连续时间模糊条件下的有效套期保值

这表明（An）在L（P）中是存在的。让t∈ [0，T]和putYt：=lim infn→∞MZnt公司。过程Y是F-逐步可测量的，不依赖于特定度量P∈ P、 SinceRtZnsdSs公司≥ -c、 它持有Yt≥ -c、 另一方面，它源于Fatou引理和znds的p-超鞅性质，即ep[Y+t]≤ lim信息→∞EP公司RtZnudSu公司+= lim信息→∞EPhRtZnudSui+EPRtZnudSu公司-≤ c、 也就是说，Yt∈ L（P）和进程Y是一个P-sup r鞅，因为对于所有0≤ s≤ t型≤ T我们有=lim infn→∞MZns公司≥ lim信息→∞EP[MZnt | Fs]≥ EP【Yt | Fs】。Let'Yt：=lim sups↓t、 s∈Q∩[0，T]Ysfor T∈ [0，T）和\'YT:=自过滤（FPt）T以来的年∈对于每个P，[0，T]是右连续的∈ P、 过程Y是一个关于（FPt）t的cádlág P超鞅∈[0，T]，见[16，定理s VI.2和VI.3]。因此，’Y是关于所有P的过滤F的P上鞅∈ P、 由于[33，定理6.5和命题6.6]，存在一个F-渐进可测过程Z和一个递增的渐进可测过程L，使得“L=0”和“Yt=”Y+Rt“ZudSu-其中r'Z dS是P-局部鞅。因此，Rt'ZudSu≥“”年初至今-是的≥ -c-根据【16，定理VI.2】和我们过滤的正确连续性，它成立≤ 0，以便M'ZT∈ 总承包商。自mn+Yn起- 十、∈ A代表所有n∈ N和一个ismonotone有ψc（X）+YT- 十、∈ A和ψc（X）+RT'ZudSu- 十、≥ ψc（X）+YT- 十、 itholdsψc（X）+RT'ZudSu- 十、∈ A、 （ii）表示：首先要注意的是Ohm （配备最大定额| |·）||∞) 因此Ohm = ∪n∈NKnP-q.s.要看到这一点，让P∈ P和a∈ A这样的P=Po （Ya）-1，当dYat=1/2（Ya·）dStP-a.s时，由于a是有界的，对于每一个q>4（独立于P），它保持EPRT | as | dhSis第4季度< ∞.

因此，Burkholder Davis Gundy和Cauchy Schwarz的不等式表明- Yas | q]=EtZsa1/2（Ya·）dSuq≤ CEP公司坦桑尼亚先令| a（Ya·）| dhSiu第二季度≤ CEP公司坦桑尼亚先令| a（Ya·）| dhSiu第4季度|s- t | q/4≤ K | s- t | q/4对于某些常数C，K≥ 然后，根据【4，定理A.1】，Ya∈ Ohmα对于每个α∈ (0, 1/4 - 1/q），其中Ohmα是函数sω的空间∈ Ohm 它们是α-H"older连续的。特别地，α可以不依赖于P来选择。周四，Ohm = OhmαP-q.s.【4，推论3.2】，Ohmα= ∪n∈对于一些紧凑的设置KN。自0起∈ A、 对于每X∈ L∞（P） 一个有ψc（X）<∞ 和ψ（0）>-∞, 它保持ψc（0）∈ R、 因此，L上的凸增函数ψcis实值∞（P） 。设（Xn）是有界可测函数的递增序列，使得Xn↑ 十、 根据证明的第一部分，对于每n∈ n存在\'Yn∈ gc使得ψc（Xn）+Yn- Xn公司∈ 带有“Yn=RT”ZnudSu的w。放置Yt：=lim infn→∞里兹努德苏，t∈ [0，T]；(R)Yt：=lim sups↓t、 s∈Q∩[0，T]Ysfor T∈ [0，T）和'YT：=ytwe使用第（i）部分的过程构造一个S-可积过程'Z su ch thart'ZudSu≥ -c和Y≤R'Z dS。让n∈ N、 由于ψcis递增且单调，因此存在∈ A这样（limn→∞ψc（Xn））+(R)Yn-Xn=安。如上所述，（An）在L（P）中有界。因此，limn→∞ψc（Xn）+RT'ZudSu-十、≥ 画→∞ψc（Xn）+YT- 十、≥ lim信息→∞一∈ A、 这意味着limn→∞ψc（Xn）≥ ψc（X），因此limn→∞ψc（Xn）=ψc（X）。因此，根据【13，定理m 1.7】，（也可参见【34，定理4.5.2】，了解该结果的概率版本）它保持ψc（X）=supQ∈ca+（）Ohm)（等式【X】- ψc，*（Q） ），X∈ Cb（P）（3.5）ψc（X）≤ supQ公司∈ca+（）Ohm)（等式【X】- ψc，*（Q） ），X∈ Ub（P）。（3.6）ψc，*（Q） =φc，*（Q） +ρ*A(-Q） ，对于所有Q∈ ca+（）Ohm) 是引理3.1的一个序列。因此，如果ρ*A(-Q） =∞, 然后ψc，*（Q） =∞, 从而分别从（3.5）和（3.6）推导出（3.3）和（3.4）c a n。证明（定理2.1）。自Gn起 G代表所有n∈ N \\{0}，一个有ψ（X）≤ infn公司≥1ψn（X）。

