市场时机：极端价格的经济价值

历史信息集上预测股票收益率的条件可呈现为谢和王金融创新（2018）4:30第5页，共24ErtΩt-1jdTh 1/4 E PMGt-PMLtdThΩt-1j 1/2 ; d6Th其中t={rt，rt-1，…..}方程（6）表明，除非投资者使用相同的信息和相同的模型预测PMGT和PMLT，否则将股票收益建模为一个单位可能会产生误导性结果。例如，如果PML Granger导致PMG，而不是相反，那么将股票收益作为一个单位进行建模并不等同于将PMG和PML:E rtΩt建模-1jdTh 1/4 E PMGt-PMLtdThΩt-1j 1/2 ≠E PMGtΩdt-1.-E PMLtΩdt-1.;式中Ωdt-1 1/4 PMGt；PMLtdTh；PMGt公司-1.PMLt‐1dTh；…：fg为了进一步量化PMG和PML之间的相互作用，我们进行了以下回归：χt 1/4 cthηiψt‐it；式中，χtandψt-iare过滤PMGtor PMLt。过滤后的χtandψt-i是通过首先去除PMG和PML中的自相关，然后对残差进行标准化得到的。系数ηi直接衡量单位ψt-ionχt的影响。经验结果数据我们收集了1950年1月至2015年12月样本期间标准普尔500指数（s&P 500）的月度指数数据，共792次观察。该数据集是从雅虎网站的财务子目录下载的。通用域名格式。每月报告四条价格信息：开盘、收盘、高点和低点。由于该网站不提供季度指数数据，我们根据月度观察构建了季度指数数据。结构如下所示：Lqt 1/4 MintfLm3t‐1d222;th1；Lm3t-1d222th2；Lm3t；Hqt 1/4 MaxtHm3t‐1d222th1；Hm3t-1d222th2；Hm3t;Oqt 1/4 Om3t‐1d222th1；Cqt 1/4 Cm3t；t 1/4 1；2.3; …标签q和m分别表示季度和月度观测值。对于季度指数数据，共有264项观察结果。

根据收集和构建的数据，根据其定义计算股票收益、潜在最大收益（PMG）和潜在最大损失（PML）。表1列出了股票收益PMG和PML的汇总统计数据。无论是月度观测还是质量观测，股票收益率s PMG和PML的峰度系数都大于3，表明与正态分布有很大的偏差。观察股票收益PMG和PML的ACF和theLjung Box Q统计值的差异很有趣。无论是月度还是季度观察，股票收益的Q统计数据都很小，在10%的水平上，统计意义不大，表明股票收益没有显著的持续性。同时，PMG和PML的Q统计在10%的水平上具有统计学显著性，表明PMG和PML持续存在的证据。PMG和PML的持续性与Hong和Stein（1999）的观点一致，他们认为信息会逐渐扩散。Hong、Lim和Stein（2000）报道坏消息传播缓慢，Q统计数据也显示PML比PMG更持久。表2给出了股票收益率（rt）、PMG、PML和股票收益率之间的相关统计数据，包括隔夜收益率（r°t）。rtandXie和Wang Financial Innovation（2018）4:30第6页，共24r°t之间的高度相关性（月度观测值为0.997，季度观测值为0.999）表明，r°t可以通过rt回归r°t来完美近似，我们发现RTC几乎可以解释r°t的变化。月度观察和季度观察的TheR-squares分别为99.4%和99.8%，这意味着隔夜收益对股票收益变化的贡献很小，因此在我们的实证分析中可以忽略。

PMG和PML之间的相关性不是不相关，而是显著正相关。PMG和PML中的自相关表1中的汇总统计数据表明，PMG和PML的分布严重偏斜，远离正态分布。在这项研究中，我们通过在PMG和PML上使用平方根变换来减轻偏斜。可能的异方差为表1股票收益、潜在最大收益、潜在最大损失的汇总统计数据面板A。月度指数数据面板B。季度指数数据RTPMGTPMLTRTPMGTPMLTMean 6.051E-03 0.033 0.027 0.018 0.063 0.045Std。Dev 0.042 0.025 0.029 0.078 0.045 0.051Maxi 0.151 0.178 0.267 0.195 0.238 0.313Mini-0.245 0.000 0.000-0.303 0.000 0.000斜交-0.655 1.413 2.373-0.949 1.034 2.268Kurt 5.435 6.358 12.771 4.920 4.00 9 143J-B stat 251.9 635.7 3893.8 79 58.0 641.4Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000自相关函数（lag）ACF（1）0.046 0.083 0.279 0.085 0.185 0.220ACF（3）0.043 0.176 0.169-0.042-0.0640.059ACF（6）-0.058 0.060 0.074-0.033-0.068 0.029ACF（9）-0.021 0.062 0.091-0.004 0.010-0.063ACF（12）0.050 0.081 0.129 0.007-0.075-0.008Q（12）16.41 97.56***203.81***9.57 17.84*24.39**Obs 263 264 792 792注。J-B统计数据是指Jarque Bera统计数据。Q（12）表示Ljung Box Q统计数据。***、**、**表示分别在1%、5%和10%水平上的统计显著性。表2股票收益率（rt）、包含隔夜收益的股票收益率（rto）的相关分析，PMGT和PMLtPanel A.月度指数数据面板B.季度指数数据RTOTPMGTPMLTRTOTPMGTPMLTRTO1.000--1.000--rt0.997***1.000--0.999***1.000--PMGt0.732***0.737***1.000--0.772***0.775***1.000--PMLt0.802***0.187 1***0.831***0.290***1.000注***，***，***，*均数分别在1%、5%和10%水平上具有统计学意义。

