一类交易中时滞方程的正解

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英文标题：
《On Positive Solutions of a Delay Equation Arising When Trading in
  Financial Markets》
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作者：
Chung-Han Hsieh, B. Ross Barmish, and John A. Gubner
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a discrete-time, linear state equation with delay which arises as a model for a trader\'s account value when buying and selling a risky asset in a financial market. The state equation includes a nonnegative feedback gain $\\alpha$ and a sequence $v(k)$ which models asset returns which are within known bounds but otherwise arbitrary. We introduce two thresholds, $\\alpha_-$ and $\\alpha_+$, depending on these bounds, and prove that for $\\alpha < \\alpha_-$, state positivity is guaranteed for all time and all asset-return sequences; i.e., bankruptcy is ruled out and positive solutions of the state equation are continuable indefinitely. On the other hand, for $\\alpha > \\alpha_+$, we show that there is always a sequence of asset returns for which the state fails to be positive for all time; i.e., along this sequence, bankruptcy is certain and the solution of the state equation ceases to be meaningful after some finite time. Finally, this paper also includes a conjecture which says that for the \"gap\" interval $\\alpha_- \\leq \\alpha \\leq \\alpha_+,$ state positivity is also guaranteed for all time. Support for the conjecture, both theoretical and computational, is provided.
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中文摘要：
我们考虑一个离散时间的线性时滞状态方程，该方程作为交易员在金融市场买卖风险资产时的账户价值模型。状态方程包括一个非负反馈增益$\\α$和一个序列$v（k）$，该序列对资产回报进行建模，这些资产回报在已知范围内，但在其他方面是任意的。根据这些界限，我们引入了两个阈值$\\ alpha\\u-$和$\\ alpha\\u+$，并证明了对于$\\ alpha<\\ alpha\\u-$，状态正性在所有时间和所有资产返回序列中都得到保证；i、 例如，破产被排除，状态方程的正解可以无限期地继续下去。另一方面，对于$\\ alpha>\\ alpha\\+$，我们证明了始终存在一系列资产回报，对于这些资产回报，状态并非始终为正；i、 沿着这个序列，破产是必然的，状态方程的解在一段有限的时间后就不再有意义了。最后，本文还包括一个猜想，即对于“gap”区间$\\ alpha\\u-\\ leq\\alpha\\leq\\alpha\\u+，$状态也始终是正的。本文从理论和计算两方面对这一猜想提供了支持。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Systems and Control        系统与控制
分类描述：cs.SY is an alias for eess.SY. This section includes theoretical and experimental research covering all facets of automatic control systems. The section is focused on methods of control system analysis and design using tools of modeling, simulation and optimization. Specific areas of research include nonlinear, distributed, adaptive, stochastic and robust control in addition to hybrid and discrete event systems. Application areas include automotive and aerospace control systems, network control, biological systems, multiagent and cooperative control, robotics, reinforcement learning, sensor networks, control of cyber-physical and energy-related systems, and control of computing systems.
cs.sy是eess.sy的别名。本部分包括理论和实验研究，涵盖了自动控制系统的各个方面。本节主要介绍利用建模、仿真和优化工具进行控制系统分析和设计的方法。具体研究领域包括非线性、分布式、自适应、随机和鲁棒控制，以及混合和离散事件系统。应用领域包括汽车和航空航天控制系统、网络控制、生物系统、多智能体和协作控制、机器人学、强化学习、传感器网络、信息物理和能源相关系统的控制以及计算系统的控制。
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一级分类：Electrical Engineering and Systems Science        电气工程与系统科学
二级分类：Systems and Control        系统与控制
分类描述：This section includes theoretical and experimental research covering all facets of automatic control systems. The section is focused on methods of control system analysis and design using tools of modeling, simulation and optimization. Specific areas of research include nonlinear, distributed, adaptive, stochastic and robust control in addition to hybrid and discrete event systems. Application areas include automotive and aerospace control systems, network control, biological systems, multiagent and cooperative control, robotics, reinforcement learning, sensor networks, control of cyber-physical and energy-related systems, and control of computing systems.
本部分包括理论和实验研究，涵盖了自动控制系统的各个方面。本节主要介绍利用建模、仿真和优化工具进行控制系统分析和设计的方法。具体研究领域包括非线性、分布式、自适应、随机和鲁棒控制，以及混合和离散事件系统。应用领域包括汽车和航空航天控制系统、网络控制、生物系统、多智能体和协作控制、机器人学、强化学习、传感器网络、信息物理和能源相关系统的控制以及计算系统的控制。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_Positive_Solutions_of_a_Delay_Equation_Arising_When_Trading_in_Financial_Markets.pdf (394.09 KB)

