对数拉普拉斯波动率的动态尾部推断

下排：（5.6）\'sbPn |εt |≥ 3bσε| b'Ht，boin红色，用青色标记（5.8）ξt的阈值。（3.5）“sb （4bσε）给出了整个取样器的结果bSPX=。20、Gordon V.Chavez动态尾部推断，具有对数拉普拉斯波动率效应，以及模型参数和结果概率的计算成本低廉的估计。我们已经证明，这种建模形式对于预测非线性和金融时间序列数据中动态变化的极端事件概率非常有用。当前和未来的研究方向包括寻求模型估计的正式结果、条件拉普拉斯过程的长记忆建模、不对称波动率和尾部的调节以及时间聚集。致谢作者感谢康奈尔大学的Gennady Samorodnitsky教授和哥伦比亚大学的Richard Davis教授，感谢他们在2016年对这项工作的早期版本发表的评论，以及Dr。多布里斯拉夫·多布雷夫（Dobrislav Dobrev），美国联邦储备委员会（Federal Reserve Board），在2017年第10届金融计量学会（SoFiE）年会上就本手稿的早期版本发表了有益的评论。作者还感谢摩根大通（JPMorganChase&Co.）的阿尔坦·阿拉瓦拉博士（AltanAllawala）发表了富有洞察力的评论。作者还感谢库兰特数学科学研究所的RichardKleeman教授和。与麦吉尔大学的法哈德·萨利德教授和纽约大学斯特恩的弗兰兹·辛岑教授一起，就这些话题进行了长达数小时的激励性讨论。最后，作者非常感谢加州大学旧金山分校DavidJablons教授的慷慨鼓励和支持。A附录1：证明A。引理证明2.1防止。我们首先进行替换y=log是/否？Ht. 然后通过（1.2）和（1.4），对于ht≥ 0，P（σt≤ y） =P（ht≤ y）=-经验值-日志e-(R)Hty!=-好极了！然后我们区分w.r.t。

y=σt，这给出了σt的（2.1）结果≥ 经验值\'\'Ht. 接下来，通过（1.2），（1.4），对于ht<0，P（σt≤ y） =P（ht≤ y） =爆炸e-(R)Hty!=是的.我们再次区分w.r.t.并让y=σ给出（2.1）的0结果≤ σt<exp\'\'Ht.A、 2推论证明2.1证明。我们从（2.1）中注意到，对于任何n≥ 1，σntis的条件期望值等于积分之和Se{σnt | Ft-1} =2经验值-\'\'HtZexp（(R)Ht）σ1/+n-1tdσt+exp\'\'HtZ∞膨胀（(R)Ht）σ-1/+n-1tdσt！，其第二项发散为 ≥ 1/n，而对于 < 1/n我们在积分e{σnt | Ft后得到-1} =经验值不适用1.- n+1+n=经验值不适用1.- n, （A.1）Gordon V.Chavez对数Laplace波动率动态尾部推断我们接下来注意到，由于ztis i.i.d.和ztandσtare是独立的，条件期望e{εnt | Ft-1} =EzntE{σnt | Ft-1}. 由于ztis标准法线，其n阶矩为（n- 1)!! =（n）- 1） （n）- 3） （n）- 5)...因此E{εnt | Ft-1} =（n- 1)!!E{σnt | Ft-1}. 然后使用（A.1）给出（2.2）的结果。A、 3定理2.1的证明。我们从Rohatgi（1976年，第141页）中注意到，由于（1.1）的Zt和σtare是独立的，其产物σtzt=εtis的分布由公式ε（εt | Ft）给出-1） =Z∞pσ（σt | Ft-1） pz公司εtσt|σt | dσt.（A.2）然后，我们将pz的标准正态密度和（2.1）的pσ替换为（A.2），得出pε（εt | Ft-1) =2√2πexp-\'\'HtZexp（(R)Ht）σ1/-2te-εt2σtdσt（A.3）+2√2πexp\'\'HtZ∞膨胀（(R)Ht）σ-1/-2te-εt2σtdσtWe从（2.5）中注意到，（A.3）中的第一个积分在简化后可以用以下形式书写√2e？Ht-1/√π|εt | 1/-1.Γ1.- 1/,εt2σtσt=e’Ht- Γ1.- 1/,εt2σtσt=0（A.4）为了进一步简化（A.4），我们从Abramowitz和Stegun（1965 p.263）中注意到，上不完全伽马函数满足（A，b）~ 文学士-1e级-b（A.5）为b→ ∞. 出租（1- 1/)/（a.5）中的2=a和εt/2σt=b表明（a.4）中的第二项消失。