我们对RTON rt进行回归，结果如下所示。对于月度股票回报，rto=4.16E‐04+1.003rt+εtR=0.994对于季度股票回报，rto=4.52E‐04+0.999rt+εtR=0.998Xie和Wang Financial Innovation（2018）4:30第7页，共24页也考虑在内。我们使用方程（3）来描述PMG和PML的动力学。采用不同的ARMA（l，m）-GARCH（p，q）（l=1，2；m=1，2；p=1，q=1）模型，最终模型由Akaike信息准则（AIC）确定。建模结果如表3所示。结果表明，在月度观测中存在异方差，但在季度观测中不存在异方差。有趣的是，注意到R平方值的差异。我们发现，对于季度和月度观察，PML比PMG更具可预测性。PML的可预测性几乎是PMG的两倍。表4显示了过滤后的PMG和PML的汇总统计信息。结果表明，与表1中的结果相比，过滤后峰度和J-B统计量显著降低。对于PMG，J-B统计表明正态分布的零假设不能被拒绝。PMG和PML的ACFs和Ljung-Box Q统计值很小，在统计学上不显著，表明自相关已得到很好的过滤。PMG和PMLGranger因果关系检验的互相关用于研究PML和PMMG之间的互相关。由于格兰杰因果关系检验对滞后非常敏感，因此使用不同的滞后来提高稳健性。我们对未过滤和过滤的观测值进行格兰杰因果关系检验。表5报告了试验结果。对于未过滤的数据，无论是月度还是季度数据观察，PMLdoes not Granger cause PMG的零假设在5%的显著性水平上都被一致拒绝。

PMG不会导致PML的零假设的结果是混合的。对于月度数据，当滞后=2时，取消零假设；否则，在显著性水平为5%时，不能拒绝无效假设。对于季度数据，当滞后=2，4时，无效假设被拒绝。过滤数据的结果与未过滤数据的结果相似，但不能拒绝PMG不会格兰杰导致PML的零假设，也不能拒绝PML不会格兰杰导致PMG的零假设。这一发现很有趣，因为它表明PMG和PML之间存在不对称。对于月度数据，历史PML有助于预测PMG，但反之亦然；对于季度表3，PMG和PML过滤面板A的自相关分析。月度指数数据面板B。季度指数数据QRT（PMGt）Sqrt（PMLt）\\uSQRT（PMGt）Sqrt（PMLt）μ0.164***0.143***0.020***0.183***AR（1）0.891***0.953***0.152**0.666***MA（1）-0.895***-0.841***-0.460***AR（2）MA（2）0.110***ω0.352E-03 0.420E-03ARCH（1）0.035*0.060**GARCH（1）0.895***0.868***R平方（%）5.45 12.11 2.327.05注：***、***、*分别为1%、5%和10%水平的统计显著性。由于其高偏度和峰度，我们在筛选前对好极端收益和坏极端收益进行平方根变换谢和王金融创新（2018）4:30第8页，共24页数据，历史PML对预测PMG的贡献大于PMG对PML的贡献。这种不对称性表明，将股票收益作为一个单位进行建模可能无法发现股票收益的真实时间序列动态。还使用方程（7）计算了PMG和PML之间的定量相互作用。我们只在i=1时报告结果。

