通过Vasicek和CIR模型预测利率：a

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英文标题：
《Forecasting interest rates through Vasicek and CIR models: a
  partitioning approach》
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作者：
Giuseppe Orlando, Rosa Maria Mininni and Michele Bufalo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The aim of this paper is to propose a new methodology that allows forecasting, through Vasicek and CIR models, of future expected interest rates (for each maturity) based on rolling windows from observed financial market data. The novelty, apart from the use of those models not for pricing but for forecasting the expected rates at a given maturity, consists in an appropriate partitioning of the data sample. This allows capturing all the statistically significant time changes in volatility of interest rates, thus giving an account of jumps in market dynamics. The performance of the new approach is carried out for different term structures and is tested for both models. It is shown how the proposed methodology overcomes both the usual challenges (e.g. simulating regime switching, volatility clustering, skewed tails, etc.) as well as the new ones added by the current market environment characterized by low to negative interest rates.
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中文摘要：
本文的目的是提出一种新的方法，允许通过Vasicek和CIR模型，根据观察到的金融市场数据的滚动窗口预测未来预期利率（每个到期日）。除了使用这些模型不用于定价，而是用于预测给定到期日的预期利率之外，其新颖之处在于对数据样本进行了适当的划分。这允许捕捉利率波动的所有统计上显著的时间变化，从而说明市场动态的跳跃。对不同的期限结构进行了新方法的性能测试，并对两种模型进行了测试。本文展示了所提出的方法是如何克服通常的挑战（例如模拟制度转换、波动性聚类、斜尾等）以及当前以低至负利率为特征的市场环境所增加的新挑战的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：Vasicek ASIC 模型预测 ice CIR

通过Vasicek和CIR模型预测利率：a Partitioning Approach giuseppe Orlando1a，Rosa Maria Mininnib，Michele Buf alocaUniversit\'a degli Studi di Bari“Aldo Moro”-经济和数学方法系，Via C.Rosalba 53，Bari，I-70124 Italy，电话：+39 080 5049218，giuseppe。orlando@uniba.itbUniversit`a degli Studi di Bari“Aldo Moro”-数学系，V ia Orabona 4，Bari，I-70125 Italy，电话：+39 080 544 2700，rosamaria。mininni@uniba.itcUniversit`degli Studi di Roma“La Sapienza”-方法和模型预测经济、领土和金融部，Via del Castro Laurenziano 9，Roma，I-00185，电话：+39 06摘要本文的目的是提出一种新的方法，允许通过Vasicek和CIR模型进行预测，根据观察到的金融市场数据的滚动窗口计算未来预期利率（每个到期日）。与使用这些模型不是为了定价，而是为了预测给定到期日的预期利率不同，其新颖之处在于对数据样本的适当分配。这可以捕获利率波动性的所有统计上显著的时间变化，从而说明市场动态的跳跃。新方法的性能针对不同的期限结构进行了测试，并针对两种模型进行了测试。本文展示了所提出的方法如何克服通常的挑战（如模拟制度转换、波动性聚类、歪尾等），以及当前以低至负利率为特征的市场环境所增加的新挑战。关键词：CIR模型、Vasicek模型、利率、预测和模拟JEL分类：G12、E43、E472010 MSC:91G30、91B84、91G70通讯作者。1.

导言本论文的目标是通过一种新的方法从观察到的金融市场数据中预测利率（通过成熟度），该方法保留了Vasicek（Vasicek，1977）和Cox Ingersoll-Ross（CIR）（Cox，Ingersoll&Ross，1985）提出的描述实际市场利率动态的随机模型的分析能力。这是因为它们在金融界很受欢迎，因为它们很简单（单因子，均值回复模型），并且能够提供利率衍生品定价的封闭式解决方案（Zeytun&Gupta，200 7）。这项工作的目的是克服体制转换、波动性集群、歪尾等带来的常见挑战，以及当前市场环境带来的新挑战（尤其是需要建立负利率下降趋势模型）。这可以通过提出一种新的方法来实现，该方法允许通过对数据集进行适当的划分来预测未来的预期利率，并假设每个利率的动态由Vasicek或CIR模型表示。用适当选择的概率分布将可用市场数据划分为子样本的效果有两个方面：（1）改进Vasicek/CIR模型参数的校准，以捕获市场现货率方差的所有统计显著变化，从而说明跳跃；（2） 只考虑最相关的历史时期。本文考虑的数据集分区分布为正态和非中心卡方分布。这些分布与Vasicek（resp.CIR）模型中利率过程的稳态（resp.conditional）分布相似。

