基于Tsallis相对熵风险的金融投资组合

根据方程式（9）和（10），Tsallis-市场指数R和单个股票P的收益率的高斯分布可以写成                                           （18） 以及                                          （19） Tsallis基于相对熵的投资组合8规范化 和 由给出             参数 根据参考分布R估计。所有三个参数,  和 估算R。仅P 和 估计使用 参考分布的。如附录所示，Tsallis相对熵现在由                          （20） 在这里  .  在极限内  ,   ,     和 , 哪里 是相对标准偏差，给出KL相对熵                              (21)  根据估计的参数进行评估,  和  前两个矩用于计算 请注意 非线性地取决于回报，因为 和 对收益具有非线性依赖性（方程式（11b）和（11c））。（20）中的前两项仅取决于广义标准差。第三项是广义平均收益中的距离项（与相关性互补）。正如CAPM中所述，这是一种系统性风险。因此，Tsallis相对熵结合了标准差和CAPM风险度量的各个方面，并解决了股票动态的非线性问题。3.

数据、方法和结果3.1数据对于本研究，我们考虑2000年1月4日至2018年5月30日的每日库存数据。参考市场指数被选为标准普尔500指数。对于投资组合构建，我们考虑了2018年标准普尔500指数中基于相对熵的投资组合9种证券。数据针对股息和拆分进行了调整。尚未尝试更正通货膨胀数据。3.2本研究中四种风险度量（Tsallis相对熵、Kullback-Leibler相对熵、β和相对标准差）的性能测试方法), 遵循两个与Black、Jensen和Scholes【10】所描述的程序有些相似的程序。具体步骤如下。程序一我们只考虑截至2018年的标准普尔500指数中的证券，这些证券的数据可以追溯到1995年1月。这为我们提供了大约340只股票，用于程序I中的所有周期，该股票列表保持不变。每个周期包括以下三个步骤：a）周期开始日期之前的五年数据（例如，2000年1月4日是第一个周期的开始日期）用于估计参考市场指数标准普尔的风险模型参数500和每种证券。根据模型参数计算相对熵风险度量值。预期回报率计算为未来六个月（任意选择）证券的平均月回报率（定义见（1c））。b） 然后将风险值装箱，并根据其风险值将证券分配给每个bin，以便每个bin中有相同数量的证券。请注意，这使得箱子宽度可变。每个bin中的证券集可以被视为一个投资组合。

每个bin的风险值被视为bin的中心值。所有循环的料仓数量保持不变。c） 假设在每种证券上投资的金额相等，则计算每个bin中投资组合超过标准普尔500指数预期回报的预期回报。这给出了每个投资组合的风险回报值。然后将数据移动六个月，并在下一个周期中重复步骤a）-c）。这个 然而，每年都会对价值进行估算。该过程将继续，直到所有数据都用完为止。在所考虑的数据期内，这为我们提供了每种证券的36个月平均回报率样本。请注意，每次移动数据时，步骤b）中每个箱子的内容都可能发生变化（即使每个箱子中的库存数量在步骤I中保持不变）。此外，在步骤c）中，每六个月对每个bin进行一次重新平衡，以便在每个证券上投资等量的资金。这意味着，如果在实践中应用此程序，将每六个月出售一些证券，购买其他证券，以执行步骤b）和c）。对投资组合回报的影响所有基于相对熵的投资组合10，由于此类买卖产生的交易成本以及对已实现收益征收的税款，本研究不包括在内。最后，在所有36个月平均收益样本中进一步平均每个bin中的收益，并在所有周期中平均bin风险值。这为我们提供了最终的风险预期回报情况。我们将投资组合超过预期市场回报的预期收益表示为Erel。请注意，预计装箱程序可将估计误差对投资组合绩效的影响降至最低。

程序二：对于每个周期，我们使用截至2018年的标准普尔500指数中的证券，这些证券的数据在周期开始日期前五年，例如，第一个周期的数据可以追溯到1995年1月。随着时间的推移，越来越多的证券进入计算。这使我们在第一个周期中有大约340只股票，在最后一个周期中增加到大约460只。程序II的其余部分与程序I类似，只是箱子宽度（在第一个周期中确定）不会随每个周期而变化，但每个箱子中的证券数量可以随每个周期而变化。该程序更接近Black、Jensen和Scholes【10】所述的程序，而不是每个bin中的证券数量保持不变的程序I。3.3拟合优度通过估计, 这是统计学中用来确定拟合优度的常用估计值之一。这个数量显示了风险回报模式与线性回归的接近程度。如果{s}是BIN的一组风险值和{e}相应的投资组合收益，那么                                                                       （22）这里 和 （截距和斜率）是线性拟合的参数，并且 是e的平均值。请注意，e的值越接近线性拟合，则 至1。3.4结果我们将首先讨论程序I的结果。图3显示了根据月度回报计算的Erel的长期行为与所考虑的四个风险度量的风险。期间为2000-2018年。请注意，在这一长时期内，所有四种情况下的线性拟合斜率均为正值，表明相对风险越大，相对回报越大。