（A.4）的最终简化给出了结果√π√2e？Ht-1/Γ1.- 1/,εt2e？Ht|εt | 1/-1.（A.6）定义（2.5）可再次用于将第二个积分写入（A.3）中，如下所示：√2e？Ht1/√π|εt|-1/-1.Γ1 + 1/,εt2σtσt=∞- Γ1 + 1/,εt2σtσt=e’Ht（A.7）简化后。（A.7）中的第一个上不完全伽马函数项为Γ（（1+1/)/2).然后我们注意到Γ（a）- Γ（a，b）=γ（a，b）。（A.8）将此恒等式与（A.7）一起使用并简化√π√2e？Ht1/γ1 + 1/,εt2e？Ht|εt|-1/-1.（A.9）将（A.6）和（A.9）相加，得出（2.4）中的结果。Gordon V.Chavez使用对数Laplace volatitya进行动态尾部推断。4推论2.2证明。我们首先注意到Jameson（2016、2017）Γ（a、b）中显示的身份~ -baa（A.10）为b→ 0表示a<0。对于 < 1, (1 - 1/)/2<0，因此使用（A.10）和重写给出Γ1.- 1/,εt2e？Ht~2.1.- |εt|√2e？Ht1.-1/（A.11）as |εt |→ 接下来我们注意到等式γ（a，b）~baa（A.12）为b→ 使用（A.12）并重写，则得出γ1 + 1/,εt2e？Ht~2.1 + |εt|√2e？Ht1+1/（A.13）as |εt |→ 0、将（A.11）和（A.13）替换为（2.4）并取消给定的术语spε（εt | Ft-1) ~rπe’Ht1.- +1 + as |εt |→ 0，可将其简化为结果（2.7）。A、 5定理2.2的证明。我们首先进行替换B=εt√2e'Ht（A.14）in（2.4）∧到的积分∞. 乘以2，取消项，使用符号（2.8），然后给出sp{|εt |≥ ∧英尺-1} =√πZ∞e∧tΓ1.- 1/, bb1级/-1db（A.15）+√πZ∞e∧tγ1 + 1/, bb-1/-1db。我们从（A.15）的第一学期开始。我们采用U=Γ的部件集成1.- 1/, b, v=b1/.然后使用定义（2.5）区分u和取消术语，得出√πΓ1.- 1/, bb1级/b类=∞-Γ1.- 1/, bb1级/b=e∧t+2Z∞e∧te-bdb公司. （A.16）Gordon V.Chavez动态尾部推断（A.5）的对数拉普拉斯波动率（log-Laplace volatilityRecall）表明（A.16）的第一项消失。

