随机市场下的均衡价格与最优内幕交易策略

另一方面，内幕人士的最佳交易策略不仅与价格影响λ和流动性状态κt分别负相关和正相关，而且由于分数布朗运动的引入，它还表现出长记忆特性。还值得注意的是，分数噪声对内幕人士的预期交易率没有影响，这也是合理的，因为这在平均意义上是合理的。T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1λT0.51.52.5H=0.6H=0.8H=1图1：H对λt的影响。参数值为：∑=0.2，σ=1，ms=1，t=1，ε=0.01。T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1λT0.150.20.250.30.350.40.45=0.01=0.1=0.5图2：ε对λt的影响。参数值为：∑=0.2，σ=1，ms=1，t=1，H=0.6。为了进一步研究长记忆的影响，数值显示了价格影响λt（Kyle的λ）如何随长记忆参数H和近似因子ε而变化。具体而言，图1显示，长记忆参数H对价格影响有积极影响，因为较高的H值有助于较高的价格影响。这可以通过以下事实来理解：当波动性表现出更大的长期依赖性时，从订单流中获得更多信息。此外，当H增加时，价格影响对时间更为敏感，而当H较低时，价格影响几乎是一个常数，这是因为当H接近时，分数布朗运动近似于标准布朗运动，并且长记忆特性不再存在。另一方面，在图2中可以观察到一个适当的趋势，即近似因子ε越小，价格影响越大。

这也是合理的，因为当ε减小时，分数噪声会减少，这意味着会显示更多信息，从而导致更大的价格影响。然而，需要强调的是，尽管价格影响是随机的，但价格波动仍然是一个确定性函数，而且无论是数量变化与价格波动之间的复杂关系，还是价格影响与价格波动之间的复杂关系，都无法产生。只有当噪声交易波动率的增长率是随机的时，才会产生这种关系。在下一小节中，将介绍一个生成随机价格波动和价格波动与成交量之间有意义关联的框架。4.2噪声交易波动率的随机增长率在本小节中，提出了噪声交易波动率遵循两态连续马尔可夫链的特殊情况，这引入了依赖于状态的可预测性，从而成功捕获了噪声交易波动率中的随机增长率。我们从指定σtasdσt的动态o开始=σH- σtdNL（t）- （σt- σL）dNH（t），（46），其中σLandσ有两个固定值，满足σL<σH，波动率σ的初始水平∈ {σH，σL}，和Ni（t）是一个标准的泊松计数过程，当i=H，L时，跳跃强度λ。在这种情况下，（19）的解在下面的命题中给出。提案4.2。（19）的唯一有界解由gt=1{σt=σL}ε2H给出-1GL（T- t） +1{σt=σH}ε2H-1GH（T- t） ，其中压盖是以下常微分方程的解（普通微分方程）dGL（τ）=（σL）+2λLqGH（τ）GL（τ）- GL（τ）,dGH（τ）=（σH）+2λHqGH（τ）GL（τ）- GH（τ）（47）在边界条件GL（0）=GH（0）=0的情况下。证据

如果我们定义（t，σt）=1{σt=σL}GL（t- t） +1{σt=σH}GH（t- t） andM（t）=pG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du，那么不难发现M（t）是一个纯跳跃市场，这意味着M（t）=E[M（t）| Ft]，领先于topG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du=E“pG（t，σt）+ZtσupG（u，σu）du英尺#。考虑到边界条件GL（0）=GH（0）=0，pg（t，σt）=E“ZTtσupG（u，σu）du很简单Ft#，thusqε2H-1G（t，σt）=εH-pG（t，σt）=E“ZTtε2H-1σ以上ε2H-1G（u，σu）du英尺#。这已完成项目。根据备注3.1，价格动态可写为dpt=κ（t，σt）（v- Pt）dt+σP（t）dWt，（48），其中σP（t）=P∑e-Rtκ（s，σs）dspκ（t，σt）和κ（t，σt）=1{σt=σL}κL（t- t） +1{σt=σH}κH（t- t） 带κi（t- t） =（σi）Gi（t- t） ，i=L，H。显然，可以很容易地观察到，价格现在遵循随机波动率的均值回复过程，均值回复速度和波动率都由马尔可夫链控制。此外，噪音交易波动率的高值通常会导致较高的均值回归速度，这是因为预计内幕人士的交易会更加激烈。还应注意的是，当时间接近到期时，mea-reversion速度和波动率都将接近，这可以通过因素解释，即代理在接近到期时的交易越来越激烈，因为他们不想留下任何资金。成交量变化与价格波动之间也存在正相关关系，因为价格波动总是与噪音交易波动的方向相同。4.3扩展和讨论虽然上述所有讨论都是基于总订单流量和噪声交易波动率为简化说明而有条件不相关的假设，但事实上，这一假设可以放宽。

