一类随机筹资的股利问题

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英文标题：
《On a dividend problem with random funding》
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作者：
Josef Anton Strini and Stefan Thonhauser
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a modification of the dividend maximization problem from ruin theory. Based on a classical risk process we maximize the difference of expected cumulated discounted dividends and total expected discounted additional funding (subject to some proportional transaction costs). For modelling dividends we use the common approach whereas for the funding opportunity we use the jump times of another independent Poisson process at which we choose an appropriate funding height. In case of exponentially distributed claims we are able to determine an explicit solution to the problem and derive an optimal strategy whose nature heavily depends on the size of the transaction costs.
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中文摘要：
我们考虑破产理论中股息最大化问题的一个修正。基于经典的风险过程，我们将预期累计贴现股息与总预期贴现额外资金的差额最大化（以一定比例的交易成本为准）。对于股息建模，我们使用通用方法，而对于融资机会，我们使用另一个独立泊松过程的跳跃时间，在此过程中，我们选择适当的融资高度。在指数分布索赔的情况下，我们能够确定问题的显式解决方案，并得出一个最优策略，其性质在很大程度上取决于交易成本的大小。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：Optimization Modification proportional Quantitative maximization

关于一个随机筹资的红利问题Josef Anton Strini*& Stefan ThonhauserGraz理工大学统计研究所Kopernikusgasse 24/III，8010 Graz，Australia 2019年1月18日摘要我们考虑从破产理论中修正股息最大化问题。基于经典风险流程，我们将预期累计贴现股息和总预期贴现额外资金的差异最大化（以一定比例的交易成本为准）。对于股息建模，我们使用通用方法，而对于融资机会，我们使用另一个独立泊松过程的跳跃时间，在该过程中，我们选择适当的融资高度。在指数分布索赔的情况下，我们能够确定问题的显式解决方案，并导出一个性质严重依赖于交易成本大小的最优策略。关键词：破产理论，经典风险模型，红利，随机控制。1引言和一些第一考虑1.1概述在本文中，我们讨论了经典（复合泊松）盈余过程的经典股息最大化问题的扩展。我们提议的延期考虑了一个随机融资机会，该机会由以下程序建模。保险公司积极寻找愿意为考虑中的保险投资组合提供额外资金的投资者。如果搜索成功，保险公司可以选择资金的高度，增加盈余，并可能在未来支付更高的股息。我们用强度β来模拟搜索过程≥ 0，即保险公司在额外且独立的泊松过程的跳跃时间找到融资机会。自然，新的融资成本很高，或者投资者希望分别参与未来的分红。

这就是为什么我们用因子φ来衡量额外资本的原因≥ 1起到一定比例交易成本的作用。我们的问题对应的价值函数是预期累计贴现股息和加权预期累计贴现资金的差异，两者都是到破产时为止。*约瑟夫·安东·斯特里尼获得了奥地利科学基金（FWF）单一项目P26114的支持。对于β=0的情况，我们的方法与经典的股息问题相匹配，即找不到额外的资金来源。它的处理可以追溯到Gerber[5]，Azcue&Muler[2，3]和Schmidli[9]根据最优随机控制进行了分析。相反的极值情形β→ ∞ 在某种程度上类似于在任何时候都可能注资的情况。目前，这个问题在关键词“最大股息和注资”下已广为人知，库伦科和施密德利（Kulenko&Schmidli）[7]首先提出并解决了这个问题，但存在细微差异，即不允许受控盈余过程被破坏，从而导致不同的价值函数。当然，在另一个过程的跳跃时间进行干预的方法与随机观测下破产理论问题的表述有关。Albrecher等人[1]引入了这种包含股息的模型，并在过去几年的精算研究中取得了一些相关成果。我们需要强调的是，我们目前的模型是持续监控的，即可以在任何时间点做出分红决策，并且可以立即观察到破产事件。另一个对企业价值决定的股息最大化问题起关键作用的框架是财务。在那里，基本流程（通常由差异流程给出）被解释为一家公司的现金储备，累计股息的预期价值反映了该公司的价值。

