具有潜在多个控制的半参数差分

同样，设γ=（1，1/2，1/3，1/4，1/5，0，…，0）∈ Rp和D由属性得分p（D=1 | X）=1+经验生成(-Xγ）（逻辑）。在t=0时，潜在结果生成Yi（0）=1+ε，在t=1时，Yi（1）=Yi（0）+1+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，其中β=γ+0.5和θ=3，所有误差项均遵循N（0，0.1）。定义Yi（0）=Yi（0）和Yi（1）=Yi（1）（1-Di）+Yi（1）Di。让t遵循参数为0.5的伯努利分布。研究人员观察{Yi，Ti，Di，Xi}i=1。。。，N、 式中，Yi=Yi（0）+Ti（Yi（1）- Yi（0））。图9-12显示了结果。4.2.2核估计集N∈ {200500}为样本量，Di~ 伯努利（0.5），Xi | Di~ N（Di，1）。在t=0时，潜在结果是生成的Yi（0）=ε，在t=1时，Yi（1）=Yi（0）+Xi+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，其中θ=3，所有误差项遵循N（0，0.1）。设Yi（0）=Yi（0），Yi（1）=Yi（1）（1-Di）+Yi（1）Di。让Ti~ 伯努利（0.5）。研究人员观察{Yi，Ti，Di，Xi}i=1。。。，N、 式中，Yi=Yi（0）+Ti（Yi（1）- Yi（0））。图13-14显示了结果。4.3多水平治疗4.3.1 ML估计提供两个水平的治疗，以便∈ {0, 1, 2}. 让N∈ {200500}为样本大小和p∈ {100，300}控制变量的维数，Xi~ N（0，Ip×p）。同样，设γ=（1，1/2，1/3，1/4，1/5，0，…，0）∈ Rpand（P（W=0），P（W=1），P（W=2））=（0.3，0.3，0.4）在t=0时，潜在结果生成Yi（0）=Xβ+ε，在t=1时，Yi（1）=Yi（0）+1+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，其中β=γ+0.5，θ=3，θ=6，所有误差项均遵循N（0，0.1）。研究人员观察{Yi（0），Yi（1），Wi，Xi}，因为i=1。。。，N、 其中，Yi（0）=Yi（0），Yi（1）=Yi（1）I（Wi=0）+Yi（1）I（Wi=1）+Yi（1）I（Wi=2）。我重点讨论了二级ATTθ的估计。图15-18显示了结果4.3.2核估计结果。假设有两种处理水平，因此∈ {0, 1, 2}.

设N为样本量，Xi | Wi~ N（Wi，1），和P（Wi=0）=P（Wi=1）=P（Wi=2）=。在t=0时，潜在结果生成Yi（0）=ε，在t=1时，Yi（1）=Yi（0）+Xi+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，Yi（1）=θ+Yi（1）+ε，其中θ=3，θ=6，所有误差项均遵循N（0，0.1）。设Yi（0）=Yi（0），Yi（1）=Yi（1）I（Wi=0）+Yi（1）I（Wi=1）+Yi（1）I（Wi=2）。研究人员观察{Yi（0），Yi（1），Wi，Xi}，因为i=1。。。，N、 我重点讨论了第二级ATTθ的估计。图19-20显示了结果。5实证例子在这个例子中，我使用Sequeira（2016）收集的南非和莫桑比克之间的贿赂支付数据，分析了减少塔里费对腐败行为的影响。对于较高的关税税率是否会增加腐败发生的诱因（Clotfelter，1983；Sequeira&Djankov，2014）或较低的关税税率是否会鼓励代理人通过收入效应支付较高的薪酬（Feinstein，1991；Slemrod&Yitzhaki，2002），存在理论和实证辩论。前一种观点认为，关税税率的提高使其更有利于在保证金上逃税。后一种观点认为，税率的提高会使纳税人变得不那么富有，而这在被惩罚的风险厌恶程度降低的情况下，往往会减少逃税（Allingham&Sandmo，1972）。Sequeira（2016）收集了2007年至2013年莫桑比克和南非港口之间贿赂付款的主要数据。这种治疗方法大大降低了2008年的平均名义失业率（5%）。由于并非所有产品都在塔里夫减排量清单上，因此可提供可靠的产品控制组。

