连续时间模糊条件下的有效套期保值

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英文标题：
《Efficient hedging under ambiguity in continuous time》
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作者：
Ludovic Tangpi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  It is well known that the minimal superhedging price of a contingent claim is too high for practical use. In a continuous-time model uncertainty framework, we consider a relaxed hedging criterion based on acceptable shortfall risks. Combining existing aggregation and convex dual representation theorems, we derive duality results for the minimal price on the set of upper semicontinuous discounted claims.
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中文摘要：
众所周知，未定权益的最低超额价格对于实际使用来说太高了。在连续时间模型不确定性框架下，我们考虑了基于可接受短缺风险的宽松套期保值标准。结合已有的聚合和凸对偶表示定理，我们得到了上半连续折扣索赔集上最小价格的对偶结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：连续时间 套期保值 Mathematical Quantitative Presentation

continuoustimeLudovic TangpiMarch 7，2019年BStra-CTIt中的模糊有效套期保值众所周知，或有类别的最低超边际价格太高，无法实际使用。在连续时间模型不确定性框架下，我们考虑了基于可接受短缺风险的宽松套期保值标准。结合已有的聚合和凸对偶表示定理，我们得到了上半连续折扣索赔集上最小价格的对偶结果。关键词：超边缘化、模型模糊性、接受集、风险度量、优化确定性等价物、波动性不确定性。MSC 2010:91B30、91G80、60H30、60G48.1。本文研究了连续时间内具有非零短缺风险的最小supe-rhedging问题的凸对偶性。在有标的S的金融市场中，贴现或有权X的最小超边际价格φ（X）是形成超边际收益所需的最小成本。也就是说，找到一个可接受的策略Z，使得m+（Z·S）T≥ 十、 （1.1）其中（Z·S）是时间T之前的总增益∈ (0, ∞) 从交易S.数学金融中心的一个经典结果给出了保证定价-对冲二元性的条件，即确保φ（X）是X的最大无套利价格，详情见Delb A en和Schache rmayer[15]，投资组合优化应用见Kramkovand Schachermayer[27]。在存在模型模糊性的情况下，即当可忽略的事件并非源于单一度量时，定价的双重性引起了持续的关注。值得注意的是，在具有波动性不确定性的模型下，Peng【29】、Denis和M a rtini【17】和Soneret al【31，32】等针对连续随机变量的（版本）包含声明推导出了此类对偶结果。

证明大多数这些结果的关键步骤是证明动态规划原理。这要求函数的（“动态版本”）φ与时间一致。Neufeld和Nutz[28]利用分析集理论将这些表示（以及动态规划原理）扩展到可测量的索赔。在无模型框架中，即当不进行概率假设时，超边缘对偶结果包括离散时间内的[1、7、11、12、14]和连续时间内的[4、5、18、22]中的结果。众所周知，对于实际使用而言，最小的磨边价格很高，甚至在模型不确定的情况下也很高。这推动了F"ollmer和Leuert【20，21】提出的分位数对冲概念，并进一步发展为Arai【2】和Rudloff【30】提出的基于风险的方法；比昂·纳达尔（Bion Nadal）和迪·努诺（Di Nunno）[9]进行了基于交易的估价。我们还提到Becher和*衷心感谢丹尼尔·巴特尔的富有成效的讨论。Kentia[6]用于分析稳健的不良交易。更准确地说，这包括用宽松条件M+（Z·S）T代替（严格的）supe rhedging要求（1.1- 十、∈ A、 （1.2）其中A是凸面货币风险度量的接受集，或一组可接受的未计金融头寸。调整集合A可以改变风险厌恶程度。在模型不确定性下，Cheridito等人[14]在离散时间无模型框架下研究了这种情况下的su-perfurging二重性。本文的目的是研究正则空间C（[0，T]，Rd）上可能参考测度集P固定时的连续时间情况。

请注意，如果接受集A的风险度量值不具有时间一致性，那么产生的超边缘函数就不一定具有时间一致性，这就导致了要应用的自然灾害中流行的动态规划方法。提出的论点基于Ch e ridito等人[13]的结果，这些结果给出了条件，在此条件下，从下到下的连续性（也称为Fatou性质）产生了共凸单调函数的表示。更准确地说，我们证明了接受集a的一个合适的序列闭性可以转移到超加宽泛函的子级集，从而保证了无正则性，从而导出了凸对偶表示；请参见定理2.1以获取准确的陈述。这将需要使用Soner等人开发的聚合结果。作为应用，系统地研究了用稳健优化确定性等价物来抵抗短期风险的情况。重申该风险度量值不是时间一致的，除非它对应于熵风险度量值。在下一节中，我们将精确说明本文的概率设置和主要结果。即，当短壁风险由风险度量量化时，超边缘函数的凸du al表示，该风险度量的接受集满足某些可积性。作为示例，详细研究了鲁棒优化确定性等价的情况，因为这类风险度量包括大量示例，参见[3，8]。所有证明都在第3节中给出，附录中包含了[33]中的一些技术概念。设置和主要结果2.1。概率设置本研究的发现依赖于Cheridito等人[13]的呈现结果和Soner等人[33]的聚合结果，我们从中借用了概率设置。

