谱负马尔可夫加性的救助红利问题

具有绝对连续策略和马尔可夫切换机制的最优分红问题。我们考虑了一个保释费内蒂的股息问题，即股东需要注入资本以防止公司破产。特别地，策略是一对π：=（Lπ（t），Rπ（t）；t型≥ 0）从零开始的非递减、右连续和自适应过程（关于X和H产生的过滤），其中eLπ是股息的累积金额，Rπ是注入资本的金额。带Uπ（0-) := x和Uπ（t）：=x（t）- Lπ（t）+Rπ（t），t≥ 0，要求Uπ（t）≥ 对于给定的函数δ：E 7，t中均匀的0 a.s→ R+，我们要求Lπ对于Lπ（t）=Rt形式的勒贝格测度是绝对连续的lπ（s）ds，t≥ 0，带lπ限制为在时间上统一取[0，δ（H（t））]中的值。6 K.NOBA、J.L.P'EREZ和X.Yu关于注资Rπ，假设E（X，i）“Z[0，∞)e-Rtr（H（s））dsdRπ（t）\\<∞,  x个≥ 0，i∈ E、 （3.1）与[27]类似，本文认为β>1，表示所有制度下单位注入资本的固定成本。我们想要m aximizeVπ（x，i）：=E（x，i）Z∞e-Rtr（H（s））dslπ（s）dt-Z[0，∞)e-Rtr（H（s））dsβdRπ（t）！，x个≥ 0，其中r:E 7→ R+表示马尔可夫调制的解算速率。因此，我们的目标是找到问题的值函数，即，（3.2）V（x，i）：=supπ∈AVπ（x，i），x≥ 0，其中A是满足上述约束的所有可容许策略集。对于本节中的体制转换问题，强制执行以下假设。假设3.1。我们假设Exi= ψ′Xi（0+）>-∞ 就我而言∈ E、 假设3.2。

就我而言，j∈ 当i 6=j时，我们假设maxi，j∈EE公司[-Jij]<∞.另一方面，为了避免过程Yi：={Yi（t）=Xi（t）- δ（i）t:t≥ 0}具有i的单调路径∈ E、 我们做出以下假设。假设3.3。如果过程XI有有界变化路径，我们要求c（i）>δ（i）表示i∈ E、 在下一个结果中，我们声称我们的控制问题的值函数的动态规划原理是有效的，这将在以后找到一些递归迭代的固定点方面发挥关键作用。证据将在附录A中报告。提案3.1。对于x∈ R和i∈ E、 we hav eV（x，i）=supπ∈∏E（x，i）Zζe-∧（t）lπ（t）dt-Z[0，ζ]βe-∧（t）dRπ（t）+e-∧（ζ）V（Uπ（ζ），H（ζ））,（3.3）式中，ζ表示第一个区域切换的时代，∧（t）：=Rtr（H（s））ds。3.3. 马尔可夫调制折射反射策略。对于最优控制，我们将考虑马尔可夫调制折射反射策略，即πb=（（L0，b（t），R0，b（t）），t≥ 0），具有合适的折射级别b=（b（i），i∈ E） 。也就是说，当盈余过程高于b（H（t））时，以最大速率δ（H（t））支付d ividends，而当盈余过程试图向下越过零时，通过资本注入将其向上推。由此产生的剩余过程变成了由U0，b（t）：=X（t）给出的马尔可夫调制反射L'evy过程-L0，b（t）+R0，b（t），t≥ 我们可以显式地描述由制度状态asL0，b（t）=Ztδ（H（s））1{U0，b（t）>b（H（s））}ds=：Ztl0，b（s）ds调节的累积红利控制。关于谱负马尔可夫加性模型S 7的纾困红利问题设E是从E到[0]的一组函数，∞). 下一个定理是本文的主要结果，它的证明将由第5节中的值函数V的迭代构造提供。备注3。1、马尔可夫调制折射反射策略πbis确实是可容许的。