假设不等式是严格的，即ψ（X）<infn≥1ψn（X）。然后，有m∈ R和ε>0，因此ψ（X）<m<m+ε<infn≥1ψn（X）。因此，有x∈ R suc h thatψ（X）≥ x个- ε、 带X+Y- 十、∈ A代表一些Y∈ G、 因为有n∈ N这样Y∈ Gn，我们有x≥ ψn（X）。He nce，m>ψ（X）≥ x个- ε ≥ ψn（X）- ε ≥ infn公司≥1ψn（X）- ε、 这是一个矛盾。因此，ψ（X）=infn≥1ψn（X），序列（ψn，*（Q） ）nis增加和ψ*（Q） =supn≥1ψn，*（Q） 对于所有Q∈ ca+（）Ohm).让X∈ Cb（P）。根据命题3.2，对于每n≥ 1保持ψ（X）≤ supQ公司∈地图（等式【X】-ψn，*（Q） ）。因此，存在Qn∈ ca+（）Ohm) 使得ψ（X）≤ 方程n【X】- ψn，*（Qn）+n，因为X是bounded和ρ*A(-Q）≤ ψn，*（Q） ，有一个常数c≥ 0，以便Qn∈ {Q∈ ca+（）Ohm) :ρ*A(-Q）≤ c} 尽管如此，这是Q∈ ca+，这样，直到一个子序列，（Qn）收敛到Qinσ（ca+，Cb）和dOhm 已关闭，我们有1=lim supn→∞Qn（yenOhm) ≤ Q（▄Ohm), 实际显示，Q∈ ca+（）Ohm). 现在，让ε>0，N∈ N等于ψN，*（Q）≥ ψ*（Q）- ε. 由于ψN，*是低连续的（当ca+与弱拓扑σ（ca+，Cb）相匹配时），我们可以选择n≥ 所以ψN，*（Qn）≥ ψN，*（Q）- ε. 因此，ψn，*（Qn）≥ ψN，*（Qn）≥ ψN，*（Q）- ε ≥ ψ*（Q）- 2ε.这表明ψ（X）≤ 方程n【X】- ψ*（Q）- 2ε+1/n。取n的极限并降低ε得到ψ（X）≤ 等式[X]- ψ*（Q） 。由于弱对偶ψ（X）≥ supQ公司∈ca+（）Ohm)（等式【X】- ψ*（Q） ），X∈ Cb（P）很容易得到，这意味着ψ（X）=supQ∈ca+（）Ohm)（等式【X】- ψ*（Q） ）X∈ Cb（P）。（3.7）现在让我们展示ψ*（Q） =∞ 每当Q/∈ 地图。自0起∈ G、 我们有ψ（X）≤ ρA(-十） 对于每X∈ Cb，因此ψ*（Q）≥ ρ*A(-Q） 对于每个Q∈ ca+（）Ohm). 因此，如果ρ*A(-Q） =∞, 然后ψ*（Q） =∞. 如果S不是Q-局部鞅，那么sinc e su pp（Q）~Ohm 和▄Ohm 是σ-紧集的子集，从[4，备注4.1和建议4.4]可以看出，有X∈ cb和一个S-可积过程z使得X≤ MZand EQ[X]>0。

