瞬时套利与CAPM

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英文标题：
《Instantaneous Arbitrage and the CAPM》
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作者：
Lars Tyge Nielsen
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper studies the concept of instantaneous arbitrage in continuous time and its relation to the instantaneous CAPM. Absence of instantaneous arbitrage is equivalent to the existence of a trading strategy which satisfies the CAPM beta pricing relation in place of the market. Thus the difference between the arbitrage argument and the CAPM argument in Black and Scholes (1973) is this: the arbitrage argument assumes that there exists some portfolio satisfying the capm equation, whereas the CAPM argument assumes, in addition, that this portfolio is the market portfolio.
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中文摘要：
本文研究了连续时间瞬时套利的概念及其与瞬时CAPM的关系。不存在瞬时套利相当于存在满足CAPM贝塔定价关系而不是市场的交易策略。因此，Black和Scholes（1973）中的套利论证和CAPM论证的区别在于：套利论证假设存在满足CAPM方程的投资组合，而CAPM论证另外假设该投资组合是市场投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：CAPM APM cap Mathematical Quantitative

即时套利和CAPMLars Tyge NielsenDepartment of MathematicsColumbia University 2019年1月*本文研究了连续时间瞬时套利的概念及其与瞬时CAPM的关系。没有即时套利相当于存在一种交易策略，满足市场计划中的CAPM贝塔定价关系。因此，Black和Scholes[3，19 73]中的套利论证和CAPM论证之间的区别在于：套利工具假设存在满足CAPM方程的投资组合，而CAPM论证另外假设该投资组合是市场投资组合。本文研究了连续时间内即时套利的概念及其与瞬时CAPM的关系。即时套利交易策略是一种ins无风险交易策略，其ins无风险预期超额收益总是非负的，有时是正的。如果不可能构建零价值即时套利交易策略，我们将市场定义为无即时套利市场。该定义独立于任何潜在非唯一利益的选择*2006年5月之前的版本是利率过程，因为对于零价值（零成本）的交易策略，超额回报等于回报，不涉及利率。如果根据这一定义，市场不存在瞬时套利，那么任何利率过程都是唯一的，因为两个货币市场账户必须具有几乎处处相同的相关利率过程。一旦确定了特定的利率过程，就可以通过各种等效的方式确定是否存在瞬时套利。

这相当于不存在套利交易策略（无论是否为零值），也不存在自融资套利交易策略。这也相当于几乎在任何地方，每种瞬时无风险交易策略的预期超额收益率都为零的条件。除了可以确定的各种方式外，没有即时套利相当于存在风险价格向量，也相当于存在分散度是风险价格因子的交易策略。这种交易策略的分散实际上是风险价格的最小向量，因为其欧氏长度小于任何其他风险价格向量的欧氏长度。最重要的是，没有即时套利相当于存在满足CAPM贝塔定价关系的交易策略。根据CAPM，在均衡状态下，任何资产的预期超额回报率等于其相对于市场投资组合的贝塔系数乘以市场投资组合的预期超额回报率。众所周知，即使市场不处于均衡状态，这种资本关系也可能由市场投资组合以外的投资组合来满足。事实上，Roll[91977]表明，无论均衡假设如何，当且仅当投资组合位于均值-方差边界时，投资组合满足资本相关。在连续时间内，同样真实的是，一些投资组合可能会满足C APM关系，即使市场不满意，即使市场不均衡。所需要的是，市场应该没有即时套利机会。

本文的主要结果（如定理1所述）表明，存在满足CAPM关系的交易策略，当且仅当市场无staneouslyarbitrage时。这揭示了Black和Scholes【3，1973】在推导偏微分方程时使用的两种相互竞争的方法：无瞬时套利和CAPM。布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes）[31973]将瞬时套利的争论归因于罗伯特·C·默顿（RobertC.Merton）。另见Black[21989年2月]。默顿在【1973年5月】中使用了argum ent。杜菲（1998年4月）写道，它“真正革命性地改变了现代金融理论”，谢弗（1998年10月）将其描述为“开创性的”和“批判性的”观察。我们的结果表明，虽然不存在即时套利的假设比市场满足CAPM关系的说法要弱一些，但这并没有本质上的区别，因为它完全等同于某些交易策略满足C APM关系的说法。后者显然能够从Black和Scholes[3，1973]中的CAPM推导出PDE。回想一下，这些假设都不足以推导布莱克-斯科尔斯公式。参见尼尔森[7，1999，第6.12节]中的讨论。充其量，他们暗示着黑人-斯科尔斯PDE。然而，正如Black[11976]所承认的那样，PDE并没有唯一的解决方案。因此，PDEalone并不意味着期权价格必须由Black-Scholes公式给出。本文的组织结构如下。第2节描述了模型。这是一个连续的时间交易模型，它包含收益过程和一般的生命过程，如尼尔森[82007]所述。第3节以各种等效方式定义瞬时套利，并指出在瞬时无套利市场中，利率过程是唯一的。

第4节表明，不存在瞬时套利相当于存在风险价格向量，存在分散度为风险价格最小向量的交易策略，以及存在满足CAPM关系的交易策略。证明见附录A。它们涉及线性代数和测度理论的结合。因为我们处理的是随机过程，所以我们需要知道，当线性方程的解存在但不唯一时，如何选择它们，以便成为定义方程的向量和矩阵的可测函数。这些东西在附录B中有详细说明。特别是，没有瞬时仲裁的证明意味着交易策略的存在，其分散度是风险价格的向量，这依赖于对参数是可测量和适应过程的线性方程的可测量和适应解的存在性的双重表征。2证券和交易策略我们考虑一个不确定性由完整概率空间表示的证券市场(Ohm, F、 P）过滤F={Ft}t∈Tand-aK维度过程W，它是相对于F的维纳过程。累积红利过程是一个可测量的适应过程，D（0）=0。假设证券具有累积股息过程D和价格过程S。将该证券的累积收益过程G定义为价格过程和累积股息过程之和：G=S+假设G是It^o过程。因此，G将是连续的、自适应的和可测量的。