对于过滤后的月度观测值，PMGFt 1/4 0:001th0:136PMLFt‐1thtPMLFt 1/4 1:15E‐04‐4:484E‐03PMGFt‐1tht：对于季度观察，表4过滤PMG和PMLPanel A的汇总统计数据。月度指数数据面板B。季度指数数据过滤PMGtPMLtPMGtPMLtMean 0.000 0.000 0.000Std。dev 1.000 1.000 1.000 1.000Maxi 3.637 4.915 2.515 3.329Mini-2.748-2.343-2.383-1.933Skew-0.006 0.538 0.098 0.740Kurt 3.212 3.312 2.564 3.363J-B stat 1.486 41.4 2.505 26.346Prob 0.476 0.000 0.286 0.000自动相关函数（lag）ACF（1）0.003 0.039 0.010 0.008ACF（0 3）0.039-0.013-0.021-0.057ACF（6）-0.026-0.056-0.064-0.038ACF（9）-0.008-0.020 0.017-0.055ACF（12）0.035 0.053-0.029 0.047Q（12） 12.29 12.042 1.092 9.036Obs 791 791 263 263注。为确保样本均值和单位样本标准差为零，首先过滤股票收益率、良好极端收益率和不良极端收益率，然后使用以下公式进行标准化，其中M（Xt）是Xt的样本均值，S（Xt）是表5 PMG和PML格兰杰因果关系检验的样本标准差。高价格极值分解面板A.月度数据观测面板B.季度数据观测滞后2 4 6 PMG/→ PML 0.009 0.712 0.878 0.036 0.049 0.107PML/→ PMG 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000PMGF/→ PMLF0.493 0.794 0.869 0.014 0.007 0.029PMLF/→ PMGF0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000注。X个/→ Y表示X不格兰杰导致Y的无效假设。PMGFand PMLFmean分别表示过滤后的PMG和PMLR。此表报告了F统计的p值。在进行格兰杰因果关系检验时，为了方便起见，我们设置了m=n不等式（5）。由于格兰杰因果关系检验对滞后选择很敏感，因此使用不同的滞后来保持稳健。A组和B组分别报告每月和季度数据观察的结果。

具有高价格极端值的分解股票回报率表示为RT 1/4  1/2 logdHtThlogdOtTh‐ 1/2 logdHtTh‐logdCtTh 1/4 PMGt‐PMLtXie and Wang Financial Innovation（2018）4:30第9页，共24PMGFt 1/4 ‐3:843E‐03th0:330PMLFt-1thtPMLFt 1/4 ‐6:171E‐03‐0:168PMGFt‐1tht:F表示过滤后的数据观测值。回归结果证实了PMG和PML之间的不对称影响。PML对PMG的影响较大。对于月度数据，斜率系数表明，PML的单位冲击波使PMG增加了13.6%，而PMG对PML几乎没有影响。对于季度数据，斜率系数表明，PML的一个单位冲击使PMG增加了33.0%，而PMG的一个单位冲击使PML减少了16.8%。回归结果表明，股市对坏消息反应过度，对好消息反应不足，尤其是对季度数据。原因如下。PML对PMG的积极影响（斜率系数报告为正）意味着巨大的潜在损失意味着未来的高潜在收益，即股市对坏消息反应过度。PMG对PML的负面影响（据报道斜率系数为负）意味着巨大的潜在收益暗示着低潜在损失，即股市对好消息反应不足。有人可能会认为，我们的格兰杰因果关系检验结果可归因于将股票收益分解为高价格极值。原因可能是PMGt支持PMLt-1，而PMLt虽然在PMGt-1之后，但被PMLt-1和PMGt打断。如果这一推理成立，那么将股票收益率分解为低价极值将导致从PMG到PML的格兰杰因果关系。按低价极端值分解库存回报如下：rt 1/4 ln Ctd222;‐ln Ltd222; 1/2 ‐ ln Otd222;‐ln Ltd222; 1/2  1/4 PMGt‐PMLt；其中LTI是低价。

为了稳健性，我们还使用方程（8）在PMG和PML之间进行了格兰杰因果关系检验；结果如表6所示。表6中报告的结果一致显示了从PML到PMG的格兰杰因果关系的重要证据，但反之亦然。价格极值的经济价值要考虑的一个有趣的问题是，“如果考虑到不对称性，它是否会产生任何差异，尤其是经济差异？”表6 PMG和PML的格兰杰因果关系检验。低价极值分解面板A.月度数据观测面板B.季度数据观测LAGS 2 4 6 2 4 6PMG/→ PML 0.390 0.851 0.622 0.594 0.566 0.436PML/→ PMG 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000PMGF/→ PMLF0.967 0.952 0.908 0.852 0.792 0.390PMLF/→ PMGF0.000 0.000 0.000 0.002 0.004 0.014注。X个/→ Y表示X不格兰杰导致Y的无效假设。PMGFand PMLFmean分别表示过滤后的PMG和PMLR。此表报告了F统计的p值。在进行格兰杰因果关系检验时，为了方便起见，我们设置了m=n不等式（5）。由于格兰杰因果关系检验对滞后选择很敏感，因此使用不同的滞后来保持稳健。A组和B组分别报告每月和季度数据观察的结果。以 1/4  1/2 logdCtTh表示具有高价格极值的分解股票收益- logdLtTh- 1/2 logdLtTh- logdOtTh 1/4 PMGt-PMLtXie和Wang Financial Innovation（2018）4:30共24页第10页该问题很重要，因为它关系到股票收益建模的效率。如果没有差异，那么将股票收益作为一个单位进行建模是合理的；否则，需要更精细的模型。我们通过进行可预测的分析来探讨这个问题。