更准确地说，fix T∈(0, ∞), d∈ N \\{0}和letOhm 是ω=0的[0，T]上Rd值连续路径的正则空间。让Pbe的维纳测度为onOhm S为c标准过程，自然过滤F=（FSt）t∈[0，T]。Karandikar[25]指出，存在一个适应FS的连续过程hSi，例如hsit=hSiQtQ-a.s.f或所有t∈ [0，T]，且每个局部鞅测量S的Q o，其中，hsiqdenotest S的Q-二次变化。设^a是由^at给出的二次变化hSi的密度：=lim supε↓0ε（hSit- hSit公司-ε) .我们用M（S）表示所有局部鞅测度P的集合，使得P-a.S.，hSitis在t和^a中绝对连续，在集合S>0dof对称正定义矩阵中取值。对于每个P∈M（S）和每一个可积FS逐步测量过程a，取S>0d中的值，例如a=^a P-a.S.（这种过程a称为扩散系数），P是SDEdYt=a1/2（Y·）dStP-a.S.（2.1）的弱解，初始值P（S=0）=1。特别地，S是一个P-局部martin gale。在[26]中，SDE（2.1）对S>0d中的每个有界过程都允许一个唯一的弱解。设Abe为扩散系数的生成类（见定义a.1），使每个∈ Ais有界和Pasatis是MATINGALE表示属性。进一步假设A是由A评定的扩散系数基因的可分离类别，参见定义A。2，putP：={Pa:a∈ A} 。我们认为集合P是参考概率测度的集合。

对于每个P∈ P、 设FP：=（FPt）t∈[0，T]是过滤FS的正确连续版本的P-完成，并用f表示：=（Ft）T∈[0，T]Ft给出的通用过滤：=TP∈P（FPt∨ NP），其中NP是所有P的P-null集的集合∈ P、 设L（P）为FT可测随机变量的空间，如果它们符合Pq，则可识别。s、 并且，给定p∈ [1, ∞), 我们用Lp（P）表示随机变量X的空间∈ L（P）使得EP[| X | P]<∞ 对于所有P∈ P、 进一步让L∞（P） 是具有范数| | X的Lp（P）的子空间||∞:= inf{m>0：支持∈PP（| X |>m）=0}。2.2. 主要结果对于每个渐进可测Rd值过程Z，RT | Zt | dhSit<∞, 我们用Byrz dS表示通常的It^os积分，它隐式依赖于P∈ P和MZ P-q.s.唯一的可测量过程，使得MZ=RZ dS P-a.s.适用于所有P∈ P（见【33，定理6.4】）。这定义了一个P-局部鞅，即each P下的P-局部鞅∈ P、 setG给出的S ar e表示的金融市场交易（可接受）损益：=MZT：tZZudSu≥ -c代表所有t∈ [0，T]，对于某些c>0以及连续索赔X的最小超级套期保值成本φ（X）∈ L（P）由φ（X）给出：=inf{m∈ R:m+Y≥ X代表一些Y∈ G} 。（2.2）固定非空凸集a 假设L（P）和包含L+（P）是单调的。ψ（X）给出的函数ψ：=inf{m∈ R：m+Y- 十、∈ A代表某些人∈ G} （2.3）定义为构建一个投资组合所需支付的最低成本，该投资组合的差额在集合a中，但可能无法超过索赔X（在P-q.s.意义上），根据惯例inf := +∞. 我们的目的是推导泛函ψ的对偶表示。在此，P-q.s.指每P∈ P、 除非另有说明，否则随机变量之间的所有等式和不等式都将从这个意义上理解。即