2022-6-11 09:23:48 上传

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关键词：Optimization Experimental Mathematical Quantitative Theoretical

关于金融市场交易中时滞方程的正解Schung Han Hsieh，*B、 罗斯·巴米什，**还有约翰·A·古布纳***摘要我们考虑了一个离散时间的线性时滞状态方程，该方程作为交易员在金融市场买卖风险资产时的账户价值模型。状态方程包括一个非负反馈增益α和一个序列v（k），该序列对资产收益进行建模，该收益在已知范围内，但在其他方面是任意的。我们引入了两个阈值α-和α+，取决于这些界限，并证明α<α-, 保证所有时间和所有集合返回序列的状态正性；i、 例如，破产被排除在外，状态方程的正解是可独立持续的。另一方面，对于α>α+，我们证明了总是存在一个资产收益序列，对于该序列，状态始终不为正；i、 例如，沿着这个序列，破产发生，状态方程的解在一定时间后不再有意义。最后，本文还包括一个猜想，该猜想表明对于“间隙”区间α-≤ α ≤ α+，状态正性也始终得到保证。从理论和计算两方面支持这一猜想。一、 引言本文的动机来自一项新兴的研究，涉及使用系统理论思想进行金融市场交易；e、 g.，见【1】–【8】。

与之前的工作类似，在本文中，我们在一个理想化的市场中运作，没有交易成本，如经纪佣金或费用，并且具有完美的流动性；i、 例如，买卖价格之间没有差距，交易者有能力以市场价格买卖任何数量的股票，包括分数。这些假设出现在“无摩擦”市场背景下的金融文献中；e、 g.，见【9】。在上述背景下，本文集中讨论了一个具有时滞的差分方程，并建立了所有解X（k）对所有k均为正的条件。我们称之为“全时正”与这项关于全时正性的工作相关的是数学文献中的论文，这些论文处理的是具有多重时滞和假设条件的差分方程，在这些条件下，解要么最终是正的，要么最终是负的；i、 e.，X（k）有一个符号表示k适合大；e、 参见[10]和[11]及其参考书目。如第四节所述，上述文献中的条件*谢忠汉（Chung Han Hsieh）是威斯康星大学（University of Wisconsin，Madison，WI 53706）电子与计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士学位。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.**B、 Ross Barmish是马萨诸塞州波士顿市波士顿大学电气与计算机工程系的研究教授，邮编02215。电子邮件：barmish@bu.edu***约翰·A·G·乌布纳是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系教授，邮编53706。电子邮件：john。gubner@wisc.eduunder最终的正性和负性失败可以看作是我们定理的一个特例，它为所有时间的正性提供了必要的条件。问题表述：为了形成手头的问题，我们使用v（k）表示风险资产在k阶段的不可预测回报，如股票或外币。

