuity, and convexity properties sufficient for a symmetric transformation function to be an efficient JPF are also stated. In the second part, we show that the most frequently used functional form for the directional technology distance function (DTDF), the quadratic, does not satisfy homogeneity of degree $-1$ in the direction vector. This implies that the quadratic function is not the directional technology distance function. We provide derivation of the DTDF from a symmetric transformation function and show how this approach can be used to obtain functional forms that satisfy both translation property and homogeneity of degree $-1$ in the direction vector if the optimal solution of an underlying optimization problem can be expressed in closed form.
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中文摘要：
在本文的第一部分中，我们证明了在强单调条件下，非对称变换函数与有效联合生产函数（JPF）的等价性。还说明了对称变换函数是有效JPF的单调性、连续性和凸性。在第二部分中，我们证明了方向技术距离函数（DTDF）最常用的函数形式，即二次函数，在方向向量中不满足度$-1$的齐次性。这意味着二次函数不是方向技术距离函数。我们提供了从对称变换函数推导DTDF的方法，并展示了如果基础优化问题的最优解可以用闭合形式表示，那么如何使用这种方法来获得同时满足平移性质和方向向量上阶数$-1$齐性的函数形式。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：Quantitative Optimization Contribution Directional Homogeneity

重新审视转型和定向技术距离功能Aryna Kolomiytsevaculty of Management，Economics and Social Sciences科隆大学阿尔伯塔斯马格纳斯广场（Albertus Magnus Platz），德国科隆50923电子邮件：kolomiytseva@wiso.uni-科恩。2018年12月24日摘要在本文的第一部分中，我们证明了在强单调条件下，非对称变换函数和有效联合生产函数（JPF）在输入和输出对应关系上的等价性。还说明了对称变换函数作为有效JPF的单调性、连续性和凸性性质。在第二部分中，我们证明了定向技术距离函数（DTDF）最常用的函数形式——二次函数不满足度的齐次性-方向向量为1。这意味着二次函数不是方向技术距离函数。我们提供了从对称变换函数推导DTDF的方法，并展示了如何使用这种方法来获得既满足变换特性又满足度均匀性的函数形式-1在方向向量中，如果基础优化问题的最优解可以用闭合形式表示。关键词：变换函数点生产函数方向距离函数二次均匀性JEL分类：C61rD241简介变换和方向距离函数常用于表示多输出生产技术。为了定义不同类型的变换函数（即对称函数和非对称函数）和联合生产函数（即等量函数、弱有效函数和有效函数）并确定其性质，已经做了大量的理论工作。Samuelson（1966）、Diewert（1973）和Jorgenson and Lau（1974）利用了不对称变换函数的定义。

这一定义需要在给定输入和剩余输出的一个因子的情况下，选择一个输出，并对其进行最大化（Diewert，1973，第286页）。Shephard（1970）、Bol和Moeschlin（1975）、Al Ayat和F¨are（1979）以及F¨are等人（1985）研究了等量联合生产函数（JPF）的概念，并研究了其存在的条件。此函数假定无论何时存在此函数，属于生产可能性集的等数量的输出-输入捆绑包的值为零；见第2.1节和F¨are等人（1985年，第46-47页）。由F¨are（1983，1986）定义的弱生产函数和联合生产函数分别具有与生产可能性集的弱生产函数和有效生产函数子集相同的性质。对称变换和联合生产函数的概念有时在文献中互换使用；例如，见Lau（1972，第281页）orF¨are等人（1985，第38页）。此外，与有效联合生产函数类似，通常假设不对称变换函数跟踪满足有界性、凸性、封闭性和强可处置性条件的生产可能性集的有效子集；见Diewert（1973年，第286页）。然而，没有关于这种等效性的理论结果。因此，有必要证明这一性质，可能是在对生产可能性集施加更强的条件下，或是在其他条件下证明不对称变换和有效联合生产函数在这些条件下的非等价性。