对于每个X，X′∈ L（P）带X≥ X′和X′∈ A、 我们有X∈ A、 设Cband Ubbe是有界连续函数和有界上半连续函数的空间Ohm, Cb（P）和Ub（P）是L的元素集∞（P） 分别在CbandUb中使用P-q.s.版本。Putψ*（Q） ：=supX∈Cb（等式[X]- ψ（X））和φ*（Q） ：=supX∈Cb（等式[X]- φ（X）），用ρa和ρ表示*相应地，与A及其共轭相关的风险度量，即ρA（X）：=inf{m:m+X∈ A} 和ρ*A（Q）：=supX∈Cb（等式[X]- ρA（X））。进一步定义ca+，Borel概率测度集Ohm, ca+（）Ohm) 包含可能性度量的子集，支持包含在Ohm := supp（P），P的支持度，以及概率测度Q的映射集∈ ca+（）Ohm) 这样S是一个Q-局部鞅，它保持ρ*A(-Q） <∞.定理2.1。假设集合A-:= {A-: A.∈ A} 是P-一致可积的；子级集合{Q∈ ca+：ρ*A(-Q）≤ c} ，c≥ 0是弱紧的和线性infn→∞一∈ 对于A中以L（P）为界的每个序列（An）。那么，如果ψ（0）>-∞, 泛函ψ在L上是实值的∞（P） 满足表示ψ（X）=supQ∈地图（等式【X】- ψ*（Q） ），X∈ Cb（P）（2.4）带ψ*（Q） =φ*（Q） +ρ*A(-Q） ，对于所有Q∈ ca+（）Ohm).此外，如果ψ*（Q） =supX∈Ub（等式[X]- ψ（X）），则有ψ（X）=supQ∈地图（等式【X】- ψ*（Q） ），X∈ Ub（P）。（2.5）第3.1小节给出了该结果的证明。这一结果与文献[6]使用二阶倒向随机微分方程导出的所谓非优界非常接近。备注2.2。由于G是凸的，条件A凸且单调，确保ψ在向量空间L（P）上是增且凸的。当A=L+（P）时，nψ减小为超热dging函数φ。

在定理2.1中，假设ψ（0）>-∞ 可以看作是一种市场生存能力条件，例如，如果+∩ （G）- A） ={0}，比较[14]，或者如果存在概率度量Q，那么eq[A]≥ 0表示所有A∈ A和等式【Y】≤ 0表示所有Y∈ G、 此外，条件A-unifor mlyintegrable特别防止ρAattains值-∞ 这对于风险度量是不可取的。此外，假设lim infn→∞Xn公司∈ 对于A中以inL（P）为界的每个序列（Xn），可以将A视为Lp空间上风险度量的Fatou性质的一个版本，参见例[24]。这里，supp（P）是唯一的闭集Ohm 其中P（Ohmc） =0表示所有P∈ P和P（）Ohm ∩ O） >0表示某些P∈ P当Nevero打开时Ohm ∩ O 6=. 可以检查supp（P）=∪P∈Psupp（P），其中supp（P）存在，因为P是一个常规度量。i、 e.对于每个P，它是P一致可积的∈ P和A-:= 最大值（0，-A） 。在（2.4）中，对于任何X′，等式[X]被理解为等式[X′∈ Cbx=X′P-q.s。这一期望是唯一定义的，参见[34，引理4.5.1]。当A是鲁棒优化的确定等价的接受集时，会出现一个特别有趣的情况。更准确地说，让l:R→ R是一个损失函数，满足通常的假设SL是凸的，递增的，从下有界的，dl（0）=0，l*（1） =0，l（x）>x表示| x |足够大（CIB）其中l*表示l定义的sl的凸共轭*（y） ：=supx∈R（xy- l（x））表示y∈ R和l*(+∞) := +∞. 函数ρ：L（P）→ (-∞, ∞] 定义的b yρ（X）：=infm∈RsupP公司∈P（EP[升（m- 十） ]- m） （2.6）是在模型模糊的情况下，与【8】引入的优化确定性等效风险度量的类比。满足ρ（X）=supQ∈加利福尼亚州+均衡器[-X]- infP公司∈政治公众人物l*dQdP, 十、∈ L∞（P） ，（2.7），其中dQ/dP：=∞ 若Q不是绝对连续的w.r.t.P，并且理解EP【Z】：=∞当EP[Z+]=∞, 详见【3】。

