非凸环境下的多元风险测度

下面的结果推广了次线性设置中的李雅普诺夫定理，另请参见【13】。定理4.1。让(Ohm, F、 P）是一个非原子的概率空间，并让radmit表示（9）的分量与α（ζ），αd（ζ）是完整的，除非ζ属于Lq（R）中的一个单元。那么R（X）是凸的。证据我们需要证明，对于两个选择ξ′，ξ′∈ Lp（X）和λ∈ [0，1]，存在ξ∈ Lp（X）使得r（ξ）≤ λr（ξ′）+（1- λ） r（ξ′）。鉴于r的凸性，必须确保r（ξ）≤ r（λξ′+（1- λ)ξ′′).假设α（ζ）a的所有成分都在有限集合Z={ζ，…，ζm}之外的ζ的有限中。考虑SSIGN到每个可测子集a的映射 Ohm 向量ν（A）=（E(-1Aζξ′），E类(-1Aζmξ′），E(-1Aζξ′），E类(-1Aζmξ′））∈ R2md。很容易验证，这是一个向量值度量。根据李亚普诺夫定理，其图像是闭凸的，因此存在一个可测子集a Ohm 使得ν（A）=λν(Ohm) + (1 - λ)υ() = λυ(Ohm).然后是E(-1Aζiξ′）=λE(-ζiξ′）和E(-1Aζiξ′）=λE(-ζiξ′）表示所有i。因此，E(-λζiξ′- (1 -λ） ζiξ′）=E(-ζi（ξ′）+1A（ξ′）- ξ′）=E(-ξiξ），其中ξ=ξ′A+ξ′aci是X的选择。因此，E(-ζiξ）- α（ζi）=E(-ζi（λξ′+（1-λ)ξ′′)) - α（ζi）≤ r（λξ′+（1-λ） ξ′），所以ξ确实是所需的选择。备注4.2。对于确定性下闭集F，选择风险度量R（F）并不总是等于(-F）。例如，在定理4.1的框架内，或在第5.2节固定交易成本的背景下，情况并非如此。如果有任何x，x，则称集合F为r-凸（或r为risk-凸∈ F和任意A Ohm 我们还有-r（1Ax+1Acx）∈ F那么F是r-凸的当且仅当r（F）=-F很容易看出，风险凸集的交集也是风险凸集。

如果r是负期望且概率空间是非原子的，则风险凸性对应于通常的凸性概念。如果r是负必要的，则每个下集都是风险凸的。备注4.3。考虑X={ξ，η}+Rd-. 那么R（X）是凸的当且仅当，对于每个∈ （0，1），存在∈ F使得tr（ξ）+（1- t） r（η）≥ r（ξ1A+η1Ac）。随机m集的选择族不一定是规律不变的，即它们可以对具有相同分布的两个随机集进行选择，参见【11，第1.4.1节】。这可能导致选择风险度量R不具有法律不变性。尽管如此，r的定律不变性凸X的选择风险度量的定律不变性，请参见[12]。下面我们考虑可能是非凸X的情况。如果风险测度r在随机向量的a.s.一致p-可积有界序列上是连续的，则称其为Lebesgue连续的。定理4.4。假设概率空间是非原子的，r是Lebesgueco连续风险度量。然后，选择风险测度R（X）在平整拟有界投资组合上是定律不变的。证据设X和X′共享相同的分布，以便相应的闭包Y=cl+X和Y′=cl+它们的Pareto最优点的X′是p-可积有界的，且具有相同的分布。利用Y′和Y′的Lebesgue性质和p-可积有界性，可以分别在Y和Y′的p-可积选择上取（3）中的并。让x∈ r（ξ）+Rd+表示ξ∈ Lp（Y）。由于L（Y）和L（Y′）的弱闭包重合（见[11，Th.1.4.3]），因此存在一个序列ηn∈ Lp（Y′）弱收敛于ξ。THNKηnk≤ 后一个随机变量是可积的。因此，{ηn，n≥ 1} 在L（Rd）中相对紧凑。