这种行为与CAPM模型试验中观察到的行为相似【10】。这个 在所有情况下都具有可比性，TRE给出的值略好于其他值，且斜率更高。Tsallis基于相对熵的投资组合11图4显示了增加每个投资组合中证券数量（多样化）对投资组合长期绩效的影响。在TRE的情况下，我们观察到随着投资组合中证券数量的增加，绩效改善的一致行为。然而，其他风险措施并非如此。此外，在所有情况下，TRE的拟合优度都优于CAPM的beta拟合优度。Black、Jensen和Scholes[10]对短期（约9年）的CAPM测试表明，风险与回报之间的线性关系是内在的，而不是更好的统计结果。然而，风险回报模式是非平稳的，即每个时期的斜率和截距变化很大，在某些情况下，斜率甚至变为负值。在目前的工作中，我们对四个风险指标进行了类似的测试，将数据分为两个时期，每个时期为9年：a）2000-2009年和b）2009-2018年。请注意，参数估计始于五年前的数据：a）为1995-2004年，b）为2004-2013年。因此，第一个时间间隔仅涵盖网络泡沫时期和2008年崩盘的开始边缘。如图5所示 周期a）的值在1.24–1.45之间变化，表示相对平静。对于区间b），范围在1.4–1.74之间，表明非扩展性很强，可能存在混沌情况。因此，与文献[10]不同的是，这些测试着眼于在非常不同的市场条件下风险回报模式的内在行为。

图6显示了两个9年期的风险相对回报概况。首先，TRE表现得很好 在这两个时期内，其他三个指标都表现得很差 第一个期间的值。此外 斜率变化最大，从第一个周期的负值到第二个周期的正值。其他三种风险概况均显示出正斜率，而TRE在这两个时期之间的斜率变化最小。因此，这些测试表明，基于TRE的配置文件显示出非常一致的行为，即使在可能包括混乱市场情况的时期。我们现在将讨论程序II的结果。如前所述，在这种情况下，进入计算的股票数量会随着时间的推移而增加。这意味着每个仓位中有更多的库存，因此有更好的统计数据，也可能有更好的表现。图7显示了步骤a）的每个五年窗口中用于投资组合构建的证券数量，作为年份的函数。图8显示了从月收益率与四个风险指标计算出的Erel的长期行为。与前一步骤一样，所有四种情况下的线性拟合斜率均为正值，表明相对风险越大，相对回报越大。除非发生以下情况：, 所有措施都显示出更好的. 然而，在所有风险度量中，TRE给出了最好的 和最高坡度。具有的配置文件 正如风险度量显示的最坏情况 坡度最小。图9显示了2000-2009和2009-2018这两个较短期限的结果。与程序I一样，风险回报模式显示斜率的最大变化，从第一个周期的负值到第二个周期的正值。

这种波动也解释了长期（18年）内拟合优度和回报（小斜率）表现不佳的原因。然而，TRE在这两个时期的表现在更好的 与其他风险度量相比，基于价值和Tsallis相对熵的投资组合有12个更高的正斜率（高风险的回报更高）。这再次表明，基于TRE的投资组合在不同股市特征的时期表现一致。总结与结论在这项工作中，我们提出了Tsallis相对熵（TRE）作为一种新的风险度量，用于选择收益超过市场收益的风险最优投资组合。因为市场（标准普尔500指数）和个股的收益分布可以很好地拟合-高斯分布，TRE可以用-高斯分布。这缓解了基于直方图的相对熵估计中遇到的几个问题（如2.3所述）。此外，分析表达式表明，TRE以非线性方式同时具有CAPM和标准差风险度量的方面。将TRE作为一种风险度量的绩效与其他三种风险度量的绩效进行比较：KLRE、CAPM的beta和相对标准差。KLRE作为极限  TRE的情况。这些实证测试中的观察结果之一是TRE的一致性行为。从长期来看，尽管所有风险衡量指标都与收益呈线性关系，但TRE给出了 和最高坡度。

在短期内，包括市场特征迥异的时期（泡沫和崩溃），衡量KLRE，, 相对标准差表现出完全不同的行为。这一点在程序II的结果中尤其明显，该程序具有更好的统计数据。最大的变化表现在 斜率从第一个周期的负值变为第二个周期的正值。这种行为的变化会降低长期绩效，也会降低拟合优度和回报率。然而，TRE在良好方面表现出一致的行为值和最高正斜率，即使在这些较短的时间间隔内。这些结果表明，使用TRE作为风险度量，即使在可能包括泡沫和崩溃等混乱情况的时期，也有可能构建回报率超过市场回报率的投资组合。这项工作中的实证研究表明，在定义风险度量时，考虑到股市动态的非线性和相关性非常重要。TRE就是这样一种衡量标准，可能有助于构建投资组合，其回报在长期和短期投资中都表现出预测性的风险回报行为。这就引出了一个问题，即持有收益率超过市场的投资组合的“时间”有多短。这取决于市场动态的放松时间。在Tsallis统计的情况下，可以通过估计[24][30][31].

然而，这是未来研究的主题。Tsallis基于相对熵的投资组合13感谢Sherman Page对手稿的批判性阅读。基于Tsallis相对熵的投资组合14附录：Tsallis q-高斯相对熵的推导     和                                                                     （A1）Tsallis相对熵（14）的积分表示式如下：                                                           （A2）使用PDF 和 提交人：                                                              （A3）                                                                （A4）这里是规范化                                                                                           （A5）                                                                                          （A6）                                                                                     （A7）使用（A2）–（A6）：     =      =      使用：     Tsallis基于相对熵的投资组合15和           经过一番代数之后，可以写下：                           （A8）在书面形式（A8）中，我们使用了（A1）和 .   参考文献[1]Sharpe W F，1964年《资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论》，《金融杂志》，19425[2]Fama E F，1968年《风险、回报与均衡》，第号报告。

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