这允许进行DID估计。Sequeira（2016）之前对南非和莫桑比克之间的这一自然实验进行了研究，收集了2007年至2013年的横截面数据，样本量N=1084，并使用传统的线性DID估计治疗效果。在这里，我重点介绍了一个主要结果（Sequeira（2016）表9）：yit=γT ariffChangeCategoryi×P OST+uP OST+γT ariffChangeCategoryi+βBaselineT ariffi+ΓI+pi+wt+δI+其中，yitis是t期装运i支付的贿赂金额的自然对数，以支付贿赂为条件。阿里夫变更类别∈ {0，1}表示商品的处理状态，P OST∈ {0，1}是2008年之后年份的指标，BaselineT ariff是塔里夫减少前的塔里夫率。该规范还包括特征向量Γi、时间和个体固定效应pi、wt和δi。参数γ是传统线性DID估计中的重要参数。Sequeira（2016）发现，在塔里费减少后，支付的贿赂金额下降了（^γ=-2.928**).我使用了相同的数据集，但没有使用传统的线性DID估计，而是使用Abadie（2005）的DID估计量和我提出的DID估计量θ估计ATT。由于数据是重复的横截面，我分别基于（2.2）和（3.2）构造了估计量。第一阶段核估计的估计器包含一个单独的特征（每吨装运价值的自然分配），这是Sequeira（2016）表9中的一个重要特征。第一阶段Lasso估计的估计员包含Sequeira（2016）表9中的重要特征列表，其中包括产品、装运、企业级特征及其相互作用条款。下表1显示了结果。

我发现，所有这些估计值都一致表明，塔里费率的降低将减少贿赂支付，但治疗的影响实际上可能比Sequeira（2016）之前报告的要大得多。Sequeira（2016）Abadie（kernel）~θ（kernel）Abadie（Lasso）~θ（Lasso）ATT-2.928**（0.944）-7.986**（3.028）-8.670**（3.643）-7.499**（2.746）-9.191*（4.854）表16结论在本文中，我介绍了基于新推导的NeymanNorthogonal得分的三种新DID估计量。除了Abadie（2005）提出的原始条件外，这些新分数不需要任何其他条件。当研究人员希望在第一阶段非参数估计中使用ML方法时，新的DID估计值将特别合适。当在第一阶段估计中使用核估计量时，新的DID估计量不需要欠平滑来实现√N-稠度。因此，研究人员可以使用标准的数据驱动方法（如asCV）来选择带宽。参考Sabadie，A.（2005年）。差异估计量中的半参数差异。《经济学研究回顾》，72（1），1-19。Akee，R.、Copeland，W.、Costello，E.J.、Simeonova，E.（2018）。家庭收入如何影响儿童的个性特征和行为？《美国经济评论》，108（3），775–827。Allingham，M.G.，&Sandmo，A.（1972）。所得税逃税：一种理论分析。《公共经济学杂志》，1233-338。Belloni，A.、Chen，D.、Chernozhukov，V.、Hansen，C.（2012）。最佳工具的稀疏模型和方法，并应用于征用权。《计量经济学》，80（6），2369–2429。Belloni，A.、Chernozhukov，V.、Chetverikov，D.、Wei，Y.（2018）。z-估计框架中许多函数参数的一致有效后正则化置信区域。《统计年鉴》，46（6B），3643–3675。Belloni，A.、Chernozhukov，V.、Fernández Val，I.、Hansen，C.（2017）。

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构造最终ATT估计量▄θ=KPKk=1▄θk。估计量^gwkand^gzkc可以通过多重逻辑套索构造。以下是贝洛尼、陈、切尔诺朱科夫和汉森（2012）提出的套索惩罚。让yi表示yi（1）- Yi（0）或Ti公司-^λk, λkdenoteλ1korλ2k和^Υkdenote^Υ1kor^Υ2k。对于k∈ [K] ，加载^Υ是一个对角线矩阵，其条目为^γkj，j=1。。。，p、 按以下步骤施工：初始^γkj=vuutMkXi∈Ickzqij（彝语- (R)yk），λk=2cpMkΦ-1(1 - γ/2p），定义γkj=vuutMkXi∈Ickzqij^εi，λk=2cpMkΦ-1(1 - γ/2p），其中'yk=M-1Pi∈Ickyi，c>1和γ→ 0.ModifiedLasso估计器β计算的经验残差^εiis*kin上一步：^εi=yi- qiβ*k、 重复第二步B>0次，以获得最终加载。引理1重复结果的证明：η方向（3.1）的Gateaux导数- η=（g- g、`- `) 是ηEP[ψ（W，θ，p，η）]（η- η） =EPD- 1p（1- g（X））（Y（1）- Y（0）- `) （g（X）- g（X））- EP公司D- g（X）p（1- g（X））（`（X）- `（十） （）= - EP公司g（X）-g（X）p（1- g（X））E[Y（1）- Y（0）-`（十） | X，D=0]- EP公司（`（X）- `（十） ）p（1）- g（X））EP【D】- g（X）| X]= - EP公司g（X）-g（X）p（1- g（X））（`（X）- `（十） （）- 0=0，其中第二个不等式来自迭代期望定律，第三个不等式来自`（X）和EP[D]的定义- g（X）| X]=0。重复横截面：定义ηEP[ψ]（η- η):= ηEP[ψ（W，θ，p，λ，η）]（η- η). 与重复结果的证明类似，η方向上（3.2）的Gateaux导数- η=（g- g、`- `) 是ηEP[ψ]（η- η） =EP“D- 1p（1- g（X））[（T- λ） Y型- `（十） ]（g（X）- g（X））#- EP公司D- g（X）p（1- g（X））（`（X）- `（十） （）= - EP公司g（X）-g（X）p（1- g（X））（`（X）- `（十） （）- EP公司`（十）- `（十） pλ（1-λ) (1 - g（X））EP【D】- g（X）| X]=0，其中p：=pλ（1- λ).多级处理：Letw=gw- gw0，z=gz- gz0，和`3= `- `.