也就是说，如果我们设置T=0，对于每个n≥ 1我们用H的n次跳跃时间，然后用强马尔可夫性质y（x，i）“Z[0，∞)e-Rtr（H（s））dsdRπb（t）#=Xn≥1E（x，i）“Z【Tn】-1，Tn）e-Rtr（H（s））dsdRπb（t）#=Mb+Xn≥1Mne（MJ+Mb）<∞,其中MB：=最大值∈EE（0，i）“Z[0，T）e-r（i）tdRπb（t）#，MJ：=最大值，j∈EE公司[-Jij]和我：=maxi∈EE（0，i）he-r（i）Ti。因此，通过假设3.1、假设3.2和折射反射策略的容许性，我们得出（3.1）成立的结论。定理3。1、在假设3.1、3.2和3.3下，存在函数b*∈ E、 这样，马尔可夫调制反射策略πb*是最优的，问题（3.2）的值函数由V（x，i）=Vπb给出*（x，i），对于x∈ [0, ∞).4、直到指数变化时间的辅助纾困红利问题的最优策略为了证明上述理论3.1，我们将首先在单规范负l'evy模型中引入并研究一个在独立指数变化时间的辅助纾困最优红利分配问题。4.1. 具有绝对连续策略和指数终端时间的最优分红问题。在一个具有单一光谱负L'evy过程X（t）的模型中，设π={（Lπ（t），Rπ（t））：t≥ 0}是关于F的非递减、右连续和自适应过程，从0开始，其中Lπ是微分的累积量，Rπ是喷射资本的累积量。带Uπ（0-) := x和uπ（t）：=x（t）- Lπ（t）+Rπ（t），t≥ 0，要求Uπ（t）≥ 0 a.s.在t中均匀ly。让我们考虑一个常数δ>0，那么我们要求Lπ相对于Lπ（t）=Rtlπ（s）ds，t形式的勒贝格测度是绝对连续的≥ 0，lπ在时间上统一限制为[0，δ]中的TakeValue。

对于注资Rπ，假设q>0和x≥ 0，Ex“Z[0，ζ）e-qtdRπ（t）#<∞,（4.1）如果ζ是一个独立的指数随机变量，参数r>0.8 K.NOBA，J.L.P'EREZ，X.Yu，β>1作为单位注入资本的成本，q>0作为贴现因子，股息支付的预期净现值（NPV）减去与策略π和初始资本X相关的资本注入成本≥ 0由vπ（x）定义：=Ex“Zζe-qtdLπ（t）- βZ[0，ζ）e-qtdRπ（t）+e-qζw（Uπ（ζ））#=rZ∞e-rsEx“Zse-qtdLπ（t）- βZ[0，s）e-qtdRπ（t）+e-qsw（Uπ（s））#ds=Ex“Z∞e-αtdLπ（t）- βZ[0，∞)e-αtdRπ（t）+rZ∞e-αtw（Uπ（t））dt#，（4.2），其中α=q+r和w∈ C[0，∞) 是表示指数时间的回报的函数。值得注意的是，px是X的定律，ζ是一个独立的随机变量，因此X不会在ζ处跳跃，因此我们有uπ（ζ-) = Uπ（ζ），Px-a.s。然后将随机控制问题的值函数表示为vπ*（x） ：=supπ∈πvπ（x），x∈ R、 （4.3）其中∏表示满足前面描述的约束的所有可接受策略集。我们还旨在获得最优的股利策略π*实现了（4.3）中的值函数。通过本节，我们将对列维过程X进行下一个标准假设。假设4.1。我们假设E[X]=ψ′（0+）>-∞.为了避免过程Y：={Y（t）=X（t），还需要文献中的一个常见假设（见[17，23]）- δt:t≥ 0}具有单调路径。假设4.2。对于过程X具有有界变化路径的情况，假设c>δ。对于支付函数w（·）：[0，∞) → R、 我们还需要以下条件。假设4.3。

假设w在[0]上是连续的，∞) 带w′+（0+）的a和凹面≤ β和w′+(∞) :=林克斯→∞w′+（x）∈ [0，1]，其中我们使用w′+（x）表示con-cave函数w（x）的右导数。从这一点开始，我们将区分给定函数f（x）的两个符号f′（x）和f′+（x），前者表示其标准导数，后者表示其正导数。备注4.1。如果我们假设最终收益函数w（x）≡ 在目标函数（4.2）中，将[23]中的参数q替换为本文中的q+r后，最优股息问题（4.3）与[23]中研究的问题基本相同。这促使我们推测[23]中的数学论证和屏障策略的最优性在经过一些技术修改后，可能也适用于具有基本回报函数的本文。让我们首先回顾一下【23】中的“猜测和验证”程序，这在很大程度上取决于【21】中开发的折射折射折射L'evy过程的折射恒等式：（i）首先通过平滑原理选择一种新的折射折射策略及其相关的屏障水平，以便NPV在有界（或无界）变化的情况下在阈值处连续（或连续两次）可微；（ii）所选策略的最优性是通过验证等式的变化来确认的，等式的变化需要计算谱负马尔可夫加性模型S 9生成器的纾困红利问题和值函数的某些斜率条件。原则上，只要w（x）≡ 0，我们可以简单地应用一些概率杀死论点，如[12]，并修改[21]和[23]中的一些证明，以得出问题（4.3）中屏障策略的最优性。

