使用期望值评估下注几率和免费优惠券

，k′}：α-k′Xi=1gi（ωj）λi=f（ωj）（58）j∈ {k′+1，…，n}：λj=0（59），因此，我们只剩下k′约束中的k′变量系统。请注意，我们可以修改赔率，使其具有相同的分母（均为biareequal），因此解决新系统会更容易。最后，请注意，在第一次免费优惠券sc enario中，为了确保收益，客户必须在每一个结果上下赌注。这意味着，值可以为零的唯一系数λi是与客户选择的第一次免费赌博中的赌博相对应的系数。因此，在这种特殊情况下，k′≥ n- 例6。从示例5继续，相应的线性程序toE（gDL）如下所示：（P1）minα（P1a）根据α+3λW- 5λD- 5λL≥ 5α - 4λW+13λD- 5λL≥ -13α - 4λW- 5λD+16λL≥ -11（P1b）和λW，λD，λL≥ 0，无α，（P1c）（D1）最大5p（W）- 13p（D）- 11p（L）（D1a）受试者0≤ p（W）≤ 4/70 ≤ p（D）≤ 5/180 ≤ p（L）≤ 5/21p（W）+p（D）+p（L）=1。（D1b）根据公式（44），我们可以看到（60）AW AL公司 所以（D1）的最优解如下：（61）p（W）=，p（L）=，p（D）=1-+=.当p（W）=p（W）且p（L）=p（L）时，当p（D）<p（D）时，通过互补松弛度，（P1）的最优解必须具有λD=0，并求解以下系统：α+3λW- 5λL=5（P1b1）α- 4λW+16λL=-11，（P1b2），其中α的值为-. 我们对这个系统进行了求解，得到了一个最优解：λW=和λL=。詹姆斯获得保证收益的策略如下。他首先在D上下注5英镑，并申请价值5英镑的免费息票在L上下注。接下来，他又在W上下注5英镑，在D上下注1英镑。

他将从森林中获得一定的收益。使用DESIRABILITY 17国家赔率国家赔率国家赔率国家赔率奥地利45捷克共和国135德国23 5波兰50斯洛伐克150西班牙5瑞士66爱尔兰共和国1709俄罗斯85冰岛180比利时57/5土耳其94罗马尼亚275意大利91/5威尔士100 N爱尔兰400葡萄牙20乌克兰100匈牙利566克罗地亚27瑞典104阿尔巴尼亚531表6评估投注赔率和免费优惠券。20165年欧洲足球锦标赛最大赌注表。实际足球博彩奇数在本节中，我们将查看市场上的一些实际赔率，并检查客户是否可以以及如何利用这些赔率和免费优惠券来获得真正的收益。考虑附录D中的表9。我们列出了27家博彩公司为2016年欧洲足球锦标赛冠军提供的下注赔率。从表9可以看出，表6列出了每个结果的最大下注几率。就我来说∈{1，…，24}，让a*输入/输出*ibe表6中的最大下注几率。SincePi=1b*ia公司*i+b*i=1.0349≥ 1，根据定理6，与表9中的oddsin对应的期望赌博集避免了确定的损失。因此，不存在能够带来一定收益的赌博组合。假设詹姆斯有兴趣与其中一位打赌，比如Bet2。由于他以前从未在Bet2上下注，Bet2将在他第一次与Bet2下注时给他一张免费优惠券。使用免费优惠券，我们将检查詹姆斯是否以及如何下注以获得保证收益。设D是一组与theods相对应的合意赌博，le t g是公司Bet2的第一个自由合意赌博。我们想检查D∪ {g} 避免或避免肯定的损失。由于有24种可能的结果，与Bet2不同的第一次自由理想赌博总数为24×23=552。假设James首先在Fra nc e上下注，然后s将其免费优惠券挂在Pain上。

因此，第一次免费的理想赌博gF GisOutcomesFrance Spain othersgF-3.1.1㎎gS0-5 0gF秒-3.-4表7。詹姆斯的第一次自由赌博，其中F和S分别表示法国和西班牙。同样，我们通过Choquet积分计算（gF S）。我们将其水平集的gF Sin项分解为（62）gF S=-4IA+IA+4IA18 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes，其中A=Ohm, A=Ohm \\ {S} 和A=Ohm \\ {F，S}。根据定理2，我们得到（63）E（A）=1 E（A）=0。9810 E（A）=0。根据推论1，我们取代了E（Ai），i∈ {0，1，2}到等式（62）并获得（64）E（gF S）=- 4E（A）+E（A）+4E（A）=- 0.0950.因此，D∪ {gF S}无法避免肯定的损失。在所有可能的第一次免费赌博中，我们发现还有三次赌博低于z e ro，即e（gF G）=- 0.2093，E（gGF）=- 0.0117安第斯山脉（gGS）=- 0.0950，其中G表示德国。根据定理4，D∪ {g} 当g∈ {gF S，gF G，gGF，gGS}；否则D∪ {g} 避免必然的损失。因此，如果（1）詹姆斯先在法国下注，然后用他的免费息票在西班牙或德国下注，或者（2）詹姆斯先在德国下注，然后用他的免费息票在法国或西班牙下注，那么他可以同时下注，以确保从Bet2中获得一定的收益。考虑一下詹姆斯第一次在法国下注1英镑，并声称他在西班牙的免费Coupon赌注。通过算法1可以找到相应问题（D）（表8中的p列（ωi））的最优解。然后，我们可以利用（D）的最优解和互补松弛条件找到相应问题（P）的最优解。表8中的λii列给出了（P）的最优解。因此，如果詹姆斯在λi列中额外下注，那么他将从2.6之间获得0.095英镑的纯收益。

