非参数局部波动率的概率方法

为了有原则地区分不同的成员，我们从贝叶斯的角度考虑模型选择。考虑另一个层次的推理，使用一组离散的可能模型结构{Mi}。在看到数据之前，这些数据是根据先验p（Mi）分布的，p（Mi）在缺乏偏好时可能是一致的。给定数据，Bayes规则得出模型SP（Mi | c）=p（^c | Mi）p（Mi）p（^c），其中p（^c）=Pip（^c | Mi）p（Mi）。该表达式中的关键因素是模型证据，即每个模型下数据的概率p（^c | Mi）=Zp（^c | f，σ)| {z}似然数p（f |κ，m，Mi）{z}f-先验Mip（κ，m，σ)| {z}超优先级dκdm dσ（19） 我们在模型中保持超先验（和似然）不变——参见（13）。基于模型证据的选择过程结合了模型与模型复杂性之间的自动权衡，因此倾向于使用能够解释数据的最不复杂模型。这就是Occam的剃刀效应（MacKay（2003）、Rasmussen和Ghahramani（2001））：一个简单的模型可以解释较小范围的可能数据集。由于它的证据是数据正态化为统一的分布，因此它在其范围内的集合具有很大的概率。相反，一个复杂的模型可以解释范围广泛的数据，但概率相对较小，因为它必须将其概率质量分布在更大的范围内。后者是证据不一定支持具有最佳数据的（复杂）模型的原因，因为它们的复杂性也得到了体现，但能够在两者之间取得平衡。3.4预测本地波动性和买入价格在走向成熟点x进行预测？（设定x？）这不包括在输入网格x中，我们有f的后验预测分布？=f（x？）p（f？| c）=Zp（f？| f，κ，m，σ,^c）p（f，κ，m，σ|^c）|{z}关节后κdm dσdf。

（20） 条件分布p（f？| f，κ，m，σ,^c）通常不依赖于数据。这里p（f？| f，κ，m，σ,^c）=p（f？| f，κ，m）{z}秒。priorp（^c | f？，f，σ)p（^c | f，σ)| {z}似然比。（21）除了预测到期日T？大于最新到期日^x，则（21）中的似然比不会抵消。这是因为（10）在局部波动率面上是非因式的：模型价格C（^x，f，f？）取决于{f，f？}中的所有值在到期日小于^T时，即使对函数值的依赖性在^x附近最强。在（21）中的条件先验是高斯过程的预测分布（Rasmussen和Williams（2006））p（f？| f，κ，m）=N（f？| mf？| f，Kf？| f）（22）with mf|f=m+Kf？fKff公司-1（f- m） ，Kf|f=Kf？f- Kf？fKff公司-1Kff？。（23）从后验预测分布中，我们得到了预测未装箱价格的分布c？在相应的罢工到期日x？p（c？| c）=Zp（c？| f，f？，σ)| {z}数据分布p（f？| f，κ，m，σ,^c）p（f，κ，m，σ|^c）dκdm dσdf df？。（24）数据分布为球形高斯分布，如下噪声模型（8）p（c？| f，f？，σ) = N（c？| c（{f？，f}，x？），σ一） （25）I表示适当维数的单位矩阵。备注3。（20）中边缘化的联合分布等于顶部（^c）p（^c | f？，f，σ)p（f？，f |κ，m）p（κ，m，σ) （26）哪个是后面的（f？，f，κ，m，σ) 给定^c。考虑x？是x的输入，它不包括在^x中，因此{f？，f（^x）}=f，并在（26）中用f（^x）替换f。Wethus认为，未报价（未观察到）的履约到期日的局部波动性可以从后（13）中预测出来，也可以通过预测（f（^x）、κ、m、σ上的关节后（f（^x）、κ、m、σ）来预测这些点) 来自（20），即仅针对市场引用（观察）输入的本地波动性。

