随机市场下的均衡价格与最优内幕交易策略

如果内幕人士采用以下令人难忘的交易策略θt=βt（v- Pt）- （H）-)ψt（8）对于某些Fytadapt过程βtwithψ（t）=Zt（t- u+ε）H-d对于任何ε>0，则（7）中定义的股票价格dpt=λtdYt，（9），其中λ是由λt=βt∑tε2H定义的价格影响-1σ（t），（10）和∑t是以下条件方差∑t=E（五）- Pt）FYt公司. （11） 此外，∑tca的动态可表示为：d∑t=-λtε2H-1σtdt。（12） 证明。如果温度过程ψ由ψt=Zt（t）定义- u+ε）H-dWu，则Fubini-yieldsZtψsds=ZtZs（s）的随机定理- u+ε）H-dWuds=ZtZus（s）-u+ε）H-ds公司dWu=H-Zt（t- u+ε）H-dWu公司- εH-Wt公司.定义ε，Ht=Zt（t- s+ε）H-dWs。然后，根据分数布朗运动的表达式bht=Zt（t- s） H类-dWs，我们可以得到ztψsds=H-hBε，Ht- εH-Wti。（13） 这导致ε，Ht=（H-)Ztψsds+εH-因此Bε是一个半鞅。此外，Bε，htt一致收敛于t的bhtf∈ L中的[0，T](Ohm) 当ε趋于0时。因此，我们在下文中使用Bε，Ht来近似原始分数B罗文运动BHt，这是目前数学金融中的常见做法【27，30】。现在，利用标准高斯投影定理（文献[25]中的定理12.6和12.7），我们可以导出pt+dt=E[v | Yt，Yt+dt，σt，σt+da]=E[v | Yt，σt]+Cov（v，Yt+dt- Yt | Yt，σt）V（Yt+dt- Yt | Yt，σt）×Yt+dt- 年初至今- E【Yt+dt】- Yt | Yt，σt]= Pt+E[（v- Pt）（θt+（H-)ψt）| Yt，σt]dtε2H-1σtdt（Yt+dt- Yt）=Pt+E[βt（v- Pt）| Yt，σt]dtε2H-1σtdt（Yt+dt- Yt）=Pt+βt∑tε2H-1σtdYt。

（14） 这里，第二个等式使用σ独立于订单流量中的资产价值这一事实，第三个等式是根据推测dpolicyθt的订单流量预期变化为零这一事实获得的，最后一个等式来自（11）。最后，应用投影理论m yieldsVar[v | Yt，Yt+dt，σt，σt+da]=Var[v | Yt，σt]-βt∑tεH-σtVar[年+月]- Yt | Yt，σt]，（15），导致∑t+dt=∑t- ε2H-1λtσt，（16），其中λ由（10）定义。这就完成了证明。由于我们的模型现在具有很长的记忆性，我们还需要引入新的市场深度过程并推导相应的均衡价格过程，然后才能找到问题的最优解决方案（3）。引理3.2。通过设置λt=q∑t来定义GT，并假设市场深度（即Kyle的lambda）过程λtis鞅。如果∑T=0，σ的上下一致为σ>0，则存在满足σε2H的唯一有界解GT-1（T- t）≤ 燃气轮机≤σε2H-1（T- t） 。（17） 证明。通过设置E[dλt]=0并使用（12），单相[dGt]=-ε2H-1σt√Gtdt（18），终端条件GT=0，这意味着Gtsatis fiespgt=E“ZTtε2H-1σs√GsdsFσt#。（19） 因此，√GT解决BSDEdyt=-f（t，yt）dt- ∧tdMt，yT=0，其中f（t，y）=ε2H-1σt2y。如果我们定义l（y） =ε2H-1σ2 | y |，则不难发现f（t，yt）≤ l（yt）对于所有（t，ω）和z∞l（x） dx=Z-∞l（x） dx。因此，根据引理2.4和2。解Lt存在两个解L（t）和U（t）=-RTt公司l（Ls）ds和Ut=-RTt公司l（Us）ds，分别≤ 燃气轮机≤ 美国犹他州。此外，很容易得出UT=-Lt=ε2H-1σ（T- t） ，得出Gt的上限。另一方面，如果我们考虑以下后序方程dxt的解=-ε2H-1σ2xtdt-e∧tdmt，终端条件xT=0，那么我们实际上可以得到xT=εH-σ√T- t通过设置∧t=0。