我们的账户价值X（k）的状态方程模型包括一个延迟，这是因为交易者与市场的互动不是瞬时的。具体而言，在k阶段，我们取α≥ 0表示反馈收益，代表atrader账户X（k）投资于风险资产的目标百分比。然后，在第k阶段，订单传输和执行延迟由代表k美元投资水平的已实现控制u（k）计算。我们从u（0）开始0，当k>0时，u（k）。=α（1+v（k- 1） ）X（k- 1） 来解释延误的原因。据此，闭环状态方程为X（k+1）=X（k）+u（k）v（k）=X（k）+α（1+v（k- 1） ）X（k- 1） 具有正初始条件的v（k）X（0）=X（1）=X>0。在续集中，风险资产回报的时变序列v={v（k）}∞k=0称为路径，如果它保持在Inknown boundsvmin内，则称为可接受≤ v（k）≤ vmaxwhere-1<vmin<0<vmax<∞.假设vmin>-1不包括标的资产价格可能为零的情况。我们把V看作所有可容许路径的集合，并经常强调V的状态依赖性∈ 通过写入X（V，k）而不是X（k）。此外，我们将VN设为所有v=（v（0），v（1），v（N- 1） ）使得k=0，1，N- 1，v（k）保持在上述已知范围内。VN的元素称为可容许部分路径，或者在没有混淆的情况下称为可容许路径。正如控制理论中的典型情况一样，消除上述状态方程中的延迟项并处理双状态系统是很方便的。也就是说，定义状态向量（k）。=[X（k）X（k- 1） 我们得到了线性时变系统x（k+1）=A（v，k）x（k），其中（v，k）=1α（1+v（k- 1） ）v（k）1 0.如前所述，我们使用特定的初始条件X（0）=X（1）=X>0。

尽管我们的目标，即状态正性，与现有的正系统理论相同，例如，参见[12]和[13]，但这一工作并没有发挥作用，因为矩阵A（v，k）可以有一个负项。全时正性：虽然状态方程的解对于所有k都存在，但由于破产排除了未来的交易，一旦X（v，k），分析就不再有意义了≤ 以此为动机，本文的重点是始终积极性的问题。从某种意义上说，我们正在为许多阶段的正解的存在性和持续性提出一个问题。实际上，对于给定的反馈增益α≥ 0，我们说对于所有v，所有时间正性条件保持ifX（v，k）>0∈ V和所有k≥ 值得一提的是，u（k）≥ 当所有时间正性保持时，保证为0。在财务方面，条件u（k）≥ 0被解释为意味着交易员持有多头头寸，不会发生卖空。最后，我们提到，金融市场中的交易员通常会受到经纪人施加的杠杆经济约束的限制。即lettingL（k）=u（k）X（k），规定了允许的最大杠杆率Lmax>0，并且交易账户按照L（k）的要求进行证券化≤ Lmax。对于涉及股票的市场，Lmax≤ 2是典型的，用于货币交易的d，Lmax≤ 100很容易就是这样。杠杆作用对α施加了限制。然而，由于我们关于所有时间正性的标准和猜想适用于所有α≥ 0，杠杆边界被忽略，因为它们对后续分析没有影响。本文剩余部分的计划：在第二节中，我们介绍了我们的主要结果。为此，本节以两个临界阈值α为中心-α+和α-< 我们定义的α+。我们首先提供一个结果，称为效率定理，它告诉我们α<α-对于所有时间的积极性来说都是足够的。

我们的下一个结果，称为必要的theorem，为所有时间的积极性提供了必要的条件。具体而言，对于α>α+，我们证明存在一个资产收益序列，称为可分辨路径，由v表示*, 对于该州未能对所有k呈阳性。第三节，我们陈述了关于州X（v）的两项初步技术结果*, k） 沿着这条路走。接下来，在第四节中，给出了初步结果和主要结果的证明。在第五节中，我们提供了一个猜想，即“间隙”区间α的所有时间正性都是有保证的-≤ α ≤ α+.本节包括对该猜想的理论和计算支持。最后，在第六部分中，给出了一些结论，并指出了未来可能的研究方向。二、主要结果接下来的主要结果涉及两个临界阈值，α-和α+。其中第一个，α-, 考虑k=2，并注意到X（2）=X（1）+α（1+v（0））v（1）X（0）≥ [1+α（1+vmax）vmin]X。当且仅当α<vmin（1+vmax）时，该下界为正。为了显示所有k的X（k）>0，而不仅仅是k=2，第四节中证明的下面的定理需要α<α-, 其中α-.=1+V最大值。充分性定理：条件0≤ α < α-对所有时间的积极性都有帮助。也就是说，如果α<α-, 给出任何可接受路径v∈ 五、 因此，对于所有k，X（V，k）>0。所有时间正性的必要条件：正如导言中所提到的，我们所有时间正性的必要条件是通过研究状态方程来响应一条不同的返回路径V*. 此路径由v定义*（0）=Vmax和v*（k） =vminfor k≥ 1.

