对数拉普拉斯波动率的动态尾部推断

这给出了一组数据驱动的∧值，其中（2.11）是（3.4）\'sSintegral的一个越来越精确的近似值。从表1中可以看出，对于（4.1）（分别为（4.2））中给出的Ht ≤ .30（分别为25），b （kbσε）的偏差似乎随着k的增加而减小，而对于 > .30（分别为25）偏差似乎随k保持不变或略有增加。估计量的方差似乎几乎总是随k增加，这可能是由于较大偏差的概率估计方差较高。很明显，方差随着, 这可能与更大的. 样本量增加一倍，估计值的标准差减少了。01至。02，对某些偏差也有类似的影响。虽然通过增加样本量，许多病例的偏倚实际上增加了。估计员b （2bσε）的偏差对于较小的 并且随着 → 1/2. 要理解这种行为，请记住（2.14）的修正项与, 这使得定理2.3的近似值对于较小的. 直觉上，这是因为增加（2.4）在原点附近变得更为剧烈。因此，给定的∧，如2bσε，将在尾部变得足够远，以便（2.11）很好地近似于（3.4）的积分，使（3.5）成为更合适的估计量。同时，对于k=3和4，b （kbσε）的偏差似乎比b小得多 （2bσε）\'s和最小周围。10≤  ≤ .2、B中固有的向上偏差’由于Htmanifests的可预测性降低，作为更高的经验.

这解释了当样本量加倍时，biasseen的增加，因为B’t的AR（10）模型对较大样本的数据拟合程度较低。选择过程（4.1）-（4.2）是因为它们的简单性以及它们的短期自相关结构与金融数据集中的数据之间的超级相似性。特别是，（4.1）和（4.2）相应的εt |似乎局部相关性更强，但其他方面，它们的短期自相关类似于最近的每日标准普尔500指数和美国/欧洲绝对对数收益率。因此，这些模拟结果表明，在实际大小的样本和与以下财务应用类似的条件下，b k=3或4的（kbσε）可以提供一个计算上廉价且令人满意的, 给出了Ht的预测模型。现在，我们已经展示了第4节的有效性 估计程序，在接下来的两部分中，我们将使用模拟和金融时间序列数据展示我们建模方法的预测能力。5模拟：洛伦兹驱动的波动性在本节中，我们将把我们的建模方法应用于模拟的非线性时间序列，其中波动性由洛伦兹系统驱动。请注意，这使得波动率非随机，但Gordon V.Chavez动态尾部推断与对数Laplace波动率表1：使用（3.5）“sb”的估计结果 （λ），对（1.1）-（1.4）的T样本进行1000次模拟，平均值为（4.1）和（4.2）给出的Ht。（3.3）“sb”Htis AR（10）的模型。Ht=（4.1）T=625- 10 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .平均50。b （2bσε）。28 .27 .28 .31 .35 .39 .43 .47 .50 .平均55。b （3bσε）。14 .16 .20 .26 .32 .37 .41 .47 .51 .56平均值。b （4bσε）。10 .13 .19 .26 .31 .36 .42 .47 .51 .56标准。开发b （2bσε）。02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 .11 .13标准。开发b （3bσε）。02 .03 .06 .07 .09 .10 .11 .13 .14 .15标准。

开发b （4bσε）。03 .05 .07 .08 .09 .11 .12 .13 .14 .16T=1250- 10 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .平均50。b （2bσε）。26 .25 .27 .30 .34 .38 .41 .45 .50 .54平均值。b （3bσε）。13 .15 .21 .27 .32 .37 .41 .46 .51 .平均55。b （4bσε）。09 .14 .21 .26 .32 .38 .42 .47 .52 .56标准。开发b （2bσε）。01 .02 .02 .03 .04 .05 .06 .08 .09 .11标准。开发b （3bσε）。01 .03 .06 .07 .08 .09 .10 .11 .12 .14标准。开发b （4bσε）。02 .05 .06 .07 .08 .09 .10 .12 .14 .14Ht=（4.2）T=625- 10 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .平均50。b （2bσε）。29 .27 .26 .26 .28 .32 .36 .41 .46 .52平均值。b （3bσε）。15 .14 .17 .21 .26 .32 .38 .43 .48 .52平均值。b （4bσε）。10 .11 .15 .20 .26 .32 .37 .42 .48 .53标准。开发b （2bσε）。02 .02 .03 .03 .05 .07 .09 .10 .12 .12标准。开发b （3bσε）。02 .02 .04 .06 .08 .08 .09 .10 .10 .12标准。开发b （4bσε）。02 .04 .06 .07 .08 .08 .08 .09 .10 .11T=1250- 10 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .平均50。b （2bσε）。27 .26 .25 .25 .27 .32 .36 .41 .46 .52平均值。b （3bσε）。13 .13 .17 .23 .28 .33 .38 .43 .48 .平均53。b （4bσε）。09 .11 .16 .22 .28 .33 .38 .43 .48 .53标准。开发b （2bσε）。01 .02 .02 .03 .05 .06 .08 .09 .10 .11标准。开发b （3bσε）。01 .02 .05 .06 .07 .07 .08 .08 .09 .10标准。开发b （4bσε）。02 .04 .05 .06 .06 .07 .07 .08 .08 .10Gordon V.Chavez动态尾部推断，对数Laplace volatilityinstead由确定性非线性系统驱动。该模拟研究将表明，即使基础过程没有（1.1）-（1.4）定义，我们提出的建模方法仍然可以提供对波动率和极端事件概率的高度预测性、动态估计。Lorenz系统是一组众所周知的普通微分方程，最初由Lorenz（1963）作为大气对流的简化模型制定。

