使用期望值评估下注几率和免费优惠券

对于客户在法国下注的每一笔2英镑的赌注，他将赢得9英镑加上其股份的回报。因此，收受赌注者将总共损失9英镑。否则，庄家将不支付任何费用并保留2英镑。收受赌注者通常将a/1写为a。给定分数赔率a/b，客户可以简单地按以下方式计算其回报。对于客户下注的每一笔金额b，他要么什么也得不到（如果下注失败），要么获得a加上其赌注的回报（如果赢了）。当收受赌注者接受这项交易时，总回报可以被视为是一场对收受赌注者有利的赌博，比如g：（18）g（ω）=(-如果ω=xb，则为a，否则为。请注意-如果客户决定接受b ookma ker的o dds，那么g对客户来说是一场值得的赌博。允许Ohm = {ω，…，ωn}是一组有限的结果。假设对于每个i，庄家设置下注赔率ai/bionωi。根据等式（18），这些赔率可以被视为一组理想的赌博D={g，…，gn}，其中（19）gi（ω）：=(-Aifω=ωIbiothers。给定几率ai/bionωi，假设我们将该几率中的分母修改为bj。为此，我们可以将ai/BI乘以bj/bjto为（20）aibj/bibj=aibjbi公司/北京。新的可能性仍然可取吗？根据合意性的合理性公理，修改后的DD仍然是合意的。引理2。设a/b为理想结果￠ω的概率。然后，对于所有α>0的情况，也需要￠ω上的几率αa/αb。证据考虑与赔率a/b相对应的理想赌博：（21）g（ω）：=(-a如果ω=￠ωb，则为。根据比率公理（D3），对于任何大于0的α，gambleαg也是可以的。因此，相应的比值αa/αb也是可取的。8 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESLemma 2在我们想要修改赔率以获得相同的预测值时非常有用。假设图书制造商规定了所有可能结果的赌注Ohm.

在宣布这些赔率之前，收受赌注者可能想检查是否存在客户可以从中获得肯定收益的组合，或者换句话说，他是否避免了肯定损失【13，附录1，I4，p.635】：定理5。允许Ohm = {ω，…，ωn}。假设ai/biare在ωi上下注赔率。Foreach i∈ {1，…，n}，let（22）gi（ω）：=(-aiifω=ωi另一方面是与赔率ai/bi相对应的赌博。当且仅当（23）nXi=1biai+bi时，D：={g，…，gn}避免了sureloss≥ 1.证明。定理5源于m=1的定理6（进一步证明）。（注意定理5没有用于定理6的证明。）注意，在实践中，Pni=1biai+bi通常严格大于1，（24）100×nXi=1biai+bi- 1.被称为过圆边距【2，12】。让我们看一个定理m 5的例子。示例1。假设一家博彩公司为W提供3/4的赌注，为福特提供13/5的赌注，为L提供16/5的赌注。As（25）3+4+13+5+16+5=1.087≥ 1，根据定理5，庄家避免了确定的损失。因此，客户不能利用这些机会来确保一定的收益。注意，定理5中避免D的确定损失的条件与定理1中避免Ppin的确定损失的条件完全相同。这个条件也相当于Cortis[1]中的命题4。接下来，我们展示了这些几率可以通过一个高概率质量函数来建模：引理3。允许Ohm = {ω，…，ωn}，设ωi∈ Ohm 设g为与等式（19）中定义的ω的赔率相对应的赌博，即，（26）gi（ω）：=(-aiifω=ωibiothers，其中aiand bias为非负。如果p是概率质量函数，即ifPω∈Ohmp（ω）=1和p（ω）≥ 所有ω为0∈ Ohm, 然后（27）Xω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0<==>biai+bi≥ p（ωi）。使用DESIRABILITY 9Proof评估下注几率和免费优惠券。

