一类随机筹资的股利问题

这似乎非常复杂，因为生成器的域只要求绝对连续性，但结合凹度，它可以作为直接证明相关验证定理的基础。条件如下：F（a，b）=xVu（x；a，b）x=bhxVl（x；a，b）-xVu（x；a，b）ix=a=. （9） 在图2中，绿色表面对应于xVu（x；a，b）| x=b，橙色表面对应于xVl（x；a，b）| x=a-xVu（x；a，b）| x=a，蓝色平面突出显示零级。红色曲线标记两个曲面与零标高的交点。图2：找到解决方案的问题说明（a*, b*) 至（9）。最后，我们必须证明阈值a的存在*和b*使平滑的条件得到充分满足。在我们的治疗中，我们能够推导出一个有趣的条件，它与上述条件之一等价。如果我们微分两个积分微分方程（对于x∈ （0，a）和x∈ （a，b）），我们得到了CVL（x）- （δ+λ+β）Vl（x）+λαe-αxVl（0）+λZxVl（x- y） αe-αydy+βφ=0和CVU（x）- （δ+λ）Vu（x）+λαe-α（x-a） Vu（a）- λαe-α（x-a） Vl（a）{z}=0+λZx-aVu（x- y） αe-αydy+λαe-αxVl（0）+λZxx-aVl（x- y） αe-αydy=0。如果我们现在设置x=a并计算这两个方程的差异，我们可以使用Vl（a）=Vu（a）和Vl（a）=Vu（a）thatc（Vl（a）- Vu（a））=β（Vl（a）- φ).因此，我们得到了Vl（a）=Vu（a）当且仅当Vl（a）=φ。备注2。如果我们考虑HJB方程的以下部分：supf≥0{Vl（x+f）- Vl（x）- φf}，对于函数Vl（x），如果它是凹的，我们得到，如果Vl（x+f）=φ，则上确界内的项是最大的。

这意味着使用a，使得a=f+x=V0[-1] l（φ），得到相应的项（Vl（a）- φ） 在上面的等式中是零。2.3.1最优策略的极端行为首先，我们想知道最优策略是否使用额外资金，这意味着我们必须确定选择的原因*= 为此，我们考虑了文献中众所周知的常见股息问题的解决方案，参见[9]，~V（x；b）=（h（x）h（b），如果0≤ x个≤ b、 x个- b+~V（b；b），如果x>b，则h（x）=eSx（S+α）- eSx（S+α），其中沙子的指数与之前相同，确保值函数连续两次微分的最佳屏障具有以下形式b=lnS（S+α）S（S+α）S- S、 在这种情况下，我们必须假设（δ+λ）<cαλ，以确保▄b>0成立。这就产生了在通常的分红问题中，V（x；~b）是值函数。我们有▄V（x；b）=V（x；0，b）。备注3。首先，人们注意到▄V（0；▄b）=（S- S） （α+S+S）S（α+S）S（α+S）S（α+S）不锈钢-S- S（α+S）S（α+S）S（α+S）不锈钢-S≥ 第二个想法是关于参数φ的可能最优水平A的行为。以下内容与其说是严格的处理方法，不如说是一种启发性的直觉。但如果我们考虑a=x+f*= g0级[-1] （φ），其中f*是HJB方程SUPF的SUPREUM部分的最大化参数≥0{g（x+f）- g（x）- φf}如前所述，我们得到（考虑a是φ的函数，即a（φ）=g0[-1] （φ））thata（φ）=（g0[-1] ）（φ）=g（g0[-1] （φ））<0，如果我们假设g是凹的，如果g是值函数，这将是真的。这意味着较低阈值a在φ中减小。提案1。