为了说明这一点，让我们考虑一个更一般的模型，总订单流量定义如下：*t=θtdt+σtdBε，Ht+η（t，σt，Y*t） dMt。（49）如果我们进一步定义y=dY*t型-η（t，σt，Y*t） v（t，σt）（dσt- m（t，σt）dt）=ηtdt+σtdBε，Ht，（50），这与（50）中给出的完全相同，那么可以很容易地表明，在这个广义fr值下，我们的上述所有结果都是不变的，因为观察到（Y*t、 σt）相当于观察所有市场参与者的Yt、σt。然而，我们也应该注意到，我们的均衡证明确实依赖于这样一个假设，即yth的历史对σt的未来动态没有影响。另一方面，由于价格变化现在在Yt中是线性的，它在总量或流量中不再是线性的，相反，只有在订单流量的组成部分中才是线性的，这是关于内幕人士行为的信息。受[2，10，11，16]思想的启发，我们还将价格变化的时间序列建模为服从正态分布的时间序列。为了捕捉收益的异方差性，我们的模型为这种股票收益建模的从属过程提供了微观经济学基础，指导过程是内生的，并且与交易量相关，其结果显示在以下命题中。提案4.3。如果我们将正增长随机导向过程定义为τt=t1.- e-Rtε2H-1σuGudu假设σv=σT，那么∑T=σv（τT- τt）和dpt=v- PtτT- τtdτt+σvdW′τt对于一些布朗运动W′独立于M，其定义为σvdW′τ=εH-λtσtdWτt.证明。

时间变化产量的定义dτt=-σvd∑t=ε2H-1∑tσtσvGt=ε2H-1（τT- τt）σtGt，将其与引理3.3和备注3.2一起替换到均衡价格过程中，得到期望的结果。从命题4.3可以清楚地看出，均衡价格是一个时变布朗桥，类似于凯尔-贝克模型中的情况，其中价格过程是一个标准的布朗桥。然而，我们的平衡点c不能简单地使用模式l的时间变化来推导，这是因为Kyle Back模式l中的价格影响是恒定的，而在我们的情况下，这是一个随机过程。人们还可能发现，价格是一种时变布朗运动，属于[10]中所述的做市商过滤的从属过程。此外，我们的模型给出了指导过程τt的内生表达式，该表达式取决于（未信息）体积动态和分数噪声，而不需要指定产生随机波动的潜在信息过程[2]。该模型的一个明显优点是其通用性，因为可以确定任何体积动态的导向过程，典型的例子包括正态、泊松和对数正态，这意味着可以联合考虑主要的程式化事实，这是根据【16】所述的一个重要属性。5结论在本文中，我们提出了一种动态内幕交易的修正Kyle模型，其中nois e tradingvolatility和交易量分别受一般随机过程和分馏随机过程控制。在均衡条件下，当未知情交易量较高时，由于内幕交易的加剧，所得到的均衡价格过程表现出过度的波动性。

最优内幕交易策略具有长记忆性，价格影响与非isetrading波动率呈负相关，这也受到分数噪声的影响。该模型提出了许多简化假设，可以放宽这些假设，以进一步了解信息如何流入价格以及价格波动、价格影响和交易量如何变化。例如，我们可以考虑在不同的时间范围内而不是在既定的时间范围内进行投资，并假设内幕人士的存在是市场的常识。我们将这些扩展留给未来的研究。参考文献【1】A.Admati，P.P Fleiderer，《日内模式理论：成交量和价格变化》，修订版。财务部。螺柱。，1 (1) (1988), 3-40.[2] T.G.Andersen，《回报波动率和交易量：随机波动率的信息流解释》，《金融杂志》，51（1）（1996），169-204。[3] K.Back，《持续时间内的内幕交易》，Rev。财务部。螺柱。，5 (1992), 387-409.[4] K.Back，H.Pedersen，《长期信息和日内模式》，J.Financ。做记号1 (1 998), 385402.[5] K.Back，S.Baruch，《证券市场信息：Kyle会见Glosten和Milg rom》，《计量经济学》，72（2）（2004），43 3-465。[6] S.Baruch，《内幕交易与风险规避》，J.Financ。做记号5 (4) (2002), 451-464.[7] T.Bo lle rslev，D.Jubinski，《股票交易量和波动性：潜在信息到达和共同长期依赖》，J.Bus。经济。《统计》，17（1999），9-21。[8] R.Caldenty，E.Stacchetti，《有随机期限的内幕交易》，经济计量学a，78（1）（201 0），245-283。[9] G.Chang，S.Sures h，《违约均衡模型中的资产价格和无违约期限结构》，J.Bus。，78 (2005), 1215-1266.[10] P.K.C lark，《投机价格具有有限方差的从属随机过程模型》，计量经济学，41（1）（19 73），135-155。[11] P.Collin Dufresne，V。