通过传递到子序列，可以得到ηnk→ ξ几乎可以肯定。Lebesgue连续性性质得出r（ηnk）→ r（ξ）。因此，r（ξ）∈ R（Y′），因为后者是闭合的。最后，x∈ R（X′），因为后一组是上的。众所周知，每个Lp风险度量值都是有限的，p∈ [1, ∞) Lebesguecontinuous，请参见[8]。对于p=∞, [6，Thms.2.4，5.2]为凸风险度量提供了Lebesgue连续性的等价公式。我们给出以下另一个标准。提案4.5。假设r是相干L∞-风险度量，使得r（ξ）=supζ∈ZE公司(-ζξ），其中Z是L（Rd+）的一致可积子集。那么r是勒贝格连续的。证据假设tξn→ ξa.s.和kξnk≤ 所有n和c>0的c a.s。根据Egorov定理，对于每个ε>0，存在一个概率最大ε的事件A，使得ξn→ ξ一致地分布在A的补码aco上。利用两个上界差的绝对值以差的绝对值的上界为界的事实，我们得到了kr（ξn）- r（ξ）k≤ supζ∈ZkE公司(-ζ（ξn- ξ） k级≤ supζ∈ZEkζksupω/∈Akξn（ω）- ξ（ω）k+2c kE(-ζ1A）k.右侧的第一项通过Ac上的一致性收敛到零，而第二项通过Z.5固定交易cos ts5.1的一致可积性收敛到零。选择风险度量的边界假设C的组成部分代表相同的货币，并且转移不受限制，但无论何时进行转移，都会产生固定成本κ>0。如果C是大写位置，则相应的可达位置集由X=C+Iκ和非凸集Iκ=Rd给出-∪ H-k价格为零的投资组合，其中HT={x∈ Rd：dXi=1xi≤ t} ，t∈ R、 C+Iκ选择风险度量的以下界限很简单。提案5.1。我们有（r（C）- Iκ）∪ R（C+H-κ)  R（C+Iκ） R（C+H）。（10） 证明。

从fa ct中首次包含C+x是对所有确定性x的C+Iκ的选择∈ Iκ和H-κ Iκ。第二个包涵体成立，因为Iκ H、 示例5.2。（1 0）左侧的包含可能很严格。设d=2，letC为(-1，1）具有概率α，否则为（0，0）。对于任何0≤ β ≤ α、 我们可以定义一个选择ξ∈ Iκ使得C+ξ等于(-κ、 0）概率β(-1，1）概率α- β、 和（0，0），概率为1- α. 对这些选择进行风险度量表明，R（C+Iκ）包含具有端点（1，0）和（κ，0）的段上的所有点。以下结果提供了固定交易成本情况下选择风险度量的简单界限。提议5.3。i） i fκ≤ κ和C≥ Cco成分，则R（C+Iκ） R（C+Iκ）。ii）如果r是次加的，则r（C+C+Iκ） R（C+Iκ）+R（C+Iκ）每当κ≤ min（κ，κ）。证据i） 注意iκ Iκ代表κ≤ κ、 andC+Iκ C+Iκ C+Iκ。ii）来自Iκ+Iκ Iκ和选择风险度量的单整性。以下结果确定了C+HTS的选择风险度量，在某些情况下，总支付风险=C（1）+···+C（D）。如果r与所有相同的组分一致，则很容易看出C+HTC是可接受的，当且仅当D是可接受的。下面的结果涉及到这样一种情况，即除了一个组件外，r的所有组件都是相同的。提案5.4。i） 如果r的所有分量都是相同的凸风险测度r，则r（C+Ht）=-Ht公司-dr（日/日）。ii）如果r的一个组成部分是负的，其他所有组成部分都是相同的风险度量r，则r（C+Ht）=-Ht公司-（d）-1） r（Dd-1).iii）如果r的一个组成部分是负预期，而所有其他组成部分都是相同的风险度量，则r（ξ）≥ -Eξ表示所有ξ∈ L（R），则R（C+Ht）=-Ht公司-教育证明。根据现金不变性，可以假设t=0。