假设pω∈Ohmp（ω）=1，对于所有i，p（ωi）≥ 0，thenXω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0<==> -aip（ωi）+biXω6=ωip（ω）≥ 0(28)<==> -aip（ωi）+bi（1- p（ωi））≥ 0(29)<==>biai+bi≥ p（ωi）。(30)为了避免保险损失，赔率ai/bionωim必须满足公式（30）[13，§3.3.3（a）]（有关更多详细信息，请参见定理6的证明）。因此，这些dds的集合可以看作是一个上概率质量函数，即（31）我∈ {1，…，n}：p（ωi）：=biai+bi。3.2. 与多个bo okmakers下注。市场上有许多博彩公司。我们感兴趣的是，客户是否可以利用不同图书制造商的优势，以确保获得一定的收益。为此，我们将不同博彩公司的下注几率建模为一组理想的赌博，并检查避免这种情况。我们重新讨论了已知结果，即在每个结果中选择最大几率是最佳的【12】。由于可能性越大，客户获得的回报就越高，因此，客户的明智策略是在每个结果中选择最大的o dds。定理6。允许Ohm = {ω，…，ωn}。假设有m家不同的博彩公司。Foreach k公司∈ {1，…，m}，设aik/bikbe是收受赌注者k提供的ωi的下注赔率∈ {1，…，n}和k∈ {1，…，m}，let（32）gik（ω）：=(-aikifω=ωibikotherwise。成为与aik/bik赔率相对应的理想赌博。让a*输入/输出*ibe结果ωi的最大概率，即，（33）a*输入/输出*i： =mmaxk=1{aik/bik}。然后，理想赌博集D={gik:i∈ {1，…，n}，k∈ {1，…，m}}避免损失当且仅当（34）nXi=1b*ia公司*i+b*我≥ 1.证明。见附录C。定理6告诉我们，为了避免几家博彩公司的损失，我们只需要考虑每个结果的最大赔率。让我们看一个例子。示例2。假设市场上有三家博彩公司为结果W、D和L提供不同的赔率，如表1.10 NAWAPON NAKHARUTAI，CAMILA C.S。

CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESOutcomesBetting Companys Maximum oddsRiver Mountain ForestW 4/5 17/20 3/4 17/20D 13/5 14/5 13/5 14/5 L 10/3 16/5 10/3表1。三家庄家提供的赔率表让D是与所有这些赔率相对应的一组理想赌博。请注意，W的最大下注几率为17/20，D为14/5，L为10/3。As（35）17+20+14+5+10+3=1.034≥ 1，根据定理6，我们得出结论，D避免了确定损失。因此，客户无法利用这些机会来获得一定的收益。考虑一位客户，他对表1中三个bo Okmakers提供的赔率感兴趣。对他来说，一个明智的策略是在每个结果中选择最大的可能性。然而，这意味着客户永远不会选择Forest提供的任何赔率，因为Forest的所有赔率都低于其他博彩公司提供的赔率。因此，为了鼓励客户与他们打赌，est可能会在一定条件下向客户提供免费优惠券。在下一节中，我们将更详细地了解这些免费政变。4、免费投注券免费投注券是收受赌注者向第一次投注的客户提供的一种免费赌注。免费优惠券可用于客户想要下注的一些赌注。事实上，免费优惠券并不是真正免费的，因为客户在申请免费优惠券之前首先要赌上一些赔率。此外，博彩公司通常会设定一些必要的条件，例如，限制客户可以申请的免费优惠券数量，或者限制客户可以使用免费优惠券的选择。我们想知道客户是否可以利用这些给定的赔率和免费优惠券，以找到一种能够带来绝对收益的下注策略。