我们的理由是，如果没有显著差异，那么建模股票收益作为一个单位应该报告的预测不比建模PMG和PML差。默顿（1973）的ICAPM建议，股票市场的条件预期回报率应与市场的条件方差成正比。我们使用Arch-in-Mean（Engle、Lillien和Robins，1987）模型作为衡量风险回报权衡的基准：r°t 1/4 Δthδr°t-1thδht-etht 1/4 ωthωht-1thωet-1thIet-1<0d222;；式中，Ht是条件方差，δr°t-1用于捕获股票收益中可能的自相关，δHt捕获时变风险溢价；ωI（et-1<0）用于描述波动率中可能的“杠杆效应”。用q阶向量自回归模型VAR（q）描述了pmg和PML的动力学：PMGt 1/4 CgthXqi 1/4 1αi；1管理ithXqi 1/4 1βi；1PMLt‐ithεgtPMLt 1/4 ClthXqiαi；2PMGt-ithXqi 1/4 1βi；2PMLt‐ithεlt：q阶由S chwarz信息准则（SIC）确定。股票收益的预测值由以下方程式构成：表7向量自回归模型估计面板A.1950.01-1985.12、1986.01-2015.12、1950.01-2015.12PMGt+1PMLt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt-0.028[-0.573]0.065[1.245]0.067[1.213]0.032[0.432]-0.005[-0.146]0.027[0.615]PMGt 10.108 2.258]0.090[1.813]0.168[3.363]0.089[1.349]0.111[3.010]0.057[1.347]PMGt 20.190[3.998]0.056[1.130]——0.171[4.923]0.053[1.292]PMLt0.050[1.043]0.216[4.268]0.232[5.398]0.297[5.232]0.139[4.343]0.253[6.727]PMLt 10.219[4.449]0.086【1.672】0.172【3.711】0.029【0.476】0.192【5.661】0.032【0.799】PMLt 20.148【2.939】0.073【1.394】--0.105【3.110】0.116【2.912】C 0.012【4.093】0.010【3.208】0.015【5.038】0.014【3.776】0.012【5.544】0.012【4.698】R平方0.143 0.098 0.187 0.096 0.166 0.102面板B。

1950年的季度数据观测。1985年第1季度。1986年第4季度。2015年第1季度。1950年第4季度。2015年第1季度。q4PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt+1PMGt0.395[5.198]-0.202[2.167]0.231[2.663]-0.066[0.595]0.319[5.587]-0.138[1.934]PMLt0.431[6.222]0.117[1.373]0.372[5.068]0.253[2.708]0.404[8.048]0.185[2.944]C 0.018[2.602]0.018[2.602]0.033[3.917]0.038[3.621]0.025[4.609]0.045[6.791]R平方0.272 0.059 0.187 0.076 0.227 0.062注。向量自回归估计。VAR滞后顺序选择标准由SIC（Schwarz InformationCriteria）确定，t统计数据见[]谢和王金融创新（2018）4:30第11页，共24rpt 1/4 PMGpt‐PMLpt；d9Th其中PMGptand和PMLptare预测由VAR模型报告。样本内证据股票回报的样本内可预测性是在整个样本中进行的。为了稳健起见，还对1950-1985年和1986-2015年的两个子样本进行了样本内拟合。表7给出了VAR（q）模型以及PMG和PML的R平方估计。对于月度数据观测，PML对预测PMG有显著贡献，但反之亦然。对于季度数据观察，我们发现，PMLand和PMG都有助于相互预测；然而，PML的贡献超过了PMG。比较表3中的R平方和表7中的R平方很有趣。表3中的正方形表明，在不考虑不对称性的情况下，PML比PMG更容易预测。然而，表8中的R平方表明，当考虑不对称性时，PMG比PML更容易预测。这些发现进一步证实了PML对PMG的动力学有着非常重要的影响。表8报告了VAR（q）和Arch平均值的样本内股票收益率R平方。ARCH报告的R平方平均值显示，股票回报的可预测性很低。