投资还是退出？面对利润下降的最佳决策

它表明以下边界条件V（ξE）=ξE/α+u/α+aeγpξE+aeγnξE=h（ξE）=0，（17）V（ξI）=ξI/α+u/α+aeγpξI+aeγnξI=h（ξI）=（ξI+b）/α+u+/α-(αλ)-1eλ（ξI+b-ξ)-k，（18）以及平滑粘贴条件xV（ξE）=α-1+γpaeγpξE+γnaeγnξE=xh（ξE）=0，（19）xV（ξI）=α-1+γpaeγpξI+γnaeγnξI=xh（ξI）=α-1[1 -eλ（ξI+b-ξ)] . （20） 始终具有Oksendal（2003）定理10.4.1规定的理想性质的解。当然，最优返回函数V（·）=V（·）是唯一的。因此，最佳策略是唯一的：在Xt时停止∈ {x:x<ξEor x>ξI}，否则继续。如果当前利润率为x+，则在近期内，利润率很有可能增加到大于x+的值。因此，等待的预期回报为正，因此V（x+）>0和x+∈ D*= （ξE，ξI）。根据提议4，公司的最佳政策是停止第一次XthitsξEorξI，并获得奖励h（Xt）。因为ξE<x+<ξI，等式（9）显示V+（ξI+b）-k>0和V+（ξE+b）-k<0。正如预期的那样，公司在停止时间τD的最佳行动*取决于时间间隔的哪一端（ξE，ξI）的预测值。如果XthitsξEat timeτD，则最好退出*, 如果XthitsξIat timeτD，则投资是最佳的*.4.3比较静力学在本小节中，我们对V（·）、ξE和ξI进行了比较静力学分析。我们首先确定了V（·）的凸性，从而得出了σ的比较静力学。引理1最优返回函数V（·）是凸的。（证明见本文电子版。）接下来，我们检查V（·）w相对于u和σ的比较静力学。提案5适用于所有x∈ R、 V（x）在u和σ中不递减。

特别是，当x>ξE时，V（x）严格递增为u。证明：首先，请注意h（·）是凸的且不递减的，因为V+（·）是凸的且不递减的。还请注意，h（·）在u和σ中均不递减，因为命题2中V（·）在u和σ中均不递减。为了表明V（·）以u为单位不递减，让V（x；u）和h（x；u）表示V（x）和h（x）对初始（投资前）漂移u的依赖性。然后，对于任何β>0和x>ξE，V（x；u）=Ex[ZTuXte-αtdt+e-αTuh（XTu；u）]<Ex[ZTu（XT+βT）e-αtdt+e-αTuh（XTu+βTu；u+β）]≤V（x；u+β），其中Tu是最佳停止时间，当漂移为u时，使RD（x）最大化。在建立严格不等式时，我们使用了一个事实，即对于x>ξE，Tu>0，h（x；u）在x和u中不递减，当漂移为u+β时，Tu次优。对于σ的比较静力学，我们首先假设h（·）对σ没有函数依赖关系。根据Alvarez（2003）关于更一般Topping问题的比较静力学的引理2和定理4，由于V（·）是凸的，并且它是作为在τ（ξE，ξI）处停止的返回而获得的，因此V（·）在σ中不递减。（另见Ekstrom（2004））。此外，奖励函数h（·）在σ中不递减。因此，V（x）与Alvarez（2003）定理5的证明中使用的参数相同，σ不递减，ξ的比较静力学遵循命题5：推论1退出阈值ξEsatisuξE<0和σξE≤ 证明：注意到ξE=inf{x：V（x）>0}，这个结果来自这样一个事实，即当x>ξean时，V（·）在u中严格递增，σ不递减（根据命题5）。相比之下，ξIis的比较静力学要复杂得多。因为V（x）>V+（x+b）-k当且仅当x<ξI，我们可以写出ξI=sup{x:V（x）-[V+（x+b）-k] >0}。因此，V（·）和V+（·）对u和σ的依赖性决定了ξI的相对静力学。

