谱负马尔可夫加性的救助红利问题

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英文标题：
《On the bail-out dividend problem for spectrally negative Markov additive
  models》
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作者：
Kei Noba, Jos\\\'e-Luis P\\\'erez and Xiang Yu
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper studies the bail-out optimal dividend problem with regime switching under the constraint that the cumulative dividend strategy is absolutely continuous. We confirm the optimality of the regime-modulated refraction-reflection strategy when the underlying risk model follows a general spectrally negative Markov additive process. To verify the conjecture of a barrier type optimal control, we first introduce and study an auxiliary problem with the final payoff at an exponential terminal time and characterize the optimal threshold explicitly using fluctuation identities of the refracted-reflected Levy process. Second, we transform the problem with regime-switching into an equivalent local optimization problem with a final payoff up to the first regime switching time. The refraction-reflection strategy with regime-modulated thresholds can be shown as optimal by using results in the first step and some fixed point arguments for auxiliary recursive iterations.
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中文摘要：
本文研究了在累积红利策略绝对连续的约束下，具有制度切换的救助最优红利问题。当潜在风险模型遵循一般的谱负马尔可夫加性过程时，我们确认了区域调制折射反射策略的最优性。为了验证障碍型最优控制的猜想，我们首先引入并研究了一个在指数终端时间具有最终收益的辅助问题，并利用折射反射Levy过程的波动恒等式显式地刻画了最优阈值。其次，我们将政权切换问题转化为一个等价的局部优化问题，其最终收益可达第一个政权切换时间。通过使用第一步的结果和辅助递归迭代的一些固定点参数，可以显示具有区域调制阈值的折射-反射策略是最优的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：马尔可夫 Optimization Mathematical Quantitative mathematica

关于谱负MA-RKOVADDITIVE模型的纾困红利问题Skei NOBA，JOS'E-LUIS P'EREZ和XIANG YUABSTRACT。本文研究了在累积红利策略绝对连续的约束下，具有制度切换的救助最优红利问题。当基础风险模型遵循一般的光谱负马尔科夫加性过程时，我们确认了区域调制折射反射策略的最优性。为了验证屏障型最优控制的猜想，我们首先引入并研究了一个在指数终端时间具有最终收益的辅助问题，并使用折射反射L'evy过程的函数恒等式明确描述了最优阈值。其次，我们将政权切换问题转化为一个等价的局部优化问题，最终收益可达第一个政权切换时间。通过使用第一步中的结果和辅助递归迭代的一些定点参数，可以显示具有区域调制阈值的折射反射策略是最优的。关键词：折射反射光谱负L'evy过程、资本注入、绝对连续约束、制度转换、定点论证。数学学科分类（2010）：主要60G51；Seco ndary，93E20，91G801。简介德·费内蒂最优股息问题的纾困版本吸引了来自公司金融和保险界的许多研究人员。这个最优控制问题是在有限的时间范围内最大化股息的预期净现值（NPV），同时股东也要求注入资本以防止公司破产。

谱负L'evy过程，即具有向下跳跃的L'evy过程，通常用于描述保险公司的潜在盈余过程，该过程因保费而扩散，并因索赔付款而跳跃向下。Avram等人在[3]中表明，通过从下方向零反映注入资本，并从上方以适当选择的阈值支付股息，是最佳的时机。然而，通常难以实施典型的单一股息控制。为了保证最优股利政策具有更好的结构，提出了许多实际约束。这类约束的一个例子要求连续的股息支付相对于Lebe-sgue测度是绝对连续的，而其密度以常数为界。在这种控制约束下，对于光谱正EK，问题已由[22]解决。Noba由JSP S KAKENHI授权号JP18J12680支持。十、 Yu i得到了香港早期职业计划的支持。25302116和香港理工大学内部基金，编号为P0031417.2 K.NOBA、J.L.P'EREZ和X.YUL'evy模型，最近由【23】针对光谱负L'evy案例。约束条件下的最优控制确定了折射反射策略的类型，该策略在经典意义上从零以下反射剩余，并在适当选择的阈值下减少剩余过程的漂移。特别是，对于光谱负的ca-se，产生的受控盈余过程变成了【21】中介绍的重新细分的反映L'evy过程。

在[23]中，r e细分折射L'evy过程的波动性在验证与n显式何森折射屏障的最佳性中起着关键作用。在本文中，我们对[23]中相同约束条件下的纾困红利问题感兴趣，但在更一般的框架中，潜在风险的特征是谱负马尔可夫加总过程。这个过程可以看作是一系列通过独立的nt马尔可夫链进行切换的L'evy过程。此外，每当当前制度发生变化时，都会引入负面的ju mp。这种跳跃与L’evy过程和马尔可夫链无关，可以理解为保险公司适应新制度的成本。制度转换模型通常用于捕捉宏观经济转型或宏观经济调整引起的市场行为变化。另一方面，通常使用连续时间马尔可夫链来描述一些影响潜在状态过程的随机因素。与随机漂移或波动模型相比，状态切换模型具有易于处理、结构更加明确等优点，特别是在随机控制问题中。在各种模型中，对市场制度进行了大量的实证论证，见清单g【1】、【2】、【9】、【10】、【20】和【25】。将控制和优化问题从单一市场模型推广到具有状态切换的模型值得进行技术处理，这在过去的设计中是一个充满活力的研究课题。

