动态风险调整的最优执行

目标损益函数的风险调整金融经济学的一个众所周知的结果是，在静态单周期市场模型中，风险厌恶型非饱和代理的偏好可以用凹函数和增函数（效用函数）来表示。事实上，很容易验证效用函数的凹度与额外的金额（风险补偿）成正比，此外，代理人还需要支付公平彩票的预期报酬。这种风险补偿的量化对于解释市场上可实现的最佳风险回报交易效果和提供最佳投资机会至关重要。愿意在市场上清算其投资组合的投资者也面临着类似的动态风险收益交易效应，他们受到价格影响和通常影响实际市场的微观结构价格导致的有限清算可能性所引发的不确定性的影响。虽然传统的最优清算方法最大化了利润和损失函数，该函数解释了执行问题产生的成本和利润，但本文的主要创新之处在于通过同时考虑投资者的风险规避来评估流动性政策的优化程序的公式和解决方案。换言之，我们指定了一个职能部门，该职能部门代表清算战略的成本效益权衡，同时惩罚从投资者角度来看风险特别大的清算路径。

将此风险贡献纳入待优化的动态功能的一种自然方式是基于g-条件风险度量理论，即以与凸驱动因素g相关的BSDE解决方案为特征的动态风险度量。在附录C中，我们简要回顾了与我们的分析相关的动态风险度量的基本定义和结果。动态风险调整的最佳执行9我们将重点分析所谓的动态熵风险测量的情况，对于任何ξ（T）∈ LFT公司(Ohm; R） ，如下所示：R（t，ξ（t））：=λln E[exp(- λξ（T））| Ft]，T∈ [0，T]式中λ≥ 0是风险规避系数，也就是说，其他条件相同时，λ的变化会改变投资者的风险态度。下一个命题在熵风险度量和一维BSDE的解之间建立了一个众所周知的联系，该解具有以下二次驱动g:g（Z（t），Z（t））：=λZ（t）+Z（t）, t型∈ [0，T]其中（Z，Z）:= {（Z，Z）}t型∈[0，T]是与二维相关布朗运动（B，B）相对应的二维BSDE控制过程。提案1。Let（Z，Z）∈ MF（0，T；R）。对于任何ξ（T）∈ LFT公司(Ohm; R） ，熵风险度量是以下一维BSDE的唯一解决方案：dR（t，ξ（t））=-λZ（t）+Z（t）dt+Z（t）dB（t）+Z（t）dB（t），t∈ [0，T]，R（T，ξ（T））=-ξ（T）。（3.1）证明。见附录B，第27页。备注1。

任何时候t∈ [0，T]和τ∈ [t，t]，R对应于上述BSDE（3.1）的解，并具有以下半群性质：R（t，R（τ，ξ（t）））=R（t，ξ（t））P-a.s。。通过考虑BSDE驱动因素的更一般表达式，相同类型的关系可以扩展到更大类别的动态对流风险度量（见附录C，命题3）。这些结果表明，BSDE的驱动因素是一个自然的对象，可以局部（即在很短的时间间隔内）描述投资者面临的动态风险回报交易。附录B，第28.10页X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H中验证了这种关系。Wang，他清算了自己在市场上的头寸，并考虑了条件风险度量来衡量风险。在我们的框架中，导致我们使用动态风险度量的一个重要动机来自这样一个事实，即交易者清算政策的成功取决于两项反补贴任务的能力：一方面，它与在最终日期前以最大收益（相当于最小损失）完成投资组合清算的能力有关；另一方面，清算政策取决于影响价格和数量的不确定性驱动因素的展开。每次，对要支付的最终成本进行动态风险评估时，都会考虑最终部分清算的成本和对该潜在成本的评估，其方式取决于可用的信息，并进行调整，以考虑交易者的风险规避。4、最优控制问题将最优执行问题表述为一个随机最优控制问题并加以研究。