这与奖励函数没有σ或u依赖关系的模型形成了鲜明对比。（例如，参见阿尔瓦雷斯定理5，2003。）为了检验ξI的比较静力学，我们需要研究用等式表示的ξean和ξIas的方程。（21）和（22），其中λ由（8）给出。注意，ξi和ξeca的闭式表达式不能从方程中获得。（21）和（22）。相反，使用ξ的闭式表达式，可以直接对ξ进行完整的比较静力学分析。缺少闭式表达式削弱了我们对ξI进行比较静态分析的能力。然而，当b接近αk时，我们可以通过检查g的ξIin幂级数展开的前导项来获得有用的见解-δ/α（g小）和b大时（g大）。我们不认为δ大，因为我们的讨论仅限于有趣的情况u+<0，即投资后利润流仍在下降。利用附录B引理4和5中给出的展开式，我们得到了ξi和ξE的极限行为→ 0，我们发现ξE→ ξ和ξI→ ∞; 这与直觉相呼应，即当g接近于零时，投资几乎永远不会是最优的。在其他限制中，其中b→ ∞, 我们发现ξE→ -∞ 和ξI-ξE→ 0; 之所以会出现这种情况，是因为只要b足够大，就最好进行投资。引理2（i）σγn>0和σλ > 0; （二）uγn<0和uλ < 0; （iii）λ/γn≥ 1、证明：来自等式。（7） 和（8），（i）和（ii）可以在一些代数之后显示。语句（iii）紧跟在语句（ii）之后，因为如果u被u+δ替换为δ，则γnis等于λ≥命题6关于g（i）的足够小的值σξI>0和σξE<0，以及（ii）uξI<0。证明：取等式的前导项的偏导数。（23）和（24）关于u和σ，并使用命题2的陈述（i）。

b足够大的提案7，（i）σξI<0和σξE<0，以及（ii）uξI<0。证明：（i）根据ξ和公式（25）的定义，我们有（一个函数f（x），使得f（x）→ 0作为x→ ∞称为o（1））σξE=-γ-2n个σγn+σθ+o（1）=-z（ez-1)-1λ-2.σλ+o（1），其中θ是由公式（27）定义的正数，z≡ -λ（θ+αk+γ-1n-λ-1） 由Emma 6严格确定，并且σθ由E q.（28）给出。注意，z和θ与b无关，因此当我们将极限取为b时，它们不受影响→ ∞. 因为σλ>0根据命题2（i），我们有σξE<0对于足够大的b。根据公式（26），我们有σ（ξI-ξE）→ 0作为b→ ∞ 因此σξI=σξE+σ（ξI-ξE）=-z（ez-1)-1λ-2.σλ+o（1）。因此σξI<0，对于足够大的b.（ii）由推论1得出，uξE<0。来自Eqs。（26）和（29），uξI=uξ+ u（ξE-ξ) + u（ξI-ξE）=-α-1.-z（ez-1)-1λ-2.uλu+o（1）。根据式（8）和命题2（i）中λ的定义，我们得到-α-1.-z（ez-1)-1λ-2.uλu< 0. 因此对于足够大的b，uξI<0。在传统的实物期权模型中，报酬函数（对应于我们问题中的h（·））没有σ依赖性。在这种情况下，如Alvarez（2003）的定理6和7所示，连续区域随着σ的增加而扩大，因此我们预计进入（退出）阈值在波动性中增加（减少）。然而，在我们的模型中，h（·）对σ有明确的依赖性，因此阈值的σ依赖性不一定遵循Alvarez（2003）的结果。当g很小时，σξE<0和σξI>0：随着波动率σ的增加，在采取不可逆措施之前，最好等待更长的时间，以利用上升电位。这与Dixit（1989）数值计算得出的结果相似，并由Alvarez（2003）分析证明。然而，当b较大时，命题7（i）断言σξE<0和σξI<0。

请注意，结果σξI<0与实物期权理论中的传统直觉相反。这一违反直觉的结果是因为投资回报V+（x+b）-k、 取决于σ。值得注意的是，投资回报率仅依赖于σ，因为投资后可能退出。图中的数值示例说明了阈值ξi和ξe及其相对于σ的比较静力学。1和2，其中我们设置α=1，σ=0.5，u=-1，δ=0.1，k=0.5。这些图显示为b+δ/α的函数-αk=b-0.4. 在图2中，请注意σξIis在g<0.96时为阳性，在g>0.96时为阴性。另一个值得关注的数量是最终退出之前的投资概率及其对波动性的依赖性。设pI（x）表示概率（以x=x为条件，其中x∈ （ξE，ξI）），即在达到ξE之前，收益率达到ξI（在退出之前进行最佳投资）。通过II。4和II。Borodin和Salminen（2002）的9，pI（x）=exp(-2uσx）-经验值(-2uσξE）exp(-2uσξI）-经验值(-2uσξE）=exp[-2uσ（x-ξE）]-1exp[-2uσ（ξI-ξE）]-命题8对于足够小和足够大的g值，pI（·）增加σ。证明：在small-g极限下，通过等式。（23）和（24），pI（x）=exp[-2u+pu+2ασlog（g）]·{exp[-2uσ（x-ξE）]-1} ·（1+o（1））。取上述对σ的导数，我们得到dσpI（x）=pI（x）·log（g）2uα（u+pu+2ασ）pu+2ασ·（1+o（1））。由于log（g）<0且u<0，因此dDσpI（x）的前导项为正。接下来，在大g极限下，根据公式（26），ξI-ξEAN和x-ξEare以Cg为界-1对于某些正常量C，因为x∈ （ξE，ξI）。