因此，有ψ（xX）≤ 0表示所有x≥ 0和X∈ Cbit h oldsψ*（Q）≥ 所有x的等式【xX】≥ 这通过缩放ψ来显示*（Q） =∞, 根据（3.7）证明（2.4）。此外，它后面还有3.2 th a tψn（X）≤ supQ公司∈MA（S）（等式[X]- ψn，*（Q） ），X∈ Ub（P）。让X∈ Ub（P）。对于每n≥ 1，它保持ψ（X）≤ supQ公司∈MA（S）（等式[X]- ψn，*（Q） ）。如上所述，我们发现Qn，Q∈ ca+（）Ohm) （Qn）在σ（ca+，Cb）中收敛到Q，对于每个ε>0，直到一个子序列ψ（X）≤ 方程n【X】- ψ*（Q）- 2ε+1/n。由于X是上半连续且有界的，取极限意味着ψ（X）≤ 等式[X]- ψ*（Q） ，由于ψ（X）≤ supQ公司∈MA（S）（等式[X]- ψ*（Q） ），X∈ Ub（P）。（3.8）假设ψ*（Q） =supX∈Ub（等式[X]- ψ（X））意味着（3.8）中的不等式是一个等式，如上所示，ψ*（Q） =∞ 每当Q/∈ 地图。证明到此结束。3.2. 定理的证明2.3在这里，A由A给出：=十、∈ L（P）：ρ（X）≤ 0,（2.6）定义的稳健优化确定性等效物的接受集。引理3。3、如果存在a、b≥ 0和p>2表明损失函数l满足增长条件nl（x）≥ a | x | p+b，然后设置a-:= {A-: A.∈ A} 是P-一致可积的。证据考虑定义为ρP（X）：=infm的经典OCEρPde∈R（EP[l（m- 十） ]- m） 。（3.9）定义为ρ（X）≥ 支持∈Pinfm公司∈R（EP[l（m- 十） ]- m） =支持∈PρP（X）。通过对比假设存在∈ P和ε>0，使其保持较小的infn→∞supX公司∈AE？P【X】-{X-≥n} ]≥ ε.给出n X∈ A、 putδn：=E'P[X-{X-≥n} ]≥ ε.

让Qn<<“P是dqnd给出的度量值”P：=X-{X-≥n} /δn.自l起*满足生长条件l*（z）≤ a′z | q+b′对于某些a′，b′≥ 0和1<q<2 p的H"older共轭，它保持ρ（X）≥ ρ′P（X）≥ E'P-XX号-{X-≥n} δn- E'Pl*十、-{X-≥n} δn≥ E'P（十）-){X-≥n}δn- a’E’P（十）-)q{X-≥n}（δn）q- b′≥ E'P（十）-)q{X-≥n}氮气-qδn-a′（δn）q- b′≥E'P十、-{X-≥n}q氮气-qδn-a′（δn）q- b′，其中最后一个不等式后面是n足够大的Jensen不等式。由于q<2，最后一项收敛为一个矛盾的整体。调用共轭函数ρ*第2.2节定义为ρ*(-Q） ：=supX∈Cb（当量[-X]- ρ（X））。引理3。如果P是σ（ca+，Cb）-紧的，那么它保持ρ*(-Q） =infP∈政治公众人物l*dQdP对于所有Q∈ ca+（3.10）与子级集{Q∈ ca+：ρ*(-Q）≤ c} ，c≥ 0是σ（ca+，Cb）-紧的。证据让我们首先证明（3.10）。因为对于每个X∈ CBP功能7→ ρP（X）是凹的且σ（ca+，Cb）-上半连续的，因此P和Fan的弱紧性[19，定理2]得出ρ*(-Q） =infP∈PsupX公司∈Cb（当量[-X]- ρP（X））。（3.11）让L∞（P，FST）是P-本质有界和FST可测随机变量的集。我们主张支持∈Cb（当量[-X]- ρP（X））=supX∈L∞（P，FST）（等式[-X]- ρP（X））=EP【l】*（dQ/dP）]，对于每个钻孔测量Q<< P该权利要求的第二个等式后面是[8]。若要清除灰岩，le tε>0和X∈ L∞（P，FST）应为SUPX∈L∞（P，FST）（等式[-X]- ρP（X））≤ 均衡器[-X]- ρP（X）+ε。根据Lusin和Tietze的定理，有一系列连续函数（Xn）将P-a.s.收敛到X，详情参见示例【35，定理1】。此外，序列（Xn）可以选择有界。自l起*（x） /x个→ +∞ 随着| x |的深入，每个c≥ 0集合{dQ/dP:EP[l*（dQ/dP）]≤ c} 是σ（L（P，FST），L∞（P，FST））-紧凑型。通过表示ρP（X）=supQ<<P（等式[-X]- EP[升*（dQ/dP）]X∈ L∞（P，FST），参见示例。

