使用期望值评估下注几率和免费优惠券

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英文标题：
《Evaluating betting odds and free coupons using desirability》
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作者：
Nawapon Nakharutai, Camila C. S. Caiado, Matthias C. M. Troffaes
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In the UK betting market, bookmakers often offer a free coupon to new customers. These free coupons allow the customer to place extra bets, at lower risk, in combination with the usual betting odds. We are interested in whether a customer can exploit these free coupons in order to make a sure gain, and if so, how the customer can achieve this. To answer this question, we evaluate the odds and free coupons as a set of desirable gambles for the bookmaker. We show that we can use the Choquet integral to check whether this set of desirable gambles incurs sure loss for the bookmaker, and hence, results in a sure gain for the customer. In the latter case, we also show how a customer can determine the combination of bets that make the best possible gain, based on complementary slackness. As an illustration, we look at some actual betting odds in the market and find that, without free coupons, the set of desirable gambles derived from those odds avoids sure loss. However, with free coupons, we identify some combinations of bets that customers could place in order to make a guaranteed gain.
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中文摘要：
在英国博彩市场，博彩公司经常向新客户提供免费优惠券。这些免费优惠券允许客户以较低的风险进行额外下注，并与通常的下注赔率相结合。我们感兴趣的是，客户是否可以利用这些免费优惠券来确保一定的收益，如果可以，客户如何实现这一点。为了回答这个问题，我们将赔率和免费优惠券作为一组博彩者想要的赌博。我们证明，我们可以使用Choquet积分来检查这组令人满意的赌博是否会给庄家带来一定的损失，从而为客户带来一定的收益。在后一种情况下，我们还展示了客户如何根据互补的懈怠程度来确定实现最佳收益的赌注组合。作为一个例子，我们查看了市场上的一些实际赌博赔率，发现如果没有免费优惠券，从这些赔率衍生出的一组令人满意的赌博可以避免肯定的损失。然而，通过免费优惠券，我们确定了一些客户可以下注的组合，以获得有保证的收益。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Combinatorics        组合学
分类描述：Discrete mathematics, graph theory, enumeration, combinatorial optimization, Ramsey theory, combinatorial game theory
离散数学，图论，计数，组合优化，拉姆齐理论，组合对策论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Evaluating_betting_odds_and_free_coupons_using_desirability.pdf (301.67 KB)

2022-6-11 09:50:37 上传

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关键词：期望值 优惠券 使用期 Mathematical Optimization

使用Desirabilitynawapon NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESAbstract评估下注几率和免费优惠券。在英国博彩市场，博彩公司通常会向新客户提供免费赠券。这些免费优惠券允许客户在较低风险下进行额外押注，并结合通常的赔率。我们感兴趣的是，客户是否可以利用这些免费优惠券来确保收益，如果可以，客户如何实现这一点。为了回答这个问题，我们将赔率和免费优惠券作为博彩公司的一组理想赌博。我们证明，我们可以使用Choquet积分来检查这组令人满意的赌博是否会给庄家带来一定的损失，从而给客户带来一定的收益。在后一种情况下，我们还展示了客户如何根据互补松弛度确定能够获得最佳可能收益的赌注组合。举例来说，我们对市场上的一些实际赌博赔率表示满意，并发现，如果没有免费优惠券，从这些赔率衍生出的一组令人满意的赌博可以避免肯定的损失。然而，通过免费优惠券，我们确定了一些客户可以下注的组合，以获得担保金。1、简介考虑一下英国的足球博彩市场，那里的博彩公司通常会为可能的结果提供分数赌注。例如，在曼联和利物浦之间的一场比赛中，收受赌注的人以形式计算曼联获胜的赔率，以c/d表示平局，以e/f表示利物浦获胜。假设一位客户接受赔率a/b，在aManchester United win上下注b英镑，并在比赛前支付给博彩公司。比赛结束后，如果曼联赢了，博克马会付给他一个+磅的奖金。