考虑F（t，yt）≥ε2H-1σ2y，（t，ω），引理2.6的比较结果得出yt≥ XT进一步得出Gt最大解的下界。如果我们定义gt=√g并假设有两个均匀边界解g（t）和g（t），然后这两个解之间的差值b，t=gt- gt，满意度t=E“ZTt-sε2H-1σs2gsgsdsFσt#。如果我们表示为ε2H-1σspgsgs，然后在≥ 0和exp-RTADS这是一个有界连续鞅。因此，我们可以得出这样的结论：t=0自T=gT- gT=0。这就完成了引理3.3的proo。由（9）和（10）驱动的价格过程ptt几乎肯定会在时间T收敛到v。证据很简单，dpt=λtdYt=r∑tGtθtdt+σtdBε，Ht=r∑tGtθt+（H-ψt）dt+εH-σtdWt=r∑tGthβt（v- Pt）dt+εH-σtdWti=v- PtGtε2H-1σtdt+r∑tGtεH-σtdWt（20）和d∑t=-∑tGtε2H-1σtdt，∑T=0。（21）如果我们考虑过程Xt=Pt- v、 下一步=e-Rtε2H-1σuGuduX+中兴通讯-Rtsε2H-1σuGudur∑sGsεH-σsdWs，I+I。从（17）中，不难算出ε2H-1σσlogTT- t型≤Ztε2H-1σuGudu。≤ ε2H-1σσlogTT- t型,直接导致limt→TI（t）=0。此外，I（t）可以可选地表示为asI（t）=e-Rtε2H-1σuGuduMt，其中mt=ZteRsε2H-1σuGudur∑sGsεH-σsdzs是一个布朗鞅，其二次变差等于hmit=ZteRs2ε2H-1σuGudu∑sGsε2H-1σsds=∑ZteRsε2H-1σuGuduε2H-1σsGsds=∑eRtε2H-1σuGudu- 1..根据引理2.1，存在一个标准的布朗运动bt，使得连续鞅可以看作是一个时变的B-rownian运动，即Mt=BhMit。应用引理2.2中规定的布朗运动的强大数定律，我们最终得到理想的结果→TI（t）=极限→Te公司-Rtε2H-1σuGuduMt=极限→TBhMit1+hMit∑=limτ→∞Bτ∑+τ=0。（22）这就完成了证明。备注3。1.

如果我们确定Ptas的平均逆转率κt=ε2H-1σtGt，那么我们可以得到PtasdPt=κt（v- Pt）dt+p∑e-Rtκsds√κtdWt（23）和INSIDER将采用以下令人难忘的交易策略θt=κtλt（v- Pt）- （H）-)ψt.（24）备注3.2。关于标准价格过程的极限分布，也有一个令人满意的结果HT=Pt-v√∑t.It^o引理可以屈服Dht=-ε2H-1σtGthtdt+εH-σt√GtdZt，（25），这意味着Ht是一个具有以下随机时变过程的时变Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程：τt=Ztε2H-1σsGsds，独立于Zt产生的过滤。此外，由于E[hT]=0和E[hT]=1，HTS的极限分布是标准正态分布。利用上面给出的结果，我们现在能够证明市场深度过程是一个鞅，并且可以为Gt建立一个新的界，其细节如下所示。引理3.4。市场深度过程λ是一个与订单流正交的鞅。此外，价格冲击过程λ是一个次鞅。证据根据引理3.2中规定的GT定义，可以直接推导出DPGT+ε2H-1σt√Gtdt=dMt，（26），其中mt=E“ZTε2H-1σt√Gtdtσt#。自那时起≤εH-σσ√T，这是（17）的直接结果，MTI实际上是一个鞅，适用于噪音波动率过程产生的过滤。利用市场深度过程的定义，可以很容易地得到λt=dr∑tGt=∑tdpGt-√Gt2∑td∑t=∑tdMt，（27），这清楚地表明λ是鞅。此外，由于zt和Mtare相互独立，我们得到dMtdZt=0，因此dλtdYt=0。最后，使用Jensen不等式yieldsE[λs | Ft]进行进一步计算≤ Eλs英尺=λt，表示λt≤ E[λs | Ft]。备注3.3到此结束。