沿着这条路径，由于第一笔交易是在k=1阶段执行的，因此回报v（0）=vmax可以被视为“诱饵”交易者获得巨大的正回报，然后，由于账户在每一次后续交易中都会失去价值，出现了最坏的SORTS情况。为了激发对进入我们必要性分析的阈值α+的定义，让αs=4 | vmin |（1+vmin）。然后α>αs，这与矩阵（v*, k）=1α（1+vmin）vmin 1 0有一对复特征值，状态X（v*, k） 是零附近的振荡。因此，状态值可以是负值。这就成为了接下来的理论的一个特例。对于α≤ αs，解是非振荡的，我们的分析表明，当vmax>1+2vmin和α>α时，大k的状态为负*, 其中α*.=vmax（最大值）- vmin | vmin |（1+vmax）。下面的定理，其证明被归入第四节，使这些想法得以实现。α+定义的阈值很容易被证实超过α-.必要性定理：带α+=(α*如果vmax>1+2vmin；αsif vmax≤ 1+2vmin，条件α≤ α+是所有时间正性所必需的。等价地，如果α>α+，则存在可容许路径v∈ 使得X（V，k）≤ 0表示某些k。边界的图形描述：在Figu re1中，α的依赖关系-V最小值和V最大值上的α+显示在范围上-1<vmin<0<vmax=2。下表面（黑色）通过α的公式获得-, 上表面的红色部分通过α+=αs的公式获得，而上表面的较大绿色部分则通过α+=α的公式获得*.图1：两个临界阈值α-α+图1可以用来更好地理解哪些三元组（α，vmin，vmax）∈ [0, ∞) × (-1, 0) × (0, ∞) 带来前所未有的积极性。如果三元组下降到表面以下α-, 然后，根据Su-f Theo-rem，所有时间都是积极的。

或者，如果三元组位于α+给出的曲面之上，则根据必要的theorem，所有时间的正性都会失效。最后，当三重曲面位于两个曲面之间时，我们在第五节中推测，所有时间的正性也成立。三、 初步技术结果本节提供了主要结果背后的技术引理。在上一节中，我们看到了*在必然性定理的推导中起着重要的作用。在本节中，我们提供了两个初步结果，其证明被归入第四节。这些初始ie涉及状态X（v）的行为*, k） 沿路径v*, 对于证明要遵循的主要结果至关重要。此外，在本文的后面，这些结果被认为为我们关于全时正性的猜想提供了支持。引理3.1（X（v）的闭合形式*, k） ）：如果α6=αs，对于k≥ 2，沿可分辨路径v的状态*由x（v）给出*, k） =X√θλk-1+g++λk-1.-g级-式中θ=4αvmin（1+vmin）+1，g±=√θ±（2α（vmax+1）vmin+1）和λ±=1 ±√θ是A（v）的特征值*, k） 。对于奇异ca-se，α=αs，状态解由x（v）给出*, k）=-kX（（1- vmax+2vmin）k+1+vmax）1+vmin。引理3.2（可分辨路径性质s）：（a）如果α>αs，则X（v*, k） 约为零，因此对于k.（b）的某些值，如果α*< α ≤ α砂vmax>1+2vmin，然后X（v*, k） 如果α足够大，k.（c）为负值*< α ≤ α砂vmax<1+2vmin，然后X（v*, k） 所有k的ispositive≥ 0.（d）如果0≤ α ≤ α*, 然后X（v*, k） 对所有k均为正≥ 0、关于沿可分辨路径v的状态的备注*: 研究X（v）的渐近行为本身就很有趣*, k） ，因为它倾向于零信号“实际破产”，即使在所有情况下都是积极的。