方程组，由dxdt=σ（y）给出-x） ，dydt=x（ρ- z）- y、 dzdt=xy-βz（5.1）描述了从下方均匀加热并从上方冷却的二维流体层。变量x、y和z分别与对流速率、水平和垂直温度变化成正比，而σ、ρ和β是物理参数。洛伦兹系统是高度非线性的，以表现混沌行为著称，这意味着系统的长期演化对初始条件高度敏感。在这里，我们设置参数σ=10、ρ=28和β=8/3，这些参数产生了系统最广为人知的混沌行为。我们使用Soetart et al.（2010）中给出的R包“deSolve”，从离散Lorenz系统中创建10000个样本，给定参数值和初始条件为x=0、y=1和z=1。洛伦兹系统通过驱动波动性进入我们的模拟时间序列。特别地，我们设置（1.2）的HtasHt=xt- uxσx，（5.2），由（5.1）的离散化版本定义。因此，Ht由Lorenz系统的居中和去标度输出给出。为了产生可观测的重尾白噪声εt，我们将（5.2）的exp（Ht）乘以zt~ N（0，1）i.i.d.洛伦兹驱动的HTS，产生的波动率σ和时间序列ε如图4所示。请注意高波动性和极端波动的明显爆发。我们将使用我们的方法来预测εt的动态变化波动率和极端事件概率。为了根据可观测时间序列εt进行预测，我们使用（3.2）“sbHt”之前的20个值为（3.3）“sb”ht建立了一个稀疏的、线性的AR模型。因此，（3.3）的一组解释变量是implynbht-1.bHt公司-20度。

由于这组解释变量具有高度相关性和潜在的多重共线性，我们首先将主成分分析（PCA）应用于训练数据，以创建不相关主成分（PCs）φ（1）t。。。，φ（20）t。然后，我们使用Tibshirani（1996）的LASSO回归和Friedman et al.（2010）的循环坐标下降给出模型b’Ht=bβ+Xn=1bβnφ（n）t，（5.3），其中bβ=argmin ~β2TT+10Xt=11bHt公司- β-Xn=1βnφ（n）t+ λXn=1 |βn|, （5.4）和λminimizeb'Ht的平均绝对10倍交叉验证误差。这一过程可称为L1惩罚PC回归，给出了B’Ht的稀疏AR模型。我们将此简单模型用于（3.5）“sb =b （4bσε）估计εt的下一时间步波动率|σε，t=pE{εt | Ft-1} 以及|εt |概率的动态估计≥ 3bσε。我们使用矩结果（2.2）给出下一时间步波动率的以下模型：b'∑ε，t=rEnεt'b'Ht，bo=经验值b'Hts1级- 4b级. （5.5）Gordon V.Chavez对数Laplace波动率动态尾部推断图4：顶行：根据（5.1）的离散化版本给出的居中和去尺度Lorenz输出xt，在（5.2）中定义了HTA。中行：结果波动率σt=eHt。下排：产生的可见重尾白噪声εt=σtztwi，3bσε水平以青色标记。Gordon V.Chavez动态尾部推断与对数拉普拉斯波动率表2：洛伦兹驱动的波动率测试结果：平均值（±标准偏差）NTrain/NTestavg。b （4bσε）平均ρ|ε|，bσ平均Sn。平均Sp.2994/6987（70/30）。359 (±.008) .604 (±.001) .955 (±.002) .745 (±.008)3,992/5,989 (40/60) .345 (±.006) .614 (±.000) .934 (±.003) .781 (±.005)4,990/4,991 (50/50) .347 (±.005) .608 (±.000) .958 (±.003) .736（±.006）我们还使用渐近近似（2.11）-（2.8）给出了动态概率估计BPNεt≥ 3bσε| b'Ht，bo=√1/b√πΓ1+1/b!出口Htb!（3bσε）-1/b.

