投资还是退出？面对利润下降的最佳决策

例如，Wang（2005）研究了一个最优停止时间问题，其中决策者是一系列项目。对于每个项目，都有一个强制退出事件，此时决策者被迫停止项目。强制退出是一个泊松过程，决策变量是进入时间的顺序。如果进入成本足够大，则强制退出的存在会扩大延续区域。停止时间框架也可用于研究不完全信息下的实物期权问题。Decamps等人（2005年）研究了真实潜在价值（布朗运动漂移）未知的噪声集的最佳投资时机。基于布朗运动的观测值，对漂移值的信息进行贝叶斯更新。在他们的模型中，投资回报率是布朗运动本身的函数，而不是其漂移，因此最优政策是路径依赖的。最后，还有实物期权模型，其中每个时间点的生产率是除了停止时间之外的另一个控制变量。这些问题由随机控制理论的Hamilton-Jacobi-Bellman公式处理；例如，见Knudsen等人（1998）、Duckworth和Zervos（2000）、Alvarez（2001b）和Kumar和Muthuraman（2004）。除了利润流的不确定性之外，我们的模型还有另一个复杂但显著的特点：投资后可能退出。在包含这一特征的论文中，McDonald和Siegel（1985）使用期权定价技术研究了面临随机价格的生产企业的估值。在他们的模型中，产品价格是一个几何布朗运动，工厂可以在任何时间点无成本关闭并重新开放工厂。相反，Dixit（1989）考虑了进入和退出的固定成本。

在他的模型中，企业可以根据自己的意愿多次进入和退出该行业，而利润流是一个几何布朗运动。他指出，如果收益率高于上限，最好进行投资，如果收益率低于下限，最好退出。他进行了一次数字比较静态分析，发现波动性的上限（下限）增加（减少）。在他的模型中，投资（进入）决策只能由非活跃企业执行；当然，退出决策只能由活跃的公司来执行。我们的论文以一种完全不同的模式研究投资和退出决策：企业在活跃于行业的同时，有一次机会投资于其运营，并且可以在任何时候退出。此外，我们的比较静力学结果具有分析性。在有关技术采用和退出的文献中，当企业面临利润流下降时，投资方面的工作很少。据我们所知，本论文是第一篇研究不确定性对正在进行的项目投资的影响的论文，该项目在投资前后都有退出选项。3基本模型考虑使用老化技术或工艺生产产品的制造企业。由于过时，其利润流正在下降（可能是因为采用新技术生产的替代产品正在侵占市场）。在任何时候，公司都可以通过永久关闭其生产工厂来停止项目。公司为了在有限的期限内最大化其利润流的预期贴现价值，必须确定停止运营和退出市场的最佳时间。公司在时间t的利润率是一个随机变量，其中{Xt:t≥0}是一个具有连续样本路径的随机过程，我们将很快指定其运动定律。

我们引用{Xt:0≤t型≤ τ} 作为公司的利润流，其中停止时间τ≤ ∞ 是退出的时间。我们将公司的利润流建模为具有常数漂移u和波动率σ的布朗运动。具体来说，让Xt表示时间t的pro fit，其中Xt=X+νt+σBt{Bt:t≥ 0}是一个一维标准布朗运动，因此利润流具有常数漂移ν和常数波动σ。我们特别关注ν<0的情况，因为我们的主要关注点是建模下降的利润流。如果企业在时间0开始运营，在停止时间τ退出，则其利润流的贴现值为τe-αtXtdt，其中α是严格正贴现率。（更准确地说，{Xt:t≥ 0}是适应概率空间过滤{Ft}的一维布朗运动(Ohm,F，P）。随机变量τ是T的一个元素，T是关于过滤{Ft}的所有非负停止时间的集合。）举例来说，假设企业产品的单位时间需求dt是一个漂移ν/p的布朗运动，其中p是单位销售价格，c是单位时间的固定运营成本。那么需求和利润流之间的关系是线性的：Xt=pDt-c（1） 接下来，我们回顾了基本模型的解和最优解的一些特征。我们下面的结果可以从Alvarez（2001a）和Alvarez（2003）更一般的结果中得出。在我们的基本模式中，在每个时间点，公司必须选择继续运营或不可撤销地退出。该公司寻求最大化x[ZτXte]的停止时间τ-αtdt]，（2）其中Ex[·]≡ E[·| X=X]，以X=X为条件的预期。初始收益率X可以是任何实数。该公司从继续经营中获得累计折扣利润，并在退出后获得零奖励。因此，如果公司在τ=0时退出，则其收到的利润为零。

