基于Tsallis相对熵风险的金融投资组合

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英文标题：
《Financial Portfolios based on Tsallis Relative Entropy as the Risk
  Measure》
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作者：
Sandhya Devi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Earlier studies have shown that stock market distributions can be well described by distributions derived from Tsallis entropy, which is a generalization of Shannon entropy to non-extensive systems. In this paper, Tsallis relative entropy (TRE), which is the generalization of Kullback-Leibler relative entropy (KLRE) to non-extensive systems, is investigated as a possible risk measure in constructing risk optimal portfolios whose returns beat market returns. Portfolios are constructed by binning the risk values and allocating the stocks to bins according to their risk values. The average return in excess of market returns for each bin is calculated to get the risk-return patterns of the portfolios. The results are compared with those from three other risk measures: 1) the commonly used \'beta\' of the Capital Asset Pricing Model (CAPM), 2) Kullback-Leibler relative entropy, and 3) the relative standard deviation. Tests carried out for both long (~18 years) and shorter terms (~9 years), which include the dot-com bubble and the 2008 crash periods, show that a linear fit can be obtained for the risk-excess return profiles of all four risk measures. However, in all cases, the profiles from Tsallis relative entropy show a more consistent behavior in terms of both goodness of fit and the variation of returns with risk, than the other three risk measures.
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中文摘要：
早期的研究表明，股票市场分布可以很好地用Tsallis熵的分布来描述，Tsallis熵是Shannon熵对非广义系统的推广。本文研究了将Kullback-Leibler相对熵（KLRE）推广到非广义系统的Tsallis相对熵（TRE），作为构建收益优于市场收益的风险最优投资组合的一种可能的风险度量。投资组合是通过对风险值进行分类并根据风险值将股票分配到分类箱来构建的。计算每个bin超过市场回报的平均回报，以获得投资组合的风险回报模式。结果与其他三种风险度量的结果进行了比较：1）资本资产定价模型（CAPM）常用的“β”，2）Kullback-Leibler相对熵，以及3）相对标准差。对长期（约18年）和短期（约9年）进行的测试（包括网络泡沫和2008年崩溃期）表明，所有四种风险度量的风险超额收益曲线都可以得到线性拟合。然而，在所有情况下，与其他三种风险度量相比，Tsallis相对熵的曲线在拟合优度和收益随风险的变化方面表现出更一致的行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Financial_Portfolios_based_on_Tsallis_Relative_Entropy_as_the_Risk_Measure.pdf (787.88 KB)

2022-6-11 10:23:31 上传

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关键词：投资组合 金融投资 SAL TSA distribution

基于Tsallis相对熵的投资组合1基于Tsallis相对熵作为风险度量的金融投资组合Sandhya DeviEdmonds，WA，98020，美国电子邮件：sdevi@entropicdynamics.com文摘：早期的研究表明，股票市场分布可以用Tsallis熵得到的分布很好地描述，Tsallis熵是Shannon熵对非广义系统的推广。本文研究了将Kullback-Leibler相对熵（KLRE）推广到非广义系统的Tsallis相对熵（TRE），作为构建收益优于市场收益的风险最优投资组合的一种可能的风险度量。投资组合是通过对风险值进行分类并根据风险值将股票分配到分类箱来构建的。计算每个bin超过市场回报的平均回报，以获得投资组合的风险回报模式。结果与其他三种风险度量的结果进行了比较：1）资本资产定价模型（CAPM）常用的“β”，2）Kullback-Leibler相对熵，以及3）相对标准差。对长期（约18年）和短期（约9年）进行的测试（包括网络泡沫和2008年崩溃期）表明，所有四种风险度量的风险超额收益曲线都可以得到线性拟合。然而，在所有情况下，与其他三种风险度量相比，Tsallis相对熵的曲线在拟合优度和收益随风险的变化方面表现出更一致的行为。关键词：非广义统计、Tsallis相对熵、Kullback-Leibler相对熵、，-高斯分布，资本资产定价模型，贝塔，风险最优投资组合，经济物理学1。