如果有可能的方法做到这一点，那么我们将找到一种给出这种策略的算法。为了简化本研究，我们为向博彩公司索取免费优惠券制定了如下标准要求：（1）一旦客户下注，博彩公司将给他一张免费优惠券，其价值等于他下注的价值。（2） 收受赌注者设定免费优惠券的最大价值。（3） 免费优惠券仅适用于客户与博彩公司的首次下注。（4） 客户必须将其免费优惠券与同一博彩公司一起用于其他结果。（5） 客户必须将其免费优惠券仅用于一种结果。这里有一个申请免费优惠券的例子。示例3。前提是Forest具有以下功能：将向首次与Forest下注的客户提供免费优惠券，优惠券的价值等于客户下注的第一笔金额。使用表1中的DESIRABILITY 11评估下注几率和免费优惠券，如果客户James从未与Forest下注，并且他决定在结果D的13/5的几率上下注5英镑，那么他将与Forest玩5英镑的游戏，他将申请价值5英镑的免费优惠券。詹姆斯可以用免费的Coupono赌森林的其他结果。一旦James收到免费优惠券，他可以像nex texample一样使用免费优惠券。示例4。继续上一个例子，James从Forest获得了价值5英镑的免费Coupon。由于詹姆斯必须将其价值为5英镑的免费息票用引理2的唯一结果来支付，我们通过将其乘以5/5来修改赔率3/4。现在所有的赔率都有相同的分母，即5。结果D LODS（3·5）/5 13/5 16/5表2。修改后的oddsIf表如果James用他的免费息票在L上下注，而真正的结果是L，那么Forestwill将损失16英镑；否则，森林将一无所获。

另一方面，如果詹姆斯将息票押在W上，而真正的结果是W，那么Forest将损失3.5英镑；否则，森林将一无所获。表3总结了森林总收益。将一张免费优惠券下注到Outcomesw D LL 0 0 0-16瓦-3.50表3。总支付表假设客户首先押注结果ωi和相应的oddsai/bi。在表4中，给庄家的报酬表示为赌博gωii。因为这是他第一次下注，客户会收到一张免费的组合价值bi，他会用这张免费优惠券赌一个结果。假设他以相应的赔率aj/bj下注于ωjj。由于分母不一定相等，我们将赔率aj/bjbibi相乘。修正后的赔率为（aj·bibj）/bi。请注意，由于免费优惠券必须用于其他结果，ωjc不能与ωi一致。如果真实结果是ωj，则庄家将失去aj·bibj。否则，庄家将一无所获。向收受赌注者支付的这笔款项被视为一场赌博，如表4所示。正如bo okmaker所期望的gωi和gωjare一样，根据理性主义（D4），gωi+~gωjis也是所期望的。结果ωiωjothersgωi-aibibi▄gωj0-aj·bibjgωi+~gωj-ai（北京-aj）表4。收受赌注者的第一次自由欲望赌博表我们表示gωiωj：=gωi+~gωjan并称之为收受赌注者的第一次自由欲望赌博。请注意- gωiωjis是客户想要的。客户可以在NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESon的其他赔率之间下注，但他不会从额外的赌注中获得任何免费优惠券。这是因为收受赌注者只给他一次免费优惠券。还要注意的是，在实际市场中，通常有不止一家书商提供免费优惠券。因此，客户可以先与不同的收受赌注的人进行赌博，以获得几笔免费的红利。

这些可以被视为是第一次自由欲望赌博，结合了几次第一次自由欲望赌博。在这项研究中，我们只考虑客户首先下注并从单个博彩公司索取免费优惠券的情况。在这种情况下，我们面对的是一个组合问题，所有的第一次自由欲望赌博。我们想检查D∪{gωiωj}是否避免确定的损失。根据定理4，如果D避免了确定的损失，那么D∪ {gωiωj}避免确定损失当且仅当ifE（gωiωj）≥ 0 .如果D∪ {gωiωj}不能避免肯定的损失，根据定理4，书商至少会损失| E（gωiωj）|，这是客户的最高肯定收益。因此，客户可以将gωiωj与git的非负组合组合，以获得更大的增益| E（gωiωj）|。让f成为boo-kmaker的第一个最受欢迎的赌博。在使用第2.3节的结果计算f的自然延伸之前，我们必须检查D是否避免了确定的损失。如果PPT不能避免肯定的损失，那么如果没有免费优惠券，那么客户就可以进行非负组合的赌博，以获得肯定的收益。另一方面，如果Ppavoids sure loss，那么我们可以根据f的水平集来写f，并使用推论1来计算f的自然张力。例5。让Forest在W、D和L上提供赌注，如表1所示。Byeq公司。（31），我们有（36）p（W）=p（D）=p（L）=。Sincep（W）+p（D）+p（L）≥ 1，根据定理1，Ppavoids sure loss。从示例4继续，su反对James t下注于D，并用他的免费息票下注于L。然后，第一个免费的理想赌博gDLto森林如下所示：结果W D LgD5-13 5gL0 0-16gDL5-13-11表5。ForestWe的期望赌博表将其水平集的gDLin项分解为（37）gDL=-13IA+2IA+16Ia，其中A={W，D，L}，A={W，L}和A={W}。

