动态风险调整的最优执行

保单不再是线性的，非线性随着最终清算的时间而增加。我们可以确定两种明确的制度：晚期清算制度和早期液化制度。5.1. 后期清算制度。在后期清算阶段，对应于限额as（T- t）→ 我们可以假设：tanhγ√κλ2（η+λ）（T- t）γ√κλ2（η+λ）（T- t） =γm√λp2（η+λ）（T- t） 。在这种情况下，对于任何t∈ [0，T]，我们得到：lim（T-t）→0l （T- t） =vl（T- t） 1+γ-1.-(2β)-1λm（T- t） =：l,lim（T-t）→0(-a（t））=2（η+λ）2β- γ+2βγmλ（T- t） [2β- γ - 2βmλ（η+λ）]（T- t） +2（η+λ）=：-a、 该制度对应于设置λ=λ=0时，一个替代【15】中的自适应价值加权平均价格（AVWP）策略。λ>0引起的贡献改变了本奇马克清算政策，而该制度中的参数λ>0只是作为参考策略的重整化，逐渐降低远离最终区块清算日期的清算速度，同时提高平均逆转率。5.2. 早期清算制度。在与限额（T）相对应的早期清算阶段- t）→ ∞ 我们拥有的制度：lim（T-t）→+∞l （T- t） =2λvγmp2λ（η+λ）=：l∞,lim（T-t）→+∞(-a（t））=γmp2λ（η+λ）1- mp2λ（η+λ）=：-一∞.在这种情况下，后向分量和对交易速度偏差的惩罚的影响更为明显。远离最终区块清算，风险规避成分的存在将最优控制政策转变为稳定政策，这取决于永久影响γ的大小，但与最终b锁定订单的成本β无关。

在该机制中，流程X的最优进化最优执行（带有动态风险调整19）（·）由：dX给出（t） =-一∞2（η+λ）（x∞- 十、（t） ）dt+mdB（t），t∈ [0，T]，其中：x∞:=-一∞l∞- λv-一∞2（η+λ），即x∞=γ（η+λ）mp2λ（η+λ）+1！λv，对应于具有均值回复率的标准均值回复Ornstein-Uhlenbeck过程-一∞2（η+λ）在极限内消失为λmγ→ 换言之，如果最终大宗交易在未来很遥远，投资者只是通过跟踪误差控制持有的证券数量，跟踪误差随着永久影响γ的增加而减少，风险规避λ和头寸m的波动性。请注意，在这种情况下，价格影响越高，交易者对偏离最优路径的最佳反应就越高。事实上，订单的不确定性产生的成本随着价格影响的增加而增加。在没有向后分量的情况下，即λ=0，交易者将不会因该术语而受到处罚。

换言之，可以将落后部分引入的惩罚部分解释为惩罚那些在清算策略中引入了与投资委员会设定的基准相关的高跟踪错误的策略的术语。总之，值得注意的是，在λ>0和λ>0的条件下，清算政策在固定投资委员会政策之间平滑插值，当（T-t）→ +∞, 以及投资委员会设定的具有固定流动率的清算政策，其平均汇率随着风险规避λ的增加而增加。为了更好地说明后向成分和风险规避参数λ对清算策略的影响，我们提供了目标清算计划和λ不同水平的平均回归率f随时间变化的图表说明。20 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANG0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5清算时间00.511.522.533.544.55平均回复率10-320 x 0.02520 x 0.0520 x 0.120 x 0.220 x 0.420 x 0.8图1。平均回复率-a（·）作为时间的函数。