应该指出的是，这与以往大多数文献的结果相矛盾。虽然在最初的凯尔模型中，价格影响是恒定的，在凯尔模型的各种著名扩展中，无论是鞅还是超鞅[3、4、5、6、8]，我们的结果与[11]中所述的结果一致，其中内幕交易者有机会等待更好的流动性进行交易。事实上，价格影响必须平均增加，以鼓励内幕人士尽早交易，并放弃在随机流动性框架下等待更好流动性的机会。引理3.5。如果有界解GT存在，则GT≤ ε2H-1E“ZTtσsds#。证明。将其^o公式应用于GT直接屈服SDPGT=2pGtdpGt+d【pGt】t=-ε2H-1σtdt+2pGtdMt+d【pGt】t=-ε2H-1σtdt+2pGtdMt+σtdλt、 （28）将（28）从t到t进行积分，并取所得方程两侧的期望值，我们可以得到期望的结果。3.2最优策略和验证理论利用上一小节中给出的所有必要结果，我们现在准备证明策略（24）确实是目标问题（3）的最优解。主要结果总结在以下命题中。提案3.1。如果价格动态由（7），（10）给出，且波动率在σ以上和σ以下一致有界>0，则（3）中定义的最优值过程可导出为jt=（v- Pt）+∑t2λt+H-Ztψs（v- Ps）ds-H-A、 （29）最优交易策略有以下表达式θ*t=ε2H-1σtλtGt（v- Pt）- （H）-)ψt.（30）这里，常数A可以从A=E“ZTψt（v- Pt）dtFY，v#，（31），其中第（23）条规定了PTI的动态。证据我们推测目标值函数可以表示为（29）。

将It^o引理应用于JtyieldsdJt=（v- Pt）+∑tdλt+λt-（五）- Pt）dPt+（dPt）+2λtd∑t+H-ψt（v- Pt）=（v- Pt）+∑t√∑tdMt+2λtd∑t+λt-（五）- Pt）λtθtdt+εH-σtdWt+ε2H-1σtdt=（五）- Pt）+∑t√∑tdMt- θt（v- Pt）dt- εH-σt（v- Pt）dWt，（32），其中第二个等式是使用引理3.3中的（20）获得的，第三个e质量是引理3.1中的（12）的结果。将（32）从0积分到T，我们进一步得到jt- J+ZTθt（v- Pt）dt=ZT（v- Pt）+∑t√∑tdMt+ZTεH-σt（v- Pt）载重吨。（33）如果我们定义（t）=ZtεH-σs（v- Ps）dWs，andI（t）=Zt（v- Ps）+∑s√∑SDM，那么它们实际上是任何可容许策略的鞅。为了证明这一点，我们从（23）和（24）开始，通过表达式PtasPt=P+Ztλsbθsds+ZtεH-σsλsdWswithbθs=θs+H-ψs.显然，一个hasZtε2H-1σsλsdWs=∑- ∑t<+∞安第斯山脉Ztλsbθsds≤ EZtλsdsZtbθsds≤ EZtσ∑sGsσsdsZtbθsds= EΣ- ∑tε2H-1σZtbθsds≤ E∑ε2H-1σZtbθsds≤2∑ε2H-1σEZtbθsds≤4∑ε2H-1σEZtθsds+（H-)Ztψsds< ∞,其中第三个等式来自（21），最后一个等式是（4）和（13）的结果。这意味着Pt具有有限的方差。考虑到σ是一致有界的，我们当然可以得到“ZTε2H-1σt（v- Pt）dt#<∞,因此I（t）是鞅。另一方面，它来自引理3.4和备注3.2（五）- Pt）∑t< ∑E【ht】<∞,这进一步导致“ZT（v- Ps）∑sdhMsi#<∞.在这种情况下，ZT（v- Pt）√∑tdmt也是鞅，因为mt是一致有界的马氏体。因此，考虑∑是一个递减过程，I（t）是一个鞅。现在，如果我们对（33）两边都取期望值，那么j=E“ZTθt（v- Pt）dt+JT#（34）对于任何θ∈ A、 自（v）-Pt）+∑t2λt≥ 0，JT的期望值，E【JT】，可以通过设置T=T从m（29）计算得出，E【JT】≥ 0，屈服“ZTθt（v- Pt）dt#≤ J、 这意味着，如果存在交易策略θ，则jj将是最优值函数*t、 与（10）一致，使得E【JT】=0。

实际上，从引理3.2和（31）中，我们得到E[JT]=E（五）- PT）2λT+√∑TGT= E（五）- PT）2λT≤vuutE[（v- PT）GT]E“v- PT公司√∑T#= 因此，我们证明了价值函数和交易策略的最优性。从命题3.1和备注3.2中可以清楚地看出，均衡价格允许一个过渡过程，该过程收敛到v值，而v值只有在到期时才为内幕人士所知。这保证了所有私有信息在到期时都将被纳入均衡价格，并且推广了[3]中给出的结果，即连续时间Kyle模型中的均衡价格遵循具有恒定波动率的标准布朗桥。从我们的模型中还可以观察到，只有当mea n-逆转率κtis随机时，均衡价格波动才会随机。提案3.1进一步指出，虽然内幕人士的最佳交易策略是与资产低估成比例地进行交易，但- p在与他/她的价格影响λt成反比的利率下，它是当前“流动性状态”的单调递增函数，通过当前噪声交易方差σ和预期噪声交易方差gt（即σtGt）之间的相对差值b来衡量。还应该注意到，由于分数布朗运动的存在，我们的最优策略θ*（t） ，包含随机项（H-)ψt也显示了长记忆性，这是一个在文献[11]中没有证明的特性，这意味着分数布朗运动的引入对最优策略的选择有着显著的影响。下文对未知情流动性交易员产生的总执行或滑移成本作了进一步说明。备注3。4.