Fos，《内幕交易、随机流动性和均衡价格》，计量经济学，84（4）（2016），14 41-1475。[12] F.Diebold，A.Inoue，《长记忆与制度转换》，计量经济学杂志，105（2001），131-159。[13] F.D.Foster，S.Viswanathan，《证券市场成交量、方差和交易成本的日间变化理论》，修订版。财务部。螺柱。，3 (4) (1990), 593-624.[14] F.D.Foster，S.Viswanathan，《交易量变化、回报波动性和交易成本：近期价格形成模型的证据》，《金融杂志》，48（1）（1993），187-211。[15] F.D.Foster，S.Viswanathan，C投机性交易解释了交易量波动关系？J、 公共汽车。经济。《统计》，第13（4）（1995），379-396页。[16] A.R.Gallant，P.E。Rossi，G.Tauchen，《股价与成交量》，修订版。财务部。S tud。，5 (2) (1992),199-242.[17] C.Granger，N.Hyung，《偶然性结构断裂和长期记忆与标准普尔500绝对股票收益率的应用》，J.Empil。财务。，11 (2004), 39 9-421.[18] P.Guasoni，M.H.Weber，《具有共同价格影响的多重资产再平衡》，J.Optim。理论应用程序。，179 (2) (2018), 618-653.[19] 何世杰，朱世平，带区域切换的newstochastic波动率模型下欧式期权定价的解析近似公式，经济学杂志。发电机。控制71 (2016), 77-85.[20] N.Hyung，S.Poon，C.Granger，波动性长期记忆的来源。工作文件，加利福尼亚大学圣地亚哥分校，2006年。[21]I.Karatzas，S.E.Sherve，《布朗运动与随机计算》，柏林：Springer-Verlag，1991年。【22】A.Kyle，《连续拍卖和内部交易》，计量经济学，5 3（6）（1985），1315-1335。[23]V.Naik，M.Lee，不连续收益市场投资组合期权的一般均衡定价。修订版。财务部。螺柱。，3 (1990), 493-521.[24]J.P.Lepe-ltier，J.S.Martin，具有超线性二次系数的BSDE的存在性，Stoch。

斯托赫。众议员，63（3-4）（1992），227-240。[25]R.Liptser，A.Shiryaev，《随机过程统计II：应用》（第二版），柏林：SpringServerLag，2001年。[26]B.Mandelbrot，J.van Ness，《分数布朗运动，分数噪声与应用》，SIAMRev。，10 (4) (1968 ), 422-437.【27】M.Mr'azek，J.Posp'sil，T.Sobotka，关于随机和分数随机挥发模型的校准，欧洲。J、 操作。第254（2016）号决议，1036-1046。[28]J.Liu，J。Pan，T.Wang，稀有事件保费的均衡模型及其对期权困境的影响。修订版。财务部。St ud。，8 (2005), 131-164.【29】A.N.Shiryaev，《分形模型的套利和复制》，预印本，莫斯科大学和SteklovInstitute，19 99。【30】T.H.Thao，金融分数分析的近似方法。非线性分析。RW，7（2006），124-132。[31]B.Z.Yang，J.Yue，N.J.Huang，不完全市场中随机波动率和随机利率的L’evy过程下的方差掉期。arXiv:17 12.10105【q-fin.PR】。[32]J.Yue，N.J.Huang，具有随机相关性和波动性的中性和差异定价，J.Ind.Manag。Optim，14（1）（2018），199-229。【33】J.Yue，N.J.Huang，分形Wishart过程和ε-分形Wishart过程及其应用，计算机。数学应用程序。，75 (8 ) (2018), 2955 -2977 .【34】S.P.Zhu，X.J.He，一种新的闭合形式，用于在倾斜布朗运动下对欧式期权进行定价，欧元。J、 财务。，24 (12 ) (2018), 1063-1074.