然后我们继续（A.15）的第二项，再次应用U=γ的部分积分1 + 1/, b, v=-b-1/.然后使用（2.6）区分u和取消项，得出√π-γ1 + 1/, bb-1/b类=∞+γ1 + 1/, bb-1/b=e∧t+2Z∞e∧te-bdb公司. （A.17）注意，（A.17）的第一项也消失了。结合（A.16）和（A.17），并注意定义（2.10），得出结果（2.9）。A、 6定理2.3的证明。我们将使用（2.5）的以下渐近展开式，该展开式可从部分重复积分中推导出来（见数学函数数字库8.11）。Γ（a，b）=ba-1e级-b1+n-1Xk=1uk（a）断路器+断路器b-n!（A.18）作为b→ ∞, 其中UK（a）=(-1） k（1- a） k=（a- k） （a）- k+1）。。。（a）- 2） （a）- 1） ，（A.19）和（.）kdenotes上升阶乘。然后，我们在（2.4）中进行以下替换，a=1- 1/, a=1+1/, bt=εt2e？Ht。（A.20）然后，我们撤回（A.8）并将（A.18）替换为（2.4）的两个术语（A.6）和（A.9）。简化后，将（2.4）的级数表示为bt→ ∞,pε（εt | Ft-1) =4√2πe'Htb-atΓ（a）+b-1te-btn公司-1Xk=1uk（a）- 英国（a）bkt+Ob-n-1te-英国电信!. （A.21）我们接下来注意到，在重新替换Bt和A后，（A.21）中的第一项等于√π√2e？Ht1/Γ1 + 1/|εt|-1/-1，（A.22），这是术语（A.9）的极限，即εt→ ∞. 将（A.22）乘以2并从∧积分到∞ 给出了（2.11）和（2.8）的第一项。然后，我们继续（A.21）的第二项，重新替换Bt并取消因子，以给出“Ht2”√2πe-εt/2e'Htεtn-1Xk=1uk（a）- 英国（a）ε2kt2e？Htk、 （A.23）我们接下来注意到以下积分Z∞∧e-ε/2e？Htε-2（k+1）dε=2e？Ht-k-1/2Γ-k-,∧2e'Ht. （A.24）Gordon V.Chavez对数拉普拉斯波动率动态尾部推断图6:k=1时（A.26）对（2.11）-（2.8）修正项的可视化。。。，15带 = 1/4.左：系列校正fore∧t=4的曲线图/√2.

右：前∧t=2的（绝对值）校正的以10为底的对数图/√2（红色），e∧t=3/√2（绿色），ande∧t=4/√2（蓝色）。在两幅图像中，发散开始前序列的最小校正项被圈起来。So积分（A.23）从∧到∞, 应用（A.24），取消因子给出√πn-1Xk=1[英国（a）- 英国（a）]Γ-k-,∧2e'Ht. （A.25）因为（A.21）在任何n处的余数不会改变所有bt的符号，所以我们可以类似地应用（A.24）给出余数项的积分。最后，将（A.21）乘以2并从∧积分到∞, 应用（A.22）的积分，结果（A.25），对uk（A）使用更清晰的符号，并用fullyre代入给出渐近展开式P{|εt |≥ ∧英尺-1} =√1/√πΓ1 + 1/经验值\'\'HtΛ-1/（A.26）+√πn-1Xk=1(-1） k级1 + 1/k-1.- 1/kΓ-k-,∧2e'Ht+OΓ-n-,∧2e'Ht.将（A.18）重新应用于（A.26）的余项（n=1），得到（2.11）中的余项（2.8）。（A.21）和（A.26）中的级数通常不收敛于n→ ∞. 然而，它们可以在低阶n下运行，以接近（2.4）及其积分。这是因为对于n ∞对于∧的值，与e'Ht相比，该系列的项迅速变得非常小。图6给出了（A.26）渐近序列的可视化。Gordon V.Chavez使用对数Laplace volatitya进行动态尾部推断。7命题3.1证明。通过（1.1）和（1.2），|εt |=exp（Ht）| zt |。取对数giveslog |εt |=Ht+log | zt |。（A.27）由于zt和ε皮重独立，E{log | zt | log |εt |}=E log | zt |。那么由于ztis标准正常，zt~ χ(1). 然后可以注意到，例如，从Breidt et al.（1998）中可以看出，e log | zt |=e log zt=对数2+ψ=-日志2-γ≈ -.6352，（A.28），其中ψ（x）是digamma函数ψ（x）=ddxlog（Γ（x））=Γ（x）Γ（x），ψ（1/2）=-2日志2- γ（见Abramowitz和Stegun 1965第258-259页）。

