非参数局部波动率的概率方法

因此，存在一个局部波动函数σ，使得Ci=C（xi，σ），i（4）对于具有相应走向成熟度输入{xi}的任何集合{ci}。在（4）和下面的内容中，我们从调用价格函数中抑制当前状态变量（t，St）=（0，S），并简单地写C（x，σ）≡ C（T，K，σ）。因此，我们仅从单一日期考虑市场。在第5节中，我们将有更多关于波动性的时间演化的内容。根据（4）可以预期，关于σ的知识会随着观测次数的增加而增长。事实上，如果看涨期权价格的连续统一体{C（T，K）：（T，K）∈ 十} 一般来说，只有当{ci}位于模型可达到的价格范围内时，才能复制它。对于局部波动性，所有价格集合都是可以实现的，只要它们在非静态套利机会的意义上是一致的（见Carr和Madan（2005））。这被编码在Dupires公式（5）中，因为CEC必须是非递减到期日（否则为转换套利）和凸履约日（否则为黄油套利），才能允许局部波动。或等价地，价格函数C:X→ R、 Dupire公式（Dupire（1994））给出了唯一的局部波动函数σ（T，K）=sCT- （r）- q）C- KCKKCK（5）与此限定价格集兼容。反之亦然：给定局部波动性函数，杜皮尔的远期方程给出了唯一的买入价格函数CT+（r- q） K级CK-Kσ（T，K）CK+qC=0（6），初始条件C（0，K）=（s-K） +。这是对变量（T，K）中的后向方程（2）的重述，因此，本地波动率函数和买入价格函数之间存在一对一的对应关系。备注1。（1）中的局部波动率模型是在无风险回报率r和股息收益率q不变的情况下建立的。

这只是为了方便起见，本文提出的方法同样适用于具有时间依赖性利率和股息（连续和离散）的设置，只要设置允许至少可以通过数值求解的定价方程。2.2局部波动性在实践中，对于大多数期权定价模型，没有已知的看涨期权价格方程（2）或（6）的封闭式解，必须回归到数值方法。为此，杜皮尔的公式提出了局部波动率模型的第二个主要诉求：对于给定的履约期限输入集，（6）的数值解同时给出了相应模型价格的整个表面。从实际角度来看，这是一个很有吸引力的特性，因为在执行模型校准时，有人有兴趣计算与市场报价期权相对应的一大组价格。模式到市场校准是一个通常用最小二乘法形式化的反问题。给定一组看涨期权价格{ci，^xi}ni=1的有限市场数据，找到一个局部波动函数，使得平方误差函数g（σ）=nXi=1（C（^xi，σ）- ^ci）（7）最小。加权最小二乘法也很常见，其中权重可以通过反向买卖价差或反向Black-Scholes-vega来表示流动性，以获得隐含波动率平方误差的反向近似值。鉴于（4），应能找到σ，使误差（7）为零。然而，由于（5）中有效地表达了什么，我们不能期望存在唯一性。至少，当数据是一组一致的价格且没有噪音时，这是可以预期的。然而，在实践中，价格是按照其买卖报价进行观察的，这样就无法随时获得一致的无噪音价格。最小化校准问题的最优σ（7）。

这只能在有限的数据范围内实现。换言之，当校准到有限的数据时，人们可以希望仅在一组有限的履约到期日（不一定与市场报价的履约到期日相同）下固定局部波动率函数，但存在不确定性。杜皮尔公式还建议至少在两个方面采用逆向估计方法：要么通过非参数方法，用有限差近似（5）的导数，要么通过假设参数形式C代替C，将其参数设置为数据，然后将C的导数插入（5）中。然而，尽管已知前者会输出“尖峰”局部波动率表面以及远远不能最小化的模型对市场误差（甚至不能保证有限的差异近似值能够保持局部波动率的正性），但后者会带来过度拟合的问题，插值/外推行为以及参数形式设计的选择，可以说，在做出这些选择时，应将模型与市场误差最小化。此外，如果选择▄C，请注意，数据集的增加会影响▄C参数的估计，而不一定会最小化（7）。总之，这两种方法都受到有限数据下存在的歧义的影响。后者是指，只要参数形式与看涨期权价格面上的观察结果相符，就可以自由选择其函数形式。对于前者，可以自由选择和调整倒立二阶导数的近似方法。

最后，即使这些方法更直接，因为它们提供了计算局部波动率函数的方法来代替插补，但至少在原则上，它们应该支持一个等效公式，作为误差函数的优化问题（7），因为这说明了一个目标，即最小化与观察到的买入价格之间的距离。在接下来的内容中，我们以基于模型到市场衡量的校准方法为基础。我们建议在概率框架中建立局部波动率模型，因此校准问题有效地对应于优化（7）的正则化版本。从概念上讲，这为先验局部波动率模型（对应于正则化项）提供了清晰的概率表示，并导致局部波动率的后验分布，而不是从最优欠正则化中获得的点估计。3概率框架继通过平方误差优化进行反向校准的方法之后，下一节概述了如何使用非参数高斯过程模型为局部波动性采用概率框架。我们详细介绍了局部波动率和看涨期权价格的后验预测方程，最后提出了一种数值方法。事实上，正如引言中所述，校准问题是不适定的，因为存在多个最小化（7）的解决方案。更复杂的是σ7→ G（σ）既不是凸的，也不适用于基于梯度的优化，参见Hamida和Cont（2005）中的讨论。3.1校准问题在实践中，期权的报价仅限于买卖价差，通常使用中间市场价格进行校准。

