瞬时套利与CAPM

每个瞬时无风险交易策略几乎在任何地方都有瞬时预期的超额回报4风险价格，瞬时风险价格的CAPMA向量是一个适应的可测量的K维行向量值过程λ，因此- r'S='∑λ几乎无处不在。命题3陈述了瞬时无套利证券市场模型的主要特征。命题3以下陈述是等效的：1。（\'S，\'D）是即时套利自由一些作者，包括Nielsen[71999]，还要求λ∈ 五十、 2。存在风险3的瞬时价格向量。存在一种交易策略“ψ”，使得“u”- r'S='σ'σψ几乎在任何情况下，如果ψ是一种交易策略，如命题3（3）中的策略，那么根据下面的命题4，过程λ*=ψσ将是风险价格的最小向量，即对于任何其他风险价格向量λ，λ*λ*≤ λλ几乎无处不在。命题4假设λ是风险瞬时价格的向量，而ψ是一种交易策略，使得u- r'S='σ'σψ几乎无处不在。设置λ*=ψσ.

然后λ*λ*≤ λλ几乎每个地方都有。如果‘ 是一种交易策略，让b’是单个证券的基本贝塔系数的向量:b‘=σσσσ如果‘σσ6=00或者说一个交易策略’ 满足CAPM方程，如果|u- r’S=b’(u - 几乎无处不在。定理1（\'S，\'D）即时无套利当且仅当存在交易策略时 满足CAPM方程。定理1暗示，Black和Scholes[3，1973]中的套利论证和CAPM论证之间的区别在于：套利工具假设存在满足CAPM方程的投资组合，而CAPM论证则假设该投资组合是市场投资组合。附录A：大多数证明都在附录ix中。命题3的证明依赖于附录B中发展的“可测线性代数”的一些概念，最终形成命题7。命题1的证明：假设兰德·瑞奇几乎处处相同，这不是真的。在不损失一般性的情况下，假设r>ron是正测度集。通过b=1r确定交易策略b≥rM？b-M？b+ 1r>rM？b-M？b然后“b”S=1r≥r百万富翁-百万富翁+ 1r>r百万富翁-百万富翁= 1r级≥r毫米-毫米+ 1r>r毫米-毫米= 0？b？u=1r≥rM'b'u-M'b'u+ 1r>rM'b'u-M'b'u= 1r级≥rMrM公司-MrM公司+ 1r>rMrM公司-MrM公司= 1r级≥r（r- r） +1r>r（r- r） 在一组正测量值上，几乎每一个e都是非负的，并且“b”σ=1r≥rM‘b’σ-M‘b’σ+ 1r>rM‘b’σ-M‘b’σ= 0几乎无处不在。因此，“” 是一种零价值瞬时套利交易策略，一种矛盾。几乎所有人都是一样的，这很罕见。这意味着M/M（0）和M/M（0）是不可区分的。引理1设“b”为具有价值过程的货币市场账户。假设“D”∈ L（1/M）。让‘ 成为一种交易策略。

交易策略“Θ=” + D;\'S/M，\'D1/M“bis自我融资”S/M=G;\'G1/M如果‘ 是一种即时套利交易策略，那么“Θ”也是。证据：显而易见Θ;\'S/M，\'D1/M= D;\'S/M，\'D1/M-D;\'S/M，\'D1/M= 0这意味着“Θ”是自筹资金。进程d;\'S/M，\'D1/M\'bhas关于（\'S/M，\'D1/M）的零累积收益过程。因此，’S/M=GΘ;\'G1/M= G;\'G1/M观察“u”（“u- r（S）=(u - r（S）和σ=“”“∑几乎无处不在。因此，如果’ 是一种即时套利交易策略，那么“Θ”也是。命题2的证明：注意陈述（4）等同于以下内容是有用的：（5）不存在交易策略’ 这样，在一组正度量上，“”σσ= 0和‘(u - 很明显，（5）在命题中暗示了陈述（4）。相反，为了证明（4）意味着（5），假设存在一种交易策略’ 如（5）所示。让A Ohm ×T是（ω，T）的集合，使得‘（ω，t）（(R)u（ω，t）- r（ω，t）(R)S（ω，t））>0那么，指标函数1a是一个可测量和适应的过程，并且Ais是可测量的。通过“定义”来定义流程 在A上，且A外的“Θ=0”。那么“Θ”是可测量和适应的，并且，它是一种交易策略。