重新排列（A.27），取期望值E{Ht | log |εt |}，并替换（A.28）得到结果（3.1）。附录2：zt~ Lap（0，1）酪蛋白在本节中，我们简要地表明，对于（1.1）-（1.4）ZT，结果与附录1中的结果非常相似~ N（0，1）可以根据标准拉普拉斯密度z（zt）=exp来推导ztis的分布情况(-|zt |），（B.1），其中Ezt=0，E | zt |=1。我们首先注意到，可以提出与A.2中相同的论点。我们使用（B.1）\'s Eznt=n！结果（A.1）给出{εnt | Ft-1} =经验值不适用n1.- n（B.2）对于偶数n≥ n=1的（B.2）右侧额外给出E{|εt | | Ft-1}.我们接下来注意到，可以给出A.3中的等效参数，使用（2.1）和（B.1）以及（A.2）给出一个由两个积分组成的表达式，每个积分都可以非常类似于（A.4）和（A.7）。然后（A.5）和（A.8）可以用与上述相同的方式来简化这些术语。将这两项相加，得到结果pε（εt | Ft-1) =4经验值-\'\'HtΓ1.-,|εt | e'Ht|εt | 1/-1（B.3）+4经验值\'\'Htγ1 +,|εt | e'Ht|εt|-1/-1然后可以使用A.4中的恒等式（A.10）和（A.12）表示为|εt |→ 0，pε（εt | Ft-1) ~2e'Ht1- . （B.4）替换B=|εt |/e | Htin（B.3），并按A.5中的部分进行积分，得出结果{|εt |≥ ∧英尺-1} =γ1 +,e∧te∧-1/t型- Γ1.-,e∧te∧1/t型+ e-e∧t（B.5）Gordon V.Chavez对数Laplace波动率的动态尾部推断，其中∧t=∧/e'Ht。最后，也可以重复A.6中的论点，使用（A.18）-（A.19），替换为A=1-, a=1+, bt=|εt | e | Htto write（B.3），作为形式上等价于（A.21）的渐近展开式，唯一的变化是因子1/4.√2πe’Ht替换为1/4.e'Ht.

然后重新替换Bt和ain第一个术语4经验值\'\'HtΓ1 +|εt|-1/-1，（B.6），即（B.3）第二项的极限为|εt |→ ∞. 将（B.6）乘以2并从∧积分到∞ 将给出我们结果的第一个术语。接下来，应用积分Z，在（B.3）的渐近展开的第二项和第二项中完全重新替换∞∧e-ε/e'Htε-（k+1）dε=e-k’HtΓ-k、 ∧e'Ht, （B.7）乘以2，然后取消因子，得到完整的结果p{|εt |≥ ∧英尺-1} =Γ1 +经验值\'\'HtΛ-1/（B.8）+2n-1Xk=1(-1） k级k--kΓ-k、 ∧e'Ht+OΓ-n、 ∧e'Ht.将（A.18）重新应用于（B.8）的余项，n=1，表明ase∧t→ ∞,P{|εt |≥ ∧英尺-1} =Γ1 +e∧-1/t+Oe∧-2te-e∧t. （B.9）然后比较（B.9）和（2.12）给出sp{|εt |≥ ∧英尺-1} ~ Γ1 +P{σt≥ ∧英尺-1}. （B.10）由于Γ（1）=Γ（2）=1，（B.10）的第二行减少到P{εt |≥ ∧英尺-1} ~ P{σt≥ ∧英尺-1} 用于 = 1和as → ∞. 图7给出了（B.3）的几个图表。补充材料R脚本：包含代码的R脚本，用于执行第4节和第5节中的模拟研究以及第6节中的经验应用。（.R文件）数据集：第5节模拟研究和第6节实证应用中使用的数据集。（.xlsx文件）补充材料电子邮件gchavez@novocure.com.GordonV.利用对数拉普拉斯波动率的查韦斯动态尾部推断图7：左：利用zt实现（1.1）-（1.4）中定义的εtde过程的典型实现~ 圈数（0，1），Ht=。5Ht-1+ .4吨-2+ht，以及 = 1/4. 右图：概率密度函数图（B.3）(R)Ht，等于（1.25）（红色），（1.50）（绿色），（1.60）（青色），（1.5.35）（品红），（2.25）（蓝色）。参考文献【1】Abramowitz，M.和I.A.Stegun（编辑）（1965年）。数学函数手册。多佛。纽约州纽约市。[2] Ardia，D.（2008年）。

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