这一事实的便利结果是，我们可以选择将我们的预测x？在输入集x中，通过后验采样联合生成其函数值，或者我们可以首先从市场集x（跨越的网格）的后验超值中采样，然后推断出x上的预测分布？在第二步中。3.5数值方法形式（13）的后验分布通常很难处理，高斯概率的情况是一个罕见的例外（在已知的超参数下）。为此，我们将使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）生成的样本表示后验值，这是一种渐近精确的方法（参见Robert和Casella（2004））。对于确定性近似，也存在几种方法，其中在适当的族中选择了一个易于处理的分布，以接近后验分布。然而，这些近似值确实取决于因式分解的可能性是否有效，并且已知其仅适用于后验（局部）模式，因此可能低估了不确定性。此外，在实践中使用校准模型时，我们仍然需要后验样本。取样（f，κ，m，σ) 从关节后部（13），我们使用阻塞吉布斯抽样（Geman和Geman（1984）），并分别在超参数条件下更新函数值变量和函数值条件下更新超参数。这给出了一个以联合目标为极限分布的马尔可夫链（Tierney（1994））。对于功能值的更新，我们使用椭圆切片采样（Murray et al.（2010））。该模型首次重新参数化，使参数κ的先验均值为零，而错误地吸收到了概率κ中~ p（f |κ）≡ N（0，Kκ），^c | f，m，σ~ p（^c | f，σ, m）≡ p（^c | f+m，σ),p（f，κ，m，σ|^c）=p（^c）p（^c | f，σ, m） p（f |κ）p（κ）p（σ)p（m）。

（27）对于某些值固定的超参数，即给定Kκ和（σ, m） ，椭圆切片采样器以条件∝ p（^c | f，σ, m） p（f |κ）与提议的跃迁f→ 由椭圆定义的fde（θ）=f cos（θ）+f sin（θ），\'f~ N（0，Kκ），θ~ 均匀[0，2π]。前进角θ在括号上均匀绘制[θmin，θmax]=[θ-2π，θ），该值从Neal（2003）的“切片”缩小到θ=0，直到该提案被接受为止，详情见Murray et al.（2010）。接下来，我们考虑更新协方差超参数κ。其条件给定函数值为∝ p（f |κ）p（κ）。然而，以这种密度为目标将导致对κ的支持的缓慢探索。这是因为函数先验对其超参数的信息非常丰富，因为二者具有很强的相关性。此外，本次更新中没有从数据到可能性的直接指导。为了改善混合，我们通过参数化f（κ，ν）=Lκν，LκLκ>=Kκ，ν来解耦f和κ之间的优先依赖关系~ N（0，I），（28）用Cholesky分解求协方差矩阵的平方根。这导致后验概率（ν，κ，m，σ）不相等|^c）=p（^c）p（^c | f（ν，κ），m，σ)| {z}似然数p（ν）{z}ν-前（κ）p（m）p（σ) （29）这里我们强调可能性现在取决于通过确定性变换f（κ，ν）=Lκν的协方差超参数，并且ν的先验独立于超先验。对于当前状态（f，κ），相应的ν由ν=L表示-1κf给定（ν，m，σ), 拟议的过渡κ→ κ然后针对（非规范化的）条件alp（^c | f（ν，κ），m，σ)p（κ）（30），其中功能值通过f间接更新→ f=Lκν。

此外，由于κ=κ（z）的超先验假设（17）≡ 高斯z的ssg（z）~ N（0，I），我们在p（z |ν，m，σ）上使用椭圆切片取样器,^c）∝ p（^c | f（ν，κ（z）），m，σ)p（z）。具有∝ p（θ）我们指的是具有归一化常数的非标准化密度，它不依赖于目标变量。对于我们在这里考虑的所有采样步骤，归一化常数在大都会黑斯廷斯验收中抵消。当f的似然依赖性相对较弱时，基于（28）更新协方差超参数的效果最好，因此f几乎按照其先验分布。Murray和Adams（2010）对此进行了讨论，他们为具有强可能性的模型提出了替代数据切片采样（SDSS）。在这种情况下，针对（30）的建议经常被拒绝，以至于κ的马尔可夫链的混合很差。作为一项任务，他们用以函数值g | f为中心的噪声变量来扩充模型~ N（f，S），其中Sis是用户指定的对角线协方差。然后，他们提出超参数建议，通过参数化f（κ，η，g）=LRκη+mκ，g，LRκLRκ>=Rκ，η，在有噪声版本g的条件下更新f~ N（0，I），（31），其中Rκ和mκ，gf来自条件f | g，κ~ N（mκ，g，Rκ）由Rκ=S给出- S（S+Kκ）-1S，mκ，g=RκS-1克。实际上，当前状态（f，κ，m，σ) 首先通过从N（f，S）中提取g来增加。计算了隐含变量，η=L-1Rκ（f- mκ，g），其中建议κ→ κ靶向给定的条件后验值（η，g，m，σ),p（κ|η，g，m，σ,^c）=p（^c）p（^c | f（κ，η，g），m，σ)p（g |κ，S）p（η）p（κ）p（m）p（σ),其中相关项为p（^c | f（κ，η，g），m，σ)p（g |κ，S）p（κ）-详见Murray和Adams（2010）。同样，由于我们的超参数假设，我们使用椭圆切片采样在z空间中执行此更新。采样方案的最后一步是更新超参数（m，σ) 可能性。