这是本文第一部分的主要目的。特别是，在第2.1节中，我们增加了Diewert（1973）设定的生产可能性条件，即输出的弱可达到性（Shephard，1970）和输入和输出对应的弱有效和有效严格单调性（F¨are，1983；F¨are et al.，1985），并按照增加限制性的顺序检查，三个联合生产函数的存在性以及不对称变换函数和每个JPF的等价性。我们还陈述了我们的主要结果，断言在输入和输出对应的弱严格单调性下，不对称变换函数和有效JPF是等价的，前提是从技术上讲，每个输入束可以产生所有输出的正数量，从而使生产可行。此外，我们还讨论了两种类型的生产接头和组合以及它们与这些条件的兼容性。在第2.2节中，我们假设，与Hanoch（1970）和Lau（1972）类似，对称变换函数的输入严格减少，输出严格增加，连续且凸，并建立了由该函数导出的生产可能性集的性质。我们还证明了当这些单调性、连续性和凸性性质成立时，对称变换函数是一个有效的联合生产函数。自Chambers等人（1996、1998）引入方向距离函数以来，方向距离函数在文献中也受到了相当大的关注，它借鉴了Luenberger（1992a、1992b）的优缺点函数。

最近，一些研究涉及联立方程组的计量经济学估计，包括定向技术距离函数（DTDF）和成本最小化或利润最大化的一阶条件；例如，参见Atkinson和Tsionas（2016）以及Malikov等人（2016）。在这些研究中，TDF最常用的函数形式是二次函数，它被限制为满足平移特性。在第3.1节中，我们证明了二次函数不满足度的齐性-1，这意味着该函数实际上不是方向技术距离函数。因为功能形式既满足翻译性又满足程度的同质性-1在方向向量不易获得的情况下，在第3.2节中，我们提供了方向技术距离函数的推导，该函数来自满足第2.2节中分析的特性的对称变换函数。我们用一个例子来总结，在这个例子中，变换函数在输入和输出中是可分离的，具有二次输出和线性输入函数。然而，所提出的方法有一定的局限性，这妨碍了对转换函数使用这些函数形式，对于转换函数，基础优化问题的最优解不能用封闭形式表示。我们对向量不等式使用以下符号：x=y当且仅当xi≥ yifor all我；x个≥ y当且仅当x=y且x 6=y；x个*> y当且仅当所有i的xi>yi或xi=yi=0；x>y当且仅当所有i的xi>yi。此外，R+={u∈ R |u≥ 0}，Rm+={y∈ Rm | y=0}，Rm+n+=Rm+×Rn+。适当的包含由符号表示.2转换函数2.1不对称转换函数let（y，x）表示非负输出-输入束，其中y∈ Rm+和x∈ Rn+。Wefollow Diewert（1973，p。

286）假设生产可能性设定了满足条件T1–T5:T1。T是Rm+×Rn+的非空子集；特别是，（0，0）∈ TT2、T闭合；T是凸的；T4.如果（y，x）∈ T和(-y、 x）=(-y、 x），然后（y，x）∈ TT5.P（x）对所有x有界≥ 0.此处对条件T1进行了轻微修改，以考虑不动作的可能性。在条件T5中，输出对应关系P:Rn+→ 2Rm+由P（x）={y给出∈ Rm+|（y，x）∈ T}。Diewert（1973，第287页）在生产可能性集上施加条件T1–T5，定义了不对称转换函数t:Rm-1+×Rn+→ R+∪ {-∞} 以以下方式。定义2.1.1（Diewert，1973）。对于所有人（y-i、 x）∈ Rm-1+×Rn+，t（y）-i、 x）=最大{vi∈ R+|（y，…，vi，…，ym）∈ P（x）}如果（y，…，vi，…，ym）∈ P（x）对于某些vi∈ R+；-∞ 否则，其中y-i=（y，…，yi）-1，yi+1，ym）和我∈ {1，…，m}。调整Shephard（1970，第213页）、F¨are（1986，第672页）给出的等数量联合生产函数的定义，此外，弱联合生产函数和高效联合生产函数定义如下。定义2.1.2（法雷，1986）。A函数I:Rm+×Rn+→ R使得（i）。对于所有x≥ 0，其中P（x）6={0}，Isoq/WE off/E off P（x）={y∈ Rm+| I（y，x）=0}；（二）。对于所有y≥ 0，L（y）6=, Isoq/WE OFF/E OFF L（y）={x∈ Rn+| I（y，x）=0}被称为等量/弱有效/有效联合生产函数。附录中给出了输入或输出集的等量、弱效率和有效子集的定义。假设存在x∈ Rn+，使得P（x）={0}和y∈ Rm+使得L（y）=. 定义={x∈ Rn+| x≥ 0和P（x）6={0}}，x={x∈ Rn+| x≥ 0和P（x）={0}}，x={0}，Y={Y∈ Rm+| y≥ 0和L（y）6=},Y={Y∈ Rm+| y≥ 0和L（y）=},Y={0}。那么{X，X，X}是Rn+的一个分区，{Y，Y，Y}是Rm+的一个分区。Bol和Moeschlin（1975年，p。