因此，如果曼彻斯特联队获胜，那么客户的总回报将是500美元；否则，客户将减掉b磅。为了预测一场比赛的结果，bo okmaker可能会遇到一些困难，例如缺乏数据（例如，a队在过去五年中从未与B队比赛过）、数据缺失、足球专家o Pine有限，甚至来自不同足球专家的信息相互矛盾。许多作者[14、15、13、10]都认为，这些问题可以通过使用一组令人满意的赌博来解决。赌博会根据不确定的结果（即比赛结果）重新给出奖励（在我们的情况下是金钱）。收受赌注者可以通过陈述他愿意进行的一系列赌博来树立他对这一结果的信念。这样的一组被称为一组合意的赌博。通过对偶，陈述一组期望的赌博在数学上等价于陈述一组概率分布。关键词和短语。下注；息票Choquet积分；互补松弛。2 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.TROFFAESIf如果没有理想的赌博组合会导致保证损失，那么我们说一组理想的赌博可以避免确定的损失【14，15】。因此，如果庄家的一系列理想赌博避免了肯定的损失，那么就不存在客户可以从中获得保证收益的组合。另一方面，如果集合不能避免确定的损失，那么客户可以利用组合下注来获得确定的收益。除了避免肯定的损失外，博彩公司还希望吸引新客户。有几种技巧可供图书制造商用来说服客户与他们的公司打赌。一些博彩公司可能会比其他博彩公司提供更大的赌注，因为胜算意味着对客户的回报更大。

另一种技术是提供“免费优惠券”，这是客户可以在赌博上花费的赌注。这种免费优惠券也可以作为一种理想赌博的手段。然而，博彩公司可能会担心客户会发现不同赔率和免费优惠券的组合，他们可以下注并获得有保证的收益。因此，从博彩公司的角度来看，他们希望检查从不同赔率和免费优惠券中获得的一系列理想赌博是否能够避免确定的损失。相反，从理论上讲，客户可能会对收受赌注者的集合无法避免确定损失的情况感兴趣，因为这样客户就可以获得确定的收益。在这种情况下，客户可能希望找到能够获得最佳确定收益的组合。有很多关于利用赌博赔率和免费赌博的研究，目的是找到产生利润的策略。例如，Walley【13，附录I】和Quaeghebeur等人【7】研究了一组理想赌博在体育运动中的应用；Milliner等人【5】、Schervish等人【9】、Vlastakis等人【12】直接利用下注赔率，而Emiliano【2】则在账户中进行免费下注。Emiliano考虑了两种可能的结果，并允许客户之间进行合作。在本文中，我们考虑了任何数量的可能结果，但我们只考虑一个单一客户。我们评估投注赔率和免费优惠券，并检查由赔率和免费优惠券衍生的一组可设计赌博是否通过自然扩展避免了确定的损失（或没有）。如果集合不能避免肯定的损失，那么我们将准确显示客户如何获得肯定的收益。一般来说，可以通过解决线性规划问题来避免确定的损失【13，p.151】。在我们之前的工作【6】中，我们提供了解决这些线性规划问题的有效算法。

对于我们的具体问题，我们表明，我们可以通过Choquet积分计算自然延伸，或者通过解决线性规划问题，其中最优值等于自然延伸。在无法避免肯定的损失的情况下，我们知道我们可以找到客户可以押注的策略，以获得有保证的收益。我们表明，可以使用Choquet积分和补充sla确认条件来识别该策略。我们发现这种策略的方法通常不仅适用于这个下注问题，而且适用于涉及更高概率质量函数的任意问题。具体而言，通过使用Choquet积分和利用互补松弛条件，我们可以在不直接求解的情况下找到相应对偶线性规划对的最优解。PAP r组织如下。第2节brie fly回顾了主要概念Behind Desibility，Avoid sure loss and natura l extension。我们还讨论了可用于计算自然延伸的Choquet积分。在第3节“使用DESIRABILITY 3评估投注赔率和免费优惠券”中，我们介绍了固定赔率，并解释了投注赔率的工作原理。由于bettingods可以看作是一组理想的赌博，我们重新研究了一个简单的已知算法，以检查这样的集合是否避免了确定的损失。在第4节中，我们从合意性的角度讨论免费优惠券。我们展示了如何通过自然张力检查免费优惠券的问题是否避免了肯定的损失。我们将演示如何使用Choquet积分来计算此自然扩展。接下来，我们利用互补松弛度来找到一个组合的赌注，从而尽可能获得最佳的保证收益。

为了说明我们的结果，第5节，我们考虑了一些实际的赔率和市场上的免费赠券，并提供了一个客户可以通过免费赠券获得一定收益的示例。第6节总结了本文。2、避免必然损失和自然延伸在本节中，我们将简要讨论可取性，避免必然损失和自然张力。我们还将解释Choquet积分，该积分可用于计算本文所考虑的情况下的自然延伸。稍后，当我们将赌注和免费优惠券视为一组可设计的赌博时，以及当我们想检查这组赌注是否避免了确定的损失时，本节中的材料将非常有用。2.1. 避免肯定的损失。允许Ohm 成为结果的不确定性的决定性因素。赌博是一个有界实值函数Ohm. 让我(Ohm) 表示上所有遗传标记的集合Ohm. 让D成为一组被试认为可以接受的赌博；我们称之为主体的一系列令人向往的赌博。欲望的理性条件如下【10，第29页】：公理1（欲望的理性公理）。对于L中的每个f和g(Ohm) andevery非负α∈ R、 我们有：（D1）如果f≤ 0且f 6=0，则不需要f。（D2）如果f≥ 0，则需要f。（D3）如果f是可取的，那么αf也是可取的。（D4）如果f和g是可取的，那么f+g也是可取的。这两条公理很简单，因为主体应该接受任何他不能输掉的赌博，但他不应该接受任何他不能赢的赌博。Axiom（D3）遵循效用标度的线性，而ax iom（D4）表明，可以进行赌博的组合也是可取的。我们不认为主体指定的任何集合D满足这些公理。然而，我们可以用这些公理来证明D的合理性。