让经典分红问题b中的最优屏障为正。对于最佳级别0≤ 一*≤ b*在随机融资的红利问题中，我们得到*= 0和b*=b当且仅当φ≥~V（0；~b）。这意味着简单障碍策略是最优的，经典红利问题的解与扩展问题的解一致。证据我们假设φ≥V（0；▄b），并且必须显示a*= 0和b*=~b是最佳阈值，因此V（x；0，~b）=~V（x；~b）解HJB方程，是凹的，C是我们稍后在验证定理中需要的成分。我们知道这个候选函数是凹的，Cand求解了β=0的经典分红问题的HJB方程。使用此函数，我们得到0≤ x<b that1-~V（x；~b）<0。对于HJB方程的第一部分，仍需证明βsupf≥0{V（x+f；~b）-V（x；▄b）- φf}=0。如果我们选择f=0，则上确界内的项为零。否则，如果f>0，我们得到▄V（x+f；▄b）-V（x；▄b）- φf<0。这是正确的，因为如果我们使用▄V（x；▄b）<0，我们得到▄V（x+f；▄b）-V（x；▄b）（x+f）- x个≤V（x；b）<V（0；b）和φ≥~V（0；~b），上述不等式如下。对于值x≥~b我们知道▄V（x；▄b）=1，HJBE方程的第一部分（与经典HJB方程的第一部分一致）为负。因此，仍需检查βsupf≥0{V（x+f；~b）-V（x；▄b）- φf}≤ 0保留。但这是真的，因为如果我们插入x>b的线性函数，我们得到βsupf≥0{(1-φ） f}≤ 0，自φ起≥ 1、特殊情况x=￠b类似于情况x<b。对于另一个方向，如果a*= 0和b*=~b是最优的，我们必须显示φ≥~V（0；~b）。为此，我们假设相反，即φ<V（0；b）。但在这种情况下，我们可以利用以下事实，即▄V（▄b；▄b）=1且▄V（x；▄b）<0x个∈ （0，b），除上述假设外，V（0；b）>φ≥ 1.

把这些放在一起，通过中间值定理得出!\'\'x∈ （0，￠b）：￠V（(R)x；￠b）=φ。我们想证明βsupf≥0{V（x+f；~b）-V（x；▄b）- φf}>0。对内项进行微分，并将其设置为零，则会产生▄V（x+f；▄b）！=φ、 所以我们得到f*= \'\'x- x为正，如果x∈ （0，(R)x）。对某些θ应用泰勒公式∈ （x，(R)x）以下▄V（x；▄b）=▄V（▄x；▄b）+▄V（▄x；▄b）（x- (R)x）+V（θ；b）（x- \'\'x）=▄V（\'\'x；▄b）- φ（(R)x- x） +~V（θ；~b）（x- \'\'x）<V（\'\'x；▄b）- φ（(R)x- x） 。最后，我们得出该函数不求解HJB方程，并且*= 0 beingoptimal无法实现，这是一个矛盾。上述命题给出了φ情况下的最优策略≥~V（0，~b）。此外，只有在这种情况下，通常的股息壁垒策略才是最优的。在下一步中，我们考虑参数φ的最小界，其中出现了一个非平凡策略，即φ=1。引理4。设b为正。对于最佳级别a*≤ b*对于随机融资的股息问题，我们得到*= b*如果φ=1。在这种情况下，我们处于以下情况，如果发生投资者，我们会产生外部融资，以至于我们的盈余过程达到股息壁垒，从而触发股息支付。因此，股息限制和资金水平之间没有差距。证据求解上述方程a=b，我们得到函数Vl（x；a，a）。这是为了证明*= b*, 导致Vl（x；a*, b*), 从而充分满足验证定理的假设。此时，我们知道Vl（a；a，a）=1，我们必须找到一个这样的平滑条件：M（a）：=Vl（a；a，a）！=在a=0时对该函数求值得到M（0）=（δ+λ）-cαλc（δ+λ），根据我们的假设，这是负数。否则，我们将有一个形式为V（x）=x+cδ+λ的值函数，如上述相应引理所述。

此外，如果M（0）=0，我们得到*= b*= 这也与刚才提到的linearvalue函数的情况一致。另一方面，我们知道m（a）=Vl（a；a，a）=a（a，a）eRa+a（a，a）eRa是连续的，lima→∞M（a）=Rδβ+δ严格为正。这就产生了*使M（a*) = 0.如果有多个点，使得平滑条件完全满足，我们决定选择最小的一个点。此时a*> 0我们能够利用方程Vl（a*; 一*, 一*) = 1和Vl（a*; 一*, 一*) = 0以获取A（A*, 一*) < 0和A（A*, 一*) > 这就得到了Vl（x；a*, 一*) > allx为0≥ 0，并且与Vl（a）一起*; 一*, 一*) = 0我们得到Vl（x；a*, 一*) < 0为0≤ x<a*. 这反过来意味着Vl（x；a*, 一*) > 0的1≤ x<a*. 因此，假定函数V（x）=V（x；a*, 一*) =（Vl（x；a*, 一*), 如果0≤ x个≤ 一*,x个- 一*+ 五（a）*; 一*, 一*), 如果x>a*.（10） 是两次连续可微且凹的，此外，它用φ=1填充HJBequation。总之，这使我们能够应用验证定理。2.3.2中等φ的情况到目前为止，我们调查了以下情况，并在每种情况下获得了最佳组合策略：oφ≥~V（0；~b）=> 一*= 0和b*=b，oφ=1=> 一*= b*.在本节中，我们将填补缺失的缺口，以便为φ的每个容许值提供最佳解决方案≥ 1、定理1。对于1<φ<V（0；￠b）和￠b>0，我们得到存在0<a*< b*从而满足平滑条件（11）和（12）。得到的函数v（x；a*, b*) （3）是HJB方程（1）的二次可微凹解。证据显然，对于1<φ<V（0，b），我们必须求解与带策略相关的方程。