因为D是自适应的和可测量的，所以S也是。因为D（0）=0，G（0）=S（0）。（N+1）维证券市场模型（基于F和W）将是一对（\'S，\'D）可测量和适应的过程和D Imensionn+1的\'D，被解释为价格过程的向量和累积分割过程的向量，其中‘‘D（0）=0，并且‘‘G=’S+’D是关于F和W的It过程。

过程“G=”S+“G”是与（\'S，\'D）相对应的累积过程。写出“G（t）=”G（0）+Zt“uds+Zt”σdw，其中“u”是Land中的N+1维向量过程，“σ”是L中的（N+1）×kd维矩阵值过程。这里，Lis是自适应、可测和路径可积过程集，Lis是自适应、可测和路径平方可积过程集。交易策略是一种适应的、可测量的（N+1）维行向量值过程”.交易策略的价值过程 在s安全模型中，’D’是进程\'S.交易策略集\' 这样‘u ∈ 土地’σ ∈ 五十、 将关闭L（(R)G）。通常，如果X是一个n维It^o过程，X（t）=X（0）+Zta ds+Ztb dw，那么L（X）是一组适应的、可测量的（n×K）维过程γ，使得γa∈ 地γb∈ 五十、 如果‘ 是L（\'G）中的交易策略，则累积收益过程为, 相对于证券市场模型（\'S，\'D）衡量的是过程（\';“G）由G定义（”;\'G）（t）=\'（0）’G（0）+Zt’ d'G适用于所有t∈ T交易策略’ 在L中（\'G）是相对于（\'S，\'D）的自我融资，如果\'S=G（\';“”G）或“”（t） \'S（t）=\'（0）’S（0）+Zt’ d“一般来说，如果” 是一种L（\'G）的交易策略，可能不是自我融资，那么累积股息过程 关于（“”，D）是进程D（“”;定义人：\'S+D（\';\'S，\'D）=G（\';“”“G）流程D（”“”;“”S、“”D）进行了调整和测量，并具有初始值（“”;\'S，\'D）（0）=0。货币市场账户（S、D）是一种自我融资的交易策略b（或不支付股息的证券），其价值过程为正且无内在风险（零分散）。

我们用M表示它的价值过程：M=\'b\'S。如果M是货币市场账户的价值过程，那么它必须具有formm（t）=M（0）expZtr ds对于一些r∈ L（利率过程）和一些M（0）>0。在转换为货币市场账户的单位时，我们依赖尼尔森（Nielsen）[2007年8月]制定的公式。设D为累积股息过程。然后Dr∈ Lif和仅ifD∈ L（1/M）=L（M）。如果是这样的话，那么货币市场账户单位的累计股息过程为1/M（t）=D（t）/M（t）+ZtDrMdsIf（S，D）是一个具有D∈ L（M），如果相关的收益过程G=S+D有D个微分G=udt+σdw，则货币市场账户单位的累积收益过程为g1/M（t）=G（t）/M（t）+ztdrmdg1/M（t）=u- rSMdt+σMdW3对无套利市场的定义首先，我们定义瞬时套利的方式不假设存在无套利市场账户或瞬时利率过程。在此基础上，我们证明了瞬时任意性的存在意味着瞬时利率过程和货币市场账户价值过程的唯一性（达到正比例因子）。

然后，我们以各种等效的方式重新制定瞬时套利，其中涉及瞬时利率过程。如果‘ 是一种交易策略（不一定是自我定价），那么流程σσ和√σσ将被称为瞬时美元收益方差，以及瞬时美元收益标准差‘, 分别地交易策略’ 即时无风险，如果’几乎所有地方的σ=0。零价值即时套利交易策略是即时无风险交易策略 这样‘\'S=0几乎所有地方，\'u ≥ 0几乎无处不在，并且一组正度量值上的u>0。零价值即时套利交易策略不应该是自我融资的。由于它的价值总是为零，它通常会一直支付股息。如果不存在零价值即时套利交易策略，那么证券市场模型（\'S，\'D）是即时无套利的。命题1假设证券市场模型（\'S，\'D）是瞬时无轨道的。

如果“带”裸货币市场账户的利率过程为rand rand value processs Mand M，那么rand稀有几乎完全相同，且M/M（0）和M/M（0）无法区分。本节和以下章节中提案1和其他结果的证明见附录A。现在让“b”成为一个具有价值过程M和利率过程r的货币市场账户 是一种交易策略（不一定是自我定价），那么流程(u - r）将被称为瞬时超额预期美元回报.假设'D∈ L（1/M）。即时套利交易策略是即时无风险交易策略 ∈ L（\'G1/M），以便(u -r（秒）≥ 0几乎无处不在，并且(u - 在一组正度量值上，r（S）>0。回想一下，d'G1/M=M（'u- r（S）dt+M（σ）dw当且仅当零值交易策略为L（G1/M）时，零值交易策略为L（G）。因此，瞬时套利交易策略的定义与早期零价值瞬时套利交易策略的定义一致。零价值即时套利交易策略就是即时套利交易策略 这样‘几乎所有地方的S=0。以下命题表明，即时无套利证券市场模型概念的许多可能定义是等效的。命题2以下陈述是等效的：1。（\'S，\'D）即时无套利（不存在零值即时套利交易策略）2。不存在即时套利交易策略3。不存在自我融资的即时套利交易策略4。