在[29]、[28]、[14]、[6]和[5]中可以找到由不同金融应用程序推动的一些最新工作。特别是，研究了制度转换背景下的最优红利问题，然而，仅在扩散模型或泊松跳模型的框架内，参见实例[4]、[13]、[14]、[26]、[27]和[30]。与单一风险模型类似，这些先驱著作中的最优股息策略也被证明符合承运人控制的类型。在更一般的情况下，如果障碍红利政策仍能保持其最优性，这将成为一个悬而未决的问题。因此，本文件旨在为障碍股息策略的最优性提供积极答案，即在一般的负向模型中，受制度状态调节的refra c te d-reflected股息和注入控制。与上述在扩散或跳跃扩散情况下的大多数工作不同，我们的方法完全是概率的，并且基于折射反射L’evyprocess的折射恒等式。另一方面，由于不同制度造成的复杂性，我们的分析与[23]有很大不同。由于通过定义价值函数，每个制度周期的基础与其他制度调制障碍明显耦合，因此最佳障碍的验证比[23]中涉及的内容要多得多。全局控制问题的HJB变分不等式将成为一个基于状态的耦合变分不等式系统。

为了减少复杂性并处理制度的转换，我们借用随机控制文献中的思想，使用动态规划原理，将问题定位到第一个制度转换之前的时期，类似的最优股息问题见[13]和[27]。请注意，动态规划原则允许我们将问题等效为第一个政权切换时间之前的纾困分割问题，但需要额外的间接效用过程。因此，我们的最优验证可以总结为两个步骤：关于谱负马尔可夫加性模型S 3（i）的纾困红利问题，首先，我们研究了一个简单的辅助纾困红利问题，在一个独立的指数时间内，在一个谱负L'evy模型中有最终收益。在这一部分中，我们可以明确地计算出refr-action-reflection策略下股息减去资本注入的预期NPV，并执行文献中常见的“猜测和验证”程序，见【23】。我们使用平滑原理和对值函数的生成器和斜率条件的精细计算来构造和确定最佳Barrier。作为一个副产品，我们在单一模型中的工作似乎是第一个对光谱负L'evy过程的最终回报达到依赖指数时间的模型，并且其本身对于未来可能有其他应用的理论非常重要。（ii）在单一光谱负L'evy模型中进行准备后，我们可以通过证明类似于[13]和[27]的动态规划原理来确定迭代算子。在我们的框架中，我们可以使用步骤（i）的结果来显示由政权状态调节的候选最优壁垒的存在。

然后，我们继续证明，在制度调制折射反射策略下，相应的预期NPV是迭代算子的固定点。这是验证的第二步，如推测的那样，载体型控制的最优性成功地保留在一般模型中。我们的结论涵盖了具有扩散过程或跳扩散过程的模型中的许多现有结果。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了单谱负L’evy过程的一些预备工作。第3节在谱负马尔可夫加性模型中描述了带有制度转换的纾困红利问题。本文的主要结果是提出了区域调制折射策略的最优性。在第4节中，我们介绍了一个具有绝对连续约束的辅助纾困最优分红问题，以及在独立指数终端时间的最终利润。确认了反射策略的最优性，并提供了显式最优屏障的验证。在第5节中，定义了一个辅助迭代算子，并使用第4节中的结果和一些定点论证完成了最佳制度调制阈值的验证。附录A给出了我们框架中动态规划原理的证明。2、谱负L'EVY过程的初步研究在我们介绍带马尔可夫区域切换的谱负L'EVY模型中的纾困最优股息问题之前，让我们首先回顾一下关于单个谱负L'EVY过程和相关波动恒等式的一些初步结果。2.1. 光谱负L'evy过程。

让我们考虑一个光谱负的L'evy过程X=（X（t）；t型≥ 0）在某些过滤概率空间上定义(Ohm, F、 F，P），其中F：={F（t），t≥ 0}表示p进程X生成的右连续完全过滤。我们将用px写出以事件{X=X}为条件的进程定律，并用exa作为相关的期望运算符。设ψX：[0，∞) → R是L'evy p进程X的拉普拉斯指数，即eθX（t）=: eψX（θ）t，t，θ≥ 我们将在整篇文章中假设由L’evy–Khintchine公式ψX（θ）给出的ψXis：=γθ+σθ+Z(-∞,0）（eθz- 1.- θz1{z>-1} ）π（dz），θ≥ 0，其中γ∈ R、 σ≥ 0和∏是X的L'evy度量(-∞, 0）满足要求(-∞,0)(1 ∧ x） ∏（dx）<∞. 众所周知，当且仅当σ=0且r(-1,0）| z |π（dz）为铁素体。在这种情况下，its4 K.NOBA、J.L.P'EREZ和X.YULaplace指数t由ψX（θ）=cθ+Z简单给出(-∞,0)eθz- 1.π（dz），θ≥ 0，其中c：=γ-R(-1,0）z∏（dz）。注意，c必然大于0，因为我们已经判定X具有单调路径的情况。2.2. 缩放功能。为了解决后面章节中的随机控制问题，我们需要使用频谱负L'evy过程的函数恒等式引入所谓的标度函数。对于q≥ 0，设W（q）表示过程X（t）的q尺度函数，W（q）是过程Y（t）=X（t）的q尺度函数- δt。

