一类交易中时滞方程的正解

然而，为了自我包容，我们提供了第一原则证明。假设α>αs，我们必须显示状态X（v*, k） 对于k的一些值，关于零的等速振荡和d是负的。通过引理3.1，我们有x（v*, k） =X√θλk-1+g++λk-1.-g级-对于k≥ 2、当α>αs时，很容易证明θ<0，这意味着两个特征值λ±是复共轭s。因此，这些特征值可以写成极性形式λ+=rejω和λ-= 重新-jω，其中r=|λ±>0，ω=tan-1（p |θ|）∈ (0, π/ 2).接下来，将λ±的极性形式代入X（v*, k） 上面，一个冗长而直接的计算表明x（v*, k） =Brk-1cos（（k- 1） ω+Д），其中B和Д是常数，B>0。自ω∈ （0，π/2），很容易找到k值，使余弦的参数位于（π/2，3π/2），从而使余弦为负。这就完成了（a）部分的证明。为了验证第（b）部分，我们首先考虑α=αs的情况。然后使用公式（v*, k）=-kX（k（1- vmax+2vmin+1+vmax）1+Vmin对于引理3.1中的单数情况，当vmax>1+2vmin且k足够大时，X（v*, k） <0。接下来，对于案例α*< α<αs，我们再次假设vmax>1+2vmin。因为λ+>λ-, 状态X（v*, k） 对于足够大的k，如果我们可以证明g+=√θ+q<0 wh ereq=2α（vmax+1）vmin+1。为了证明这一点，因为α∈ (α*, αs），我们有0<θ<4α*vmin（1+vmin）+1=（vmax- 2V分钟- 1） （1+vmax）。由于平方根是一个递增函数，上述不等式θ意味着√θ<vmax- 2V分钟- 11+V最大值。此外，我们还有q<2α*（1+vmax）vmin+1=1- vmax+2vmin1+vmax。因此，它紧随其后+=√θ+q<vmax- 2V分钟- 11+V最大值+1- vmax+2vmin1+vmax=0。因此，第（b）部分的证明是完整的。为了证明第（c）部分，我们首先注意到k=0，1时所需的正性。

对于k≥ 2，假设α=α和vmax<1+2vmin，则Emma3.1中给出的奇异情况公式得出thatX（v*, k） >-kX（1+vmax）1+Vmin，对所有k为正≥ 2 bec因为vmin>-1，X>0，vmax>0。仍需处理病例α*< α<α砂vmax<1+2vmin。显示X（v*, k） 所有k均大于0≥ 2，替代g±=√θ±q和λ±=（1±√θ） /2到X（v*, k） 注意θ∈ (0, 1). 那么X（v）的公式*, k） 减少毒素（v*, k） =Xk√θ√θ1 +√θk-1+1.-√θk-1.+ q1 +√θk-1.-1.-√θk-1..自vmax<1+2Vmin和vmin>-1、我们获得Q≥ 2αs（vmax+1）vmin+1=1- vmax+2vmin2（1+vmin）>0。自从√θ>0，q>0和（1+√θ） k级-1> (1 -√θ） k级-1对于所有k≥ 2，它遵循t X（v*, k） >0。这是p a rt（c）的完整证明。最后，为了证明第（d）部分，由于α=0的结果微不足道，我们假设α>0。注意不等式αs≥ α*很容易证明等同于（1+vmax）- 2（1+vmin）≥ 此外，当vmax6=1+2vmin时，上述不等式都是严格的。假设vmax6=1+2vmin。然后0<α≤ α*意味着α<αs，因此在引理3.1中，我们有0<θ<1和λ±>0。证明g±≥ g+或g之一处的0和th-绝对是积极的。在g±的公式中=√θ±q，数量q=1+2α（1+vmax）Vmin为负或无负。如果它是非负的，那么g+>0，和g-≥ 0，因为α≤ α*等于θ≥ [1+2α（1+vmax）vmin]。类似地，如果上面的数量q为负，那么g-> 0，而g+≥ 0，因为α≤ α*再一次假设vmax=1+2vmin。那么对于α=α的情况*= αs，状态X（v*, k） 对于引理3.1中给出的这种单数情况，适用于所有k，并且明显为正。或者，对于情况0<α<α*= αs，我们在前面的段落ph中进行论证，得到0<θ<1，λ±>0。此外，由于vmax=1+2vmin，我们有q=θ，这导致了±=√θ ± θ > 0.这就完成了第（d）部分的证明。