噪声交易者0到T之间的总损失可通过zt（Pt+dt）得出- v） σtdBε，Ht=ZT（Pt+dPt- v） σtdBε，Ht=ZTε2H-1λtσtdt+ZT（Pt- v） σtdBε，Ht。（36）第一个组成部分是纯粹的执行或滑移成本，这是由K yle模型中在t时间提交的m个市场订单将在t+t日期按照竞争性做市商设定的价格执行的情况引起的。第二个部分是噪声交易者购买具有长记忆的证券所造成的最终损失，其基本价值v对他们来说是未知的。由此，使用[11]中的类似定义，此处未知情流动性交易者产生的总执行或滑移成本可获得为ZTσtdBε，HtdPt=ZTε2H-1λtσtdt，（37），它是随机的，依赖于路径，并且受分数噪声的影响。备注3。5、内幕人士的无条件预期利润可通过“ZT（v- Pt）θtdt#=E“ZTε2H-1σt√∑tGt（v- Pt）dt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#=E“ZTε2H-1σt√∑tGt∑tdt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#=E“ZTε2H-1λtσtdt#- （H）-)E“ZT（v- Pt）ψtdt#，其中用θ的代换得到第一个等式*第二个是使用迭代期望定律推导出来的。

与[11]中的结果不同，投资者的无条件预期收益不再等于n oise交易员支付的无条件预期执行成本s，相反，由于分数布朗运动的产生，他们有一个额外的组成部分，这意味着总订单流量所拥有的长期记忆属性对内幕人士的无条件预期收益有影响。4交易量、波动性和价格影响在本节中，考虑了两种特殊情况，以进一步调查噪音交易波动性过程对均衡的影响，它们的区别在于噪音交易的增长率是否是决定性的4.1噪音交易波动率的确定性增长率本小节将讨论（6）中噪音交易波动率过程的增长率是确定性的（波动率采用一般形式）的情况。在这个特殊的假设下，可以导出GT的闭式解，在此基础上可以得到均衡价格过程、均衡交易策略、均衡波动率和均衡价格影响。相应的结果如下所示。提案4.1。假设噪声交易波动率的增长率是确定性的，使得dt=ztterut2msdu（38）对于所有t∈ [0，T]。那么（19）的解可以表示为gt=ε2H-1σtDt（39），股价动态具有以下形式dpt=Dt（v- Pt）dt+eRtmsdsσvdWt，（40），其中σv=∑D。在平衡状态下，价格影响可以用λt=eRtmsdsεH表示-σvσt（41）和内幕人士的最优交易策略可以表示为θ*t=λtDt（v- Pt）- （H）-)ψt.（42）此外，内幕人士的预期交易率isE[θ| v，F]=ERT2MDSσ（v- P） σvD。（43）证明。

利用鞅性质，可以直接从（6）得出e[σu | Ft]=σteRutmsds。（44）在这种情况下，如果我们假设GT的解采用（39）的形式，那么从（19）可以得出PDT=ZTteRutmsds√嘟嘟。显然，如果命题中规定的dt满足此积分方程，我们的猜测是正确的，这里就是这种情况。考虑到我们在上面建立的唯一性，（39）确实是targetsolution的表达式。内幕人士的预期交易率可通过E[θt | v，F]=E计算得出v- Pt公司√∑tε2H-1σt√燃气轮机- （H）-)ψt= Ev- Pt公司√∑tε2H-1σt√燃气轮机=v- P√∑e-Rt2DsdsσεH-ER*****S√Dt，（45），这是（19）的直接结果，引理3.4中规定了Ht的动力学，ψt是鞅。因此，使用identitye-RT2DSD=rDtDe-Rtmsds，直接生成所需的结果。提案中的其他结果实际上遵循提案n 3.1，这已经完成了预防。应该注意的是，在引入分数布朗运动之后，我们的模型成功地考虑了长记忆的影响。当然，当H=设置在（20）中时，该模型将[11]视为特例，当σt=σ，mt=vt=0，Dt=t时，它将进一步退化为连续时间Kyle模型[3]- t、 在这种情况下，σv=σt是市场制造商先验的年化方差，价格波动和价格影响都是常数，分别等于σ和σvσ。不应否认，价格波动和基本值∑皮重的后验方差是确定性的，这是噪声交易波动增长率具有确定性的结果，而价格影响是随机的，与噪声交易波动率呈负相关。