为了方便起见，我们利用X的强马尔可夫性和ExR∞|Xt | e-αtdt<∞ （Alvarez 2001a，第318页）：Ex[ZτXte-αtdt]=Ex[Z∞Xte公司-αtdt-Z∞τXte-αtdt]=Ex[Z∞Xte公司-αtdt]-Ex[Exτ[Z]∞Xte公司-αtdt]]=α-1（x+ν/α）-α-1Ex[e-ατ（Xτ+ν/α）]，（3）符合标准停车时间问题，退出时有奖励。这里我们使用了identityEx[Z∞Xte公司-αtdt]=α-1（x+ν/α），可使用格林函数法推导（Alvarez 2001a，第319页）。如果退出策略是平稳的，那么我们可以将停止时间表示为τD，其中τD表示来自可测量集D的过程x的初始时间 R： τD≡ inf{t>0：Xt6∈ D} 。换言之，由停止时间τDis表示的策略将继续操作，只要Xt∈ D当Xt6时停止∈ D、 集合D称为连续区域。等式（2）orEq中的目标函数。（3） 除了通过过程XT和贴现因子e之外，没有时间依赖性-αt；因此，我们可以直接证明（或使用Oksendal 2003的论点，第220页）最优政策（如果存在的话）是静态的。在本节中，我们设置V（x；ν）≡ supτEx[RτXte-αtdt]。如果V（x；ν）=Ex[RτDXte-αtdt]，则D是最优连续区域，存在最优策略。命题1等式（2）中退出问题的最优策略存在，最优回报由v（x；ν）给出=x/α+ν/α+σ/αν+√ν+2ασexp[-ν-√ν+2ασσ（x-ξ（ν））]如果x>ξ（ν），否则为0，（4）其中ξ（ν）是由ξ（ν）=-να-σν +√ν+ 2ασ=σν -√ν+ 2ασ. （5） 此外，最佳连续区域为（ξ（ν），∞).证明：证明直接来自Alvarez（2001a）的命题2。在Alvarez（2001a）使用的术语中，递减的基本解是eφx，其中φ在下面的等式（6）中定义，函数是x，退出的回报是零。

从E[R]∞Xte公司-αtdt]=x/α+ν/α，它是向前延伸的，表明最佳阈值是argmaxx[-（x/α+ν/α）/eφx]=ξ（ν），并验证Alvarez（2001a）命题2给出的最优回报函数减少到等式（4）。解决停车时间问题（如等式（3）中的停车时间问题）最常用的方法是提出一个条件函数V（·；ν），它是候选策略的返回函数，并验证候选函数V（·；ν）满足Oksendal（2003）定理10.4.1给出的多个条件。其中一个条件是V（·；ν）应满足二阶常微分方程（ODE）：(-α +νx+σx） V（·；ν）=-x、 那么V（·；ν）是项（x/α+ν/α）和函数f（x）的总和，函数f（x）代表ODE(-α + νx+σx） f（x）=0。通解f（x）是eψx和eφx的线性组合，其中ψ（ν）=(-ν+pν+2ασ）/σ和φ（ν）=(-ν -pν+2ασ）/σ。（6） （我们感谢一位匿名裁判为我们指出了阿尔瓦雷斯（2001a）的命题2：我们的退出问题方程式（3）是阿尔瓦雷斯（2001a）命题2的特例，并接受了上述更短的证明。）有趣的是，存在最优策略，并得到了闭式解V（·；ν）。命题1指出，最优政策是当收益率低于阈值ξ（ν）时退出。直觉上很清楚，如果利润率下降到某个阈值以下，该公司将退出，但阈值为负值的事实并不明显。ξ（ν）<0的原因是，在采取不可撤销的行动之前等待是有价值的：即使ν<0且当前收益率略为负值，未来收益率也有可能变为正值。如果利润流是确定性的且单调递减的，那么当利润率为零时退出将是最佳选择。