为此，我们假设从噪声模型ci=c（xi，σ）+中生成一组可观测的中期市场看涨价格（c={ci}ni=1）和一组罢工和到期日（x={xi xi}ni=1）i（8）表示常见的局部波动函数。因此，C（·，σ）代表公平价格表面，而中间市场价格是嘈杂的观察值。为简单起见，我们假设{i} 是方差为σ的独立高斯噪声, 注意，我们的方法很容易推广到X上的异方差噪声。这导致了对数似然函数log p（^c |σ，σ) = -2σnXi=1（C（^xi，σ）- ^ci）-nlog2πσ. （9） 就最大化局部波动率函数的可能性而言，这等同于最小化平方误差之和（7）。如引言所述，建模的标准方法是将局部波动率函数建模为参数函数σ（T，K）≡ σθ（T，K）使用有限维参数θ，然后通过最小化θ7进行校准→ G（σθ）。以此为例，将校准问题视为概率设置意味着基于θ的先验知识假设参数上的先验分布p（θ）。注意，可以包括噪声方差σinθ。在观测数据的条件下，Bayes规则给出了参数sp（θ| c）=p（θc |θ）p（θ）p（^c）的后验分布，其中p（θc |θ）是s作为θ函数的可能性（9），边际似然度由p（^c）=Rp（^c |θ）p（θ）dθ给出。在贝叶斯框架中，推理过程考虑θ上的后验分布，而不仅仅是点估计。对于摘要度量，可以使用最大后验概率（MAP）估计量θMAP=arg maxθp（θ|^c）。另一种常见的选择是θ相对于后验分布的平均值，这被称为贝叶斯估计量。

对于参数估计的不确定性概念，后验分布的分位数给出了可信区间。我们将常用后验平均值加/减两个标准差作为分位数估计的更可靠的替代方法。例如Gupta和Reisinger（2014）、Hamida和Cont（2005）、Luo和Liu（2010）以及Jackson等人（1999）。通常也会将θ的部分按顺序校准到^c的子集，以获得校准参数与特定的罢工成熟度集之间更直接的对应关系；例如，常见成熟度切片（见Luo和Liu（2010）中的讨论）。然而，由于特定模型的价格c（Ti，Ki，σ）取决于所有K的σ（T，K≥ 0，T≤ Ti，对价格面局部部分的部分校准总是产生比全局最优值更差的fit。3.2概率非参数局部波动率我们方法的基础是随机非参数局部波动率函数。为此，我们假设输入空间为X的高斯过程函数先验（Rasmussen and Williams（2006））f~ GP（m，k（x，x）），σ=φ（f），其中φ是一个正函数，用于逐点施加局部波动函数的正性。高斯过程定义了X上实值函数的分布，其中f的任何有限函数评估集遵循多元正态分布，见（14）。特别是，先验信念编码在平均值m中，协方差函数K（x，x）=Cov（f（x，f（x））定义为走向成熟度空间x中任何一对输入。我们用κ表示协方差函数的参数，κ与m和σ一起表示被称为模型的超参数。请注意，均值和协方差函数唯一指定了高斯过程。

为了方便起见，我们使用常数m，尽管可以使用参数化函数来获得关于平均值的更多信息。观察到的价格^c取决于在输入集上评估的函数，该输入集用x={xi}Ni=1表示，即在曲面上f=f（x），因此我们有对数似然对数p（^c | f，σ) = -2σnXi=1（C（^xi，f）- ^ci）-nlog2πσ（10） 在（10）中，买入价直接写为f的函数，即隐式写为与链接函数f 7的组合→ φ（f）=σ，其中σ=σ（x）。这里有几个方面需要指出。首先，将可能性视为f=f（x）而不是f（·）的函数，即用一组有限的函数评估来代替functionobject本身，不会失去一般性（见备注3），尽管这是必要的，因为我们在实践中只能使用有限的函数值集。当使用局部波动率模型时，看涨期权价格函数只提供给（6）的数值解算器，而数值解算器又依赖于在有限输入集上获取的局部波动率值。示意图上，对于有限差分解算器，我们有f 7→ C（x，f）。（11） 其次，虽然最终差异映射（11）在与输入局部波动率值集相对应的履约到期集上输出看涨期权价格，但x不一定与观察到的市场集^x一致。通常，^x分散在走向成熟度空间，而有限差分网格是正则笛卡尔乘积x=T×K={（Ti，Kj）：i=1，…，i，j=1，…，j}。（12） 只要x的构造使^x x、 （n）≤ N） 我们可以评估取决于市场集合上的买入价格的可能性（10），示例见图2。对于f（x），我们指的是在有限集x的每个点上的f值集，即。

