非参数局部波动率的概率方法

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英文标题：
《A Probabilistic Approach to Nonparametric Local Volatility》
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作者：
Martin Tegn\\\'er and Stephen Roberts
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The local volatility model is a widely used for pricing and hedging financial derivatives. While its main appeal is its capability of reproducing any given surface of observed option prices---it provides a perfect fit---the essential component is a latent function which can be uniquely determined only in the limit of infinite data. To (re)construct this function, numerous calibration methods have been suggested involving steps of interpolation and extrapolation, most often of parametric form and with point-estimate representations. We look at the calibration problem in a probabilistic framework with a nonparametric approach based on a Gaussian process prior. This immediately gives a way of encoding prior beliefs about the local volatility function and a hypothesis model which is highly flexible yet not prone to over-fitting. Besides providing a method for calibrating a (range of) point-estimate(s), we draw posterior inference from the distribution over local volatility. This leads to a better understanding of uncertainty associated with the calibration in particular, and with the model in general. Further, we infer dynamical properties of local volatility by augmenting the hypothesis space with a time dimension. Ideally, this provides predictive distributions not only locally, but also for entire surfaces forward in time. We apply our approach to S&P 500 market data.
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中文摘要：
局部波动率模型是一种广泛用于金融衍生品定价和对冲的模型。虽然它的主要吸引力在于它能够再现观察到的期权价格的任何给定表面——它提供了一个完美的拟合——但其基本组成部分是一个潜在函数，只有在无限数据的限制下才能唯一确定。为了（重新）构建该函数，已经提出了许多校准方法，包括插值和外推步骤，最常见的是参数形式和点估计表示。我们在基于高斯过程先验的非参数方法的概率框架下研究校准问题。这立即提供了一种编码有关局部波动率函数的先验信念的方法，以及一种高度灵活但不容易过度拟合的假设模型。除了提供校准点估计（范围）的方法外，我们还从局部波动率的分布中得出后验推断。这有助于更好地理解与校准相关的不确定性，尤其是与模型相关的不确定性。此外，我们通过增加假设空间的时间维度来推断局部波动的动力学性质。理想情况下，这不仅可以提供局部预测分布，还可以提供整个曲面的预测分布。我们将我们的方法应用于标准普尔500指数的市场数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Probabilistic_Approach_to_Nonparametric_Local_Volatility.pdf (1.23 MB)

2022-6-11 10:48:48 上传

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关键词：概率方法 非参数 波动率 distribution Presentation

非参数局部波动率的概率方法*英国牛津大学工程科学系斯蒂芬·罗伯茨（StephenRoberts）摘要局部波动率模型广泛用于金融衍生品的定价和对冲。虽然它的主要吸引力在于能够再现观察到的期权价格的任何给定表面，但它提供了一个完美的fit，其基本组成部分是一个潜在函数，只能在有限数据的限制下唯一确定。为了（重新）构建该函数，已经提出了许多校准方法，包括插值和外推步骤，最常见的是参数形式和点估计表示。我们在基于高斯过程先验的非参数方法的概率框架下研究校准问题。这立即提供了一种编码关于局部波动率函数的先验信念的方法，以及一种高度灵活但不容易过度拟合的假设模型。除了提供校准点估计（范围）的方法外，我们还从局部波动率的分布中得出后验推断。这有助于更好地理解与校准相关的不确定性，尤其是与模型相关的不确定性。此外，我们通过增加假设空间的时间维度来推断局部波动的动力学特性。理想情况下，这不仅可以提供局部预测分布，还可以提供整个曲面的预测分布。

我们将我们的方法应用于标准普尔500指数的市场数据。关键词：期权定价、局部波动性、概率推断、高斯过程模型。1简介在期权定价的背景下，Derman和Kani（1994）和Dupire（1994）提出的局部波动率模型非常著名，并且是基础Black-Scholes模型（Black和Scholes（1973）和Merton（1973））的多功能推广。从…起*收件人：martin。tegner@eng.ox.ac.uk.