对于任何初始时间t∈ [0，T]和初始点X（T）：=X∈ R、 交易使其在时间范围内的预期风险调整总损益最大化【t，t】，受到最终大宗交易和与预定目标速度V的累计偏差的惩罚。4.1. 状态方程和目标泛函。设f对{B（r）生成的σ-代数进行求积- B（t），B（r）- B（t）}r∈[t，u]和Ft：=Ftuu∈【t，t】由F的所有P-null度量集增加的过滤。为了写出状态方程和目标函数，让∏t（t）表示在时间间隔【t，t】内获得的损益，即∏t（t）：=∏（t）- ∏（t）。设置：-dY（u）：=d∏u（T）- dR（u，f（X（T）））- dRTuh（v（u））du, u∈ [t，t]，Y（t）：=-f（X（T））=-βX（T），其中f是（2.4）中给出的成本函数，h是（2.5）中定义的连续惩罚，状态方程由以下解耦二次增长最优执行与动态风险调整11向前向后随机微分方程（qgFBSDE）描述：dX（u）=-v（u）du+mdB（u），u∈ [t，t]，-dY（u）=eg（X（u），eZ（u），eZ（u），v（u））du+-eZ（u）dB（u）-eZ（u）dB（u），u∈ [t，t]，X（t）=X，Y（t）=-βX（T），（4.1）带eg（X（u），eZ（u），eZ（u），v（u））：=（η+λ）v（T）+λ（eZ（u）+eZ（u））++（γX（u）- 2λv）v（u）-γm-λv, u∈ [t，t]，（4.2）和埃泽兹（u）=Z（u）+γmX（u）+mηv（u）Z（u）+σX（u）, u∈ [t，t]。（4.3）备注2。在这个框架中，（4.1）中的终端条件允许我们随时测量最终罚款的风险。这里，容许控制集是一个过程空间，定义如下：Vad[t，t]：=v：[t，t]×Ohm → R | v∈ HFt（t，t；R）.观察任何情况下，v（·）∈ Vad[T，T]，上述解耦qgFBSDE（4.1）允许使用aunique stron g解决方案。事实上，正向分量解的存在性和唯一性是一个相当标准的结果（参见，例如，[30，定理6.3，p。

42]); 而（4.1）中具有二次增长驱动和unb-ou-ndedterminal条件的BSDE的解决方案由例如[9]保证。表示方式（Y、eZ、eZ）（·；t，x，v（·））（4.1）的后向分量的解，wh en x（·；t，x，v（·））是（4.1）的前向分量的解，从x开始∈ 时间t时的R∈ [0，T]和控制v（·）∈ Vad[t，t]，目标泛函由：J（t，x；v（·））：=Y（t；t，x；v（·）），（4.4）12 x.CHENG，M.DI GIACINTO和t.-H给出。Wang和交易者的最佳清算政策包括对任何（t，x）进行清算∈ [0，T]×r下列问题的解：最大化J（T，x；v（·））/v（·）∈ Vad【t，t】，（4.5），而相关的价值函数W因此定义为：W（t，x）：=supv（·）∈Vad[t，t]J（t，x；v（·）），（t，x）∈ [0，T]×RW（T，x）：=-βx，x个∈ R、 注意，R（t，f（X（t）））dep的表达式结束于后向分量，使全s-to-castic最优控制问题成为非标准问题。4.2. HJB方程。在有限原点随机最优控制问题的背景下，众所周知，值函数与具有终端边界条件的二阶偏微分方程（PDE）相关联，即所谓的米尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，我们旨在推导该方程。接下来，例如[26]，可以推导出与受控状态方程（4.1）相关的广义HJB方程。