395）证明等量JPF存在的充要条件是，对于所有（y，x）∈Y×X，我们有X∈ Isoq L（y）当且仅当y∈ Isoq P（x）。这里，L:Rm+→ 2Rn+是输入对应关系，是P的倒数，由L（y）={x给出∈ Rn+|（y，x）∈ T}。此外，假设存在一个等数量联合生产函数。然后{（y，x）∈ Y×X | X∈ Isoq L（y）和y∈ Isoq P（x）}={（y，x）∈ Y×X | X∈ Isoq L（y）}={（y，x）∈ Y×X | Y∈ Isoq P（x）}，函数I:Rm+×Rn+→ R是等量联合生产函数当且仅当（2.1.3）{（y，x）∈ （Rm+×X）∪ （Y×Rn+）| I（Y，x）=0}={（Y，x）∈ Y×X | X∈ Isoq L（y）和y∈ Isoq P（x）}。我们将在本节中广泛使用这些结果。isoquant JPF的值是无限制的，也就是说，如果（y，x），它可以或不可以假定值为零∈ （Y）∪Y） ×（X）∪十） 。等量JPFWe的存在现在表明，施加在生产可能性集上的条件T1–T5不足以存在等量JPF。设P（x）={y∈ R+| y≤ h（x）}表示所有x∈ R+，其中函数h:R+→ R+由h（x）给出=x如果x∈ [0，1）；如果x为1∈ [1, ∞).在这种情况下，P满足条件T1–T5；但是，1∈ Isoq P（2）和2 6∈Isoq L（1）。因此，不存在等数量联合生产函数。此外，考虑条件T6*, 谢泼德（Shephard，1970，第185页）指出，产出的可实现性较弱：T6*. 如果x≥ 0，y≥ 0和y∈ P（λx）对于某些λ>0，则对于每个θ>0，存在λθ>0，使得θy∈ P（λθx）。提案2.1.4。如果生产可能性设置满足条件T1–T5和T6*, 则存在一个等数量联合生产函数。这个例子改编自F¨are等人（1985年，第31-32页）。证据首先，继Bol和Moeschlin（1975，第397页）之后，我们展示了y∈ Isoq P（x）表示x∈ Isoq L（y）表示所有（y，x）∈ Y×X.相反，假设存在（Y，X）∈ Y×X如此∈ Isoq P（x）和x 6∈ Isoq L（y）。

然后λx∈ L（y）对于某些λ<1。固定θ>1。由于输出的弱可达性，存在λθ>0，使得θy∈ P（λθx）。此外，λθ>1，因为y∈ Isoq P（x）和θ>1意味着θy 6∈ P（x），因此λθx 6∈ L（θy）如果λθ≤ 1、输入的可处置性强。因为T是凸的，（（τ+（1- τ） θ）y，（τλ+（1- τ） λθ）x）∈ T表示所有τ∈ [0, 1]. 此外，还存在bτ∈ （0，1）使得bτλ+（1- bτ）λθ=1。因此，（bθy，x）∈ T表示bθ=bτ+（1- bτ）θ>1，因此y 6∈ Isoq P（x），这导致了一个矛盾。相反，假设x∈ Isoq L（y）和y 6∈ Isoq P（x）。然后存在θ>1这样的θy∈ P（x）。通过T的凸性和不动作的可能性，（τθy，τx）∈ T表示所有τ∈ [0, 1]. 设置τ=1/θ会产生矛盾。因此，当生产可能性集满足条件T1–T5和T6时，存在等数量JPF*. 非对称变换函数与弱有效JPFIn的等价性在这一小节中，我们考虑了对称表示Fi:Rm+×Rn+→ R∪ {∞}由Fi（y，x）=yi给出的非对称变换函数t的- t（y-i、 x）对于alli∈ {1，…，m}并检查非对称变换函数在条件T1–T5和T6下是否等价于等量联合生产函数I*.有点滥用术语，我们说如果（2.1.5）{（y，x），函数t和I是等价的∈ （Rm+×X）∪ （Y×Rn+）| I（Y，x）=0}={（Y，x）∈ （Rm+×X）∪ （Y×Rn+）| Fi（Y，x）=0}对于每个i∈ {1，…，m}。因此，如果t和I的对称表示假设值为零的子项相等，则非对称变换函数和JPF是等效的，而不考虑定义2.1.1中执行最大化的输出。从（2.1.3）可以看出，当且仅当fi是所有I的联合生产函数时，函数t和I是等价的∈ {1, . . .