（5.6）为了衡量（5.5）的预测能力，我们可以简单地使用经验相关性ρ|ε|，bσ=corr|εt|，b′σε，t. （5.7）为了衡量（5.6）的预测性，我们使用它来创建一个分类器。我们首先注意到|εt |的平稳概率≥ 3bσε在高斯分布下为≈ .然后，我们使用（5.6）定义二元分类器ξt，其形式为ξt=1.bPn |εt |≥ 3bσε| b'Ht，bo≥ 5 × .00270;bPn |εt |≥ 3bσε| b'Ht，bo<5×。0027（5.8）因此ξtidenti乘以εt≥ 3bσε超过平稳高斯概率的5倍。然后我们计算ξt的灵敏度（Sn）和特定城市（Sp.），此处定义为asSn.={εts.t.|εt |≥ 3bσε∧ ξt=1}| |{εts.t.|εt |≥ 3bσε}|（5.9）和sp=|{εts.t.|εt |<3bσε∧ ξt=0}| |{εts.t.|εt |<3bσε}|。（5.10）度量值（5.9）给出了ξt预测的3个标准偏差事件的百分比，而（5.10）给出了ξt预测的非3个标准偏差事件的百分比。我们通过对训练样本大小与测试样本大小的几个不同比率进行三组不同的训练和测试练习来评估我们的建模。我们每次运行100个测试，并列出（3.5）“sb”的平均值 表2中的（4bσε），（5.7）“sρ|ε|，bσ和（5.9）-（5.10）。从表2中可以看出，该模型对εt中的波动性和极端事件具有高度预测性。特别是，（5.6）和（5.8）的朴素分类ξ能够预测样本外3个标准偏差事件的93%-96%。分类师做到了这一点，同时仍保持73%到78%以上的高规格。我们还注意到，（5.5）“sb”σε，与样本外εt的相关性超过60%，这表明了建模预测波动性波动的能力。

这种预测性能是通过小于测试数据集的训练数据集实现的。值得注意的是，该模拟时间序列与（1.1）-（1.4）中定义的过程以及（5.3）（5.4）中定义的线性自回归模型有很大的偏离。该时间序列中的波动性不是随机的，而是由一个包含未观测变量的确定性、非线性和混沌系统驱动的。然而，我们的建模方法可以产生高度预测的结果。这表明，该方法对于使用对数拉普拉斯波动率建模各种非线性和重尾时间序列的Gordon V.Chavez动态尾部推断是有用的。由于Litimi等人（2019）最近证明金融市场波动可能存在混沌，因此这些模拟结果可能与金融应用直接相关。在下一节中，我们将对金融市场数据进行实证应用，其中建模方法可以实现与表2.6中所示的预测性能相似的预测性能。在本节中，我们将建模和估计程序应用于标准普尔500指数（SPX）的日对数回报。我们首先考虑过去5年的一小部分近期数据，然后再考虑过去29年的一大部分数据。对于这两个数据集，我们使用两组协变量为（3.3）“sb”HTS构建了稀疏线性回归模型。第一组是（3.2）“sbHt，nbHt”之前的10个值-1.bHt公司-10度。第二组是log（VIXt）、{log（VIXt）之前的10个值-1) , ..., 日志（VIXt-10） ，其中VIX指芝加哥期权交易所（CBOE）波动率指数，该指数是根据SPX期权价格计算得出的隐含波动率指标。

