随机市场下的均衡价格与最优内幕交易策略

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英文标题：
《Equilibrium price and optimal insider trading strategy under stochastic
  liquidity with long memory》
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作者：
Ben-zhang Yang, Xinjiang He, Nan-jing Huang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, the Kyle model of insider trading is extended by characterizing the trading volume with long memory and allowing the noise trading volatility to follow a general stochastic process. Under this newly revised model, the equilibrium conditions are determined, with which the optimal insider trading strategy, price impact and price volatility are obtained explicitly. The volatility of the price volatility appears excessive, which is a result of the fact that a more aggressive trading strategy is chosen by the insider when uninformed volume is higher. The optimal trading strategy turns out to possess the property of long memory, and the price impact is also affected by the fractional noise.
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中文摘要：
本文对Kyle内幕交易模型进行了扩展，通过描述具有长记忆的交易量，并允许噪声交易波动遵循一般的随机过程。在这个新修正的模型下，确定了均衡条件，从而明确地得到了最优内幕交易策略、价格影响和价格波动率。价格波动的波动性似乎过大，这是因为内幕人士在未知情交易量较高时选择了更激进的交易策略。结果表明，最优交易策略具有长记忆性，价格影响也受到分数噪声的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Equilibrium_price_and_optimal_insider_trading_strategy_under_stochastic_liquidit.pdf (271.49 KB)

2022-6-11 08:40:18 上传

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关键词：交易策略 内幕交易 均衡价格 Mathematical Quantitative

长记忆库存流动性下的均衡价格与最优内幕交易策略*Ben zhang Yanga，新疆Heb，Nan jing Huanga，+a.四川大学数学系，中国四川成都610064。澳大利亚新南威尔士州伍伦贡大学数学与应用统计学院2522摘要：在本报告中，通过描述具有长记忆的交易量，并允许噪声交易波动遵循一般的随机过程，对Kyle内幕交易模型进行了扩展。在这一新修正的模型下，确定了均衡条件，据此可获得最佳内幕交易策略、价格影响和价格波动率。价格波动的波动性似乎过大，这是因为内幕人士在未知交易量较大时选择了更激进的交易策略。最优交易策略具有长记忆性，价格影响也受到分形噪声的影响。关键词：资产定价；平衡内幕交易；最优投资；资产变现能力分数布朗运动。1引言均衡资产定价对于任何金融市场来说都是一个重要且持续的话题，许多作者对此进行了深入研究[9、1、1、18、28、31]。它还可以用来处理内幕交易问题，历史可以追溯到1985年，当时Kyle【22】开发了一个模型，其中假设largetrader拥有关于股票价值的长期私人信息，这些信息将在某个已知日期公布，并以最佳方式持续交易股票，以最大化其预期收益，而风险中性的做市商则试图从总订单流量中推断出内幕人士所拥有的信息。

由此产生的均衡价格动态实际上与订单流量呈线性响应，而不是完全显示，因为订单流量也是由只针对流动性价格的不知情噪音交易者驱动的。尽管凯尔模式很吸引人，但它也克服了两个主要缺点；Kyle的lambda是衡量订单流量对均衡价格影响的常数，价格波动率变为常数，与噪音交易波动率无关。为了进一步研究不对称信息对资产价格、波动性、交易量和市场流动性的影响，Admati和P fleiderer[1]，Foster和Viswanathan[13，14]首先修改了Kyle模型，将其扩展到具有近视代理的动态经济体，从而使价格波动不再*这项工作得到了国家自然科学基金（11471230、11671282）的资助。+通讯作者。电子邮件地址：nanjinghuang@hotmail.comconstant由于噪声交易波动率的确定性变化，每个时期都会引入新的私人信息。Fosterand Viswanathan[15]也在噪音交易量中引入了随机变化，然后对该模型进行了实证检验，以显示价格波动性、交易量和价格影响的联合行为。然而，这些扩展的一个明显缺点是假设信息是短期的，这不是真实的。随后，确定性噪声交易波动率被直接引入Kyle模型，以便成功地捕捉到日内流动性交易模式[4]。这种关于噪音交易波动性的假设仍然不合适，因为它会产生确定性的价格影响，并进一步导致流动性交易的预期执行成本不取决于其交易时间的情况。

Collin Dufresne和Fos[11]提出了Kyle模型的一个最近的扩展，他们考虑了随机噪声交易波动性，并指出这是内幕人士的流动性时机选择能够产生随机价格波动性以及价格波动性、市场深度和未知情交易量之间的非零相关性的唯一保证。尽管[11]中提出的模型具有所有优势，但它没有考虑到波动性具有长记忆的特征，这是金融计量经济学家的共识。特别是，Bollerslev和Jubinski[7]提出了波动性具有长记忆的证据，并研究了交易量和波动性具有共同长期依赖性的程度。与此相一致，他们还提出，在观察到偶尔的结构突变可能会导致长期依赖之后，将混合分布假设（MDH）更好地视为长期支持[17]。这意味着在MDH下，日内交易量和回报的平均值和/或波动性的局部变化可能会导致长期依赖性，这是由于交易员对信息事件的反应而产生的。此外，分数积分模型被证明在存在结构性突变的情况下提供了波动动力学的有用描述，因为它们有效地允许无条件方差随时间缓慢变化【12】，Hyung等人【20】进一步证明分数积分模型提供了最佳的波动预测，当无法在发生之前确定波动性中断时。

