动态风险调整的最优执行

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英文标题：
《Optimal execution with dynamic risk adjustment》
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作者：
Xue Cheng, Marina Di Giacinto, and Tai-Ho Wang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper considers the problem of optimal liquidation of a position in a risky security in a financial market, where price evolution are risky and trades have an impact on price as well as uncertainty in the filling orders. The problem is formulated as a continuous time stochastic optimal control problem aiming at maximizing a generalized risk-adjusted profit and loss function. The expression of the risk adjustment is derived from the general theory of dynamic risk measures and is selected in the class of $g$-conditional risk measures. The resulting theoretical framework is nonclassical since the target function depends on backward components. We show that, under a quadratic specification of the driver of a backward stochastic differential equation, it is possible to find a closed form solution and an explicit expression of the optimal liquidation policies. In this way it is immediate to quantify the impact of risk-adjustment on the profit and loss and on the expression of the optimal liquidation policies.
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中文摘要：
本文研究了金融市场中风险证券头寸的最优清算问题，其中价格演变是有风险的，交易对价格有影响，并且在填充指令中存在不确定性。该问题被描述为一个连续时间随机最优控制问题，目标是使广义风险调整损益函数最大化。风险调整的表达式源自动态风险度量的一般理论，并选择在$g$-条件风险度量类别中。由于目标函数依赖于后向分量，因此得到的理论框架是非经典的。我们证明，在倒向随机微分方程驱动的二次型规范下，可以找到最优清算策略的闭式解和显式表达式。通过这种方式，可以立即量化风险调整对损益和最优清算政策表达的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-11 08:44:28 上传

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关键词：Mathematical Differential Quantitative liquidation mathematica

动态风险调整的最优执行薛成、MARINA DI GIACINTO和TAI-HO WANGAbstract。本文考虑了金融市场中风险证券头寸的最优清算问题，在金融市场中，价格演变具有风险，交易会对价格产生影响，并会对订单中的不确定性产生影响。p rob Lem是一个连续时间随机最优控制问题，旨在最大化广义风险调整损益函数。风险调整的表达式来源于动态风险度量的一般理论，并选择在g-条件风险度量类中。由此产生的理论框架是非经典的，因为目标函数依赖于后向分量。我们表明，在后向随机微分方程驱动因素的二次规格下，有可能找到最优清算政策的闭式解和明确表达式。通过这种方式，可以立即量化风险调整对收益和损失以及最佳清算政策表达的影响。1、介绍交易算法目前在金融机构中广泛传播。它们通常用于经纪人执行大额订单。与标准库存模型不同的是，一旦确定了特定的市场动向，市场运作的成功关键取决于所选择的执行市场订单的策略。事实上，除了价格波动风险外，最优执行还必须考虑所谓的市场影响，即订单执行可能对执行价格产生的反馈影响。从业者开发了一个有趣的模型来量化价格影响及其影响，最简单的是在执行过程中优化成交量加权平均价格（VWAP）。

关于算法和高频交易的建模问题和经验证据的一般介绍见【13】。更多s op历史模型，以量化2 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang和管理价格影响包括离散时间模型中的[7]、[3]、[2]及其连续时间变量，以及瞬态影响模型，如[24]、[1]和[20]。为了将最优执行问题重新表述为一个变分问题，没有单一解决方案的关键决策是要优化的目标函数的定义。虽然风险中性交易者显然愿意最大化最终收益和损失，但量化收益和损失以及执行风险之间的权衡的风险函数的选择远非唯一。事实上，风险量化基于完整的清算路径，因此本质上是动态的。本文基于动态凸风险测度理论，将最优清算问题公式化为一个随机控制问题，其中最优策略的风险由g-条件测度量化。这样，借用一般理论的结果，例如，参见[6]清算策略的风险通常由反向随机微分方程（BSDE）的驱动因素来描述。由此产生的最优随机控制问题比经典随机控制问题更为一般，因为g-期望引入了与后向分量的波动率非线性相关的附加项。