必要性定理的证明：给定α>α+，有必要显示一条路径v，其中状态X（v，k）对于某些k不是正的。我们声称，可分辨路径v*是如此冷漠。为了证实这一点，我们将分析分为两种情况：情况1：vmax≤ 1+2vmin，我们有α+=αs。因此，证明X（v*, k） 当α>αs时，对于某些k<0。利用引理3.2的（a）o部分，我们得到了状态X（v*, k） 对于某些k，振荡并取负值。情况2：对于vmax>1+2vmin，我们有α+=α*. 注意，如果α>αs，X（v）的负性*, k） 由引理3.2的（a）部分再次确定。因此，证明X（v）是足够的*, k） <0对于某些k，当α*< α ≤ αs.由于vmax>1+2vmin，利用引理3.2的部分（b），我们得到了状态X（v*, k） 对于所有足够大的k都为负值。因此，证明是完整的。五、 所有时间的正性猜想和支持下面的猜想解决了上下界α之间的“差距”-和α+，用于第二节中定理提供的所有时间正性。随后，我们通过对涉及有限时间范围的各种情况的分析和模拟，支持这一联系。如下所示，“极端路径”的注意事项起着重要作用。全时正连接性：全时正条件适用于间隙间隔α-≤ α ≤ α+.极端路径：研究给定N≥ 0，我们考虑2Nextreme路径vi∈ VN，由vi（k）定义，对于k=0，1，…，为vminor Vmax，N-例如，（vmin，vmax，vmin）是V中的一个极端路径。对于所有k，在正条件X（V，k）>0时，第一个n≤ N和所有v∈ VNis等效tominv∈ 对于k，VNX（v，k）>0≤ N、 我们利用X（v，k）在v中是多线性的事实；i、 e.在每个组分v（k）中呈线性。例如，X（v，3）=[1+v（2）+v（1）v（2）+α（v（1）+v（0）v（1））]Xis在v（0）、v（1）和v（2）中是多线性的。

我们现在使用一个众所周知的事实，即超立方体上的多线性函数的最小值是在其中一个顶点处获得的；e、 g.，见【14】。这意味着t X（v，k）被一个极值vi最小化。因此，X（v，k）对于所有v都是正的∈ V标准k≤ N如果且仅当ifmini∈{1,2，…，2N}X（vi，k）>0对于k=0，1，2，N、 对于小N，检查此条件是可行的，但对于大N，“检查”的数量，即2N，变得太大。例如，在股票市场中，我们可能有N=100，但从计算角度来看，无法检查2条极端路径。变量N的示例：取X=1，vmax=0.9，vmin=-0.8，我们的vmax>1+2vmin，计算的间隙间隔为[α-, α+] ≈ [0.5263, 0.5888]. 为了支持这一推测，我们取N=10，并从间隙区间中选择N=100个等距α值，对于每个α，我们使用Matlab检查2N=1024个极端路径中每个路径的状态正性。我们发现，状态正性对他们所有人都适用。在图2中，显示了α=0.54时的X（vi，k），其在上述间隙间隔内。我们还对vmin、vmax和N的各种选择进行了许多其他模拟≤ 图2：模拟支持α=0.54的推测，给出了区分路径v的动机f*就第二节中的“最坏情况”交易场景而言，如果X（v*, k） 可能是所有k的X（v，k）的最小值≤ N、 然而，如图2所示，7的情况并非如此≤ k≤ 为了进一步支持这个猜想，我们还研究了N=100，X=1，vmax=0.2和vmin=-0.3.对于n=间隙间隔内α的100个等距值[α-, α+] ≈ [0.8333，1.1905]，我们为每个α生成了20万条极端路径。所有病例的阳性条件均被视为满足。