最近，在[32，33]中提出了一种新的波动率分数随机过程，其中，一般的分数随机模型可以更好地捕捉资产的动态波动率以及基础资产收益率和波动率之间的变化相关性。考虑到市场参与者为将未形成订单流量的组成部分与未形成订单流量的组成部分分开所花费的资源量，以及波动性所表现出的长记忆特性，很难理解这些因素如何影响均衡价格和流动性，因为与定量金融/经济领域相似[19，34]，找到一个能够反映真实市场最具特征的适当模型对于进行正确分析至关重要。为了综合这些因素，本文对凯尔模型进行了推广，使噪声交易波动率在随机环境下演化，交易量由一个受记忆噪声扰动的分数阶随机动态系统控制。本文的主要贡献可以概括为四个方面。首先，为内幕交易问题建立了一个涉及分数随机环境的新的一般框架，并给出了相应的均衡价格，从而给出了一类新的桥牌过程，该桥牌过程在成熟时几乎必然收敛到事前值，只有内幕人士才知道。其次，衍生的最优交易策略显示出长记忆，与资产的低估成正比，相应的比率分别是当前流动性状态和价格影响的递增和递减函数。第三，价格影响被证明是一个次因子，与噪声交易波动率呈负相关，同时也受到分数噪声的影响。

最后，我们的新模型中的价格波动率随着噪声交易波动率的增加而增加，而当考虑价格影响时，可以观察到相应的趋势。本文的其余部分分为五个部分。第2节介绍了一些必要的准备工作。在第3节中，我们介绍了一般模型，并对实现平衡的细节进行了说明。在第4节中，考虑了两个具体案例，以强调均衡的关键特征，并讨论了可能的范围，最后一节给出了一些结论性的重新标记。2序言在本节中，介绍了一些有用的概念和结果。我们假设(Ohm, FT，P）是一个概率空间，其中FT，σ（Xs；0≤ s≤ t） 是最小的σ，关于该σ，随机变量x对于所有s都是可测量的∈ [0，t]。让我∞(Ohm, FT，P）表示所有有界和F-可测随机变量的空间，Mc，loc表示所有连续局部鞅的空间。假设Hxit被定义为连续函数x=（xt；0）空间中x和Csands的二次变化过程≤ t型≤ 1） 在[0，1]上。我们还假设P和PNB（Rd+1）分别是可预测的σ场和由σ场P和B（Rd+1）形成的产品σ场。引理2.1。（文献[21]第3章定理4.6）设M={Mt，Ft；0≤ t型≤ ∞} ∈ Mc，locsatisfylimt→∞hMit=∞, a、 s.定义，每0≤ s<∞, 停止时间asT（s）=inf{t≥ 0; hMit>s}。然后，以下时变过程b、MT（s）、Gs、FT（s）；0≤ s<∞是标准的布朗运动。特别是，过滤{Gs}满足通常条件，mt=BhMit；0≤ t<∞, a、 s.引理2.2。（问题9.3在[21]的第2章中）设W={Wt，Ft；0<t<∞} 成为标准的布朗运动。Thenlimt公司→∞Wtt=0，a.s.引理2.3。

（文献[25]中的定理4.6）让非预期泛函a（t，x），b（t，x），t∈ [0，1]，x∈ C、 满足Lipschitz条件| a（t，x）- a（t，y）|+| b（t，x）- b（t，y）|≤ LZt | xs- ys | dK（s）+L | xt- yt | anda（t，x）+b（t，x）≤ LZt（1+xs）dK（s）+L（1+xt），其中Land Lare常数K（s）是一个非递减右连续函数，0<K（s）<1，andx，y∈ C、 设η=η（ω）为F-可测随机变量，P（|η（ω）<∞|) = 那么方程dxt=a（t，x）dt+b（t，x）dWt，x=η，有唯一的stron g解ξ=（ξt，Ft）。允许l : R→ R+是一个严格正连续函数。我们这么说l 如果满足以下条件，则属于L类-∞ < 一≤ 0≤ b<+∞, 以下ODEsLt=a-ZTt公司l（Ls）ds，Ut=b+ZTtl（Us）ds（1）在[0，T]上有全局有界解。引理2.4。([24]) l ∈ L如果且仅如果-∞dx公司l（x） =Z∞dx公司l（x） =∞.此外，当l ∈ 五十、 （1）中给出的方程具有唯一的解。引理2.5。（[24]）假设ξ∈ L∞(Ohm, FT，P）和f是一个PNB（Rd+1）可测函数，使得f（t，ω，·，·，·）对于所有t和ω是连续的，并且存在一些有限常数C，使得| f（t，ω，y，z）|≤ l（y） +C | z |适用于所有t、ω、y和z。如果l ∈ 五十、 然后BSDE（倒向随机微分方程）Yt=ξ+ZTtf（s，ω，Ys，λs）ds-ZTt∧sdWs（2）有一个最大有界解（Y，∧）。此外，Y是一个连续过程，L≤ 书信电报≤ Yt（ω）≤ 美国犹他州≤ 所有t和ω的Uholds，其中（L，U）是b=kξk的（1）的非唯一解∞和a=-kξk∞.引理2.6。