这种关于等待值的直觉与ξ（ν）增加到0作为σ的事实是一致的→ 0，当ν<0时，根据公式（5）得出。现在我们有了V（·；·）和ξ（·）关于所有模型参数的闭式解，它们的比较静力学简单如下。命题2对于任何ν<0，（i）ψ（ν）σ和ν减小，α增大；φ（ν）σ增加，ν和α减少。（ii）退出阈值ξ（ν）在σ和ν中减小，在α中增大。（iii）当x>ξ（ν）时，最佳回报V（x；ν）增加σ和ν。（证明见本文电子版。）Alvarez（2003）在更一般的停止时间问题中表明了ξ（ν）在σ中减少的事实。V（·；ν）相对于σ的比较静力学也来自于Alvarez（2003）定理5所获得的更一般的稳定时间问题特征：随着σ的增加，气流中的噪声更多，因此有更大的上升潜力和更大的下降风险。然而，该公司可以利用上升潜力，同时通过退出来避免下滑风险。因此，返回函数σ增加。类似地，由于ν的增加改善了pro-fit流Xt，每个连续区域D的返回函数也会增加，因此V（·；ν）在ν中增加。在下一节中，我们将考虑一次性投资机会。该公司最初以漂移u<0开始，投资增加了b的收益率和δ的漂移≥ 由于只有一个投资机会，投资后问题简化为漂移ν=u+δ的基本模型。为方便起见，我们定义了（·）≡V（·；u）作为带漂移u，γp的出口问题的最优返回≡ ψ(u) = (-u+pu+2ασ）/σ和γn≡ φ(u) = (-u -pu+2ασ）/σ，（7）和ξ≡ ξ（u）作为漂移u的最佳退出阈值。

同样，我们定义了neV+（·）≡V（·；u+δ）作为带增强漂移u+δ和λ的出口问题的最优返回≡ φ(u + δ) =[-(u + δ) -q（u+δ）+2ασ]/σ，（8）ξ≡ ξ(u + δ) = -u+Δα+λ，其中ξ是投资后最佳退出阈值。由于命题2中获得的比较静力学适用于任何负漂移，只要u<0且u+δ<0，它就适用于V（·）、ξ、V+（·）、ξ、γp、γn和λ。在下一节中，max{V+（x+b）-k、 0}起到投资回报函数的作用，其中k是投资成本。根据命题2，投资回报增加了波动性，这是我们模型的一个显著特征。4具有一次投资机会的模型考虑了一生一次投资的可能性。例如，14英寸磁盘驱动器的制造商可以改进14英寸驱动器的性能（记录容量），以立即提高高端主机市场的需求（Christensen 2000，第19页）。当然，当u<0时，最终退出是不可避免的。为了便于分析，我们的模型只允许一个投资机会。正如Fine和Porteus（1989）所建议的，在实践中，公司可能有多种机会逐步改进技术/流程。多重投资机会的影响超出了本文的范围。4.1模型我们现在提供了实施创新的一次性机会，以提高产品或流程的质量。实现成本为k＞0。如果产品质量提高，那么对产品的需求就会增加；此外，需求下降更为缓慢。具体而言，该投资将当前收益率提高了b，并将漂移增加了δ。根据等式中规定的示例。

（1） 当利润率在需求Dt中呈线性时，投资会导致pDt中b的增加（或等效地，c中b的减少）和p·dDt/d t中δ的增加。如果企业在时间τ投资，则改进的利润流会遵循以下过程≡ Xt+δ（t-τ） +b，对于t>τ，因此dYt=（u+δ）dt+σdBt。在投资之前，企业需要找到投资或退出的最佳停止时间τ，无论哪种行动产生更好的回报。如果公司在时间τ进行投资，则从时间τ开始的预期回报率为V+（Xτ+b）-k，因为其投资后的预期累积利润流为V+（Xτ+b），投资成本为k。另一方面，如果该公司在时间τ退出，则从时间τ开始的回报为0。因此，公司收到的预期回报为最大{V+（Xτ+b）-k、 0}在作出投资或退出决策时的时间τ。设x+为唯一数，满足v+（x++b）=k。（9） （这个定义唯一地确定了x+，因为对于所有x，V+（x）在x中严格增加，使得V+（x）>0。）然后，在停止时间τ，如果Xτ<X+，则退出，如果Xτ>X+，则投资是最佳的，因为V+（X+b）-如果x>x+和V+（x+b），k>0-如果x<x+，k<0。如果当前收益率x为+，则即时投资和即时退出均产生零预期回报。因此，我们的目标是找到“V（x）”≡ supτ∈TEx[Zτe-αtXtdt+e-ατh（Xτ）]，（10），其中h（X）=max{0，V+（X+b）-k} （11）是x为停止状态时的一次性付款。接下来，我们研究投资永远不是最优的条件。