ηw方向上（3.3）的Gateaux导数- ηw0=（gw- gw0，gz- gz0`- `) 是ηwEP[ψw（w，θ，pw0，ηw0）]（ηw- ηw0）=EPI（W=0）gw0（X）pw0gz0（X）（Y（1）- Y（0）- `) w- EP公司I（W=0）pw0gz0（X）（Y（1）- Y（0）- `) z+ EP公司I（W=0）gw0（X）- I（W=W）gz0（X）pw0gz0（X）`3.=0根据每个项上的迭代期望定律。定理1和2的证明遵循Chernozhukov等人（2018）提出的一般框架。定理1重复结果的证明：证明分五步进行。在步骤1中，我使用辅助结果（A.1）-（A.4）显示主要结果。在步骤2-5中，我证明了辅助结果。supη∈田纳西州Ekψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）k1/2≤ εN，（A.1）supr∈(0,1),η∈TNk公司rE[ψ（W，θ，p，η+r（η- η） ）]k≤ （εN），（A.2）supη∈田纳西州EP公司kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k1/2≤ εN，（A.3）支持∈PN，η∈田纳西州EP公司kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k1/2≤ εN，（A.4），其中tn是所有η=（g，`）的集合，由P平方可积函数g和`这样的kη组成- ηkP，2≤ εN，k g- 1/2 kP，∞≤ 1/2 -κ、 k克- gkP，2+k g- gkP，2×k`- `kP，2≤ （εN），Pn是所有p>0的集合，因此| p- p|≤ N-1/2. 根据正则条件（3.1）和|^pk- p |=OPN-1/2, ^η1k∈ 特南德^pk∈ 概率为1的Pn- o（1）。第1步。观察我们有分解√N~θ - θ=√NKKXk=1￠θk- θ!=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，^pk，^η1k）]=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，^η1k）]+√NKKXk=1En，k[pψ（W，θ，p，^η1k）]（^pk- p） |{z}a+√NKKXk=1En，kpψ（W，θ，’pk，^η1k）（^pk- p） |{z}b，其中'pk∈ （^pk，p）。对于项（a），通过三角不等式，我们得到了| En，k[pψ（W，θ，p，^η1k）]- Ep公司[pψ（W，θ，p，η）]|≤ J1，k+J2，k，其中J1，k=| En，k[pψ（W，θ，p，^η1k）]- 恩，k[pψ（W，θ，p，η）]|，J2，k=| En，k[pψ（W，θ，p，η）]- Ep公司[pψ（W，θ，p，η）]|。对于约束J2，k，我们有EPJ2，k≤n-1英里/小时pψ（W，θ，p，η）i=n-1EPpUV（1- g）≤n-1.Cpκ,其中，最后一个不等式来自正则条件（3.1）。根据切比雪夫不等式，J2，k=OPn-1/2= oP（1）。