我们针对其条件∝ p（^c | f，σ（z） ，m（z））p（z），在高斯z上进行椭圆切片采样。作为平均水平m和σ是一维参数，其相似性非常敏感，此采样步骤相对有效；它也很便宜，因为目标条件不涉及函数先验。这三个更新函数值、协方差和似然参数总结了马尔可夫链的每个连续步骤。我们将它们结合在一起，形成一种混合策略，在更新κ时，我们根据（28）和（31）进行随机抽样（见Robertand Casella（2010））。同样，我们遵循Murray和Adams（2010）的策略，在每次昂贵的卵巢更新之间应用三个计算上“便宜”的f更新。为了评估可能性，我们需要计算局部波动率曲面到买入价格曲面的映射（11）。为此，我们使用Crank-Nicolson有限差分模式来求解Dupire方程（6），见Hirsa（2012）。为此，我们通过采用市场集^x中所有观察到的到期日和罢工的笛卡尔积（12）来构造输入集x。这将导致在两个维度上都具有非等距间距的网格，如图2中灰色网格所示的市场数据。对于跨到期的边界条件，我们使用的是接近S的买入价格- Ke公司-Rt对于小K和零对于大K。为了提高这些近似值的准确性，我们在走向维度上扩展网格，对输入局部波动率表面进行FL外推，货币S/K分别下降到0.1和4。就计算复杂度而言，协方差参数的第二次更新是最昂贵的，每次提出一个新的κ时，协方差矩阵的（标准）反演的成本为O（N）。

提出一个新的f还需要Kκ的Choleskydecomposition花费O（N），尽管相同的分解可以循环用于连续的建议。第三次更新是最便宜的，因为它只需要计算可能性。其中一个评估涉及为买入价的Crank-Nicolson方案求解J×J三对角矩阵的I系统，其中I（J）是输入集x的到期日（罢工）数，即成本O（IJ）=O（N）。事实上，我们可以很容易地利用x是一个笛卡尔积，并在计算矩阵分解和反演时使用Kronecker方法，参见Saatchi（2012）。这将第二次更新（每个κ方案）和第一次更新（通过椭圆切片采样在整个f更新过程中循环）的成本降低到O（N3/2）。最后，我们考虑从预测分布中采样（20）。对于预测输入X？成熟度T？小于最新到期日^x，我们将（21）中的似然比近似为常数（注意，如果T？大于最新到期日^x，则这是准确的）。然后，我们通过直接模拟（祖先过程）生成预测，即通过近似的高斯混合（f？| c）≈MXi=1Mp（f？| f（i），κ（i），m（i））（32），其中{f（i），κ（i），m（i）}Mi=1是来自后部的样本。Wilson和Ghahramani（2010）以及Osborne（2010）使用了这种方法，并从极限M中的精确预测分布（在恒定似然比下）中得出采样→ ∞.要从完整分布中取样（20），我们可以在上述步骤中添加一个重要步骤。首先，我们从高斯混合（32）中生成一个样本{f？（i）}，即我们使用p（f？| f，κ，m）p（f，κ，m，σ|^c）（33）作为重要性分布。

非标准化权重函数w（f？，f，σ) =p（^c | f？，f，σ)p（^c | f，σ)（34）在每个取样点（f？（i）、f（i）、σ（i）进行评估) 然后用于{f？（i）}上的重采样。当重要性权重的方差较低时，重要性抽样通常效果良好，在我们的情况下，当可能性p（^c | f？，f，σ) 相对于f？弱？。同样，这取决于^c对应的模型价格随f变化的数量（以及变化的强度）？，这是由于预测输入x？的位置造成的？。在灵敏度合格的情况下，可以通过使用退火重要取样（详见Neal（2001））。通过手头的局部波动率预测样本，我们接近看涨期权价格的预测分布（25）。为此，我们首先将{f？（i），f（i）}Mi=1映射到C（·，x？）从公平买入价格的预测分布中获得样本{C？（i）}Mi=1。反过来，我们用它来表示预测数据（24）的分布，即以总方差定律中的平均预测公平价格和协方差矩阵为中心的高斯分布，即。