这导致解决方案严重依赖于≤ 与前一种情况一样，仍需选择值a和b，以满足等效的平滑条件，并在此处重新表述Vu（a）=b（a，b）SeSa+b（a，b）SeSa！=φ、 （11）Vu（b）=b（a，b）SeSb+b（a，b）SeSb！=0。（12）无论如何，系数B（a，B）和B（a，B）是固定的，因此vu（B）=B（a，B）SeSb+B（a，B）SeSb=1，（13）成立。将该方程变换两次，得出toB（a，b）SeSb=S（1- B（a，B）SeSb，B（a，B）SeSa=（1- B（a，B）SeSb）eS（a-b） 。现在，我们将此表达式插入方程式（11）和（12）中，得到b（a，b）S（eSa- eSb+S（a-b） ）！=φ - eS（a-b） ，b（a，b）S（eSa- eSb+S（a-b） ）=（欧空局- eSb+S（a-b） ）SeSb- S） 。请注意，根据我们的假设，我们的S6=S。将这些方程和重新排列的项组合在一起，结果为！=φ（S- S） +SeS（a-（b）- SeS（a-b） 。（14） 对于h≥ 0定义H（H）：=φ（S- S） +Se-上海- 硒-Sh，那么我们得到H（0）=（φ- 1） （S）- S） >0，因为φ>1，limh→∞H（H）=-∞ 当H>0时，H（H）<0，这意味着存在唯一的'H>0，从而使方程充满。此外，它认为如果1<φ<V（0，b），则0<h<b。即如果存在h≥b>0，使得H（H）=0，那么我们将得到φ=Se-上海- 硒-Sh（S）- （S）≥硒-Sb- 硒-Sb（S- S） =▄V（0，▄b），因为当所有h>0时，不等式左侧的项在h中严格单调递增。但这与φ的假设相矛盾。最重要的是，如果φ=1或φ=~V（0，~b），那么我们分别得到了'h=0或'h=~b，这与之前的研究一致。最后，需要证明的是，对于这个给定的h，存在这样一个a，即vu（a+’h；a，a+’h）=B（a，a+’h）SeS（a+’h）+B（a，a+’h）SeS（a+’h）！=为此，我们插入φ=Se-S'h-硒-S’h（S）-S） 为了得到h的正确值。

我们得到Vu（a+’h；a，a+’h）a=0=Se？hS（α+S）- Se'hS（α+S）Se'hS（α+S）- Se'hS（α+S）<0，因为'h<b。另一方面，如果我们让a趋于完整，我们就得到了thatlima→∞Vu（a+’h；a，a+’h）：=C（’h）>0。这适用于真sinceC（(R)h）=αP（β+δ）+W SS- e'h（S）-（S）αQ（β+δ）+W SSα(β + δ)附言- e'h（S）-S） QS公司,式中，p：=S（α+S）（αδ（R- S） （α+R+S）- βS（α+R）（α+S）），Q：=S（α+S）（αδ（R- S） （α+R+S）- βS（α+R）（α+S）），W：=β（α+S）（α+S）α(β + δ) - αcR（α+R）+R（δ+λ）+αR（β+δ+λ）.如果我们将C解释为h中的一个函数，并在0中对其求值，我们会看到C（0）=Δβ+ΔR>0。利用这一点和C（(R)h）的连续性，我们得到  > 0，以便C() > 在这上面它甚至认为\'hC（\'h）=0，这意味着所有\'h的C（\'h）>0≥ 请注意，C（(R)h）的分母严格为正。最后，由于极限为正，因此存在a*这样Vu（a*+\'h）=0，更多请注意*> 自“h<b”起为0，如果“h=~b”，则为a*= 0、如果存在多个a*因此，由于函数Vl的形状，我们决定选择最小的一个。此时，对于1<φ<V（0，b），我们知道存在*> 0和B*:= 一*+(R)h>a*使二阶光滑条件完全满足。因此，函数v（x；a*, b*) =Vl（x；a*, b*), 如果0≤ x个≤ 一*,Vu（x；a*, b*), 如果a*≤ x个≤ b*,x个- b*+ V（b*; 一*, b*), 如果x>b*（15） 是两次连续可区分的。作为下一步，我们必须确保构造的函数确实解HJB方程，并且是凹的。首先，我们得到Vu（x；a）的系数*, b*) 它认为B（a*, b*) < 0和B（a*, b*) > 这是有效的，因为如果我们插入方程B（a*, b*)SeSb公司*= S（1- B（a*, b*)SeSb公司*)进入方程式Vu（b*; 一*, b*) = 0并重新排列一些项，我们得到B（a*, b*) >0，B（a*, b*) < 类似地，后面跟着0。