，m}。事实上，前提是条件T1–T5和T6*等等，从现在开始，没有必要分别考虑等量和弱效率JPF。F¨are等人（1994年，第40-41页）证明，对于所有x，Isoq P（x）=WE ff P（x）∈ X和Isoq L（y）=所有y的有效值（y）∈ Y任何时候的输入和输出都是一次性的。但是，如果条件ST1–T5和T6*对所有x的WE ffp（x）=E ffp（x）不足够∈ 十、 对于某些（y，X），可能会出现Fi（y，X）6=0∈ Y×X带Y∈ 我们有P（x），当我被任意选择时。以下示例演示了条件T1–T5和T6*强加在生产可能性集上并不意味着输出集的弱有效子集和有效子集相等。示例2.1.6。对于所有x∈ R+，设P（x）={y∈ R+| y≤ x和y+y≤ 2x}对于所有x>0的x，we ffp（x）6=E ffp（x）；见图1。其逆对应关系由l（y）={x给出∈ R+| x≥ max{y，（y+y）}}及其等量byIsoq P（x）={y∈ R+| 0≤ y≤ x和y=x}∪{y∈ R+| 0≤ y≤ x和y=2x-y} 和Isoq L（y）={max{y，（y+y）}}。自x起∈ Isoq L（y）当且仅当y∈ Isoq P（x）表示所有（y，x）∈ Y×X，存在一个等数量联合生产函数。y1y20 2 4 6 8 100 2 4 6P（2）P（4）图1：P（x）={y∈ R+| y≤ x和y+y≤ 2x}适用于所有x∈ R+。对于输出对应关系P，很容易看出条件T4–T5和T6*暂停，继续演示T2和T3。Shephard（1970，p.300）指出，T是凸的，且仅当τp（x）+（1- τ） P（z） P（τx+（1- τ） z）对于所有x，z∈ R+和所有τ∈ [0, 1].如果y∈ P（x）和w∈ P（z），然后y≤ x、 y+y≤ 2x和w≤ z、 w+w≤ 2z，意味着τy+（1- τ） w≤ τx+（1- τ） z和τ（y+y）+（1- τ） （w+w）≤ 2（τx+（1- τ） z）。因此，τy+（1- τ） w∈ P（τx+（1- τ）z），且P的图是凸的。最后，我们证明了P是闭值上半连续的；随后出现条件T2。

集合P（x）对于所有x都是闭合的∈ R+，因为它是有限个闭半空间的交点。为了证明P是上半连续的，考虑任意序列{xn}收敛到某个x∈ R+和{yn}使得yn∈ P（xn）表示所有n∈ N、 由于{xn}是有界的，序列{yn}也是有界的，因此，包含一个子序列{ynk}，该子序列收敛到某个y∈ R+。让yinkdenote表示向量ynk的第i个分量。因此y=lim ynk≤ lim xnk=x和y+y=limynk+ynk≤ lim 2xnk=2x，因此，y∈ P（x）。引理2.1.7。让生产可能性设置满足条件T1–T5和T6*. 如果某些x的F f P（x）6=E f P（x）∈ 十、 那么，对于某些i∈ {1，…，m}。证据假设存在x∈ x这样，我们ffp（x）6=E ffp（x），并在WE ffp（x）\\E ffp（x）中选择y。自y 6起∈ eff P（x），存在v∈ P（x）使得对于至少一个i和vj，vi>yi≥ yjif j 6=i。设Dv={u∈ Rm+| u 5 v}。通过输出的强可处置性，Dv P（x）和Dv3'u，使得'ui=viand'uj=yjif j 6=i。它遵循t（y-i、 x）≥ \'ui>yi，表示Fi（y，x）<0。因此，我们得出结论，我们提供了P（x）6 {y∈ 对于这个i，Rm+| Fi（y，x）=0}。总之，即使条件T1–T5和T6*如果表示存在等量和弱联合生产函数，则它们不能保证，对于任意选择的i，如果其边界的弱子集和弱子集不相等，则非对称变换函数将跟踪输出集的整个弱子集。有效JPFIn在上一小节中，我们确定了条件T1–T5和T6*不适用于不对称变换函数t和弱有效JPF的等价性。然而，它们是否能满足t和有效JPFstill的等效性仍然没有答案。