事实上，理性公理本质上表明，理想赌博的非负组合不应产生确定的损失【10，第30页】。在这种情况下，我们说Davoids肯定会失败。定义1。【10，第32页】A组D L(Ohm) 据说是为了避免确定服务水平s，如果所有n∈ N、 所有λ，λn≥ 0和所有f，fn公司∈ D、 （1）最大ω∈OhmnXi=1λifi（ω）！≥ 注意，可取性的合理性公理比避免额外损失的条件更强【10，第32页】。4 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes我们还可以通过可接受的赌博购买（或出售）价格来模拟不确定性。较低的预测值是在L的某些子集上定义的实值函数(Ohm).我们用domp表示Pby的域。给定一个g amble f∈ dom P，我们将P（f）解释为主体对f的最高购买价格，即f- 对于所有α<P（f）[10，P.40]，α都是可取的。定义2。[10，第42页]如果对所有人来说∈ N、 所有λ，λn≥ 0和所有f，fn公司∈ dom P，（2）maxω∈OhmnXi=1λi[fi（ω）- P（fi）]！≥ 任何较低的预测都会产生一个共轭的上预测- dom P：={-f：f∈ dom P}，由P（f）定义：=-P(-f）对于所有f∈ - dom P。P（f）表示标的物f的最高售价【10，第41页】。接下来，le t A表示Ohm, 也称为事件。关联指示器函数Ia由（3）给出ω ∈ Ohm: IA（ω）：=（1如果ω∈ A0否则。此外，在本文中，我们还将张量地使用上概率质量函数。上概率质量函数p是Ohm 对于[0，1]，Andrew提出了以下较低的预测[10，p.123]：（4）ω ∈ Ohm: 聚丙烯(-I{ω}）：=-p（ω），其中dom Pp=Sω∈Ohm{-I{ω}}。我们可以用定理1检查PPA是否避免了肯定损失。定理1。[10，p.124]当且仅当ifPω∈Ohmp（ω）≥ 1.证明。参见【10，p.124，Prop.7.2】，较低概率质量函数p=0。

我们可以将概率上限mas函数解释为提供了所有ω的每个{ω}概率的上界∈ Ohm [10，第123页]。2.2. 自然延伸。理想赌博集D的自然扩展被定义为最小的赌博集，包括D中所有有限的非负赌博组合和所有非负赌博【10，§3.7】：定义3。[10，第32页]集合D的自然扩张 L(Ohm) is：（5）ED：=（g+nXi=1λigi:g≥ 0，n∈ N、 g，gn公司∈ D、 λ，λn≥ 0).从这一自然延伸，我们可以得出任意赌博f的最高买价。定义4。[10，第46页]对于任何集合D L(Ohm) 和f∈ L(Ohm), 我们定义：ED（f）：=sup{α∈ R：f- α ∈ ED}（6）=sup（α∈ R：f- α ≥nXi=1λifi，n∈ N、 金融机构∈ D、 λi≥ 0).（7） 使用DESIRABILITY 5评估博彩赔率和免费优惠券请注意，如果且仅当D避免损失时，eDi-fine因此是一种较低的预测值【10，第68页】。我们表示EdbyEd的共轭，由（8）ED（f）定义：=-教育部(-f） =inf（β∈ R： β- f≥nXi=1λifi，n∈ N、 金融机构∈ D、 λi≥ 0).对于L中的所有f(Ohm) [13，第1页，第24页]。在没有混淆的情况下，EDI仅用E来表示。给定一个较低的预测P，我们可以导出一组与Pas相对应的理想赌博如下[10，P.42]：（9）DP：={g- u：g∈ dom Pandu<P（g）}。结合定义4和等式（9），我们可以定义P：定义5的自然延伸。[10，第47页]让Pbe有一个更低的预测。为所有f定义的PI的自然延伸∈ L(Ohm) by：（10）EP（f）：=EDP（f）=sup（α∈ R：f- α ≥nXi=1λi（fi- P（fi）），n∈ N、 金融机构∈ dom P，λi≥ 0).类似地，只有当P避免了确定损失时，才有明确的定义【10，第68页】。在下一节中，我们简要解释了使用Choquet积分计算本文所考虑的较低预测类型的自然延伸；有关更多详细信息，请参见[11，10]。2.3. 上概率质量函数和Choquet积分。