我们感谢克里斯·奥茨、迈克·奥斯本和克里斯托夫·赖辛格的有益评论和讨论。履约【美元】1000150020002500到期【年】0.51.01.52.02.5买入/卖出价格【美元】01002000300400500●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------履约[美元]10001500到期[年]0.51.01.52.02.5本地波动率，MLE0.00.20.40.60.8图1：左：标普500看涨期权的市场价格：截至2010年1月4日收盘时的最佳出价-询价。

右图：通过优化所有局部波动点的平方价格误差（7），校准局部波动率面。曲面的误差与图3所示的最大后验估计值相同。后者是基础股票价格的恒定差异系数，波动率由当前时间和股票价格的函数代替，局部波动率函数。由于波动率有效地决定了一个差异模型如何对基础股票的期权定价，从单一维度参数到有限维度参数是一种战术性的举动：虽然Black-Scholes只完美地确定了一个观察到的期权价格，但局部波动率函数提供了灵活性，可以反映整个价格表面。杜皮尔的公式甚至为如何做到这一点提供了一个明确的方法。然而，如果能够获得所有行权日和到期日的期权价格的连续统，则潜在局部波动率函数只能唯一地检索。这里开始了局部波动率建模的挑战。对于可用于校准的离散和有限的市场价格集（图1，（左）说明了我们在本文中使用的一组数据），局部波动率建模相当于提出局部波动率函数的有限维近似值，以及详细说明如何将建议的模型校准到市场价格的例程。两种通常的方法似乎形成了共同的做法：一种是通过插值/外推方案处理可观察期权价格（或等效的隐含波动率），从而可以使用杜皮尔公式直接计算局部波动率（Kahal\'e（2004），Benko等人（2007），Fengler（2009），Fenglerand Hin（2011），Glaser和Heider（2012），仅举几个例子）。

或者，假设不可观测的局部波动率函数为参数化函数形式，并通过基于模型与市场差异的适当目标函数最小化，校准至市场价格（参见Jackson et al.（1999），Luo and Liu（2010），Andreasen and Huge（2011），Lipton and Sepp（2011），Reghai et al.（2012））。第一种方法的一个挑战是，它需要以无套利的方式将买入价格面相互关联。事实上，构建一种产生与观测数据一致的期权价格的插值方法本质上等同于构建（和估计）期权价格模型；所以我们回到了原点。此外，由此产生的局部波动率模型通常是非稳健和非光滑的，这两个问题都使这种方法下的进一步就业（对冲、定价、量化风险等）受到质疑（Cont（2010），Hirsa et al.（2003））。提出局部波动的函数形式并制定校准问题，作为针对模型到市场距离的方法之一，可能是一种更具吸引力的方法，即使它也面临设计适当模型的挑战。至于函数形式的参数数量，选择太少可能会导致参数不足的模型无法拟合市场数据。另一种极端情况是，选择尽可能多的参数作为观察期权价格会使问题的不适性变得严重：对于有限的市场数据，在某些目标下，最小模型到市场距离的解决方案是非均匀的，通常是非光滑和不稳定的。为了生动地说明这一点，图1（右）显示了一个局部波动率曲面，该曲面是通过对与市场数据相对应的曲面的所有点进行优化而获得的。最重要的是，优化问题并非微不足道。

常见的目标，如加权最小二乘法，产生关于局部波动性的非凸映射，并且由于维数的原因，也不适合基于梯度的优化。为此，提出了规范化，以解决问题的不适性，并对局部波动性参数施加结构（Lagnado et al.（1997），Chiarella et al.（2000），Cr'epey（2003），Cezaroet al.（2008））。本文采用后一种方法，并试图解决其缺点。首先，通过承认模型的参数不确定性，解决了最优局部波动率的非唯一性问题，从而将校准的重点从非最优点估计转移到局部波动率函数的概率分布上。从统计角度来看，这是合理的，因为认识到共同的优化目标对应于（广义）高斯噪声模型的可能性，并且进一步认识到市场价格仅在买卖价差内观察到。Hamida和Cont（2005）提出了局部波动的概率公式，他们提出了一种生成参数化模型样本的算法，该模型在市场数据的买卖价差内产生期权价格。虽然该样本旨在对模型风险进行一致性度量（Cont（2006）），但我们采用了贝叶斯形式主义，并集中从联合后验数据中进行推断。在这方面，我们的方法与Gupta和Reisinger（2014）最近针对Jackson et al.（1999）的参数模型提出的方法类似。最值得注意的是，我们通过提出局部波动的非参数泛函先验，扩展了他们的Bayesianidea，并为此利用了高斯过程的therich框架。我们还对观察模型进行了推断，以进行全面的贝叶斯处理。