由以下人员给出：wt（t，x）+supv∈RHcv（x，wx，wxx；v）=0，（t，x）∈ [0，T]×R，w（T，x）=-βx，（4.6），其中哈密顿电流值Hcvreads为：Hcv（x，q，q；v）：=tr∑∑Q] +血红蛋白（v），qi- eg（x，∑）q、 v），（x，q，q）∈ R×R×R×S，（4.7）带∑和b:R→ R分别表示（4.1）中的波动矩阵和正向扩散过程的漂移项，即∑：=m 0γmσ, b（v）：=-v-γv, （4.8）和（4.2）中规定了eg。上述广义HJB（4.6）的构造遵循了著名的论点，该论点应用于陈述标准控制问题中的HJB方程。动态风险调整的最优执行13附加说明，即s-Tocastic后向变量（Z，Z）的差异表示由∑给出Dw，遵循FBSDE的标准Feynman Kacrepresentations。验证参数将证明原始控制问题的广义HJB（4.6）解的最优性f。函数hcvh是R上的唯一最大点，由：v给出（x，q，q）=-q+γx- 2λv2（η+λ）。（4.9）因此，与随机控制（4.5）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程可以重写为：wt+mwxx-λmwx+γm-λv+4（η+λ）（wx+γx- 2λv）=0，（4.10），终端条件：w（T，x）=-βx.（4.11）4.3。HJB方程和验证定理的解。验证理论流量中给出了价值函数和最优交易策略。为了陈述和证明这个结果，我们从下面的引理开始，使用下面的符号：κ：=2m（η+λ）。（4.12）引理1。设β>γ，λ<κ。

然后确定函数a，b，c：[0，T]→R唯一解决以下Riccati ODE系统：˙a（t）=mλ-2 (η + λ)a（t）- 2mλγa（t）+mλγ，a（t）=-2β+γ，˙b（t）=mλ-2 (η + λ)a（t）b（t）- mλγb（t）+λvη+λa（t），b（t）=0，˙c（t）=λm-2 (η + λ)b（t）+λvη+λb（t）-ma（t）+-mγ+λv-λvη+λ，c（T）=0,14 X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H。WANGi。ea（t）=-γ√κλ2β√κλsinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ） cosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）b（t）=2λv（2β-γ） 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+2β√κλcosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）-1.[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）c（t）=-8βλvγ+hmγ-γm1-κλ- λvi（T- t） ++2λvγ4γβ√κλ+[(2β-γ)+4β(1-2κλ）]sinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）++m（η+λ）1-κλlnh2β(1-κλ)-γγ√κλsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i+coshhγ√κλ2（η+λ）（T- t） 我i（4.13）和以下凹函数：w（t，x）=（a（t）- γ） x+b（t）x+c（t），t∈ [0，T]，（4.14）满足x的HJB方程（4.10）–（4.11）∈ R、 证明。见附录B，第28页。考虑到（4.9）和引理1，当D w插入时，来自（4.7）中哈密顿电流值Hcvde优化的反馈图显示为：（t，x）7-→ v（t，x）：=-a（t）x+b（t）- 2λv2（η+λ），应用g（4.3）和引理1，状态反馈形式下的反向控制过程由：（t，x）7给出-→eZ公司eZ公司（t，x）：=-m[（a（t）- γ） x个- b（t）].动态风险调整的最优执行15因此，相应的闭环方程：dX（u）=-v（u，X（u））du+m dB（u），u∈ [t，t]，dY（u）=eg（X（u），eZ（u） ，eZ（u） ，v（u，X（u）））du+-eZ公司（u，X（u））dB（u）-eZ公司（u，X（u））dB（u），u∈ [t，t]，X（t）=X，Y（t）=-βX（T）（4.15）和（4.2）给出的eg具有唯一的解决方案。