Hugonnier等人[6]在这一财务差异框架中以类似的方式研究了当前的问题，并结合了最优停止问题。如上所述，这里研究的问题基于连续样本路径过程，并且交易成本参数等于1，这导致了常见的单障碍型最优策略，无论是股息还是资金。有趣的是，Zhang等人[11]最近的论文研究了一个具有特定资本注入程序的复合泊松风险模型，该模型与我们的贡献中得出的最优模型非常相似。与我们的考虑相反，重点是确定贴现惩罚函数和股息决策，而不是设置的一部分。本文的组织结构如下。我们从模型的数学公式和相关的随机优化问题开始。下一步，我们建立了值函数的一些基本性质，并研究了导致退化最优策略的参数星座。在理解了交易成本大小的关键依赖性之后，我们可以随后确定最优策略和相应的价值函数。这一步的关键是证明由两个边界组成的自由边值问题的解的存在性。我们通过一些数值例子来结束本文，重点是作为交易成本参数φ函数的最优策略。1.2模型设置在接下来的几行中，我们将介绍感兴趣的模型和潜在的随机主角。首先，我们建立了所考虑模型的随机基础。

我们给出了一个给定的概率空间(Ohm, F、 P）包含以下潜在随机过程。设N=（Nt）t≥0是强度λ>0且设{Yi}i的泊松过程∈Nbe一系列独立且同分布的随机变量，其分布函数由FY表示，FY（0）=0，我们设置E（Y）=u，并假设N独立于{Yi}i∈N、 然后我们考虑以下复合泊松过程S=（St）t≥0，St=NtXi=1Yi，这与经典风险模型中常见的一样，描述了截至时间t的所有索赔的总和。接下来，我们考虑一个跳跃过程B=（Bt）t≥0具有恒定强度β，即泊松过程，我们可以用它来描述新投资者的出现时间。特别是投资者出现在B的跳跃时间。同样，N，B，{Yi}i之间的独立性∈假设为Nis。根据这些成分，我们确定过滤F=（Ft）t≥0对时间t的可用信息进行建模。因此，我们必须设置ft=σFNt，FBt，{Y，Y，…，YNt}∪ N，其中fn和fb是各个过程产生的过滤，N表示度量零集。假设保险公司有初始盈余x≥ 0并根据费率c收取保费，我们确定非受控盈余或现金储备流程X=（Xt）t≥0，byXt=x+ct- 状态过程X的控制过程一方面是股息过程l=（Lt）t≥0，这是一个经过调整的“agl”ad过程，因此它是可以预见的，并且是不断增加和完善的≡ 0。它表示截至时间t的累计股息。另一方面，我们考虑控制过程f=（ft）t≥0，也可预测，且P-几乎肯定是非负的，即ft≥ 0页- a、 s.在B跳跃的情况下，控制f对应于时间t时新资金的大小。

据此，受控现金储备流程如下所示：xl，ft=x+ct- St公司- Lt+ZTFSDB。在我们的设置中，不允许破产是由股息支付引起的，因此关系XL，ft+=XL，ft- 书信电报≥ 0，必须保持P- a、 s.备注1。由于独立性假设，我们有P-a、 两个泊松过程N和B不会同时跳变。由于股息进程的路径保持连续，因此需要读取Lt=Lt+- Lt.1.3优化问题和价值函数我们设定的目标是找到最佳的股息和资金组合策略，该策略使预期累计贴现未来股息最大化，至少扣除收到的总额外资金。扣除额取决于由φ表示的比例融资成本参数≥ 因此，值函数由v（x）=sup（L，f）定义∈ΘEx“ZτL，fe-δtdLt- φZτL，fe-δtftdBt#，此处τL，f表示受控现金储备过程第一次变为负值，即τL，f=inf{t≥ 0 | XL，ft<0}和Θ是包含这些可容许过程（L，f）的集合，例如ex“ZτL，fe-δt（dLt+φftdBt）#<∞.如果我们假设控制是常数，并且对于某些l∈ R+，我们面临一个马尔可夫过程，其最小生成元isAl，fg（x）=cg（x）- lg（x）+β[g（x+f）- g（x）]+λZ∞[g（x- y）- g（x）]dFY（y）。当然，上面的函数g必须在生成器D（Al，f）的域中，其中包含满足可积条件的绝对连续函数h[| h（Xl，ft）|]<∞, 见Rolski等人【8，Th.11.2.2】。利用这个表达式，我们可以表述这个问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程cg（x）- （λ+δ）g（x）+λZxg（x- y） dFY（y）+βsupf≥0{g（x+f）- g（x）- φf}，1- g（x）= 0。（1）从HJB方程的形状，我们可以立即导出其解的一些性质。引理1。

