通过Vasicek和CIR模型预测利率：a

设置resti=r（n（i+1）+1：长度（r））；13、断路器14。else15。设置i=i+1；16、结束17。琼斯（Jones，2014年）撰写的尾声。为了将约翰逊方法应用到我们的案例中，每个子样本中的市场利率首先通过（3）转换为m个子样本，标准正态分布为f或任意k=1，m、 zh=γ+δf右侧- ukσk, h=nk-1+ 1, .., nk（n=0），其中uk，σkdenote分别是k-thsub组的样本平均值和标准偏差。然后，将它们转换为正态分布n（uk，σk）的m个子样本，如下所示：rh=σkzh+uk，h=nk-1+ 1, .., nk（n=0）。4.1.2. 非中心卡方分布的划分与之前的正态分布混合假设不同，分析数据样本的经验分布可以假设为非中心卡方分布的混合。如第2节所述，这一假设是根据CIR过程的条件性分布来证明的。由于非中心平方分布仅允许正值，因此必须首先将市场观察到的利率转换为正值，如下一小节所述。划分程序类似于第4.1.1节所述，并进行Kolmogorov-Smirnov检验（5%显著水平），以测试m个子样本对非中心卡方分布的拟合优度。4.2. 第2步-上述利率变动，该程序的一个步骤是将市场利率转换为正值，以消除负值/接近零值，而不是削弱CIR模型中的有效性。在此，我们考虑以下转换：hif t（t）=r（t）+α，t∈ [0，T]，（4），其中α是确定的正数。这种转换保持利率的随机动态不变，即在任何时间t，drshif t（t）=dr（t）。

有许多值可以分配给α，但我们认为最合适的技术是经验利率概率分布的第99个百分位。如果换算（4）不足以将负利率移动到相应的正值，这意味着进一步的负值介于99%和100%之间，我们可以将α设置为经验分布的第一个百分位。在这种情况下（4）变为移位t（t）=r（t）- α.4.3. 步骤3-C a l ibration为了根据Vasicek和CIR模型估计利率，需要根据市场利率校准所涉及的参数k、θ、σ。在目前的工作中，在文献中现有的许多估计SDE参数的方法中（例如，见Poletti Laurini和Hotta，2017年，以及其中的参考文献），我们将估计函数方法应用于Bibby等人（Bibby、Jacobsen和Sorensens，2010）介绍的遍历扩散模型，这对于获得离散采样的遍历马尔科夫过程的参数的最优估计是非常有用的，因为该过程的似然函数通常是未知的。在（Orlando，Mininni&Bufalo，20 18a；2018b）中，通过将其效率与Klad'vko（Klad'vko，2007）在Matlab中为CIR过程实现的最大似然估计例程进行比较，显示了la t t er方法的更好性能。在（Bibby、Jacobsen和Sor ensens，2010年，示例5.4）中，作者构建了CIR模型的近似最优估计函数，根据该函数，他们得出了以下三个参数κ、θ、σ的显式估计量，这些参数基于未观测到的市场现货率（r。

，rn）：^κn=- 自然对数（n）- 1） Pni=2ri/ri-1.- （Pni=2ri）（Pni=2r-1i-1） （n）- 1)- （Pni=2ri-1） （Pni=2r-1i-1),^θn=（n- 1） nXi=2ri+e-κn（n- 1) (1 - e-^κn）（rn- r） ，（5）^σn=Pni=2r-1i-1（ri- 国际扶轮社-1e级-^κn-^θn（1- e-^κn））Pni=2r-1i-1（（^θn/2- 国际扶轮社-1） e类-2^κn- （^θn- 国际扶轮社-1） e类-^κn+^θn/2）/^κn。类似的计算允许以闭合形式计算Vasicek模型的三个参数κ、θ、σ的估计量：^κn=- 自然对数（n）-1)Pni=2ri-1.Pni=2ri-Pni=2ri-1ri（n-1)Pni=2ri-1.-Pni=2ri-1.,^θn=（1- e-^κn）（n）- 1） nXi=2ri-e-κn（n- 1） nXi=2ri-1., （6） σn=2κn（1- e-2^κn）·（n）- 1） nXi=2国际扶轮社- 国际扶轮社-1e级-^κn-^θn（1- e-^κn）.备注1。注意，（5）和（6）中给出的估计量存在，提供了e的表达式-^κnis严格正（Bibby、Jacobsen和Sorensens观察到这种情况的发生概率倾向于1，因为n→ ∞).值得注意的是，如图1所示，在存在负/近零利率值的情况下，只有在使用转换（4）将即期利率转换为正值后，才能对CIR模型的未知参数进行校准。4.4. 步骤4-预测校准市场数据后，已使用参数向量（k，θ，σ）的估计值，通过以下条件预期公式预测未来预期利率，该公式以封闭形式适用于Vasicek和CIR模型中的利率过程（2）E[r（t）| r（s）]=θ+（r（s）- θ） e类-k（t-s） ，0≤ s<t.（7）4.5。准确度为了测量我们方法的准确度，我们计算均方误差（RMSE）的平方根，例如ε，定义为ε=VuTunnxh=1eh，（8），其中eh=rh- brh表示市场利率与相应固定价值之间的剩余brh。在我们的情况下，拟合值是通过以下小节中描述的数值程序估计的预期利率，并与第5.5节中的市场数据进行比较。