较高的风险厌恶意味着平均逆转率的更快增长。风险厌恶程度较高的交易员同意支付更高的成本，以减少与计划清算计划的偏差。我们将T=5设置为允许的最大时间限制。在图1中，我们使用与[15]中使用的参数类似的参数进行了数值说明，这些参数与[3]中讨论的参数密切相关：γ=2.5×10^(-7), η = 25 × 10^(-6） ，m=0.2×10^（7），β=100×η，λ=0.0001，λ：=2m（λ+η）=10^(-6) .正如我们所预期的那样，较高的风险规避意味着代理人在执行均值回归提前出现的政策时，会试图减少跟踪误差，并加快对偏离计划清算计划的政策反应。动态风险调整下的最优执行21事实上，我们看到平均回复率随着时间和参数λ的增加而增加。与以前的清算模型相比，当前方法的一个关键创新在于参数λ直接决定交易γ的特征持续时间√κλ2（η+λ）与永久性冲击γ的大小、theorder fills m的波动性和数量（η+λ）共同作用。虽然在[3]的传统框架中，特征“交易时间”是由一个特定参数设定的，但在这种情况下，该特征时间是多个参数的函数，包括交易者的主观风险规避λ和量化订单不确定性的波动系数。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4清算时间00.10.20.30.40.50.60.70.80.91目标清算政策20 x 0.02520 x 0.0520 x 0.120 x 0.220 x 0.420 x 0.8图2。针对风险规避程度不同的交易员的计划清算程序。时间变量按系数缩放=√κλ2（η+λ），以与特征交易时间成比例的单位表示。22 X.CHENG，M。

DI GIACINTO和T.-H。Wang在图2中，为了比较不同λ水平的目标清算路径，我们选择将targetv设置为一个值，该值将该渐进早期阶段位置标准化为等于1的参考值，对应于100%待清算名义金额。此外，我们考虑更长的清算期限，以扩大风险规避水平与计划清算计划凹度之间的关系，该计划在接近最终大宗交易日期时收敛为线性清算计划。风险调整的动态性提高了偏离预定目标的重要性，同时降低了交易员在最终大宗交易中支付的成本的相对重要性。这意味着清算路径的凹度增加，这标志着早期和晚期清算制度之间的过渡。请注意，对来自图1和图2的证据的联合解释表明，动态风险度量所导致的后向成分波动性的最小化决定了政策和清算计划，随着最终清算的临近，该政策和清算计划将逐步非线性收紧。鉴于这一考虑和上述结果，未来研究必须澄清的一个有趣的论点是对特征“交易时间”的经济学解释，该特征是由订单的不确定性、动态风险度量的风险平均参数和特征半衰期之间的相互作用产生的。致谢我们要感谢两位匿名推荐人和编辑的仔细审查和有益的建议。我们感谢Claudio Tebaldi进行了宝贵的讨论，并仔细阅读了本文的草稿。霍尔格·卡夫、雅典娜·皮卡雷利和伊曼努埃拉罗萨扎·贾宁的评论值得特别提及。

最后，我们感谢所有参加研讨会和会议的与会者，在此介绍了我们的工作。通常的免责声明适用。动态风险调整的最佳执行23参考文献[1]Aur\'elien Alfonsi和Alexander Schied。极限订单书模型中的最优交易执行和价格操纵的缺失，暹罗金融数学杂志，1，pp.490–5222010。[2] 罗伯特·阿尔姆格伦（RobertAlmgren）具有非线性影响函数和交易增强的最优执行。《应用数学金融》，10（1），第1-18页，2003年。[3] Robert Almgre n和Neil Chriss，《投资组合交易的最佳执行》。《风险杂志》，3（2），第5-392000页。[4] Louis Bachelier，巴黎大学。《科学年鉴》（Annales Scientifiques de l’’Ecole NormaleSup’eriure），s’erie 3，17，第21–86页，1900年。[5] Peter Bank和Moritz Voss，具有随机终端约束的线性二次随机控制问题。《暹罗控制与优化杂志》，56（2），第672-6992018页。[6] Pauline Barrieu和Nicole El Karoui，定价、对冲和通过最小化风险措施优化设计衍生品。R.Carmona（编辑），《差异定价：理论与应用》，第77-146页，普林斯顿金融工程系列，普林斯顿大学出版社，2009年。[7] Dimitris Bertsimas和Andrew W.Lo。《执行成本的最优控制》，金融市场杂志，1（1），第1-50页，1998年。[8] 托马斯比约克，《连续时间套利理论》。第二版，牛津大学出版社，2009年。[9] Philippe Briand和Ying Hu。具有凸生成器和无界终端条件的二次BSDE，概率论和相关领域，141（3-4），pp.543–5672008。[10] 达米亚诺·布里戈和朱塞佩·迪·格拉齐亚诺。