接下来，我们对J1，k进行了界定。以辅助样本Ick为条件，可以将^η1k视为固定样本。如果^η1k∈ TN，我们有ephj1，k |（Wi）i∈Icki=EPhkpψ（W，θ，p，^η1k）- pψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈埃斯科≤ supη∈特尼弗克pψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈Icki=supη∈TNEP公司kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k=εNby（A.3）。通过引理A.1，J1，k=OP（εN）=OP（1）。我们在一起，k[pψ（W，θ，p，^η1k）]p→ Ep公司[pψ（W，θ，p，η）]=G1p0。对于项（b），通过三角形不等式，我们得到了| En，kpψ（W，θ，’pk，^η1k）- Ep公司pψ（W，θ，p，η）|≤ J3，k+J4，k，其中J3，k=| En，kpψ（W，θ，’pk，^η1k）- 恩，kpψ（W，θ，p，η）|,J4，k=| En，kpψ（W，θ，p，η）- Ep公司pψ（W，θ，p，η）| .要绑定J4，k，我们有J4，k≤n-1英里/小时pψ（W，θ，p，η）i=n-1EPpUV（1- g）≤n-1.4Cpκ,其中最后一个不等式来自正则条件。根据切比雪夫不等式，J4，k=OPn-1/2= oP（1）。以Ick为条件，pk和η1k都可以视为固定值。在^pk事件下∈ PN（因此“pk∈ PN）和^η1k∈ TN，我们有EphJ3，k |（Wi）i∈Icki=EPhkpψ（W，θ，’pk，^η1k）- pψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈埃斯科≤ 支持∈PN，η∈特尼弗克pψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈Icki=支持∈PN，η∈TNEP公司kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）k≤εNby（A.4）。通过引理A.1，J3，k=OP（εN）=OP（1）。因此，En，kpψ（W，θ，’pk，^η1k）= OP（1）。将上述结果与^pk相结合-p=En，k[D- p] 和（^pk）- p） =操作N-1., θ的分解变成√N~θ - θ=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，^η1k）]+√NKKXk=1En，k[G1p0（D- p） ]+oP（1）=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，^η1k）+G1p0（D- p） ]+oP（1）=√NNXi=1[ψ（Wi，θ，p，η）+G1p0（Di- p） ]+√NRN+oP（1），其中rn=KKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，^η1k）+G1p0（D- p） ]-NNXi=1[ψ（Wi，θ，p，η）+G1p0（Di- p） ]=KKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，^η1k）]-NNXi=1ψ（Wi，θ，p，η）。如果我们能证明√NRN=oP（1），那么我们就完成了。这一部分与Chernozhukovet等人（2018年）定理3.1（DML2）证明中的步骤3基本相同。

为了方便读者，我在这里复制了它。由于K是一个固定整数，它与N无关，因此必须表明对于任何K∈ [K] ，En，K[ψ（W，θ，p，^η1k）]-nXi公司∈Ikψ（Wi，θ，p，η）=oPN-1/2.定义经验过程符号：Gn，k[φ（W）]=√nXi公司∈Ikφ（Wi）-Zφ（w）dP,其中φ是W上的任意P-可积函数。通过三角不等式，我们得到了k En，k[ψ（W，θ，P，^η1k）]-nXi公司∈Ikψ（Wi，θ，p，η）k≤I1，k+I2，k√n、 式中，I1，k：=k Gn，k[ψ（W，θ，p，^η1k）]- Gn，k[ψ（W，θ，p，η）]k，I2，k：=√n k EPhψ（W，θ，p，^η1k）|（Wi）i∈埃斯科- EP[ψ（W，θ，p，η）]k。要绑定I1，k，请注意条件为（Wi）i∈Ickt估计量^η1k是非随机的。在^η1k的事件下∈ 我们有Ephi1，k |（Wi）i∈Icki=EPhkψ（W，θ，p，^η1k）- ψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈埃斯科≤ supη∈TNEPhkψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）k |（Wi）i∈Icki=supη∈TNEP公司kψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）k= （εN）乘以（A.1）。因此，I1，k=引理A.1得出的OP（εN）。为了限定I2，k，定义以下函数fk（r）=EPhψ（W，θ，p，η+r（^η1k- η） ）|（Wi）i∈埃斯科- E[ψ（W，θ，p，η）]，r∈ [0，1）.通过泰勒级数展开，我们得到了fk（1）=fk（0）+fk（0）+fk（￠r）/2，对于一些￠r∈ (0, 1) .注意，fk（0）=0，因为Ehψ（W，θ，p，η）|（Wi）i∈Icki=E[ψ（W，θ，p，η）]。此外，在事件^η1k上∈ TN，k fk（0）k=kηEPψ（W，θ，p，η）[^η1k- η] k=0，通过ψ的正交性。同样，在事件^η1k上∈ TN，k fk（￠r）k≤ supr公司∈（0,1）k fk（r）k≤ （εN）乘以（A.2）。因此，I2，k=√n k fk（1）k=操作√n（εn）.与关于I1，k的结果一起，我们haven，k[ψ（W，θ，p，^η1k）]-nXi公司∈Ikψ（Wi，θ，p，η）≤I1，k+I2，k√n=操作n-1/2εN+（εN）=oP公司N-1/2通过n=O（n）和εn=ON-1/4. 因此√NRN=oP（1）。第2步。在这一步中，我给出了（A.1）的证明。