这是一种即时无风险的交易策略，在一组正测度上具有正的即时预期超额回报，与（4）相矛盾。（2） 等价于（3）：遵循引理1。（5） 暗示（2）：显而易见。（2） 暗示（1）：如果（\'S，\'D）不是瞬时无套利的，则存在一个零值瞬时套利交易策略，尤其是一个瞬时套利交易策略。（1） 暗示（5）：假设存在交易策略’ 这样，在一组正测量上，“”σσ= 0和‘(u - r（S）>0。让A Ohm ×T是（ω，T）的集合，使得‘（ω，t）’σ（ω，t）’σ（ω，t）（ω，t）= 0和‘（ω，t）（(R)u（ω，t）- r（ω，t）(R)S（ω，t））>0那么，指标函数1a是一个可测量和适应的过程，并且Ais是可测量的。定义一个流程 -“SM”bon A和“Θ=0（A外）。然后“Θ”是可测量和调整的，因此，它是一种战略。在A上，\'Θ\'σ\'\'σΘ= 0，\'S=\'\'\'S-“SM”b“S=0和“u=”u -“SM”b“u=”(u - r（S）>0在A之外，’Θ=0，因此，’Θ’σ’’σΘ= 0，’S=0，’u=0。这意味着“Θ”是一种零价值瞬时套利交易策略。因此，（\'S，\'D）并非即时无套利。命题3的证明：（3）意味着（2）：集λ=’σ′ψ。（2） 暗示（1）：如果即时套利交易策略 存在，则‘(u - r'S）='δ'σλ= 几乎到处都是矛盾。（1） 暗示（3）：从提案2顶部的（5），我们知道不存在交易策略 这样，在一组正度量上，“”σσ= 0和‘(u -r'S）=1从附录B中的命题7可以看出，存在一个适应的、可测量的过程（交易策略）'ψ，使得'u- r'S='σ'σψ几乎无处不在。命题4的证明：观察（λ-ψσ)σ= (u - r（秒）- λ*σ= 0几乎无处不在。

因此，λλ= [(λ -ψσ) +ψσ][(λ -ψσ) +ψσ]= (λ -ψσ)(λ -ψσ)+ψσσψ≥ψσσψ= λ*λ*几乎无处不在。定理1的证明：假设交易策略 存在。选择可测量集N Ohm ×T，零测量值为|u- r’S=b’(u - r（S）在N之外。假设γ是一种交易策略，在一组正测度C上，\'γ\'σ\'σγ= 0和γ（u-r（S）>0。然后是u-r 6=0，因此σσ> 0在C上，但在γ（(R)u）上- r’S）=‘γb’(u - r'S）=γ'σ'σσσ(u - r（S）=0在C上\\N是一个矛盾。相反，如果（\'S，\'D）是即时无套利的，那么它遵循命题3，即存在交易策略 使'u- r'S='σ'σ几乎无处不在。选择可测量集N Ohm ×T，零测量值为|u- r'S='σ'σN.SetA之外={（ω，t）∈ Ohm ×T：“”（ω，t）’σ（ω，t）’σ（ω，t）（ω，t）> 0}和b={（ω，t）∈ Ohm ×T：“”（ω，t）’σ（ω，t）’σ（ω，t）（ω，t）= 0}那么指标函数1A1和1B是可测量的，并且经过调整的过程，尤其是A和B是可测量的。在B上\\N，(R)u- r'S='σ'σ= 0=b’(u - r（S）上的- r'S='σ'σ=(u - r（S）σσσσ= b‘(u - r（秒）B附录B：可测线性代数一个线性方程可能有零个、一个或无限多个解。