定义负≡ α（Z∞（b+δt）e-αtdt-k） =b+δ/α-kα（12），因此g/α是如果从未发生退出，则投资的净贴现收益。命题3投资永远不是最优的当且仅当g≤ 证明：为了证明这个命题，我们研究了直接投资收益率（V+（x+b）之间的差异-k） 以及x>x+时等待退出的最佳回报（V（x））：[V+（x+b）-k]-V（x）=gα-λαexp[λ（x+b-ξ） ]+γnαexp[γn（x-ξ)] . （13） 请注意-λαexp[λ（x+b-ξ)] < -γnαexp[γn（x-ξ） ]因为λ<γn<0，ξ<ξ，通过命题2（i）和（ii）。如果g≤ 0，则等式（13）的右侧对于所有x>x+为负值。因此，在任何给定的停止时间τ，决策者最好选择V（Xτ）（从等待退出返回）而不是V+（Xτ+b）-k（即时投资回报）。我们得出结论，如果g≤现在假设g>0时，投资也不是最优的。在这种情况下，公式（13）对于足够大的x为正，因为两个指数项在x时收敛为零→∞. 因此，在xτ足够大的任何τ上，立即投资都是比等待退出更好的选择。这与投资永远不是最优的假设相矛盾。我们得出结论，当g>0时，等待退出而不进行任何投资的政策不是最优的。根据命题3，除非另有说明，否则我们假设本文其余部分的g>0。4.2最优政策和最优回报的存在性和特征在本小节中，我们验证了最优政策始终存在，并且它本质上是唯一的。我们证明，在投资之前，最优策略完全由一对阈值（ξE，ξI）表征：如果Xt退出≤ ξEAN和invest if Xt≥ ξI；投资之后，问题又回到了Sec最后分析的问题。3其中，我们确定，最好尽快退出Xt≤ ξ.

我们的模型中隐含的分析困难的部分补偿可以在E q.（16）中给出的最优返回函数的闭合形式解中找到。如果最优策略存在，它是静态的，因为无论是最大收益{V+（Xt+b）-k、 0}Northepro-fit流具有除通过XT和e以外的任何时间依赖性-αt。因此，有必要考虑停止时间的类别τD=inf{t>0:Xt6∈ D} 关于连续区域D表示。因此，我们可以表示目标函数asRD（x）=Ex[ZτDe-αtXtdt+e-ατDh（XτD）]。（14） 在这一新的表述中，公司的政策是只要Xt∈ D并尽快停止Xt6∈D、 此时，公司收到h（Xt）。因此，如果存在最佳政策，我们的目标是找到最佳延续区域D*使得'V（x）≡ supDRD（x）=RD*（x） 。（15） 命题4在eq.（15）的停时问题中，最优策略总是存在的；最优预期收益由v（x）唯一给出=x/α+u/α+aeγpx+aeγnx，对于x∈ D*= （ξE，ξI）h（x），否则，（16），最佳连续区域为D*= （ξE，ξI）：当x≤ ξE，x时投资≥ ξI，否则继续操作。命题4的证明在本文的电子伴文中。通过将V（·）视为最佳回报函数的候选者，然后验证V（·）满足Oksendal（2003）定理10.4.1中规定的最佳回报函数的所有充分条件。（Alvarez 2001a获得了具有有界连续区域的返回函数最优性的一般必要条件；另见Guo 2001。）令人惊讶的是，存在性证明相当困难。