这直接意味着Vu（x；a*, b*) > 所有x的0≥ 0，连同Vu（b*; 一*, b*) = 0我们得到Vu（x；a*, b*) < 所有x<b均为0*,以及Vu（b*; 一*, b*) = 1产生Vu（x；a*, b*) > 1代表所有a*≤ x<b*.此外，Vl（x；a）的第一系数*, b*) 满足以下条件：*, b*) < 0，因为我们可以使用标识a（a*, b*)雷拉*= R（φ- A（A*, b*)雷拉*- A（A*, b*)),为了从不等式Vl（a*; 一*, b*) = Vu（a*; 一*, b*) < 0表示A（A*, b*) <0、知道A（A*, b*) > 0，我们区分以下情况，即ifA（a*, b*) < 0然后Vl（x；a*, b*) < 0表示所有0≤ x个≤ 一*该属性与VL（a*; 一*, b*) = φ>1产生Vl（x；a*, b*) ≥ φ>1表示所有0≤ x个≤ 一*.如果A（A*, b*) > 0，然后是Vl（x；a*, b*) > 0表示所有0≤ x个≤ 一*, 这意味着Vl（x；a*, b*) < 0表示所有0≤ x个≤ 一*, 自Vl（a）以来*; 一*, b*) = Vu（a*; 一*, b*) < 0、现在凹度和Vl（a*; 一*, b*) = φ>1产生Vl（x；a*, b*) ≥ φ>1对于所有0≤ x个≤ 一*. 此外，我们可以推导出V（x；a*, b*) >φcδ+λ>0。这可以通过使用Vl（x；a）的方程，在引理1中已经显示出来*, b*) inx=0，利用该β（Vl（a*; 一*, b*) - Vl（0；a*, b*) - φa*) > 0，由于凹度和Vl（a*; 一*, b*) = φ.最后，如果我们插入函数V（x；a*, b*) 在HJB方程中，我们得到x的∈ [0，a*] HJB方程的第一部分为零，第二部分小于零。对于x∈ （a）*, b*] 同样的道理，因为第一部分中的上确界项为零，因为ev（x+f；a*, b*) =V（x；a）*, b*) + V（x；a）*, b*)f+V（θ；a）*, b*)f<V（x；a*, b*) + φf为真，对于aθ∈ （x，x+f），前提是f>0，否则，如果f=0，则supremupart也为零。对于x>b*我们必须证明HJB方程的第二部分为零，第一部分小于零。

因此，我们考虑函数q（x）：=cV（x；a*, b*) - （λ+δ）+λxZV（x- y一*, b*)αe-αydy+βsupf≥0{V（x+f；a*, b*) - V（x；a）*, b*) - φf}，x>b*.我们必须证明q（x）<0对于所有x>b*. 我们已经知道q（b*) = 0且q（x）中的上确界部分为零，因为V（x；a*, b*) 对于x>b是线性的*φ>1。此外，我们使用了Vl（x；a）系数的性质*, b*) 和Vu（x；a*, b*).再加上光滑的条件（11）和（12），我们得到了令人惊讶的B（a*, b*) =Sφeb*SSSea公司*S+b*S- 海*S+b*S、 B（a*, b*) =Sφeb*SSSea公司*S+b*S- 海*S+b*S、 除此之外，我们使用（14）中给出的φ的恒等式来获得q（x）=（e（b*-x） α- 1） δ<0，对于所有x>b*. （16） 最后，对于x>b，这得出q（x）<0*, 验证V（x；a*, b*) 满足x>b的HJB方程的第一部分*. 显然，函数V（x；a*, b*) 满意度1- V（x；a）*, b*) = x>b为0*这表明V（x；a*, b*) 求解HJB方程的第二部分。总的来说，这意味着（15）中规定的函数可以解HJB方程（1）。3验证定理在此，我们陈述了一个验证定理，该定理适用于我们构造的函数V（x；a*, b*)在（15）中。定理2。让g∈ C（0，∞) 是HJB方程的正解maxc（x）g（x）- （λ+δ）g（x）+λZxg（x- y） dFY（y）+βsupf≥0{g（x+f）- g（x）- φf}，1- g（x）= 如果x<0，我们将g（x）=0。进一步假设g是凹的，则g（x）≥ V（x），其中V（x）=sup（L，f）∈ΘEx“ZτL，fe-δtdLt- φZτL，fe-δtftdBt#和τL，f=inf{t≥ 0 | XL，英尺<0}。证据让g∈ C（0，∞) （L，f）是一种容许的控制策略。为了清楚起见，在下文中，我们将用XT表示状态过程XL，ftdepending（L，f），用τ表示τL，fw，用τ表示。因为我们想利用随机演算中的重要定理，所以我们必须切换到正确的连续过程，另见Shreve等人【10，p.60-62】。