这些是从R到[0]的映射，∞) 在负半直线上取零值，而在正半直线上，它们是通过拉普拉斯变换定义的函数：Z∞e-θxW（q）（x）dx：=ψx（θ）- q、 θ>Φ（q），（2.1）Z∞e-θxW（q）（x）dx：=ψY（θ）- q、 θ>Д（q）。这里ψY（θ）=ψX（θ）- δθ, θ ≥ 0是过程Y的拉普拉斯指数，Φ（q）：=sup{λ≥ 0：ψX（λ）=q}和Д（q）：=sup{λ≥ 0：ψY（λ）=q}。我们还定义了∈ R、 W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，Z（q）（x）：=1+qW（q）（x），Z（q）（x）：=ZxZ（q）（Z）dz=x+qZxZzW（q）（W）dwdz。注意，对于-∞ < x<0，我们有w（q）（x）=0，Z（q）（x）=1和Z（q）（x）=x，x≤ 类似地，我们为流程Y定义了W（q）、Z（q）和Z（q）。根据【16】中的结果，对于q，x≥ 0，我们在标度函数W（q）和W（q）之间有以下恒等式，δZxW（q）（x- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（q）（x），（2.2）δZxW（q）（y）W（q）′（x- y） dy=（1- δW（α）（0））W（q）（x）- W（q）（x）。（2.3）备注2.1。（1） W（q）和W（q）是可差的，特别是，如果X是无界变化的，或者L'evymeasure是无界变化的，则已知W（q）和W（q）是C（R \\{0}）；例如，参见[7，orem 3]。（2） 作为x↓ 0，通过引理3.1 o f[19]，我们得到了v eW（q）（0）=（0，如果X是无界变化，c-1，如果X是有界变差，W（q）（0）=（0，如果Y是无界变差，（c- δ)-1，如果Y是有界变差。关于谱负马尔可夫加性模型S 5（3）的纾困红利问题，如文献[19]的引理3.3中所述，我们也有w（q）′+（0）：=limx↓0W（q）′+（x）=σ、 如果σ>0，∞, 如果σ=0和∏（0，∞) = ∞,q+π（0，∞)cX，如果σ=0和∏（0，∞) < ∞,W（q）′+（0）：=limx↓0W（q）′+（x）=σ、 如果σ>0，∞, 如果σ=0和∏（0，∞) = ∞,q+π（0，∞)cY，如果σ=0和∏（0，∞) < ∞.3.

带制度转换的纾困最优分红问题我们现在在一个具有谱负Markovadditive模型的一般环境中引入并表述我们的分红问题，并给出我们的主要结果，说明屏障策略的最优性。3.1. 谱负马尔可夫加性过程。让我们考虑一个二元过程（（X（t），H（t））；t型≥ 0），其中成分H是连续时间马尔可夫链，具有有限状态空间E，且生成矩阵Q=（qij）i，j∈E、 当马尔可夫链H处于状态i时，过程X表现为谱负L′ev y过程xi。此外，当过程H变为状态j 6=i时，过程X ju mps根据非正态变量Jijwith i，j∈ E、 组件（Xi）i∈E、 H和（Jij）i，j∈Eare假设是独立的，并在一些过滤概率空间上定义(Ohm, F、 F，P）where F：={F（t），t≥ 0}d表示由过程（X，H）和随机变量家族（Jij）i，j共同评定的右-连续完全过滤基因∈E、 我们将用P（x，i）表示以事件{x=x，H=i}为条件的过程定律。我们将在整篇论文中假设∈ E L′evy过程的拉普拉斯指数Xi，ψi:[0，∞) → R、 即EheθXi（t）i=：eψXi（θ）t，t，θ≥ 0，由L’evy–Khintchine公式ψXi（θ）：=γ（i）θ+σ（i）θ+Z给出(-∞,0）（eθz- 1.- θz1{-1<z<0}）π（i，dz），θ≥ 0，其中γi∈ R、 σi≥ 0和∏iis上的度量值(-∞, 0）称为满足度的L'evy度量(-∞,0)(1 ∧x） ∏（i，dx）<∞. 如第2.1节所述，如果Xi是有界变差，其拉普拉斯指数由ψXi（θ）=c（i）θ+R给出(-∞,0)eθz- 1.π（i，dz），θ≥ 0，其中c（i）：=γ（i）-R(-1,0）z∏（i，dz）。3.2.