此外，用X表示（·）：=X（·；t、x、v（·））上述闭环方程（4.15）正向过程的解，反馈策略定义为：v（u） ：=v（u，X（u） ），u∈ [t，t]是Lipschitz连续的。因此v（·）是不允许的，即v(·) ∈ Vad[t，t]。现在，我们准备验证以下验证定理。定理1。设β>γ，λ<κ，w为（4.14）中定义的函数。然后，对于任何（t，x）∈ 【0，T】×R，优化问题（4.5）具有与值函数W（T，x）=W（T，x）对应的唯一解，即W（T，x）=（a（T）- γ） x+b（t）x+c（t）。唯一最优计划交易率v（·）在状态反馈表中，n由：v给出（u） =-a（u）X（u） +b（u）- 2λv2（η+λ）P-a.s.，u∈ [t，t]，（4.16）和唯一的二维最优后向控制过程（eZ,eZ公司)反馈表内容如下：eZ公司eZ公司（u）=-m[（a（u）- γ） X个（u） +b（u）]，P-a.s.，美国∈ [t，t]。（4.17）证明。见附录B，第29页。上述结果的直接后果如下。如前所述，前向部分参见【30，定理6.3，第42页】，后向部分参见【9】。16 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。王推论1。唯一的二维最优后向控制过程（Z, Z)在与动态熵风险度量（3.1）相关的状态反馈表中，给出了：ZZ（u）=-m2（η+λ）[（η+2λ）（a（u）X（u）+b（u））+2ηλv]-σX（u）P-a.s.，美国∈ [t，t]。证据见附录B，第33页。5.

最优清算策略上述解决方案提供了一系列关于最优清算政策的有趣见解，这些政策与定义经济环境的外部参数有关。作为一般观察，重要的是要指出，选择动态风险度量和包含连续罚款，与考虑静态风险度量计算的清算策略相比，本质上不同于本分析中发现的最佳清算策略。为了更好地理解这些差异，有必要以经济合理的方式重申最优控制政策。这就是下面的命题。提案2。最佳交易政策（4.16）具体如下：v（t）-vl= -a（t）2（η+λ）（X（t）- l （T- t） ），t∈ [0，T]，（5.1），其中：vl:=λη+λv，系数a（·）在（4.13）中有规定，为方便起见，我们回忆：a（t）=-γ√κλ2β√κλsinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ） cosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）, t型∈ [0，T]和函数l: [0，T]→ R读作：l （T- t） ：=2λvγ√κλ2βcoshhγ√κλ2（η+λ）（T- t） 我- 1.+(2β-γ)√κλsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i2βsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i+（2β-γ)√κλcoshhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i.证明。见附录B，第33页。最佳执行与动态风险调整17通常，代理人将设定一个偏离目标的清算速度，vl,与函数定义的计划液化程序的位置偏差成比例的量l （T- ·). 平均逆转率与-a（·），即a（·）的反义词，在值函数为凹函数的充分假设下为正。

事实上，系数（·）可以等效地重写为：a（t）=-γ√κλ2β√κλtanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ)(2β-γ)(1-κλ）tanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλ1.-√κλtanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）,对于任何t∈ [0，T]，当β>γ且λ<κ时。回顾最佳位置X的有效漂移项（·）按比例-v（·），这意味着由此产生的最优策略将强制均值回归到预定的清算计划。为了获得关系式（5.1）的直觉，值得首先考虑其极限表达式，即风险规避参数λ→ 我们得到：limλ→0l （T- t） =vl（T- t） ，则，t型∈ [0，T]，即风险中性代理人的目标清算计划对应于恒定速度清算计划。目标速度确实与投资委员会设定的速度相对应，该速度减少了一个系数λλ+η，该系数考虑了暂时性价格对交易的影响。正如预期的那样，在相同的限制下，平均回报率随着最终b锁交易成本β的增加而增加，随着永久影响γ的大小而降低。确实：limλ→0-a（t）=（η+λ）β -γ(η + λ) + (β -γ） （T- t） ，t∈ [0，T]，考虑到容许条件β>γ，这是正的。限值为λ→ 0时，最优策略引起的跟踪误差由比率β确定-γ(η+λ).对于满足凹度λ<κ的充分条件的风险规避水平，相当于λ<2m（η+λ）乘以（4.12），最优政策的必要性如下所示：与目标清算政策V的正（负）偏差意味着交易速度的相应缓解（降低）与系数-a（·）除以（η+λ）。请注意，对于特定级别的风险规避λ，target18 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang清算计划与线性清算计划有很大不同。