[8，定理4.2]和Jouini-Schachermayer-Touzi定理（见[23，定理2.4]）onehas limn→∞ρP（Xn）=ρP（X）。因此，EQ[-X]- ρP（X）=limn→∞均衡器[-Xn]- ρP（Xn），证明了该主张。结合（3.11），我们得到（3.10）。接下来，我们证明子级集的紧集。根据普罗霍罗夫定理，setP是紧的。也就是说，存在一个族（Kn）的紧子集Ohm suc h that supP∈PP（Kcn）→ 0、让Q∈ ca+满足ρ*(-Q）≤ C、 有P∈ P使得Q<< P和EP【l】*（dQdP）]≤ C+1。因此，对于所有m>0的情况，根据杨的不等式，一个是mdqdpkcn≤ l（m1Kcn）+l*（dQdP）并使用l（0）=0一个getsQ（Kcn）≤m级l（m）P（Kcn）+EPl*（dQdP）≤l（m）msupP∈PP（Kcn）+（C+1）m。因此，sup{Q：ρ*(-Q）≤C} Q（Kcn）→ 0作为n→ ∞ Prokhorov定理证明了子层集是弱相对紧的。自ρ起*是下半连续的，子级集是σ（ca+，Cb）-闭的。这就完成了论点。引理3。5、对于S的每个局部鞅，均指Q，使得Q<< P代表一些P∈ P、 每年∈ G、 它保持等式[Y]≤ 0、备注3.6。注意，在上面的引理中，Y∈ G不一定是Q-随机积分。证明（Lemma3.5）。让Y∈ G和Q是S的局部鞅测度。设P∈ P就是这样Q<< P，设c＞0，Z为S-可积过程，使Yt：=RtZudSu≥ -c、 回想一下，p进程：[0，T]×Ohm → 如果R的形式为ht（ω）=NXi=1hi（ω）1（τi（ω），τi+1（ω）），则称为简单，其中N∈ N、 0个≤ τ≤ · · · ≤ τN+1≤ T是F-停止时间和hiare Fτi-可测有界函数。让我们首先假设EP[RT | Zu | du]<∞. 然后，有一系列简单的过程，如rtznudsu→RTZudSuin L（P）。固定ε>0，并确定停止时间τn的顺序：=inft>0：tZZnudSu≤ -c- ε∧ T、 与公约inf := +∞. 进一步，将▄Zn：=Zn【0，τn】。根据定义，RtZnudSu=Rt∧τnZnudSu≥ -c- ε.

几乎所有ω∈ Ohm, 有N个∈ N如果N≥ N、 Therntznudsu（ω）≥RtZudSu（ω）- ε ≥ -c- ε. 因此，τn（ω）=T，即τn↑ 因此，RTZnudSu=Rτnznudsu将toRTZudSuP-a.s.和Q-a.s.合并。此外，由于zns是一个简单的过程，RZndS是一个Q-鞅，因此等式[RTZnudSu]=0。因此，它遵循f from Fatou\'slemma th a t0=lim infn→∞均衡器TZZnudSu≥ 均衡器TZZudSu.在一般情况下，设σkbe为局部化序列，使得rσk∧·Z-dS是一个平方可积P鞅。放置Zk：=Z1【0，σk】。关于e hasRtZkudSu≥ -对于所有k，c。根据证明的第一部分，对于每个k，它都保持等式[RTZkudSu]≤ 取k的极限，由Fatou引理thatEQ[RTZudSu]≤ 0证明（定理2.3）。很明显，集A包含0，是凸的且单调的。此外，根据定理2.1、引理3.3和3.4，如果我们证明X：=lim infn，则可以得到表示→∞Xn公司∈ A中的每个序列（Xn）都在L（P）中，且ψ*（Q） =ψ*Ub（Q）：=supX∈Ub（等式[X]- ψ（X））。（3.12）每n∈ N、 有mn∈ R使得EP[l（mn- Xn）]- 明尼苏达州- 1/n≤ 0表示所有P∈ P、 条件（CIB）确保l（x）≥ bx+c和l（x）≥ 所有x的b′x+c∈ R对于某些b>1>b′和c∈ R、 由于（Xn）在L（P）中有界，这表明（mn）有界。因此，存在这样的m（mn）在传递到子序列后收敛到m。因此，根据Fatou引理和l的连续性，EP[l（m- 十） ]- m级≤ 0。因为这适用于每个P∈ P、 它遵循ρ（X）≤ 0，即X∈ A、 现在让我们证明（3.12）。根据定理2.1和引理3.4，ψ*（Q） =φ*（Q） +infP∈政治公众人物*（dQ/dP）]。（3.13）通过定义观察ψ*≤ ψ*Ub。让Q∈ ca+（）Ohm). 假设infP∈政治公众人物*（dQ/dP）]=∞,然后通过引理3.4，ψ*（Q）≥ ρ*(-Q） =∞.