事实上，考虑到ζ的指数分布，[23]中的所有结果都适用于问题（4.3），修改后的参数q+r微不足道。与[23]相比，（4.2）中的支付函数w（x）的存在使得问题更加困难，并且[12]中的概率杀戮论点无法直接应用。我们的目标是遵循上述“gue ss andverify”程序。然而，大多数计算与[23]存在实质性差异，步骤（ii）中的验证部分变得更加复杂，因为它依赖于一些新的假设恒等式和支付函数w（x）的凹度，如假设4.3所示，参见引理4的证明。引理4.5。为了使演示文稿完整且自包含，我们将一步一步地正式执行“猜测和验证”过程，以将支付函数w（x）合并到后续小节中。4.2. 折射–光谱负L'evy过程的反射策略。我们验证了折射策略πb={（L（0，b）（t），R（0，b）（t））：t的最佳性≥ 0}，具有适当的折射阈值b≥ 在这种策略下，当盈余过程高于B水平时，股息以δ>0的最大比率支付，而当p过程试图向下交叉低于0时，通过注入资本向上推动该过程。结果su rplus处理u（0，b）（t）=X（t）- L（0，b）（t）+R（0，b）（t），t≥ 0是所谓的折射反射光谱负L'evy过程，该过程首次引入并在[21]中研究。累积股息控制可以明确表示为L（0，b）（t）=Rtδ1{U0，b（s）>b}ds，对于边界变化的情况，我们可以将候选注资写入asR（0，b）（t）=X0≤s≤t | U0，b（s-)|1{U0，b（s-)<0}.对于该过程的正式构建，我们请读者参考[21]。

对于任何b≥ 0，上述折射反射策略πb的容许性来自于[23]中的引理3.1。我们用vb（x）：=Ex“Zζe表示相应的预期净现值-qtdL（0，b）（t）- βZ[0，ζ）e-qtdR（0，b）（t）+e-qζw（U（0，b）（ζ））#=Ex“Z∞e-αtdL（0，b）（t）- βZ[0，∞)e-αtdR（0，b）（t）+rZ∞e-αtw（U（0，b）（t））dt#。（4.4）备注4.2。如果函数w：[0，∞) 7.→ R是有界的，然后通过使用（4.1）和（4.4），我们得到了anyb的有界值≥ 0，| vb（x）|≤Δα+βEx“Z[0，∞)e-αtdR（0，b）（t）#+supx≥0 | w（x）| rα≤αδ+r supx≥0 | w（x）|+ βE“Z[0，∞)e-αtdR（0，b）（t）#<∞, x个≥ 0，其中第二个不等式来自映射x 7→ ExhR[0，∞)e-αtdR（0，b）（t）不增加。因此vbis有界。10 K.NOBA、J.L.P'EREZ和X.Yu下一个结果证实了辅助问题的障碍型红利控制的最优性。定理4.1。在假设4.1、4.2和4.3下，存在持续屏障0≤ b*< ∞ 这样，折射率反映了b级的战略*, i、 e.πb*, 是最优的，值函数由v（x）=vb给出*（x） =vπ*（x） 对于allx≥ 0、我们现在在随后的小节中提供了理论4.1中最优策略的构造和验证。4.3. vb的计算。利用【21】中的结果，我们得到了b级再细分反应策略的预期净现值（4.4）的以下等效形式≥ 0、提案4.1。

对于q>0，b≥ 0和x∈ R、 我们有Vb（x）=- δW（α）（x- b） +βZ（α）（x）+ψ′x（0）+α+ βδZxbW（α）（x- y） Z（α）（y）dy-βZ（α）（b）- 1+βαR∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyαД（α）R∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy+ rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） duαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dyZ（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-W（α）（x- z） +δZxbW（α）（x- y） W（α）（y- z） dy公司dz+rw（0）α+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）ΔαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-W（α）（x）- z）dz。（4.5）在此，我们提醒读者，w′+（x）d表示凹型最终支付函数w（x）的右导数，因为我们没有强加w（x）的可微性。证据