实证结果为了检验本文提出的方法的性能，使用表1中报告的数据集的两个数据样本进行了一些实证调查。如第3.1节所述，我们开始检查数据集II中的市场数据样本。我们考虑了一个样本，由n=308周观察市场利率组成，到期日为T=30Y的衍生品。图2显示，观测到的利率均为正值，尾部接近零值（绿线）。我们开始根据Vasicek和CIR模型估计预期利率。为了将模型中的参数向量（k，θ，σ）校准到市场数据，我们采用了第4.3节中提到的最优估计函数方法。注意，对于CIR模型，我们首先通过公式（4）将整个数据从零转移到a样本。然后，使用最优参数估计来计算估计的预期利息率，例如（brexp（t））t≥0，通过公式（7）。初始值已设置为与观测数据样本中的第一个值相等。表3列出了两种模型的参数估计值（^kn、^θn、^σn）和相应的RMSEε。在图2中，原始市场数据样本与相应的估计预期CIR/Vasicek利率序列进行了比较。为了改善图2所示的与市场数据紧密拟合的结果，我们在以下主要步骤的基础上实施了数值算法，对第4.1-4.3节所述的模型进行了综合：1。使用转换公式（4）将每个分组转换为正值（如果需要）；表3：Vas ic ek和CIRmodel的最佳参数估计和相关RMSEε。

数据样本：n=6 8个月观察利率，到期日T=30年，来自表1中的DatasetII。参数估计ASICEK CIR^κn0.0087 0.0094^θn5.1470 5.2037^σn0.0918 0.0379ε0.4411 0.432450 100 200 250 300吨（周）0.51.52.53.54.5市场利率预期利率（CIR）预期利率（Vasicek）图2：估计预期利率：CIR模型（蓝线）和Vasicek模型（洋红线）vers us n=308周观察欧元利率（绿线）表1.2中数据集II的到期日T=30年。将整个样本划分为m个正态/非中心卡方分布子组；3、应用约翰逊变换（仅在正态分布子样本的情况下）；4、通过应用第4.3节所述的最优估计函数方法，将CIR/Vasicek兴趣Rat e过程r的参数校准到每个亚组；5、通过使用每个子组的闭合公式（7）生成估计的预期CIR/Vasicek利率序列。同样，我们考虑了上述关于长期到期（T=30年）的每周观察数据样本。从第2步开始，我们将样本划分为m=8个正态分布的子组（见表4），并划分为m=42个非中心卡方分布的子组（见表5）。不是因为第一种情况下的值r和第二种情况下的值（r，r）在分区中被遗漏了。然后，我们将步骤3-5应用于两个分区的每个子组。表4和表5列出了为每个子组计算的RMSE，即εk，k=1。。。，m、 总RMSE，例如eε，作为εk的加权平均值，在整个样本上计算，即iseε=VuTmxk=1nknnkXh=1eh。

（9） 表4：正态分布划分：表1数据集II中n=308周欧元利率样本的误差分析，到期日T=30Y。正态分布子组（r，…，r）（r，…，r）（r，…，r）（r，…，r）（r，…，r）（r，…，r）εk0.1686 0.1181 0.0916 0.2538 0.2879子组（r，…，r）（r，…，r）（r，…，r）εk0.0575 0.1182 0.1355eε0.8663下面的图3和图4将估计预期利息率Es的plo与原始市场数据样本进行了比较。