在资本资产管理中，风险最优投资组合通常基于使用协方差 定义于现代投资组合理论[1]和资本资产定价模型（CAPM）[2][3][4][5][6]或简单的标准差 作为波动性度量。这些衡量标准基于有效市场假说[7][8]，根据该假说，a）投资者拥有所有可用信息，并利用这些信息独立做出理性决策；b）市场对所有可用信息的反应迅速达到均衡；c）在这种均衡状态下，市场具有正态分布。在这些条件下，股票j的回报与市场回报呈线性相关[9]asShell International Exploration and Production Co.（退休）Tsallis基于相对熵的投资组合2                                                                                                     （1a） 风险参数由                                                                                                  （1b）其中 是的相关系数 和, 和 和 是否为 和.  拦截是的值 什么时候 为零，因此可被视为股权高于市场回报的超额回报。回归 在一段时间内 定义为                                                                （1c） 是当时的股票价值  1972年，Black、Jensen和Scholes[10]对资本资产定价模型的有效性进行了实证检验，他们研究了1931-1965年间纽约证券交易所35年来所有股票的月度回报。通过组合估计的风险参数构建投资组合 并根据风险参数为每个仓位分配库存。

长期（35年）结果显示，超额投资组合回报率之间存在高度线性关系 和bin风险参数 坡度略为正。这表明风险较高的股票投资组合产生的超额收益略高。然而，当测试时间较短（约9年）时，超额收益与 仍然是线性的，但斜率是非平稳的，在某些时期甚至为负值。事实上，CAPM的假设有多真实？观察表明，市场是一个复杂的系统，是相互作用的主体（例如，羊群行为）、投机和/或对小消息采取冲动行为的交易者等决策的结果。这种集体/混沌行为可能导致系统的剧烈波动，使其偏离平衡，进入非线性区域。此外，股市收益率呈现出比正态分布更为复杂的分布。它们有尖锐的山峰和肥硕的尾巴（图1）。因此，需要定义一个不受CAPM约束的风险度量。有一些出版物认为熵就是这样一种风险度量。在统计力学中，熵是热力学系统未知微观构型数量的量度，与温度、压力、体积等可测量宏观量一致。它是系统不确定性的量度【11】【12】。1948年，Shannon将熵的概念作为不确定性的度量应用到信息理论中，推导出Shannon熵[13]。在金融学中，熵作为一种风险度量，有几个特点使其更具吸引力。它比标准差更一般，因为它取决于概率。

根据使用的熵类型，它能够捕捉股票收益动态中的非线性【16】。关于熵在金融学中的应用，参见文献[17]。Tsallis基于相对熵的投资组合3有几项实证研究比较了Rényi熵和Shannon熵[18][19]与其他指标（尤其是 和) 关于投资组合预期回报。结论是[19]，从长期来看，来自Rényi熵和Shannon熵的风险最优投资组合的方差显著低于来自Rényi熵和Shannon熵的风险最优投资组合 或  在这项工作中，我们研究了使用Tsallis相对熵（TRE）[20]、Kullback-Leibler相对熵（KLRE）[21]、beta和相对标准差作为构建风险最优投资组合的风险度量，并将结果与CAPM的结果进行比较。在Black、Jensen和Scholes[10]的CAPM测试中，投资组合收益和风险参数是相对于市场收益和风险定义的。因此，要测试的任何新风险度量以及与CAPM结果的比较也必须是相对的。一些研究[22][23]表明，与CAPM假设（即有效市场假设）相关的问题可以使用基于Tsallis熵的统计方法解决[24]，这是Shannon熵对非广泛系统的推广。这些方法最初用于研究经典和量子混沌、远离平衡的物理系统，如湍流系统（非线性）和长程相互作用的哈密顿系统。然而，在过去几年中，人们对应用这些方法来分析金融市场动态也产生了相当大的兴趣。此类应用属于经济物理学的范畴【25】。