值得注意的是，我们验证了对于驱动力的线性二次表达式，高度非线性控制问题的解可以简化为Riccati序数微分方程组（ODE）的解，并以闭合形式求解。该解决方案提供了清算政策的封闭式描述，以及代理人的风险规避对清算政策的影响。最优控制的明确表达有助于量化清算政策动态风险调整的影响，并提供了有趣的新见解，显示了前向-后向最优控制策略在金融应用中的巨大潜在相关性。值得注意的是，对最终控制政策的分析突出了订单的不确定性与动态风险函数最小化之间的关键相互作用。这种相互作用引入了一种新的特征交易时间尺度，这既取决于模型中的微观结构参数，也取决于以非线性方式从根本上修改最优s计划清算计划和用于实施该计划的政策的风险规避。因此，由此产生的最优政策与动态风险调整的最优执行3基本上不同于文献中仅考虑远期风险调整部分的分析结果。在我们的一般框架内，许多这些str-ategies可以作为限制性案例恢复。在[3]框架中，通过应用分部积分技术，可以证明风险中性交易者的最优策略始终是VWAPstrategy，无论驱动噪声是什么，只要是鞅。然而，对于【24】、【1】和【28】等瞬态碰撞模型，许多优化策略都是U形的，就像修改的VWAP策略一样。

也就是说，在交易期的开始和结束时进行大宗交易，在这两者之间进行VWAP。例如，见[24，表1，第20页]。另一方面，对于风险厌恶型交易者来说，为了便于跟踪，对风险因素的选择因情况而异。在经典的[3]模型中，作者使用q值变化作为风险因素；鉴于【21】在确定最优策略时，使用时间平均VaR作为风险因素来惩罚损益或交易成本（事实上，作者声称相同的原理适用于使用一般一致性风险度量，见第356页备注2.2）。最近，在[10]中，资产是在一个分散的差异化过程之后进行的，作者将最优估值策略与各种风险函数进行了比较，如风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。为了检验最优交易策略的稳健性，作者还提出了一种新的风险函数，称为平方资产期望（SquaredAsset expection，SAE）。在[18]中，最优执行问题被形式化为一个指数效用最大化程序，这里交易者受到VaR约束，在整个执行期间，损益必须立即满足VaR约束。asense中的这篇文章试图将两个风险限制因素（风险规避效用+VaR限制）混合在一个控制问题中。[14] 和[5]讨论了一个线性二次目标函数的控制问题，该函数与本文所处理的控制问题非常接近，但关键的区别在于，它们没有考虑导致后向分量的风险调整。最后，值得一提的是，在离散时间模型中，通过最小化交易成本的动态一致性风险，获得时间一致性和确定性的最佳交易策略。4 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。

Wang后一篇文章在精神上与我们的文章最为接近，事实上，他们还使用了d y namicrisk度量来量化战略的风险。另一方面，目前的分析依赖于连续时间和更现实的盈亏函数建模，其中考虑了订单填写的不确定性，即订单完全填写或超额填写的风险。此外，虽然它们的处理依赖于递归离散时间方法，但我们的公式涉及到一个连续时间的s-To-Castic控制问题，该问题可在封闭形式下解决。事实上，我们的方法是建立在一般时间一致性动态凸风险度量的基础上的，该度量依赖于Peng（参见，例如，[27]）及其合作者在90年代提出的g-期望的概念。参见[6]和参考文献中详细介绍了动态风险度量、g-期望和g-条件风险度量之间的关系。[15]介绍了具有不确定目标的最优策略，最近在[11]和[29]中进行了处理。

特别是，在[15]框架中，假设不确定订单的大小与订单大小成正比，而[29]开发了一个离散时间模型，表明交易量的不确定性与交易者的决策无关，风险规避投资者的最佳策略是在早晚交易之间进行权衡，以平衡与价格和交易量相关的风险。此外，我们的模型提供了二次连续惩罚，以阻止偏离投资委员会选择的给定阈值。在其他类别的交易问题中也发现了对交易速度与特定目标的偏差使用二次惩罚的情况，如hedgingvia风险最小化和约束（见[22]），或阻止代理人快速交易市场或限制订单类型（见[11]）。本文的组织结构如下。第2节建立了模型，并就问题的表述提供了更详细的讨论和动机。第3节介绍了凸风险度量的一般概念以及这些度量用于“风险调整”目标函数形式的方式。第四节讨论了随机控制问题及其解决方案。在第5节中，我们简要分析了结果的应用含义并得出结论。动态风险调整的最佳执行52。模型要建立数学模型，让[0，T]，T>0为固定的交易期限，让(Ohm, F、 P）是一个具有二维不相关布朗运动（B，B）的完全概率空间：={B（t），B（t）}t∈[0，T]。信息结构由过滤F:={Ft}t描述∈[0，T]由二维布朗运动的轨迹生成，并通过添加F的所有p零测度集来完成。