最后，为了支持该项目，我们还对各种选择的Vmin和vmax进行了其他模拟，包括这些边界的较小值与股票交易中发现的更接近的模型值，并一致观察到期望的状态正性在间隙区间内。N的理论结果≤ 3： 在本小节中，我们证明了如果α≤ α+，则状态正性适用于长度为N的所有部分路径≤ 3、我们注意到，N=0和N=1的情况是直接的，因为X（0）=X（1）=X>0是初始条件。接下来，对于N=2，如第II节开头所示，X（v，2）≥ [1+α（1+vmax）vmin]X。因此，X（v，2）>0当且仅当α<αmax（2）=|vmin |（1+vmax）。由于α+<αmax（2）也很容易验证，因此对于v，X（v，k）>0∈ Vand k公司≤ 2当α≤ α+. 根据下面的引理，N=3的情况需要更长的导数来证明X（v，3）>0当且仅当α<αmax（3），其中αmax（3）=|vmin |（2+vmax+vmin）。然后直接计算表明α+<αmax（3）。引理5.1：如果α<αmax（3），则对于所有v，X（v，k）>0∈ Vand所有k≤ 证明：对于任何（v（0），v（1）），我们观察到X（v，3）=X（v，2）+α（1+v（1））v（2）Xis在v（2）=vmin时最小化。它遵循thatX（v，3）≥ X（v，2）+α（1+v（1））vminX=[1+α（（1+vmin+v（0））v（1）+vmin）]X。由于右侧在v（0）和v（1）中是多线性的，因此取值vminor vmax时必须出现最小值。如果v（1）=vmax，则为了最小化右侧h和侧边，v（0）必须为vmin。在这种情况下，右侧以[1+α（（1+vmin+vmin）vmax+vmin）]X为下限。类似地，如果v（1）=vmin，则v（0）必须是vmax，而右侧则以[1+α（（1+vmin+vmax）vmin+vmin）]X为下限。很容易检查第二个边界是否严格小于第一个边界。此外，如果α<αmax（3），则第二个界为正。

有限时间正性集：让A（N）表示所有反馈参数α的集合，确保状态正性达到第N阶段。定义αmax（N）。=sup{α≥ 0 : [0, α)  A（N）}。然后我们已经在上面看到，A（2）=[0，αmax（2））和A（3）=[0，αmax（3）），αmax（3）<αmax（2）很容易验证。除了这两种简单的情况之外，一个原则是通过检查所有极端路径来确定给定反馈参数α是否属于A（N）。我们还知道，通过效率定理，[0，α-)  A（N）。如果全时正性猜想为真，我们必须有[0，α+] A（N）表示良好。Mor eover，自A（N+1）起 A（N）对于所有的N，αmax（N）是非递增的，因为它们的边界低于α-, 它们接近极限α∞.= 画→∞αmax（N）。它也很容易验证tα∞≤ α+; 否则，将存在α∈ (α+, α∞) 确保所有时间的正性，这与必然性理论m相矛盾。最后，如果所有时间的正性猜想为真，那么α∞≥ α+，在这种情况下，它将跟随α∞= α+.六、 结论和未来的工作在本文中，我们考虑了一个状态正性问题，该问题是在存在延迟的情况下，由交易风险资产引起的。根据两个临界阈值α研究了状态的期望正性-α+和α-< α+. 首先我们证明α<α-足以带来前所未有的积极性。然后我们证明了α>α+对于所有时间的正性是必要的。最后，我们推测“ga p”区间α的状态正性是有保证的-≤ α ≤ α+. 从理论上和计算上也为这一猜想提供了支持。关于进一步的研究，我们提到了两个有吸引力的方面。

第一个显然是为了证明这个猜想。在许多模拟的基础上，我们一致地观察到以下现象：如果X（v*, k） k大于0≤ N，对于k，X（v，k）>0≤ N和所有v∈ VN；例如。，见图，其中X（v*, k） 是正态，其他态X（vi，k）也是正态，这意味着k的X（v，k）>0≤ 如果这一观察对所有N都是正确的，那么lemma3.2的pARTS（c）和（d）为我们提供了α的所有时间正性≤ α+.未来研究的第二个方向是研究v（k）是向量值而不是标量时的状态正性问题。也就是说，如果v（k）∈ RMVI（k）为满足vmin，i的组件≤ 六（k）≤ vmax，iwith-1<vmin，i<0<vmax，如果i=1，2，m、 然后，受延迟投资组合再平衡问题的激励，更一般的状态方程X（k+1）=X（k）+mXi=1αi（1+vi（k- 1） ）vi（k）X（k）- 1） 当αi≥ 0是标量常量反馈参数。在这种情况下，本文中的理论概括将很有意义。为此，沿着这些线的一个结果是，条件mxi=1αi（1+vmin，i）| vmin，i |>1，会导致所有时间正性的振荡和失效。这可以使用与引理3.2和相关文献中给出的参数相似的参数来建立。参考文献【1】T.M.Cover和E.Ordentlich，“具有附带信息的通用投资组合”，IEEE信息论交易，IT-42。第348-363页，1996年。[2] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于通过无模型反馈控制器进行股票交易的新范式”，IEEE自动控制交易，AC-61，第662–6762016页。[3] Q.Zhang，“股票交易：最佳卖出规则”，《暹罗控制和优化杂志》，第40卷，第64-87页，2001年。[4] J.A.Primbs，“随机后退水平控制的投资组合优化应用”，《美国控制会议论文集》，pp。

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