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损益功能分解。需要注意的是，适当定义的损益表必须允许将其分解为两种贡献：一种可以被视为【12】中提出的经修改的自我融资策略，另一种对应于滑动。该公式必须在没有交易摩擦的情况下恢复经典的自我融资条件。（2.3）中定义的损益表，我们为方便起见称为：∏（t）：=X（t）（S（t）- S（0））+Zt（S（0）-eS（u））dX（u）可以分解为自我融资策略贡献和滑动部分。此外，这与[12，第731页]引入的自我融资条件是一致的。他们概括了无价格市场通常的自我融资关系，使其与有摩擦的市场兼容，包括我们模型中定义的订单中存在的不确定性。在下文中，我们将展示如何通过在其右侧加上和减去termsRtS（u）dX（u）来分解上述损益公式。我们得到：∏（t）=X（t）（S（t）- S（0））+Zt（S（0）-eS（u））dX（u）==X（t）S（t）- X（0）S（0）-中兴通讯（u）dX（u）+中兴通讯（u）dX（u）-ZtS（u）dX（u），可分解为：∏（t）=X（t）S（t）- X（0）S（0）-ZtS（u）dX（u）{z}修改的自我融资策略+Zt（S（u）-eS（u））dX（u）{z}滑移。事实上，部件集成意味着：X（t）S（t）- X（0）S（0）-ZtS（u）dX（u）=ZtX（u）dS（u）+ZthdS，dXi（u），这是使用自我融资策略X（u）在S（u）上进行交易所产生的价值，对于任何∈ [0，t]，根据[12]扩展的定义，我们感谢匿名仲裁人指出这一点。26 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang贸易摩擦。相应金额：Zt（S（u）-eS（u））dX（u）可以解释为滑移分量，因为当价格冲击设置为零时，它会立即发生变化，即eS（u）=S（u），对于任何u∈ [0，t]。A、 2。损益函数的计算。

我们有：∏（t）：=X（t）（S（t）- S（0））+Zt（S（0）-eS（u））dX（u）=X（t）（S（t）- S（0））-Zt（S（u）- S（0））dX（u）+ηZtv（u）dX（u）==ZtX（u）dS（u）+ZthdS，dXi（u）- ηZtv（u）du++ηmZtv（u）dB（u）=γmt+ZtX（u）dS（u）- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）==γmt+γZtX（u）dX（u）- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）++σZtX（u）dB（u）。（A.1）自：dX（u）=2X（u）dX（u）+mdu<==> X（u）dX（u）=dX（u）- mdu,动态风险调整的最佳执行27然后：∏（t）=γmt+γZtX（u）dX（u）- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）++σZtX（u）dB（u）==γmt+γZtdX（u）-γmZtdu- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）++σZtX（u）dB（u）==γX（t）- x个+γmt- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）++σZtX（u）dB（u）。等效地，考虑到（A.1）的最后等式，我们得到：∏（t）=γmt+γZtX（u）dX（u）+σZtX（u）dB（u）- ηZtv（u）du++ηmZtv（u）dB（u）==γmt- γZtv（u）X（u）du+γmZtX（u）dB（u）+σZtX（u）dB（u）+- ηZtv（u）du+ηmZtv（u）dB（u）==γmt-Zt公司γv（u）X（u）+ηv（u）du+mZt（γX（u）+ηv（u））dB（u）++σZtX（u）dB（u）。附录B.技术证明我们提供技术证明。命题1的证明。从[6，命题3.12，第123页]所示的结果和[9，定理5，第554页]所示的比较定理可以看出这一点。28 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。注1的王半群性质。我们有：R（t，R（τ，ξ（t））==R（τ，ξ（t））+Zτtg（Z（u），Z（u））du-ZτtZ（u）dB（u）-ZτtZ（u）dB（u）=-ξ（T）+ZTτg（Z（u），Z（u））du-ZTτZ（u）dB（u）-ZTτZ（u）dB（u）++Zτtg（Z（u），Z（u））du-ZτtZ（u）dB（u）-ZτtZ（u）dB（u）=-ξ（T）+ZTtg（Z（u），Z（u））du-ZTtZ（u）dB（u）-ZTtZ（u）dB（u）==R（t，ξ（t））。L e mma 1的证明。