结论在本文中，我们研究了客户是否以及如何利用给定的bettingods和免费优惠券来获得额外收益。具体而言，我们将这些赔率和免费优惠券视为一组令人满意的赌博，并通过自然延伸检查这一组是否避免了必然的损失。我们证明，当且仅当与fr ee息票相对应的第一次自由赌博的自然延伸为非负时，集合避免损失。如果集合不能避免确定的损失，那么可以从相应线性规划问题的最优解中导出组合下注。我们表明，对于这个特殊问题，我们可以通过Choquet积分轻松找到自然延伸。在集合不能避免确定损失的情况下，我们介绍了如何使用Choquet积分和互补松弛条件直接获得所需的be ts组合，而无需实际解决线性规划问题，而只需求解线性等式系统。这种技术可以应用于涉及上概率函数的任意问题。为了说明结果，我们在市场上估算了2016年欧洲足球锦标赛获胜的实际赔率，并避免了损失。我们发现，从这些奇怪的赌博中得到的任何一组令人满意的赌博都是肯定会输掉的。话虽如此，通过免费优惠券，我们推出了一系列令人渴望的赌博，不再能够避免必然的损失。

有趣的是，在这种情况下，当使用Desibility 19阶ωi国家赔率p（ωi）最优解p（ωi）λi1德国42英格兰90.53比利时104意大利165葡萄牙186克罗地亚257奥地利408波兰509瑞士4010俄罗斯6611土耳其8012威尔士8013乌克兰6614瑞典8015捷克共和国10016斯洛伐克10017爱尔兰代表15018冰岛15019罗马尼亚10020北爱尔兰25021阿尔巴尼亚25022匈牙利25023法国324西班牙5表8。添加了Bet2提供的赔率汇总、概率上限函数P（ωi）和（D）和（P）优惠券的最优解，客户可以通过组合下注获得一定收益。致谢我们感谢科技人才发展与促进项目（英国皇家政府奖学金）对本项目的支持。我们还感谢审稿人提出的建设性意见。20 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes参考文献【1】Dominic Cortis。博彩公司支付的预期值和变量：设定赔率限制的理论方法。《预测市场杂志》，9（1）：1–14，2015年。[2] 科尔安东尼奥·埃米利亚诺。博彩市场：许多人的机会？《奥拉多大学年鉴》，经济科学系列，22（2）：200–208，2013年12月。[3] Shu Cherng Fang和Sarat Puthenpura。线性优化和扩展：理论和算法。1993年【4】Igor Griva、Stephen G.Nash和Ariela Sofer。线性和非线性优化第二版。暹罗，费城，2009年。[5] I.Milliner、P.White和D.Webber。足球中各种古怪规则的统计发展。《赌博、商业和经济杂志》，3（1）：89–992009年。[6] N.Nakharutai、M.C.M.Troffaes和C.C.S.Caiado。改进的线性规划方法，用于检查避免确定损失。

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引理3，foreach i和k，（79）bikaik+bik≥ p（ωi）。然后，根据公式（75），对于每个i，（80）b*ia公司*i+b*我≥ p（ωi）。因此，（81）nXi=1b*ia公司*i+b*我≥nXi=1p（ωi）=1。(<==) 假设PNI=1b*ia公司*i+b*我≥ 1保持不变。设（82）S=nXi=1b*ia公司*i+b*iand p（ωi）=b*iS（a*i+b*i） 。如果我们证明p是方程的可行解。（76），（77）和（78），则D避免确定损失。注意，由eq.（82），p（ωi）≥ 0表示所有i，Pni=1p（ωi）=1，等式（75），bikaik+bik≥ p（ωi）。所以，通过引理3，Pni=1gik（ω）p（ωi）≥ 0适用于所有gik。因此，p是等式的一个可行解。（76），（77）和（78）以及【13，第175页，第10–13页】，Davoids肯定会损失。24英国达勒姆大学数学科学系NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESDurham大学电子邮件地址：NAWAPON。nakharutai@durham.ac.ukDurham英国大学数学科学系电子邮件地址：c.c.d.s。caiado@durham.ac.ukDurham英国大学数学科学系电子邮件地址：matthias。troffaes@durham.ac.uk