（[24]）假设f和h是两个PNB（Rd+1）可测函数，使得（i）对于所有t，ω；f（t，ω，·，·）是连续的；（ii）对于所有t，ω，y，z；f（t，ω，y，z）≥ h（t，ω，y，z）；（iii）存在一个常数C>0，这样，对于所有t，ω，y，z|f（t，ω，y，z）|<l（y） +C | z |其中l ∈ L（iv）ξ，η∈ L∞(Ohm, FT，P）和ξ≤ ηP- a、 s.如果（X，Z）是（2）的最大有界解，终值为ξ，系数为f，（Y，Γ）是（2）的有界解，终值为η，系数为h，系数为Y≤ 十、 定义2。1.（[26]）具有赫斯特指数H的分数布朗运动是一个中心高斯过程，其协方差函数R（t，s）=E[BHtBHs]由R（t，s）=（| t | 2H+| s | 2H）给出- |t型- s | 2H），其中0<H<1。备注2.1。如果H=，R（t，s）=min（t，s），bh是通常的标准布朗运动。如果H 6=，则BHT既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程。这是一个如下意义上的长记忆过程[29]：如果ρn=E[BH（BHn+1- BHn）]，然后是s eriesP∞n=0ρnis发散或收敛，极侧向。3均衡价格和最优策略我们首先提出模型中的几个基本假设。对于某个股票过程ssPt，有一个风险中性且知道其最终股票价值v的投资者。内幕人士试图最大化他/她的最终收益预期，如下所示：Jt=max{θs}s≥t型∈AE“ZTt（v- Ps）θsdsFYt，v#。（3） 在这里，根据[4]，我们假设内幕人士选择了一个绝对连续的交易规则θ，它属于一个可容许的集合a=（θE“ZTθsds#<∞).

（4） 此外，假设总订单流量到达Yt（由内幕人士的需求和噪音交易者的需求引起）遵循DyT=θtdt+σtdBHt，（5）其中BHT是独立于v的分数布朗运动，这意味着交易量具有显著的市场特征，H被限制在（，1）范围内，因为研究波动性所表现出的长期依赖性的影响对财务有好处，fy是由总订单流量的历史信息产生的过滤y={Yu}u≤t、 我们在这里做的另一个假设是σt滚动dσt=m（t，σt）σtdt+ν（t，σt）σtdMt，（6）其中mt是鞅，长期利率m（t，σt）和波动率ν（t，σt）取决于波动率σt的过去历史，而不是取决于Y的历史。另一方面，做市商也是风险中性的，并且有一个先验信息，即v遵循正常分布N（P，∑），而不是了解终值v。做市商通过以平均盈亏平衡的价格进行交易来吸收总订单流量。由于做市商是风险中性的，均衡盈亏平衡要求市场清算价格spt=Ev | FYt. （7） 最后，假设做市商和内幕人士都能完美地观察σ的历史，这表明过滤FYC包含订单流量和波动率σt的历史。

这与Kyle模型中的假设不同，在Kyle模型中，只有均衡价格是可观测的，因为在Kyle模型中，均衡价格能够恢复总订单流量，而仅观察价格不足以恢复噪声交易波动率，因为我们模型中未信息订单流量的波动率不再是常数，而是一个随机变量。这里需要重新说明的是，如果不确定项是没有记忆的一般布朗运动，那么该模型将退化为Collin Duersne和Fos研究的模型【11】。此外，如果Noise tradingσtwere为常数，则该模型将与classica l Kyle Backmodel完全相同[22]。3.1均衡价格过程定义3.1。当（PT，θt）满足条件（7）时，在解决内部人的时间问题（3）时，会出现平衡。为了解决这一均衡，我们分三步进行：a）股票价格动态呈现，与做市商的风险中性过滤比n一致，这取决于内幕人士遵循的推测strategyrule；b） 内部人最优问题（3）在假设动态（7）下求解；c） 求解猜想规则（7）与（3）的最优解一致，这表明我们已经达到定义3.1中定义的等式。我们首先提出几个引理，在推导内幕人士的最佳交易策略时将使用这些引理。下面的引理3.1表明，如果内幕人士采取的交易策略在他/她的记忆能力中是线性的，那么股票价格过程的变化在顺序流中是线性的。引理3.1。