我们用MF（0，T；R）表示所有二维实值F-可预测过程{H（T）}T的集合∈[0，T]满足EhRT | H（T）| dti<+∞,HF（0，T；R）所有实值F-逐步可测过程{H（T）}T的集合∈[0，T]满足EhRT | H（T）| dti<+∞, 洛杉矶(Ohm; R） 所有实值A-可测平方可积随机变量的s集，L∞A(Ohm; R） 所有附加实值可测随机变量的集合，其中 F是一个子σ-代数，sn是所有n×n对称实矩阵的集合。关于最佳执行的现有文献中经常忽略的一个问题是，预先安排的事务可能执行不足或过度。如【15】所述，在现代电子市场中，订单执行是一个复杂的过程，涉及可能不同类型的订单，实现的交易可能会偏离预定的交易。我们将这种偏差称为订单的不确定性。为了考虑这种风险，我们在投资者位置X的演变中添加了一个噪声项，因此假设它满足以下随机微分方程：dX（t）=-v（t）dt+mdB（t），t∈ [0，T]，X（0）=X>0，（2.1），其中F-逐步可测p过程v：Ohm ×【0，T】→ R是市场秩序的交易率，作为控制变量，而m≥ 0衡量订单不确定性的程度。通过布朗运动驱动的扩散过程对有序度的不确定性进行建模，可以作为非确定性的“零级近似”，只要不确定性的大小很小且→ 订单不确定性的更精确模型是通过添加纯跳跃频谱6 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANGnegative LA(c)vy流程。或者，MDB一词也可以解释为金融机构风险敞口的整体零售。

换言之，由整个金融机构负责人清算的初始金额X会受到由他同时可以从其他部门收到的额外清算或赎回指令引起的小的随机变化的影响。股票的公允价格遵循动态：dS（t）=γdX（t）+σdB（t），t∈ [0，T]，S（0）=S>0，即。，dS（t）=-γv（t）dt+γmdB（t）+σdB（t），t∈ [0，T]，S（0）=S>0。换言之，公平价格S由算术布朗运动驱动，漂移等于零，波动率σ>0，以及参数γ的线性永久影响≥ 选择考虑价格演变（参见，例如，[4，16]）是为了保持问题的可处理性。它限制了该模型在低波动性环境（最近相当普遍）中证券交易的适用性。根据文献[3]，交易价格由公平价格和作为临时影响的滑动价格组成：eS（t）=S（t）- ηv（t），t∈ [0，T]。（2.2）也就是说，交易价格反映了规模η>0的市场订单v当前交易率的线性函数所产生的暂时影响。遵循【3，第2.4节，第10页】，在时间间隔【0，t】，t≤ T，定义为：∏（T）：=X（T）（S（T）- S（0））+Zt（S（0）-eS（u））dX（u）。（2.3）右侧的第一项反映了剩余已交易股份公允价值的变化，而第二项则衡量了交易成本，即由于存在临时价格影响因素，通过动态风险调整7，从出售股份中获得最佳执行。更多详情请参见附录A第A.1小节第25页。考虑到（2.1）–（2.2），附录A（第A.2小节，p。

26）在∏（t）=γ时显示thX（t）- x个+γmt- ηZtv（u）du++ηmZtv（u）dB（u）+σZtX（u）dB（u），或等效为∏（t）=γmt-Zt公司γv（u）X（u）+ηv（u）du++mZt（γX（u）+ηv（u））dB（u）+σZtX（u）dB（u）。根据具体情况，我们将分别使用第一个或第二个表达式。我们必须确保在t=t时，初始头寸完全清算，尽管订单不确定。为此，我们在期末损益中增加了最终大宗交易的期末期末期末损益f:R→ [0, +∞) 因此，除了完全液化以外，任何其他方法都是不可取的。根据【15】，我们将最终大宗交易x视为罚款企业∈ R连续函数定义为：f（x）：=βx，β>0。（2.4）注意，如果且仅当初始头寸完全清算时，不鼓励任何最终区块交易，因为其为零；否则，如果初始头寸不足或过度清算，则始终为正。请注意，选择这种终止条件会惩罚最终投资者的消极或积极头寸。这与负责全面投资组合清算的部门要完成的任务一致。最后，我们引入了一个连续惩罚h:R→ [0, +∞) 具有以下二次规格：h（v（t））：=λ（v（t）-v） ，t∈ [0，T]。（2.5）8 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANGwhereλ≥ 0是指每单位时间内偏离目标电视>0的单位偏差所需支付的成本。该目标执行速度代表了理想的清算率，该清算率由投资委员会外部设定。请注意，上述功能会惩罚清算期间所选交易利率与V的任何偏差，并防止交易利率过大或买方订单s.3的放置。