对于0<α<αsin引理3.1的情况，很明显0<θ<1，这意味着λ±<1。因此，根据众所周知的单位圆稳定性准则，例如参见【15】，X（v*, k）→ 0作为k→ ∞. 奇异情况α=αsalso的闭式解趋于零，并且使用l\'H^opital规则，可以很容易地验证状态解X（v）的闭式表达式*, k） α=αs.IV.初步和主要结果的证明本节可能被对证明的技术细节不感兴趣的读者跳过。充分性定理的证明：由于α=0的情况很简单，我们假设0<α<α-请注意，证明所有时间的正性是足够的，允许在更大的时间间隔内重复v（k）- 1.≤ v（k）≤ vmax。我们继续归纳非k。首先回顾α<α-在第二节中显示为保证X（2）的正性。下一步，对于k≥ 2，我们假设X（i）>0，对于i=0，1，k和所有v（0），v（k- 1).然后对于任意v（0），v（k），我们必须显示X（k+1）>0。实际上，注意1+v（k- 1) ≥ 0和X（k- 1） >0通过导引子定理，我们得到下界X（k+1）=X（k）+α（1+v（k- 1） ）v（k）X（k- 1)≥ X（k）- α（1+v（k- 1） ）X（k- 1).要进一步降低上述右侧的边界，请执行以下操作：-1.≤ w≤ vmax，设Xw（k）是X（k）与v（k）的值-1） 由w代表。通过此旋转，我们可以写入（k+1）≥ minw公司Xw（k）- α（1+w）X（k- 1).由于上述右侧要最小化的函数在w中是线性的，其最小值通过w=-1或w=vmax。我们现在分析每种情况下出现的最小值。对于w=-1，X（k+1）的前一个下界导致toX（k+1）≥ 十、-1（k）>0，根据归纳假设。

对于w=vmax，我们得到x（k+1）≥ Xvmax（k）- α（1+vmax）X（k- 1).因为Xvmax（k）=X（k-1） +α（1+v（k）-2） ）vmaxX（k-2） ，使用1+v（k- 2) ≥ 0、α>0和X（k- 2） 根据归纳假设为正，则xvmax（k）≥ X（k- 1） >0最后一个不等式再次由归纳假设成立。因此，X（k+1）是另一个下界asX（k+1）≥ [1 - α（1+vmax）]Xvmax（k）。现在，应用假定的不等式0<α<α-通过归纳假设，我们得到X（k+1）>0。引理3.1的证明：回顾第一节中介绍的状态空间表示。使用标准状态增强X（k）。=[X（k）X（k- 1） ]T，我们得到了线性时变系统x（k+1）=A（v，k）x（k），其中A（v，k）是第一节中定义的2×2矩阵。从初始条件X（v）开始*, 0）=X（v*, 1） =x和x（v*, 2） =（1+α（1+vmax）vmin）X，在状态空间形式中，我们有k≥ 2.X（v）*, k+1）X（v）*, k）=1α（1+vmin）vmin 1 0|{z}=A（v*,k）X（v）*, k） X（v）*, k- 1),我们得到x（v*, k）=0 11α（1+vmin）vmin 1 0k-1.X（v）*, 2） X（v）*, 1).我们考虑两种情况：对于一般情况，α6=αs，长度但简单的计算导致toX（v*, k）=-kX公司1 +√θk-1克++1.-√θk-1克-√θ=X√θλk-1+g++λk-1.-g级-.另一个冗长而直接的计算表明λ±是A（v）的特征值*, k） 。对于单数情况，α=αs，我们发现x（v*, k）=0 11.-1/41 0k-1英寸X（v*, 2） X（v）*, 1） #再次，在第三次冗长而直接的计算之后，结果为x（v*, k）=-kX（k（1- vmax+2vmin）+1+vmax）1+vmin。引理3.2的证明：不使用X（v）的闭式的部分（A）的证明*, k） 可以通过应用[10]中的定理2.2立即给出。