设g是HJB方程（1）的连续可微解，则g是严格单调递增的（g≥ 1） 并从下方以cλ+δ>0为界。证据从方程中我们直接得到g≥ 如果我们考虑limitx和0，我们得到g（0+）≥cδ+λ>0。由于g是单调递增且连续的，则赋值如下。此外，我们可以从下面对值函数进行绑定，类似于Azcue&Muller[2]或Schmidli[9，p.80 Lemma 2.37]所做的。引理2。在当前模型设置中，值函数ful fillsv（x）≥ x+cλ+δ。证据对于特殊选择（L、f）≡ （L，0）对于原股利最大化问题，我们面临一个可容许的股利策略。界限来自上述引用的（现在是经典的）结果。2优化问题的解决方案在以下情况下，我们假设索赔规模分布与参数α的指数分布一致。我们试图确定一个最优策略，并确定问题的明确解决方案。在任意索赔规模分布的情况下，可以预期带型策略是最优的。需要指出的是，与文献中关于指数分布债权的股息问题的其他修改相比，融资控制的存在使情况更加复杂。我们从识别导致某种退化最优策略的参数集开始。2.1将准备金保持在零的最优性对于一种特殊的参数配置，我们得出的最佳策略是立即支付初始准备金，并继续支付股息，以使当前准备金保持为零，这意味着股息率为c，第一次索赔导致收益。与文献[9，第93页]中的经典结果进行比较。引理3。最优策略是立即支付初始准备金，然后按照溢价率c（δ+λ）支付股息≥ cαλ。

因此，valuefunction具有以下形式v（x）=x+cλ+δ。（2） 证明。使用V（x）=x+cλ+δ，证明类似于[9，p.93]中给出的证明。请注意，在目前的资本供应问题中，HJB方程中与f相对应的附加部分为零，βsupf≥0{V（x+f）- V（x）- φf}=βsupf≥0{(1 - φ） f}=0，因为φ≥ 1、从后一个结果中，我们看到我们需要关注（δ+λ）<cαλ，这反过来意味着cα>δ+λ，因为我们假设所有参数都是正的。2.2嵌入式问题在解决问题的一开始，我们首先猜测一些常见的控制类型，如屏障和简单带策略。结果表明，它们一般都不是最优的。因此，为了了解最优策略的形状，我们采用了数值方法。在第一个x n∈ N且允许最多N次注资（在跳跃时间Z，…，Znof B），相应的价值函数族由Vn（x）=sup（L，f）定义∈ΘEZτL，fe-δSDL- φBτL，f∧nXi=1e-δZifZi.人们可能会注意到，对于经典股息最大化问题和指数分布索赔的情况，其价值函数是明确已知的。然而，以下方法不需要假设指数索赔，而是侧重于障碍型股息策略。当然，这是可以概括的。我们有一个Vn，在使用一次干预后，用Vn重新启动-1，可以在最大化f时使用。推导的数值过程如下：1。通过求解0=cg（x），计算无需额外资本（f=0）的V- （δ+λ）g（x）+λZxg（x- y） dFY（y），对于0≤ x个≤ 当x>b时，b和g（x）=1。如果最优b未知，则可以对不同的b值执行此操作。选择最大化b，我们获得具有最优屏障的近似值，如b*.