根据定理2，我们有Ep（A）=min{p（W）+p（D）+p（L），1}=1（38）Ep（A）=min{p（W）+p（L），1}=（39）Ep（A）=min{p（W），1}=。（40）使用DESIRABILITY 13SubstituteEp（Ai），i评估下注赔率和免费优惠券∈ {0，1，2}转化为等式（37）。通过推论1，我们得到（41）Ep（gDL）=- 13Ep（A）+2Ep（A）+16Ep（A）=-.AsEp（gDL）=-< 0，根据定理4，森林不能避免必然损失。因此，有了免费优惠券，詹姆斯可以获得一定的收益。詹姆斯应该怎么做？记住这一点Ohm = {ω，…，ωn}而gi是对几率ai/bionωi的赌博：（42）gi（ω）=(-Aifω=ωIbiothers。请注意，我们可以通过定义5，通过求解以下线性规划来计算任意赌博fB的ulateEp（f），orEDPp（f）：（P）minα（Pa），根据(ω ∈ Ohm: α -Pni=1gi（ω）λi≥ f（ω）i=1，n： λi≥ 0，（Pb），其中最佳α给定Sep（f）。如果最优α是严格负的，那么最优λ，λn为客户进行多种赌注组合，以确保获得一定收益。（P）的对偶是（D）maxXω∈Ohmf（ω）p（ω）（Da）受gi:Pω∈Ohmgi（ω）p（ω）≥ 0ω：p（ω）≥ 0Pω∈Ohmp（ω）=1。（Db1）应用引理3后，等式（Db1）中的约束为：(ω : 0 ≤ p（ω）≤p（ω）pω∈Ohmp（ω）=1。（Db2）我们看到目标函数等式（Da）是Ep（f），即f相对于概率质量函数p的期望值。作为（D）isEp（f）的最优值，如果我们能找到满足对偶约束等式（Db2）和p（f）=Ep（f）的p，那么我们就找到了（D）的最优解。现在，我们首先构造一个p，将尽可能多的质量签名到最小的水平集。然后，在定理7中，我们证明该p满足等式（Db2）和p（f）=Ep（f）。算法1构造（D）输入的最优解p：一个赌博f，一组结果Ohm.输出：（D）的最优解p。（1） 将位置f改为（43）f=mXi=0λiai此处Ohm = A） A）···（上午） 是f和λ的水平集∈ R、 λ，λm>0.14 NAWAPON NAKHARUTAI，CAMILA C.S。

CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAES（2）阶ω，ω，ωnsuch that（44）我≤ j：Aωi Aωj，其中Aω是ω所属的最小水平集，即（45）Aω=m\\i=0ω∈AiAi。所以，我们从Am中的ω开始，然后是Am中的ω-上午1点，然后上午3点-凌晨2点-1等。（3） 设k b e为最小指数，使得（46）kXj=1p（ωj）≥ 1.总有这样的k，因为PPA避免了必然的损失。定义p如下：p（ωi）：=p（ωi）如果i<k1-圆周率-1j=1p（ωj），如果i=k0，如果i>k.（47），那么我们证明等式（47）中的p满足等式（Db2），且Ep（f）=Ep（f）。定理7。由式（47）定义的概率质量函数p满足式（Db2）和p（f）=Ep（f）。证据允许Ohm = {ω，…，ωn}按式（44）排序，并设k为最小索引，使得pkj=1p（ωj）≥ 1.根据等式（47），Pni=1p（ωi）=1和（48）p（ωk）=1-k-1Xj=1p（ωj）≤kXj=1p（ωj）-k-1Xj=1p（ωj）=p（ωk），所以对于所有i∈ {1，…，n}，0≤ p（ωi）≤p（ωi）。因此，p满足等式（Db2）。接下来，我们将显示对于所有级别的s e ts Ai，（49）min（Xω∈Aip（ω），1）=Ep（Ai）。记住，Aωkis是包含ωk的最小水平集。根据等式（47），对于allAi（Aωk），我们知道p（ω）=p（ω），对于所有ω∈ Ai和so（50）min（Xω∈Aip（ω），1）=Xω∈Aip（ω）=Xω∈Aip（ω）。对于所有Ai Aωk，我们现在知道pω∈Aip（ω）=1和pω∈Aip（ω）≥ 1，so（51）min（Xω∈Aip（ω），1）=1=Xω∈Aip（ω）。使用期望值15评估下注几率和免费优惠券，因此，等式（49）成立。因此，Ep（f）=mXi=0λiE（Ai）（根据等式（14））（52）=mXi=0λimin（Xω∈Aip（ω），1）（由式（11））（53）=mXi=0λiEp（Ai）（由式（49））（54）=Ep（f）（55）综上所述，我们可以使用公式（47）来构造p o f（D）的最优解。我们将使用互补松弛度来找到（D）对偶的最优解【16，第329页】。注意，当（D）有一个最优解且对偶问题在上面有界时，则根据强大的对偶理论m【8，p.71】，存在（p）的最优解，并获得相同的最优值。

此外，当且仅当（P）和（D）的一对解满足互补y松弛条件时，它们才是最优的【3，P.62】。具体而言，在我们的案例中，该条件适用于任何非负变量及其对应的对偶约束[4，第184页，ll.3-5]。更准确地说，设p（ω），p（ωn）是（D）的任何可行解，设α，λ，λnbe（P）的任何可行解。然后，通过互补松弛度，这些解是最优的当且仅当，对于所有j∈ {1，…，n}，我们有（56）α-nXi=1gi（ωj）λi- f（ωj）！p（ωj）=0和（p（ωj）- p（ωj））λj=0。这相当于（1）如果p（ωj）>0，则α-Pni=1gi（ωj）λi=f（ωj），（2）如果p（ωj）<p（ωj），则λj=0。所以，如果我们有一个最优解n p（ω），（D）的p（ωn）和最优值α，那么我们可以使用这些方程作为λ，…，中的等式系统，λn.注意，该系统的某些解可能不满足可行性，即它们可能会忽略λi≥ 然而，该系统满足λi的所有解≥ 再次保证为（P）的最优解。这个平等体系是什么样子的？记住，k被定义为最小指数，因此pkj=1p（ωj）≥ 1、根据公式（47），对于allj∈ {1，…，k- 1} 我们有p（ωj）>0，所以我们有以下等式：∈ {1，…，k- 1},(57) α -nXi=1gi（ωj）λi=f（ωj）。对于所有j∈ {k+1，…，n}我们有p（ωj）=0<p（ωj），所以λj=0表示所有j∈ {k+1，…，n}。对于j=k，如果p（ωk）<p（ωk），那么我们也可以设置λk=0。否则，我们知道p（ωk）=p（ωk）>0，因此我们可以简单地施加与j相同的质量∈ {1，…，k- 1}. 最后，设k′为16 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes的大t指数j，其中p（ωj）=p（ωj）。然后，由于（P）的最优解存在，可以通过求解以下系统来找到：j∈ {1, . . .