因此，pI（x）=exp[-2uσ（x-ξE）]-1exp[-2uσ（ξI-ξE）]-1=x-ξEξI-ξE（1+o（1））。根据命题7，ξi和ξe都会增加σ，而soddσ（x-ξEξI-ξE）=-σξIx-ξE（ξI-ξE）-σξEξI-x（ξI-ξE）>0。因此，对于足够大的g，ddσpI（x）为正。随着收益率的下降（u<0），只有当收益率由随机噪声提高时，才会进行投资。因此，在退出之前进行投资的可能性预计将增加非意愿。虽然我们怀疑这是一个一般特征，但一般比较静态分析不可用，我们只能通过命题8.4.4扩展：切换到新技术来确认两种极限情况下的比较静态（g的小值和大值）：目前我们已经检查了对正在过时的当前使用技术的投资。另一个重要决策涉及何时采用下一代技术。在计算机硬盘行业，一些14英寸驱动器制造商被迫采用8英寸驱动器。在本小节中，我们假设决策者可以在退出当前项目时采用新技术，并研究退出值（切换到新技术的预期收益）如何影响最优政策。首先，我们考察了在退出时增加一次性残值应收账款的影响。如果工厂和设备在出口时售出，那么我们预计s>0。然而，如果存在与业务退役相关的员工遣散或负债，则s<0。引理3让V（·；s）表示当s为残值时的最优回报函数。ThenV（x；s）=s+V（x-αs），退出阈值为ξ（s）=ξ+αs。（证明见本文的e-companion。）接下来，我们考虑w hether的决定，以及当有一次性投资机会改进当前技术时，何时切换到新技术。

在不丧失一般性的情况下，我们假设不存在切换成本。让s>0表示从切换到新技术的预期累积利润，我们修改了Sec中考虑的投资模型。4通过添加一个恒定的退出值s。当然，即使在对旧技术进行投资后，企业仍然可以切换到新技术并接收s。目标是找到最佳停止时间τ，以最大化以下各项：Ex[Zτe-αtXtdt+e-ατ（h（Xτ-αs）+s）]。命题9的切换值为s时，投资决策问题的最优收益为v（x-αs）+s；投资阈值为ξI+αs，切换（退出）阈值为ξE+αs。命题9的证明与引理3的证明基本相同。有了投资新技术的机会，企业对投资或保留现有技术的动机就会降低。因此，当有合适的替代技术时，投资和切换的阈值更高。在这种技术转换模型中，我们假设转换的成本是恒定的（或零而不丧失一般性），并且转换的预期收益与当前的收益无关。一般来说，如果XT代表当前需求（或市场份额），且交换技术服务于同一市场，则交换成本和交换的预期收益可能取决于当前收益率。此外，还可能出现多种不确定的改进技术，这些改进技术具有不同的利润流动态。这些复杂性超出了本文的范围。

Alvarez和Stenbacka（2001）以及Balcer和Lippman（1984）研究了切换到未来优越但不确定的技术的问题，Christensen（1992和2000）对切换到破坏性技术的困难进行了实证研究。5总结我们对恶化条件下投资的分析与经验现实相符，硬盘行业以及Ristensen（2000）和Rosenberg（1976）列举的许多过时技术的例子都是这样的：即使面对不断下降的利润流和最终的市场位移，投资也是最佳的。此外，即使当前的收益率为负值但高于阈值，保持在市场上也是最佳选择；只有当利润充分恶化时，退出才是最佳选择。本文研究了恶化条件下的投资和退出决策模型，证明了存在一个具有三个阈值的最优策略：ξI、ξE和ξ。我们对波动率进行的比较静态分析提供了一个新颖且违反直觉的结果。正如Dixit（1992）、McDonald和Siegel（1986）和Dixit（1989）以及Alvarez（2003）所解释的那样，随着传统实物期权模型中不确定性程度的增加，延迟不可逆行为的时间越长越好。在Sec的基本模型中。例如，退出阈值ξ总是在波动率σ中减小。同样，在Sec的模型中。4，退出阈值ξe增加σ。同样的直觉表明ξii在σ中增加。事实上，对于足够小的g，ξi的σ增加。然而，我们发现，对于足够大的g，ξi的σ增加：如果利润率的提升幅度足够大，那么随着未来利润流的不确定性增加，最好尽早投资。（参见图。