本附录表明，在至少存在一个解的情况下，可以选择一个特定的解作为方程参数的可测函数。在参数为随机过程的情况下，我们给出了解过程存在性的对偶刻画。勒坦，K RM×RM×Kbe一个M维列向量y和一个（M×K）维矩阵V的对（y，V）的集合，使得y在V的列的跨度内，或者等价地，使得存在一个K维列向量x，y=V x。命题5该集合AM，Kis是可测的，并且存在一个可测映射φM，K:AM，K→ RKsuch对于所有（y，V），y=Vφ（y，V）∈ AM，K。命题5通过换位直接从下面的命题6跟随s。LetBM，K RK×RM×Kbe K维行向量y和（M×K）维矩阵V的对（y，V）的集合，使得y在V的行的跨度内，或等效地，使得存在y=xV的M维行向量x。命题6集合BM，Kis是可测的，存在可测映射ψM，K:BM，K→ rm使得所有（y，V）的y=ψ（y，V）V∈ BM，K。在一系列引理之后，将在下面给出P位置6的证明。命题7让Y和∑分别是RMAN和RM×K中具有值的可测量过程。当且仅当在一组正测度上不存在一个值为rmzy=1和Z∑=0的自适应可测过程Z时，存在一个Rk中的值为Y=几乎处处∑X的自适应可测过程X。证明：通过命题5，AM，Kis可测，以及映射pingφM，K:AM，K→ Rk是可测的，并且对于所有（y，V）具有y=VφM，K（y，V）的性质∈ AM，K.If（Y，∑）∈ AM，Kalmost，然后定义X=φ（Y，∑）。那么X是可测量的和可调整的，并且Y=几乎每个e都是∑X。因此，存在一个类似于X的过程。假设存在像X这样的进程。

然后几乎到处都是，（Y，∑）∈ 如果存在类似Z的过程，则在一组正测度上，（Y，∑）6∈ AM，K，矛盾。因此，不存在类似Z的过程。最后，如果不存在像Z这样的过程，那么（Y，∑）∈ AM，Kalmest无处不在。为了证明这一点，假设（Y，∑）6∈ AM，Kon一组正测量值。设B为（Y，∑）6的集合∈ AM，K。然后，过程1b是可测量和调整的。根据提案6，BM，K+1 RK+1×R（K+1）×不可测，映射ψM，K+1:BM，K+1→ 对于所有（y，V），rm具有（1，0）=ψM，K+1（（1，0），（y，V））（y，V）的性质∈ RM×RM×Ksuch that（（1，0），（y，V））∈ BM，K+1。根据初等线性代数，这些正是（y，V），使得（y，V）6∈ AM，K。在B之外用Z=0定义过程Z，在B上用Z=ψM，K+1（（1，0），（Y，∑））。Sin-ce 1是可测量和适应的，在B上用Z，（1，0）=Z（Y，∑），相当于ZY=1和Z∑=0。我们继续证明命题6。让0≤ r≤ 最小值{M，K}。引理2说，我们可以以可测量的方式选择一组秩为r的（M×K）维矩阵行的r独立线性组合 RM×Kdenote具有rankr的（M×K）-维矩阵集。那么▄Dris是RM×K引理2的一个可测子集。存在一个可测映射h：▄Dr→ Rr×M每个V∈Dr，H（V）V的行与V的行跨越Rk的相同线性子空间。证明：让jbe表示第一个数字{1，…，M}，这样第j个rowVj-V的值为非零。L et jbe第一个数{j+1，…，M}，例如Vj-和Vj-是线性独立的。每当j，jn已被压缩，n<r，让jn+1是{jn+1，…，M}中的第一个数，如Vj-和Vjn+1-都是独立的。为每个i=1，…，设置H（V）i=ejif，r、 那么H是一个可测映射，对于每个i=1。