Vasicek和CIR模型均采用了新方法的性能，并在预测误差方面与指数加权移动平均（EWMA）模型进行了比较。新方法在不同利率债券的每周欧元数据上进行了测试。误差分析强调，当考虑具有非中心卡方分布的分区（CIR模型）时，所提出的方法在WMA方面有更好的性能，并且在预测方面有更好的结果。本文组织如下：第2节阐述了Vasicek和CIR模型背后的基本原理，并总结了现有文献。第3节解释了为什么要实施新方法。第4节详细介绍了模型。第5节显示了货币市场和短期至长期数据集中每周记录的欧元利率的实证结果。第6节包含结论。2、背景和文献回顾通常，利率动态在数学上由一个随机微分方程（SDE）描述，该方程的类型为DR（t）=u（t，r（t））dt+σ（t，r（t））dW（t），r（0）=r，（1）带漂移u（·，·），微分项σ（·，·）和（W（t））t≥0a标准布朗运动。r=（r（t））t的唯一解≥如果存在，0是一个扩散过程，即在给定概率空间（Ohm, F、 P）。（2）中的Vasicek和CIR模型的形式为dr（t）=κ（θ- r（t））dt+σ（t，r（t））dW（t），r（0）=r，（2）其中常数κ和θ分别表示反转的速度和长期平均值。均值回归背后的基本原理是，高波动率会减缓经济并减少对资金的需求。当利率较低时，情况正好相反。

然而，事实证明，这并不总是正确的，因为“你不能喝到水，但你不能喝到它”。对于Vasicek模型，κ，θ>0，波动率σ（t，r（t））是一个常数参数σ>0。过程r被称为Ors tein-Uhlenbeck过程。此外，r具有稳定的正态分布，平均θ和长期方差σ/2κ。这使得获得负利率的正概率成为可能，而在2008年信贷紧缩之后，中央银行大规模注入流动性和信贷便利之前，这是不可能的。该模型的缺点之一是对当前利率期限结构的拟合度很差（Hull&White，1990），以及所有到期日的收益率都具有良好的相关性这一不受欢迎的特性。此外，利率变化的条件波动率是恒定的，与r水平无关，这可能会不切实际地影响债券价格（见Rogers，1996）。对于CIR模型，κ，θ>0，波动率σ（t，r（t））=σpr（t）>0 in（2），θσ/2κ为长期方差。过程r称为平方根过程。r的条件分布是非中心卡方分布，稳定分布是伽马分布。因此，平方根过程r始终不是n负的；众所周知，如果所涉及的参数满足条件2kθ>σ，则r（t）对于任何t都是严格正的≥ 0，并且，对于小r（t），随着随机扰动随r（t）衰减，过程变缓→ 0、CIR模型的相对易实施性和可操作性，以及排除负利率这一2008年危机前假设下的不良特征的特殊特征，是使CIR模型成为金融领域最常用的短期结构模型之一的两个原因。

然而，在描述CIR框架内的利率动态时存在许多问题，例如：a）利率永远不会达到负值；b） 与实际经验相比，当r（t）较小时，差异项σpr（t）变为零；c） 波动率参数σ是常数，而实际上σ是连续变化的；d） 与Vasicekmodel一样，没有任何跳跃可以忽略规模和货币决策、公司财务结果发布、投资者预期变化等事件。事实上，当前市场环境的突然波动和负利率加剧了上述问题，迫切需要更复杂的框架，这可以适应多种风险来源，以及市场的冲击和/或结构变化。这导致了许多基于随机利率模型的利率衍生品定价论文的发展，这些模型概括了经典的CIR和Vasicekparadigm（有关更多详细信息，读者可以参考Brigo&Mercurio，20 06，Ch.3-4以及其中的参考文献）。最近，Zhu（Zhu，2014）提出了一个由Hawkes过程建模的CIR方差和跳跃，Moreno和Platania（Moreno和Platania，2015）提出了一个周期平方根模型，其中长期均值和波动性参数由harmo-nic振荡器驱动。最后，Naja和Mehrdoust（Naja和Mehrdoust，2017）以及Naja等人（Naja、Mehrdoust、Shirinpour和Shima，2017）提出了CIR框架的一些扩展，其中添加了混合分数布朗运动来解释模型的随机部分。3、材料和方法3.1。DatasetOur dataset r ecords weekly（从2010年12月31日至2016年11月18日）欧元利率，到期日为1/360A、30/360A、6/360A，。。。，360/360A和1年，。。。，50年（即。

在1天（隔夜）、30天、60天，。。。。，360天1年，。。。，50年）可从IBA获得[7]。为了方便起见，我们将数据分为两个数据集：货币市场（数据集I）和短期至长期利率（数据集II）。在表1）中，每列都列出了n=308个弱观测欧元利率的样本，并设定了到期日；每行显示不同到期日的利率ICE基准管理、数据供应商代码。表1：欧元周利率：数据集I数据集II到期日1/360A 30/360A··360/360A 1年2月··50Y31.12.2010 0.606 0.782··1.507 1.311 1.557··3.30607.01.20110.341 0.759··1.505 1.345 1.603··3.229··3.229····························。。。2016年11月18日-0.410-0.373···-0.077-0.195-0.139··1.12050 100 150 200 250 300t（周）-1数据集I50 100 150 200 250 300t（周）数据集II图1：数据集I和II：在固定日期观测到的微弱欧元利率。图1中的曲线图表示数据集I和II的列，因此，通过对行进行绘制，它们与收益率曲线（期限结构）不同。从数据显示，2014年后（自2015年3月起），短期利率明显变为永久性负利率。然而，数据集II的样本数据也显示了downwar dtrend。在（Orlando、Mininni和Bufalo，2018b）中，我们根据每月观察到的标普ot利率对adataset进行了定性分析，并表明最具挑战性的任务是确定货币市场利率，因为存在最大的接近零和/或负即期利率值。因此，我们开始研究数据集II中的到期利率样本。在本文中，我们仅限于在市场数据的滚动时间窗口内估计和预测未来的预期利率。