后者的固定参数，如inGupta和Reisinger（2014），影响了局部波动率的后验值，并对有偏差的不确定性估计产生了关键影响。高斯过程是一种非参数模型，它提供了一种通用的估计工具，特别适用于贝叶斯设置。由于其表现力、易处理性和对过度填充的鲁棒性，它们被机器学习社区广泛使用。为此，我们使用了随机梯度方法，Spall（1998）。（Rasmussen和Williams（2006），Roberts等人（2013））。根据局部波动性建模和校准，我们发现贝叶斯-高斯过程方法有利于以下几个原因：o能够以直接的方式明确编码关于局部波动性的先验信念。例如，人们普遍认为，光滑的表面是可取的，尤其是为了进一步对冲和定价目的。通过指定合适的均值和协方差核，可以很容易地对这种函数特性进行编码。与Gupta和Reisinger（2014）提出的先前公式相比，我们发现高斯过程规范更直观、灵活和直接。事实上，与使用正则化的校准方法相比，更是如此高斯过程模型提供了完整的后验预测，包括输入走向成熟度数据内插和外插。此外，预测还伴随着一个相关的不确定性概念，从模型风险的角度来看，这个概念很有吸引力。我们利用这种预测能力来估计表面的内部波动点，并及时预测整个局部波动面对高斯过程的推理过程进行了深入研究，即对数据进行模型校准的实际步骤。

我们使用机器学习文献中广泛使用的方法进行有效采样最后，我们利用这样一个事实，即通过最小化期权价格的目标来推断潜在的局部波动面，有效地对应于一个似然模型；对于平方误差目标，最常见的是加性高斯噪声。事实上，我们的设置足够灵活，可以容纳任何校准仪器和噪声模型的选择，后者考虑到一个观察到的买卖报价，而不是理想的无套利价格。然后，噪声方差（以及更一般的相关结构）与买卖价差的大小相关联，并自然包含在贝叶斯推理过程中。论文的其余部分组织如下。第2节回顾了本地波动率模型，并讨论了激发我们方法的实际方面。后者详见第3节，以及预测方程和数值推断方法。第4节包括实验，第5节是局部波动随时间的扩展。最后，第6节得出结论。2本地波动率模型为了设置场景，我们考虑一个由无风险货币账户和风险资产组成的金融市场模型，其价格过程由本地波动率模型建模。

由于我们对本文中的期权定价感兴趣，因此我们将重点关注风险中性视角，并在以下章节中描述其中的一些理论和实践方面。2.1欧式期权定价局部波动率模型被表述为一类不同的过程，在此过程中，资产价格在QdSt=（r- q） Stdt+σ（t，St）StdWt，t∈ [0，\'T]（1）其中潜在局部波动函数σ：X→ R、 在域X=[0，\'T]×R+，基本上表示模型。对于当前时间t，具有行使K和到期时间t的欧洲看涨期权≥ t由其支付额确定（ST-K） +到期时，T>T的STI未知。如果S遵循本地波动率模型，则T时期权的价格由定价函数（T、St、T、K、σ）7给出→ C（t，St，t，K，σ），在变量（t，s）中满足Black-Scholes方程Ct+σ（t，s）sCs+（r- q） sCs- rC=0（2），终端条件C（T，s）=（s-K） +。这是由于无套利定价理论（参见g.Bj¨ork（2009））和等式（2）可以等效地表示为风险中性定价公式（t，s）=等式e-r（T-t） （ST- K）+St=s. （3） 更一般地说，马尔可夫定价公式（3）通过将认购期权的支付替换为相应的索赔支付，得出任何或有索赔的价格。前欧洲风格的练习，（3）也承认一种表述（2），用与权利要求相关的适当边界条件替换了终端条件。至少从理论角度来看，局部波动率模型的主要吸引力在于，它能够再现任意一组时间t可观测看涨期权价格。对于每个价格ci，都有一个相关的到期日和执行价格，我们使用输入变量x=（T，K）收集该价格∈ 十、