论文的其余部分组织如下。在第2节中，介绍了Tsallis相对熵，以及Tsallis熵和-讨论了高斯分布。TRE与A的参数之间的关系-导出了高斯分布。第3节讨论构建风险最优投资组合的数据和方法及其结果。第4节给出了结论。在本文中，我们交替使用术语波动性和风险。严格地说，应该使用术语波动率，因为我们只使用股票价格时间序列进行分析。然而，在文献中，术语风险也被用来表示波动性。收益按（1c）中的定义计算。预期回报一词用于表示预测平均回报。理论2.1 Tsallis统计综述Tsallis熵是Shannon熵的推广                                                                                                   （2） 到非扩展系统。由以下人员提供                                                                                                                   （3） Tsallis基于相对熵的投资组合4，其中 是条件下第i个样本的概率密度函数 以及 对数 由给出                                                                                   （4） 缩放参数 是一个通用参数，但其值可能会因系统而异。

将（4）替换为（3），我们得到：                                                                                       （5） 与香农熵不同，Tsallis熵服从伪加性                                        （6） 缩放参数表示系统的非扩展性范围。像 → 1、恢复了香农熵的可加性。考虑随机变量的连续情况, 我们可以证明 关于 在以下限制条件下：                                                                                                        （7a）                                                    （7b）                                              （7c）给出了Tsallis-高斯分布：                        (8)  是规范化。和 分别是约束（7b）和（7c）的拉格朗日乘数。期望值 在（7b）和（7c）中–期望值。

方程式（8）可重新写入-高斯形式                                                         （9a）                                                                                                           （9b）Tsallis基于相对熵的投资组合5                                                                                                （9c）规范化 由给出                                                        （10a）                                                                                                  （10b）此处 是gamma函数。注意，在极限  , 可以看出，Tsallis熵和相应的-高斯分布分别为香农熵和高斯分布。如早期出版物【26】中详细描述的，参数,  和 使用最大似然估计（MLE）方法进行估计【27】。为了完整性，这里给出了MLE方程。为了简洁起见，表示     和   的MLE方程, , 和 由给出                                                       （11a）                                                                                                          （11b）                                                                        （11c）此处，     N是样本数。重量 已规范化。方程（11a）–（11c）是非线性的，必须通过数值求解。详情见【26】。

我们将表示,  和 像,  和 分别地Tsallis基于相对熵的投资组合6很容易验证         和 分别为. 2.2 Tsallis相对熵Tsallis[20]对Kullback-Leibler相对熵的推广                                                                             （12） 非扩展系统的                                                                  （13） P和R是规范化PDF。使用 （4）中给出，                                                             （14） 以下是:  1、不对称性：                                                                                                        (15)  2.  非负性【28】：自 是的凸函数 > 0                 (16)  3.  伪可加性[28]：                                                                                                   （17） 前两个性质也适用于KL相对熵。基于Tsallis相对熵的投资组合7方程（17）表明了TRE对相关系统的适用性。像  ,  伪可加性成为可加性            2.3 Tsallis q-高斯相对熵根据数据直方图直接计算方程（12）和（13）中定义的相对熵有几个问题：1。它们取决于直方图中箱子的数量。2.

相对熵仅在 和 3. 仅当 在所有重叠的箱子中均为非零。这同样适用于 但对于>这使得用于计算相对熵的样本数量非常稀少，因此稳定性和准确性受到质疑。但是，如果两者都 和 可以很好地配合-高斯分布，相对熵的解析表达式可以根据这些分布的参数推导出来。在早期的研究中【26】我们已经表明，金融市场回报分布（标准普尔500指数和纳斯达克指数）可以通过-高斯分布，即使在网络泡沫和2008年崩溃期间也是如此。如果个人股票收益的分布也可以由-高斯，那么我们就可以推导出个人股本的TRE的解析公式 关于市场.  图2显示了标准普尔500指数和随机选择的五只股票（均来自标准普尔500指数和纳斯达克）的月度回报率百分比，以及与-高斯分布。目视检查表明配合很好。然而，为了量化“拟合优度”，Kolmogorov-Smirnov（KS）[29]进行了测试。简而言之，这涉及确定经验和合成之间的最大绝对距离Dmax-高斯累积分布函数（CDF）。如果Dmax小于临界距离，则拟合良好. 构造合成的详细信息-高斯和确定Dmax和 见【26】。Dmax和 对于标准普尔500指数和随机选择的五只股票，如图2所示。在所有情况下，Dmax均< 表明即使是单个股票的收益分布也可以用-高斯分布。