让Epbe成为PP的自然延伸，避免必然的损失。然后Epis 2-单调，可通过Choquet积分计算[10，p.125]。在本节中，根据【10，第7.1节】的结果，我们给出了该积分的闭合形式表达式。为简单起见，我们表示指示符IAasEp（A）的自然延伸Ep（IA）。我们可以使用以下定理来计算Ep（A）。定理2。[10，第125页]让我们避免损失。那么对于所有A Ohm,（11） Ep（A）=最大值{0，1- U（Ac）}和Ep（A）=min{U（A），1}，其中U（A）：=Pω∈Ap（ω）。证据参见【10，p.125】，较低概率质量函数p=0。定理3。设f按其水平集Ai分解，i=0，1，n： （12）f=nXi=0λiIAiwhereλ∈ R、 λ，λn>0和Ohm = A） A）···）An6=. 然后（13）Ep（f）=nXi=0λiEp（Ai）。证据右侧是Choquet积分[10，p.379，Eq.（C.8）]，自然延伸Ep（f）等于Choquet积分[10，p.125，Prop.7.3（ii）]（低概率质量函数p=0）。6 NAWAPON NAKHARUTAI、CAMILA C.S.CAIADO和MATTHIAS C.M.Troffaes注意到，定理3也适用于上自然延伸。推论1。设f是一个赌博，如式（12）所示分解。然后（14）Ep（f）=nXi=0λiEp（Ai）。证据见附录A。当我们想在第4.2.4节后面计算自然延伸时，Choquet积分将非常有用。多赌一次，避免必然的损失。设D={g，…，gn}是一组避免确定损失的期望赌博，设f是另一个期望赌博。我们想检查D∪ {f}是否仍能避免确定的损失。在第4节中，当我们想使用免费优惠券检查避免确定损失时，将使用此想法。在定义1，D中避免确定损失的条件下∪ {f}避免了确定损失i且仅当对于所有λ≥ 0，n∈ N、 gi公司∈ D和λ，λn≥ 0，（15）最大ω∈OhmnXi=1λigi（ω）+λf（ω）！≥ 我们可以将公式（15）简化如下。引理1。

允许Ohm 是一个有限集，D={g，…，gn}是一组避免必然损失的理想赌博，f是另一个理想赌博。然后，D∪ {f} 避免sureloss当且仅当所有n∈ N、 gi公司∈ D和λ，λn≥ 0，（16）最大ω∈OhmnXi=1λigi（ω）+f（ω）！≥ 0.证明。如果式（15）中的λ=0，则式（15）可以满足，因为D避免了确定损失。否则λ>0，对于所有i，λi≥ 0，soλi/λ≥ 因此，等式（15）等于（17）maxω∈OhmnXi=1λiλgi（ω）+f（ω）！≥ 0。因此，D∪ {f} 当且仅当等式（16）成立时，避免确定损失。接下来，我们给出了一种方法，不仅可以检查避免D的确定损失∪ {f}，但也可用于确定最严重的案例损失，这将在第4节的后面部分有用。定理4。让f∈ L(Ohm) 设D={g，…，gn}是一组避免重复损失的期望赌博。然后，D∪ {f} 仅当且仅当ifED（f）时，避免必然损失≥ 0、IfD∪ {f}不能避免确定损失，则存在λ≥ 0, . . . , λn≥ 0，使得f+Pni=1λigi，这是理想赌博的组合，导致至少| ED（f）|的损失。证据见附录B。注意，根据定义5，定理4也可以应用于P。使用DESIRABILITY 73评估下注几率和免费优惠券。下注方案在本节中，我们将解释分数下注赔率是如何工作的，并将研究两种情况：（i）客户下注于一个赌客，（ii）客户下注于多个赌客。在这两种情况下，我们都将下注几率视为一组合意的赌博，并检查这样一组赌博是否避免了确定的损失。3.1. 与一家博彩公司打赌。在英国，博彩公司通常对客户感兴趣的活动的可能结果提供分数赔率。例如，在2016年欧洲足球锦标赛上，客户对冠军感兴趣。假设一家博彩公司将奥德森法国设为9比2，一位客户接受这一赔率。