让我们考虑一下验收集：=十、∈ L（P）：ρ（X）≤ 0并用MlP（S）表示概率测度S Q的集合∈ ca+（）Ohm) 这样S是一个Q-loc al鞅，并且它可以影响∈政治公众人物*（dQ/dP）]<∞.定理2.3。假设l满足s（CIB），存在a，b≥ 0和p>2，使得l（x）≥ a | x | p+带ψ（0）>-∞. 如果P是弱紧的，那么它的ψ（X）=supQ∈MlP（S）（等式[X]- infP公司∈政治公众人物*（dQ/dP）]），X∈ Ub（P）。（2.8）第3.2小节给出了该结果的证明。示例2.4。设a，a是两个0<a的矩阵≤ ，并表示为[0，T]上的一组（确定性）函数，其值为S>0d，这样的值为T≤ 在≤ \'a代表所有t∈ [0，T]。根据【33，示例4.9】，Ais是一类生成的扩散系数，它明确地生成了自身（在定义a.2的意义上）。PutP：={P:hs磅/吨∈ A-P公司 dt a.s.}。从[10，命题6.2]可以看出，集P在弱拓扑中是紧的。在这种情况下，以p>2的l（x）=（x+）p/p为例，从定理m 2.3可以得出ψ满足表示ψ（x）=supQ∈MlP（S）等式[X]- infP公司∈PqEPdQdPq, 十、∈ Ub（P）与P的H"older共轭。3、证明3.1。定理证明2.1对于每个c>0，请考虑集Gc：={MZT:RtZudSu≥ -c代表所有t∈ [0，T]}和泛函ψc（X）：=inf{m∈ R：m+Y- 十、∈ A代表一些Y∈ Gc}。（3.1）调用in f卷积ρL（P）上两个函数ρ和ρ的ρ由ρ定义ρ（X）：=infY∈L（P）（ρ（X- Y）+ρ（Y））。最小costψcca可以写成inf卷积：引理3。1、每X∈ L∞（P） ，最小成本ψcsatiesψc（X）=ρA\'\'φc(-十） ，其中φc（·）：=φc(-·) 和φc（X）：=inf{m∈ R：m+Y- 十、≥ 0表示某些Y∈ Gc}。证据让X∈ L∞（P） ，ε>0和Y∈ 总承包商。有m∈ R使得ρA（Y- X）≥ m级- ε和m+Y- 十、∈ A、 He nce，ψc（X）≤ m级≤ ρA（Y-十） +ε。这意味着tψc（X）≤ infY公司∈GcρA（Y-十） 。

另一方面，如果infY∈GcρA（Y- 十） =-∞, 之前的不平等是一种平等。IfinfY公司∈GcρA（Y- 十） >-∞, 让m∈ R应使m<infY∈GcρA（Y- 十） 。然后它保持m≤ψc（X），因为如果没有t，就存在Y∈ GCT此类t m+Y- 十、∈ A、 也就是说，m≥ ρA（Y- 十） 。因此，ψc（X）=infY∈GcρA（Y- 十） 。（3.2）在特殊情况下，用‘φc表示函数‘φc（X）：=inf{m:m+X∈ L+（P）- Gc}，我们有ψc（X）≥ infY公司∈L（P）（ρA(-Y- 十） +φc（Y）），如果我们取m>infY∈L（P）（ρA(-Y- 十） +φc（Y）），则每ε>0，就存在Y′∈ L（P）使得m>ρA(-Y′- 十） +φc（Y′）- ε. 因此，使用φc的定义，可以发现∈ gc使得φc（Y′）+Y≥ -Y′- ε. 由于ρAis递减且平移不变，因此产生m>ρA（Y- X）- 2ε，因此m≥ infY公司∈GcρA（Y- 十） 所以ψc（X）=infY∈L（P）（ρA(-Y- X+(R)φc（Y））=ρA\'\'φc(-十） 。提案3.2。在定理2.1的条件下，它成立：（i）对于每个索赔X∈ L（P）带X-∈ L（P）和ψc（X）<∞, 存在操作时间∈ gc使得ψc（X）+Y- 十、∈ A、 （ii）L上的函数ψcis实值∞（P） 满足ψc（X）=supQ∈MA（S）（等式[X]- ψc，*（Q） ），X∈ Cb（P）（3.3）ψc（X）≤ supQ公司∈MA（S）（等式[X]- ψc，*（Q） ），X∈ Ub（P）（3.4）与MA（S）概率测度集Q∈ ca+（）Ohm) 使得ρ*A(-Q） <∞; 它保持ψc，*（Q） =φc，*（Q） +ρ*A(-Q） ，对于所有Q∈ ca+（）Ohm).证据（i） 存在：Let X∈ L（P）带X-∈ L（P）和ψc（X）<∞ 固定。R中的Let（mn）bea最小化序列满足mn↓ ψc（X）和所有n∈ N存在Yn∈ GCMN+Yn- 十、∈ A、 Yn：=TZZnudSu。设MZnt是唯一的过程，如t MZnt=RtZnudSuP-q.s。可以确定，对于每个n∈ N和P∈ P、 a中存在一个序列（An），因此对于everyn，它包含mn+Yn- X=An。自A-P-一致可积（An）-在L（P）中有界，且EP[（An）+]=EP[An]+EP[（An）-] ≤ EP【mn+Yn+X】-] + EP[（An）-] ≤ mn+EP[X-] +EP[（An）-].