2）这种违反直觉的结果是由于公司能够控制其最终退出的时间，这是我们模型的一个显著特征。由于投资后退出是可能的，企业可以利用投资后的波动性，因此波动性的增加会导致投资预期回报的增加，以及足够大的风险的ξIf的增加。附录：阈值方程将方程（ξI、ξE、a、a）考虑到方程。(17) – (20). 为了便于标注，我们定义IE≡ξI-ξEandE0≡ξE-ξ. 我们消除了A和非洲EQ。（17） –（20），我们获得E0=-通用电气-γpIE+（λ-1.-γ-1n）eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） e类-γpIE（21）=-通用电气-γnIE+（γ-1便士-γ-1n）+（λ-1.-γ-1p）eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） e类-γn即，（22），其中g由公式（12）定义。为了跟踪g的幂展开的前导阶项，我们引入了一个符号来表示子前导阶项：如果f（x）/j（x），我们说f（x）=o（j（x））→0作为x→0，其中f（x）和j（x）是x引理4在small-g极限下的函数，E0=-g1级-γp/γnC（δ）（1+o（1）），（23）IE=-γ-1nln（克-1） （1+o（1）），（24），其中C（δ）=[（γ-1便士-γ-1n）]γp/γnifδ>0和C（δ）=[（γ-1便士-γ-1n）（1-eγnb）]γp/γnifδ=0。（证明见本文电子版。）同样，如果f（x）/j（x），我们也说f（x）=o（j（x））→ 0作为x→ ∞.引理5在大b极限下，E0=-g+θ+o（1）（25）IE=-g级-1（γpγn）-1(1 -λθ -λ/γn）+o（g-1） （26）其中θ是方程θ=-γ-1n+λ-1eλ（θ+αk-δ/α+ξ-ξ). （27）（证明见本文件电子版。）我们需要获得θ的比较静力学，以便检查ξi和ξin的比较静力学（以秒为单位）。4.3. 来自等式。

（27）和隐函数定理，θ相对于σ和u的偏导数如下所示：σθ =γ-2n个σγn+eλ（θ+αk+γ-1n-λ-1)1 -eλ（θ+αk+γ-1n-λ-1） （θ+αk+γ-1n-λ-1)λ-1.σλ , (28)uθ =γ-2n个uγn+eλ（θ+αk+γ-1n-λ-1)1 -eλ（θ+αk+γ-1n-λ-1） （θ+αk+γ-1n-λ-1)λ-1.uλ . （29）最后，以下是θ的一个有用性质：引理6θ+αk+γ-1n-λ-1> 0.证明：对于b的任何值，IE+E0+b+ξ-ξ> 0始终有效。在极限b内→ ∞, 引理5，IE+E0+b+ξ-ξ-→ θ+αk+γ-1n-λ-1，这也必须是积极的。感谢Steven Lippman提出了许多有益的建议和讨论。我们还感谢两位匿名的推荐人，他们提供的建议大大改进了手稿。这项研究得到了加州大学洛杉矶分校创业研究价格中心和加州大学洛杉矶分校学位论文年奖学金的部分支持。参考Alvarez，L.H.R.2001a。奖励函数、残值和最优停止。运筹学数学方法54 315–337。Alvarez，L.H.R.2001b。奇异随机控制、线性扩散和最优停止：一类可解问题。SIAM控制与优化杂志39 1697–1710。Alvarez，L.H.R.2003年。关于一类扩散的r-过量映射的性质。应用概率年鉴13 1517–1533。Alvarez，L.H.R.，R.Stenbacka。采用不确定的多阶段技术项目：realoptions方法。《数理经济学杂志》35（1）71–97。Balcer，Y.，S.A.Lippman。1984年。技术期望和改进技术的采用。《经济理论杂志》34（2）292–318。Barzel，Y.，1968年。创新的最佳时机。《经济学与统计评论》50（3）348–355。Bollen，N.P.B.1999年。实物期权和产品生命周期。管理科学45（5）670–684。Borodin，A.N.，P.Salminen。布朗运动手册-事实和公式。