，r，H（V）iV=ejiV=Vji-因此，H（V）V的r行是V行的线性独立子集。引理3指出，可以以可测量的方式对秩为r的（r×K）维矩阵的行进行正交规范化。LetDr公司 Rr×Kbe秩为r的矩阵集。引理3存在一个可测映射：Dr→ Rr×R每个V∈ Dr，G（V）V的行是正交的，并且与V的行位于Rk的同一线性子空间。证明：我们将使用Gramm-S chmidt正交归一化过程来构造G和映射θ：V 7→ G（V）V：Dr→ Rr×K同时。映射θ是可测的，并且对于每个V∈ Dr，θ（V）的行是正交的，并且与V的行具有相同的跨度。为了符号的简单性，在这个证明中，写Vi=Vi-对于V的第i行，写入θi=θ（V）i-对于θ=θ（V）的第i行，i=1，r、 集合x=Vandθ=kxkxθ是V的一个可测函数。SetG=kxk（1，0，…，0），然后是V的可测量函数，gv=kxkV=θ接下来，投影Vonθ，让xbe为残差，让θ为归一化期望值。具体而言，V=t2,1θ+x，其中xis与θ正交。现在，Vθ= t2,1θθ+ xθ= t2,1θθ所以t2，1=Vθθθ这是V的一个可测函数。此外，x=V- t2,1θ6=0，因为Vandθ是独立的。设θ=kxkxθ是V的一个可测函数。SetG=kxk[（0，1，0，…，0）- t2,1G]然后是V的可测量函数，GV=kxk[V- t2,1θ]=kxkx=θ一次θ，已选择θnhave，其中n<r，则构造θn+1电导。θ上的项目V（n+1），θn，设xn+1为残差，θn+1为归一化残差。具体而言，Vn+1=nXj=1tn+1，jθj+xn+1，其中xn+1与θjj正交，对于j=1，n、 现在，对于k=1，n、 Vn+1θk=nXj=1tn+1，jθjθk+xn+1θk=tn+1，kθkθkso thattn+1，k=Vn+1θkθkθK是V的可测函数。

此外，xn+1=Vn+1-nXj=1tn+1，jθj6=0，因为Vn+1不是由θ…跨越的，θn.设置θn+1=kxn+1kxn+1然后θn+1是V的一个可测量函数。SetGn+1=kxn+1ken+1-nXj公司-1tn+1，jGj那么Gn+1是V的一个可测函数，Gn+1V=kxn+1kVn+1-nXj公司-1tn+1，jθj=kxn+1kxn+1=θn+1这就完成了G和θ的构造。命题6的证明：对于每个r，0≤ r≤ 最小值{M，K}，letBr={（y，V）∈ BM，K：秩（V）=r}然后是Bris可测的，而BM，Kis可测的，因为BM，K=min{M，K}[r=0br要完成证明，必须证明对于每个r，0≤ r≤min{M，K}，存在可测映射ψr:Br→ rm使得所有（y，V）的y=ψr（y，V）V∈ Br。LetH：▄Dr→ Rr×Mbe引理2的映射，letG:Dr→ Rr×rbe引理3的映射。然后映射j：~Dr→ Rr×M:V 7→ G（H（V）V）H（V）是可测的，并且具有对于每个V∈Dr，J（V）V的r行是正交的，或等效的，J（V）V VJ（V）= （r×r）维单位矩阵。此外，J（V）V的行跨越RKas的相同线性子空间，即V的行。因此，如果（y，V）∈ Br，那么就有z了∈ rr使得y=zJ（V）V。这个小鬼撒谎说J（V）= zJ（V）V VJ（V）= zandy=zJ（V）V=yVJ（V）J（V）VDe定义映射ψr:Br→ RMbyψr（y，V）=yVJ（V）J（V）然后ψris可测，对于所有（y，V）∈ Br，ψr（y，V）V=yVJ（V）J（V）V=y参考文献【1】F.黑色。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3:167–1791976。[2] F.黑色。我们是如何得出期权公式的。《港口管理杂志》，15（2）：4–8，1989年冬季。[3] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637–6541973年。[4] D.Du ffe.Black、Merton和Scholes是他们对经济学的主要贡献。《斯堪的纳维亚经济杂志》，100（2）：411-4241998年6月。[5] R.C.默顿。理性期权定价理论。

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