如果S不是Q-局部鞅，那么自supp（Q）~Ohm和▄Ohm 是σ-comp a ct集的子集，从[4，备注4.1和建议4.4]可以看出∈ Cb和一个S-可积过程Z使得X≤ MZand EQ[X]>0。因此，有φ（xX）≤ 0对于所有x≥ 0和X∈ Cbit保持ψ*（Q）≥ φ*（Q）≥ 所有x的等式【xX】≥ 这通过缩放ψ来显示*（Q） =φ*（Q） =∞. 因此∞ = ψ*（Q）≤ ψ*Ub（Q）表示所有Q/∈ MlP（个）。另一方面，可以检查ρ是否满足弱d性ρ（X）≥ s upQ（等式[-X]- infP公司∈政治公众人物*（dQ/dP）]）适用于所有X∈ L（P）。让Q∈ MlP和X∈ b如m+Y- 十、∈ A代表一些m∈ R和Y∈ G、 It保持顺序[-m级- Y+X]- ρ*(-Q）≤ 0，则为P∈ P使得Q<< P根据Le mma3.5，我们有eq[Y]≤ 0，即等式【X】- m级≤ ρ*(-Q） 。这意味着ψ*Ub（Q）≤ ρ*(-Q）≤ ψ*（Q） 。因此，ψ*= ψ*Ub。最后，回想一下ψ*（Q） =φ*（Q） +ρ*(-Q） 对于EVERY Q a和φ*（Q） =0表示Q∈ MlP（个）。这就是证据的结论。A、 可分离扩散系数类别在本附录中，我们定义了我们考虑的扩散系数类别。下面的定义以及属性取自Son e r等人【33】。设“pw”为S的局部鞅测度集，其中P-a.S.，hSitis在t中绝对连续，且^a取S>0d的值，设“a”：=a：R+→ S> 0d，F-逐步可测量，Tz | as | ds<∞ 对于所有t≥ 0对于每个P∈`PW，`AW（P）：={a∈\'A:A=^A P-A.s.}。用“AW集合”AW表示：=∪P∈“PW”AW（P）和“by AW”AW元素集，使得SDE（2.1）具有弱唯一性。定义A.1。AW的一个子集被称为扩散系数的生成类，如果（i）A具有集中属性：a1[0，t）+b1[t，∞)∈ a对于所有a、b∈ A和t≥ 0.（ii）Ahas恒定不一致时间s：对于所有a、b∈ A、 θA，bis A常数，θA，b:inf{t≥ 0：Rtasds 6=Rtbsds}。定义A.2。

集合A是由Aif A生成的一类可分离的扩散系数 AWis代表一类扩散系数，A由形式的所有过程组成=∞Xn=0∞Xi=1aniEni[τn，τn+1），其中（ani）i，n A、 （τn）nis值为R的F-停止时间的递增序列+∪ {∞} τ=0且（i）inf{n：τn=∞} < ∞, 每当τn<∞, 每个τ包含最多可数个值。（ii）对于每个n，{Eni，i≥ 1}  Fτn构成Ohm.提案A.3。设A b e是A生成的一类可分离的扩散系数。然后，A a如果所有a∈ Apasaties鞅表示性质，n表示所有a∈ Pasatis也证明了鞅表示的性质。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本理论和超级复制定理的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233–251，2016年。[2] T.Arai。orlicz空间上的凸风险测度：inf卷积和短缺。数学芬南。经济。，3:73–88,2010.[3] D.B artl、S.Drapeau和L.Tangpi。鲁棒优化确定性等价物的计算方面。预印本arXiv:1706.101862017。[4] D.巴特尔。，M、 Kupper、D.J.Pr"omel和L.Tangpi。连续时间路径超边缘的对偶性。预印本arXiv:1705.029332017。[5] D.Bartl、A.Neufeld和M.Kupper。预测集上的路径超边缘。预印本arXiv:1711.027642017。[6] D.Becherer和K.Kentia。在漂移和波动的组合不确定性下的良好交易对冲和估值。概率、不确定性和定量风险，2（13），2017年。[7] M.Beiglb"ock、P.Henry Laborère和F.Penkner。期权价格的模型独立界限——masstransport方法。财务Stoch。，17(3):477–501, 2013.[8] A.Ben Tal和M.Taboulle。凸风险度量的一个新旧概念：优化确定性等价。数学《金融》，17:449–4762007。[9] J。

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