然后我们可以通过设置f=argmaxf来计算最佳状态相关的f（x）≥0{V（x+f）- V（x）- φf}。2、计算V，其中我们考虑一次财务注入，精确为f，并求解b0=cg（x）的不同值- （δ+λ）g（x）+λZxg（x- y） dFY（y）+β[V（x+f）- V（x）- φf]0≤ x个≤ 当x>b时，b和g（x）=1。使用最大化b的结果近似于V。作为下一步，在第一步和第二步中用Vin替换Vby。当然，我们必须在每个步骤中为阈值b选择最佳值，如图1所示。其中Vbstar（x）表示通常离散问题的数值解，进一步表示迭代解，当∈ {1, 2, . . . }允许提供资金机会。括号内的值与屏障b的值相对应，其中 = 0.02.10.5 11.0 11.5 12.024.024.525.025.526.0Vbstar（x）V（400Δ）（x）V2（400Δ）（x）V3（430Δ）（x）V3（460Δ）（x）V3（455Δ）（x）V3（445Δ）（x）图1：不同迭代解的比较。这种方法向我们揭示了一种新的可能最优策略，这是正确的猜测。2.3产生新策略利用数值方法的结果，我们能够为我们的问题构建新策略。新策略为带型，由两个参数指定0≤ 一≤ b<∞ 因此o股息策略为b级障碍型，L0+=（x- b） I{x>b}dLt=c dt，t>0，o融资策略仅适用于储备水平x∈ [0，a）。由f（x）=（a）给出- x） I{0≤x<a}，具有只在级别a以下搜索资金来源的功能。如果出现，我们选择的融资高度应使盈余上升到a，而一般不上升到b级。对于初始盈余x≥ 0我们根据V（x；a，b）表示该值，即性能函数。

通过构造，可以用以下形式编写此函数：V（x；a，b）=Vl（x；a，b），如果0≤ x个≤ a、 Vu（x；a，b），如果a≤ x个≤ b、 x个- b+V（b；a，b），如果x>b.（3），则使用Dynkin公式类型的参数或基于第一次索赔发生条件的经典参数，函数Vl（x）=Vl（x；a，b）和Vu（x）=Vu（x；a，b）必须填写方程cvl（x）- （δ+λ）Vl（x）+λZxVl（x- y） αe-αydy+β（Vl（a）- Vl（x）- φ（a- x） ）=0，（4）cVu（x）- （δ+λ）Vu（x）+λZx-aVu（x- y） αe-αydy+λZxx-aVl（x- y） αe-αydy=0，（5）Vl（a）=Vu（a）和Vu（b）=1。（6） 利用上述方程，我们立即得到V（x；a，b）在x上是连续可微的。此外，我们还得到连续性意味着可微性，即Vl（a）=Vu（a）当且仅当Vl（a）=Vu（a）。这意味着（6）中的条件Vl（a）=Vu（a）等同于条件Vl（a）=Vu（a）。为了明确地求解上述方程（4）、（5）和（6），我们使用了等效系数的方法。这将产生函数vl（x；a，b）：=a（a，b）eRx+a（a，b）eRx+a（a，b）x+a（a，b），（7）Vu（x；a，b）：=b（a，b）eSx+b（a，b）eSx，（8）其中S<0<是cS的解决方案-（δ+λ）+αλα+S=0。指数R<0<Rsolve cR- （δ+λ+β）+αλα+R=0。注意，在我们的假设下，S+S<0。系数A，Bare由五个线性方程组系统获得，并且严重依赖于参数a、b。我们观察到，函数V（x；a，b）在a和b中的数值最大化会导致水平a*和b*这与x无关。这些特定的水平还与a和b中的二阶平滑条件的解有关。此外，我们需要填充这些二阶平滑条件，以获得两次连续可微的函数。