根据引理3.1 in[23]，w e havez（x）：=Ex“Z∞e-αtdL（0，b）（t）- βZ[0，∞)e-αtdR（0，b）（t）#=- δW（α）（x- b） +βZ（α）（x）+ψ′x（0）+α+ βδZxbW（α）（x- y） Z（α）（y）dy-βZ（α）（b）- 1+βαR∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyαД（α）R∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy.关于谱负马尔可夫加性模型S 11的纾困红利问题，由于[21]中的推论4.1，w e也havez（x）：=ExrZ公司∞e-αtw（U（0，b）（t））dt=rZ（0，∞)w（z）e-Д（α）z{b<z}+δ1{0<z<b}R∞是-ν（α）uW（α）′（u）- z） duδαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-{0<z<b}W（α）（x）- z） +δZxbW（α）（x- y） W（α）′（y）- z） dy公司+ 1{b<z<x}W（α）（x- z）!dz=rw（b）Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy×e-Д（α）b- Д（α）δR∞是-Д（α）uW（α）（u- b） duД（α）ΔαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy+rw（0）α+rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） duαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dyZ（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-W（α）（x）- z） +δZxbW（α）（x- y） W（α）（y- z） dy公司!dz+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）ΔαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-W（α）（x）- z） 哦！dz，（4.6），其中第三个等式之后是部分积分和（2.2）。ψX（θ）=ψY（θ）+Δθ表示θ的事实≥ 0和（2.1）implyZ∞是-Д（α）uW（α）（u- b） du=e-Д（α）bZ∞e-Д（α）uW（α）（u）du=e-Д（α）bψY（Д（α））+ΔД（α）- α=e-Д（α）bΔД（α）。因此，使用（4.6）中的p上一个恒等式，给定sz（x）=rw（0）α+rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） duαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dyZ（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy-W（α）（x）- z） +δZxbW（α）（x- y） W（α）（y- z） dy公司!dz12 K.NOBA、J.L.P'EREZ和X.YU+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）ΔαR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×Z（α）（x）+αδZxbW（α）（x- y） W（α）（y）dy- W（α）（x）- z） 哦！dz。最后，vb（x）=z（x）+z（x）的事实得出（4.5）。4.4. 候选阈值的选择。在本节中，我们的目标是确定最佳阈值b*因此，相关的预计净现值vb*如（4.4）所述，在thr eshold b处光滑*.

为此，通过微分（4.5）和使用支配收敛，我们首先得到x∈ (0, ∞)\\{b} v′b（x）=βZ（α）（x）+βδαZx-bW（α）（y）W（α）（x）- y） dy公司-βZ（α）（b）- 1+βαR∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyД（α）R∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyW（α）（x）+δZx-bW（α）（y）W（α）′（x）- y） dy公司+ rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） 杜尔∞是-Д（α）yW（α）（y）dyW（α）（x）+δZx-bW（α）（y）W（α）′（x）- y） dy！-W（α）（x）- z） +δZx-bW（α）（y）W（α）′（x）- z- y） dy！！dz+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）δR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×W（α）（x）+δZx-bW（α）（y）W（α）′（x）- y） dy！- W（α）（x）- z） 哦！dz+δW（α）（x- b） g（b），（4.7），其中g（b）：=βZ（α）（b）- 1.-βZ（α）（b）- 1+βαR∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyД（α）R∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyW（α）（b）+rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） 杜尔∞是-Д（α）yW（α）（y）dyW（α）（b）- W（α）（b）- z） 哦！dz+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）δR∞是-Д（α）yW（α）（y）dyW（α）（b）dz。（4.8）因此，可以得出v′b（b+）- v′b（b-) = δW（α）（0）g（b）。对于有界变差的情况，b y Remark2.1（ii），W（α）（0）>0。因此，当且仅当g（b）=0时，vbis在b处连续可微。关于谱负马氏加性模型S 13的纾困红利问题，在过程X具有无界变差路径的情况下，利用Wα（0）=0和支配收敛的事实，我们得到，对于X∈ (0, ∞)\\{b}，thatv′b（x）=αβW（α）（x）+βδαZxbW（α）′（x- y） W（α）（y）dy-βZ（α）（b）- 1+βαR∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dyД（α）R∞e-Д（α）yW（α）（y+b）dy×W（α）′（x）+δZxbW（α）′（x- y） W（α）′（y）dy+ rZ（0，b）w′+（z）R∞是-Д（α）uW（α）（u- z） 杜尔∞是-Д（α）yW（α）（y）dyW（α）′（x）+δZxbW（α）′（x- y） W（α）′（y）dy-W（α）′（x）- z） +δZxbW（α）′（x- y） W（α）′（y）- z） dy公司dz+rZ（b，∞)w′+（z）e-Д（α）zД（α）δR∞是-Д（α）yW（α）（y）dy×W（α）′（x）+δZxbW（α）′（x- y） W（α）′（y）dy- W（α）′（x）- z）dz+δW（α）′（x- b） g（b）。这意味着v′b（b+）- v′b（b-) = δW（α）′（0+）g（b），因此当且仅当g（b）=0时，vb在b处是两次连续可微的。