我将在一项正在进行的研究中详细分析与估计和预测利率问题相关的数据集。4、模型：程序和精度金融利率时间序列经常显示出一种经验分布，即概率分布与观测值变化幅度的突然变化的混合。因此，为了捕获市场即期汇率方差的所有统计显著变化，从而说明跳跃，使用第4.1节所述的适当技术，将可用市场数据样本划分为子样本（不一定大小相同），具有正态或非中心卡方分布。此外，如果观察到的数据集中存在负或接近零的市场利率，则该程序涉及通过适当的标量参数将其转换为正值（第4.2节）。这是为了避免（2）中的差异项不会因接近零而减弱，这是CIR模型的一个s，但充分反映了市场上存在的相同水平的波动性。最后，为了解决常数波动率参数σ的关键问题以及对CIR和Vasicekmodels的市场数据校准不满意的问题，我们针对每个子样本，将模型参数校准为观测利率（第4.3节）。建议的程序首先在可用数据集（第5节）的一些样本上进行测试，然后根据滚动窗口预测未来的预期下周利率，如第5.1.4.1节所述。步骤1-数据集划分正如导言中所述，我们的程序的新颖之处在于将可用的市场数据划分为具有适当选择概率分布的子样本。

分割的效果有两个方面：（1）改进Vasicek/CIR模型参数的校准，以考虑市场利率动态的多重跳跃，以及即期利率波动的时间变化；（2） 仅确定预测与市场利率密切相关的预期未来利率的最新历史时期。根据未知的数据经验概率分布选择子样本。请注意，在文献中，有几种方法可以检测随机过程或时间序列概率分布中的多个变化（例如，见Lavielle，2005；Lavielle&Teyssiere，2006；Bai&Perron2003）。我们将在正在进行的研究工作中使用这些方法，但在本文中，我们采用正态或非中心卡方分布的子样本的数值划分，如下一小节所述。4.1.1. 正态分布划分（Orlando，Mininni&Bufalo，2018a）我们假设观察数据样本的经验分布是负利率值存在的正态分布的混合。这一假设是恰当的，因为在Vasicek模型中，利率过程r具有稳定的正态分布，如第2节所述。此外，CIR模型中平方roo t过程的for m（2）动力学是从平方高斯模型中获得的（例如，见Rogers，1996）。因此，我们的想法是将数据样本划分为若干个fsub样本，每个样本来自适当的正态分布。正态分布的拟合优度通过Lilliefors检验在5%显著水平上进行检验。这是对Kolomogorov-Smirnov检验的改进，在Kolomogorov-Smirnov检验中，总体平均值和标准偏差未知，但根据数据进行估计。

在本文中，我们实施了一个向前的程序，首先考虑原始样本的前四个数据，例如（r，…，r），然后进行Lilliefors检验，直到第一个正态分布子样本，例如（r，…，rn），其中n≥ 4，不被r弹出。然后，该程序应用于剩余序列（rn+1，…，rn+4），直到第二个正态分布子样本（rn+1，…，rn），n≥ n+4，不被拒绝，以此类推，将整个数据样本划分为m个正常分布的子样本，即（r，…，rn），（rn+1，…，rn），（rnm-1+1, ..., rnm），纳米≤ n、 表2总结了正向分段过程。此外，观察到在进行Lilliefors测试时，可能会出现P值大于所选的显著水平，但与之相差不超过10-因此，在这种情况下，应用约翰逊变换以确保每个子样本遵循正态分布。约翰逊方法包括将非正态随机变量X转换为标准正态变量Z，如下所示，Z=γ+δf十、- ξλ, λ、 δ>0（3），其中f必须是X的单调函数，具有相同的标准化随机变量（X）值范围- ξ） /λ，其中ξ和λ分别是X的平均值和标准偏差。参数δ和γ分别反映f的陡度和峰度。估算四个参数γ、δ、λ和ξ并执行适当转换的算法可作为Matlab工具箱表2：正向过程1。初始化h=4；2、对利率向量r（1:h）进行Lilliefors检验；3、尽管无效假设未被拒绝4。h=h+1；5、在r（1:h）上运行Lilliefors测试；6、结束7。设置n（1）=h；8、初始化i=1；当n（i）<长度（r）10时。h=n（i）+4；10、对r（n（i）+1:h）重复步骤2-6，并找到n（i）+1；如果长度（r）-n（i+1）<412。