f（x）≡ {f（x）}x∈x、 然而，请注意，可能性确实取决于x中的每一点（取决于f的每一个值），因为每个执行到期点x的模型价格取决于直到x到期的整个局部波动率函数，尽管由于（6）的平滑特性，局部依赖性更强。最终，我们想推断出关于局部波动函数的后验知识，不仅是在市场集合的各个点上，而且是对于外部的行权到期日，并量化此类预测的不确定性。第3.4节将给出用于此目的的方程式（另见备注3）。第三，似然（10）对于f既不是可分解的，也不是高斯的（高斯过程回归中通常假设的两个性质）。这阻碍了分析的可伸缩性和计算的效率。因此，我们在这里面临的是潜在空间中的非线性回归问题，其中观测值是不可观测函数变换的噪声输出。在下一级推理中，超参数被认为是某些超先验的未知参数。然后，我们获得关节后部的超参数和功能值sp（f，κ，m，σ|^c）=p（^c）p（^c | f，σ)| {z}似然数p（f |κ，m）{z}f-priorp（κ，m，σ)| {z}超先验（13），其中p（f |κ，m）是高斯过程诱导的f上先验的缩写。定义F~ N（m，Kff）（14）和Kff通过计算所有输入点x对的协方差函数，即元素[Kff]i，j=k（xi，xj）给出的协方差矩阵。最终我们写出Kκ≡ Kffto强调它是κ的矩阵值函数。我们使用平方指数的乘积协方差函数k（xi，xj；κ）=σfkSE（Ti，Tj；lT）kSE（Ki，Kj；lK），（15）kSE（x，x；l）=exp-（十）- x） 2升,参数收集在κ=（lT，lK，σf）中。

由于（15）是光滑的，所有阶数的有限导数为零，因此f将具有所有阶数的连续样本函数导数（Lindgren（2012）），因此我们对局部挥发函数施加了强光滑性。这是文献中普遍表达的愿望，尤其是当模型被考虑用于衍生品对冲和定价目的时（例如Jackson et al.（1999））。我们还可以考虑一个因子kmat32（x，x；l）=1的乘积矩阵3/2协方差函数+√3 | x- x | l！经验值-√3 | x- x | l！（16） 这会产生连续可微的f样本路径。这种协方差可能会获得更高的似然值（即在模型方面更接近营销者），但代价是失去局部波动表面的平滑度。对于κ和剩余的超参数，我们假设缩放的sigmoid-Gaussian先验；lT、lK、σf、m、σ独立生成为（使用θ作为通用参数）θ=θmin+θmax- θmin1+exp(-ξ), ξ ~ N（uξ，σξ）。（17） 选择hyperprior的动机是它提供了一个方便的参数化。每个参数都被限制为取（θmin，θmax）中的值，而uξ和σξ提供了该区间上分布形状的灵活性。这使得可设计超先验假设的规定变得简单明了。有限的支持也使模型更容易出现可识别性问题，从而提高采样效率，参见Trangucci等人（2016）。为了方便起见，我们从此使用uξ=0，σξ=1，并将θ=ssg（ξ）写入（17）中的变换。在贝叶斯框架中，模型校准问题实际上相当于生成局部挥发性表面样本{f（1），f（2），f（3），…}，从关节后部（13）。我们在第3.5节中详细介绍了这方面的算法。

从该样本中，可以提取地图表面的样本对应物（“点估计”表面，实现最大后验概率），计算后验平均表面，并通过可信区间量化校准局部波动率中的不确定性。此外，它还提供了一种原则性的方法，用于预测与观测数据一致的未知输入的波动性。第3.4节概述了后验预测分布。备注2。为了深入了解推理过程，我们考虑了写为log p（^c |σ）的可能性, SSE）=-2σ上海证券交易所-nlog（2πσ) （18） 对于误差平方和，SSE=Pni=1（C（^xi，f）- ^ci）。（18）的第一项“数据”将概率质量分配给SSE的小值（可能性是SSE上的指数分布，其模式为零）和σ的大方差. 另一方面，第二个术语“模型复杂性”倾向于较小的σ. 因此，如果我们忽略了优先于（σ, f） ，可能性严格地将模型与数据误差最小化，同时用适当的噪声方差进行平衡，以适应数据中的变化。同样，高斯过程priorlog p（f |κ，m）=-（f）- m） >K-1κ（f- m）-log（| 2πKκ|）通过第二项惩罚复杂模型。第一项将概率分配给参考平均值的曲面，即平衡f上的可能性，同时调整适当的协方差矩阵。总之，推理过程以一种有原则的方式自动在模型（偏差）和复杂性（方差）之间进行区分。这也是下一节的主题。3.3贝叶斯模型选择我们建议使用不同的协方差函数，有效地定义局部波动模型家族的独立成员。