这是标准普尔500指数隐含波动率的最广为人知和传播最广的衡量标准。与前一节类似，因为模型的解释变量集SNBHT中存在潜在的多重共线性-1.bHt公司-10，对数（VIXt-1) , ..., 日志（VIXt-10） o，（6.1）我们再次将PCA应用于训练数据，以得出PCsφ（1）t。。。，φ（20）t。我们还再次使用拉索回归，给出了形式（5.3）-（5.4）的模型。我们使用B’HTM模型同样给出了动态波动率和概率估计（5.5）-（5.6）以及分类（5.8）。6.1 2014年至2019年，我们首先考虑从2014年2月27日至2019年2月14日大约5年的数据，共提供1250个样本。我们使用回溯测试来评估我们的建模。特别地，我们做了两组反测试。在第一次回溯测试中，我们根据前50%的数据，即截至2016年8月18日的625个样本，对模型进行训练。然后，我们在第二个50%或625个样本的数据上测试模型的性能。在第二次回溯测试中，我们在2017年2月17日之前，根据前60%的数据或750个样本对模型进行训练。我们在第二个40%或500个样本的数据上测试模型的性能。我们每次运行100次回溯测试，并列出（3.5）“sb”的平均值 （4bσε），（5.7）“ρ|ε|，bσ和（5.9）-（5.10）表3.6.2 1990年至2019年，我们现在考虑从1990年1月17日至2019年3月1日大约29年的数据，共获得7332个样本。我们再次执行两组回溯测试。在第一次回溯测试中，在2004年8月4日之前，对前50%的数据或3666个样本进行模型训练。然后，我们在第二个50%或3666个数据样本上测试模型的性能。在第二次回溯测试中，我们根据前60%的数据，即截至2007年7月3日的4399个样本，对模型进行训练。在第二个40%或2933个数据样本上测试模型的性能。

我们再次运行bothbacktests，每次运行100次，并列出（3.5）“sb”的平均值 表3中的（4bσε），（5.7）“sρ|ε|，bσ和（5.9）-（5.10）。Gordon V.Chavez利用对数拉普拉斯波动率进行动态尾部推断表3：SPX回测结果：2014年至2019年的平均值（±标准偏差）NTRAIN/NTestavg。b （4bσε）平均ρ|ε|，bσ平均Sn。平均Sp.625/625（50/50）。33 (±.03) .39 (±.02) .78 (±.00) .74 (±.04)750/500 (60/40) .28 (±.02) .47 (±.01) .85 (±.05) .76（±.02）1990年至2019年NTRAIN/NTestavg。b （4bσε）平均ρ|ε|，bσ平均Sn。平均Sp.3666/3666（50/50）。206 (±.005) .575 (±.000) .893 (±.010) .805 (±.003)4,399/2,933 (60/40) .199 (±.003) .584 (±.000) .913 (±.000) .733（±.003）6.3讨论从表3中可以明显看出，该模型对标准普尔500指数日变化中的极端事件具有高度预测性。（5.6）和（5.8）的朴素分类ξtca可以预测样本中3个标准偏差事件的85%，并且可以预测多达91%的此类事件。分类在保持平均76%的特异性的同时，观察范围为71%-80%。我们还注意到，（5.5）“sb”σε，与样本外的εt有近50%的相关性，表明该模型能够预测市场波动的波动。这些结果是使用大量的训练数据获得的。在更大的数据集上，ξt在敏感性和特异性之间表现出更好的平衡，平均预测3个标准偏差事件的89%-91%，同时保持73%-81%的特异性。此外，nb∑ε和εt之间的相关性达到58%，表明预测波动性波动的能力更高。请注意，大样本测试数据包括金融危机的异常高波动期。我们注意到，根据定理2.3，对于B'Ht的高值，近似值（5.6）偏离了单位。

这种超越统一性的现象偶尔会出现在这些经验应用中，以及上一节对洛伦兹驱动波动性的应用中。在这种极端环境中，B’Htis非常大，（5.6）不能用来给出准确的概率估计。相反，（2.11）-（2.8）和（5.6）形式的相应估计值可以用作极端事件升级的预警工具。我们还注意到，由于bHTA模型使用了bHTAND log（VIXt）之前的10个值，因此它的平均长度约为两个交易周。由于许多研究人员已经在SPX波动性中发现了长记忆的经验证据（见Ding等人1993年、Bollerslev和Mikkelsen 1996年、Lobatoand Savin 1998年、Ray和Tsay 2000年、Grau Carles 2000年），这种相对幼稚、短记忆的HTL模型可能会在这种应用中得到改进。模型也可以调整，以适应股市数据中观察到的不对称尾部，通常称为“杠杆效应”（见Black 1976、Christie 1982、Nelson 1991、Engle和Ng 1993）。然而，总体而言，本文的研究表明，一个简单的短期记忆HTM模型仅使用最近实现的和隐含的挥发度测量值，通过参数化（1.1）-（1.5），可以在金融时间序列中进行直接和预测性的尾部推断。图5.7中给出了1990年至2019年的SPX每日日志收益图以及相应的模型输出。结论我们提出了一系列随机波动率模型，可在重尾时间序列中进行动态尾部推断。该家族的条件概率结构允许使用对数-拉普拉斯波动率进行直接的Gordon V.Chavez动态尾部推断图5：顶行：SPX log返回εtwith 3bσε水平，以青色标记。中行：蓝色的年化|εt和（5.5）“sb”σε，锡红色，3bσε用青色标记。