我们考虑过程t=e-δ（t∧τ） g（(R)Xt∧τ） +Zt∧τe-δSDL+- φZt∧τe-δsfsdBs，（17），其中？Xt：=Xt+。首先，我们将分部积分公式应用于Y的第一部分，并将It^o公式应用于'Xs。我们得到了-δ（t∧τ） g（(R)Xτt）=g（X0++Zt∧τ0+e-δs[-δg（(R)Xs-) + cg（(R)Xs-)]ds公司-Zt公司∧τ0+e-δsg（(R)Xs-)dLcs+X0<s≤t型∧τe-δsg（(R)Xs-).此外，我们可以将上述不连续部分之和分解，从而得到x0<s≤t型∧τe-δsg（(R)Xs-) =X0<s≤t型∧τ、 Ls+6=Lse-δsg（(R)Xs-- Ls+）- g（(R)Xs-)+X0<s≤t型∧τ、 Ss6=Ss-e-δsg（(R)Xs-- YNs）- g（(R)Xs-)+X0<s≤t型∧τ、 Bs6=Bs-e-δsg（(R)Xs-+ fs）- g（(R)Xs-).如[4，第19-20页]中的g≥ 1，我们得到了属于微分过程跳跃的和的估计值x0<s≤t型∧τ、 Ls+6=Lse-δsg（(R)Xs-- Ls+）- g（(R)Xs-)=-X0<s≤t型∧τ、 Ls+6=Lse-δsZLs+0+g（(R)Xs-- u） 杜邦≤ -X0<s≤t型∧τ、 Ls+6=Lse-δsLs+。对于包含其他跳跃的和，我们取期望值，并使用补偿公式计算X0<s≤t型∧τ、 Ss6=Ss-e-δsg（(R)Xs-- YNs）- g（(R)Xs-)=Ex“Zt∧τ0+e-δsλZ'Xs-g（(R)Xs-- y） dFY（y）- λg（(R)Xs-)!ds#andEx公司X0<s≤t型∧τ、 Bs6=Bs-e-δsg（(R)Xs-+ fs）- g（(R)Xs-)=前任Zt公司∧τ0+e-δsβg（(R)Xs-+ fs）- g（(R)Xs-)ds公司.现在，我们利用上面的结果来获得-δ（t∧τ） g（(R)Xτt）i≤Ex“g（X0+）+Zt∧τ0+e-δs[-δg（(R)Xs-) + cg（(R)Xs-)]ds+Zt∧τ0+e-δsλZ'Xs-g（(R)Xs-- y） dFY（y）- λg（(R)Xs-)!ds+Zt∧τ0+e-δsβg（(R)Xs-+ fs）- g（(R)Xs-)ds公司-Zt公司∧τ0+e-δsdLs+#。接下来，我们用g解HJB方程exhe-δ（t∧τ） g（(R)Xτt）i≤ Ex“g（X0+）-Zt公司∧τ0+e-δsdLs+Zt∧τ0+e-δsβφfsds#。两侧添加Ex[Rt∧τe-δSDL+-Rt公司∧τe-δsβφfsds]并使用g的凹度得到thatEx【Yt】≤ Ex“g（X0+）+L0级+#≤ g（x）。最后一个不等式得出过程Y是一个超鞅。现在我们使用这个属性来获得（x）=Y≥ Ex（年初至今）≥ 前任Zt公司∧τe-δs（dLs- φfsdBs）≥Ex“Zbtc∧τe-δSDL#- Ex“Z（btc+1）∧τe-δsφfsdBs#，其中我们利用了g≥ 0