声明i）如【3，Th.5.1】所示。ii）假设r的第一个组成部分是负必要的。请注意，0∈R（C+H）当且仅当存在一个选择ξ，使得Pdi=1ξ（i）≤ 0，C（1）+ξ（1）≥ 0 a.s.和r（C（i）+ξ（i））≤ 0表示i=2，d、 通过r，r的凸性和单调性Dd公司- 1.= rd- 1dXi=1C（i）≤ rd- 1dXi=2（C（i）+ξ（i））≤dXi=2d- 1r（C（i）+ξ（i））。因此，如果r（C（i）+ξ（i））≤ 0表示所有i=2，d、 然后0∈ -H-（d）-1） r（Dd-1). 另一方面，如果r（Dd-1) ≤ 0，则让ξ（1）=-C（1）和ξ（i）=-C（i）+D/（D）- 1） ，i=2，d、 产生C+H的选择ξ，即r（C+ξ）≤ 0.iii）如果0∈ R（C+H），则存在ξ，使得E（C（1）+ξ（1））≥ 0和r（C（i）+ξ（i））≤ 0，i=2，d、 表示η=d- C（1）- ξ(1). SincePdi=2ξ（i）≤ -ξ（1），我们有dxi=2（C（i）+ξ（i））=D-C（1）+dXi=2ξ（i）≤ η.因此，rη/（d）- 1)≤d- 1r级dXi=2（C（i）+ξ（i））≤d- 1dXi=2r（C（i）+ξ（i））≤ 0。（11）注意E（C（1）+ξ（1））≥ 0等于Eη≤ ED.不等式（11）得出-Eη≤r（η）≤ 0。因此，0≤ Eη≤ 根据需要进行ED。如果ED≥ 0，通过ξ（1）=-C（1）+D和ξ（i）=-C（i），i=2，d、 然后E（C（1）+ξ（1））≥ 0和C（i）+ξ（i）=0，对于i=2，d、 从何处0∈R（C+H）。5.2固定交易成本如果C=0如果C=0，则投资组合X=C+Iκ=Iκ是确定性的。然而，在非对流酶中，R（Iκ）可能是(-Iκ）。例如，当R（Iκ）=-H=转换(-Iκ）。在下文中，假设r是一致的风险度量，d=2。根据命题2.2，必须考虑选择ξ=（x，y）1满足x+y=-κ与（x，y）/∈ R-. Ifx公司≥ 0左右y≤ 0，则r（ξ）=（xr（1A），-年(-1A））。如果x<0，则r（ξ）=(-xr公司(-1A），年（1A））。因此，Iκ的风险由setBr={（r（1A），r(-1A））：A∈ F} ，其中P（A）=0到1之间的β值。

ThenR（X）=[t≥0，（b（1），b（2））∈Br公司（tb（1）(-κ - t） b（2）），（tb（2），（t- κ） b（1））+ R+。（12） 示例5.5。设d=2，且r=（r，r）的两个分量为风险a t水平α的平均值。如果P（A）=β，则（r（1A），r(-1A））=(0, β/α), β ≤ 最小值α, 1 -α),(0, 1), α < β ≤ 1.-α, α ≤ 1/2,(-1 + (1 - β)/α, β/α), 1 - α < β ≤ α, α > 1/2,(-1 + (1 - β） /α，1），最大值（α，1- α) < β ≤ 因此，如果α≤ 1/2，当Bris为两段的并集[（0，0），（0，1）]和[（0，1）(-1，1）]，它不依赖于α。在这种情况下，（12）得出R（Iκ）=-Iκ。现在假设α>1/2。然后Bris是连接点（0，0），（0，1/α）的线- 1),(1/α - 2、1）和(-1, 1). 只有中间部分与情况α不同≤ 1/2. 如果t>0，则点{（tb（1），（t- κ） b（2））：（b（1），b（2））∈ Br}-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0图1：Rκ=1和α=0.75的集合R（Iκ）的左下边界。用端点（0，（t）构成线段- κ)(1/α -1） ）和（t（1/α-2） ，t- κ). 计算这些片段的下包络线得出r（Iκ）=n(-x、 y）：x≥ 0，y≥ 最小值κ+x，√x+pκ（1/α- 1)o[n（x，-y） ：y≥ 0，x≥ 最小值κ+y，√y+pκ（1/α-1)o、 图1显示了α=0.75时的Iκ风险。该集合随着α的增长而增加，并变为conv(-Iκ）如果α=1.6可容许交易的有限集，当可以显式计算非凸集的选择风险度量时，我们考虑另一种特殊情况。假设可能的交易被限制为属于Rd中的有限终止集M，即X=C+M+Rd-.设r的所有分量r都是具有失真函数g的失真风险度量（2）。由于R（X）的分析计算不可行，可以使用（5）到达边界（C+M+Rd-)  r（C）+r（M）+Rd-).在下文中，我们确定尺寸d=2中右侧的最后一项。示例6。1.

考虑两点集M的情况。通过平移，始终可以假设0∈ M、 如果M由xy<0的两点（0，0）和（x，y）组成，则R（x）由所有A的一组值R（（x，y）1A）确定∈ F、 在不丧失一般性的情况下，假设x>0，y<0。自r（1A）=-g（β）和r(-1A）=1-g（1-β） =g（β）如果P（A）=β，我们有R（M+R-) =[β∈[0,1]- g（β）x，（g（1- β) -1） y型+ R+。示例6.2。设M={（x，y），（x，y），（x，y）}由三个点组成，并假设x<x=0<x，y>y=0>y。在这种情况下，可能的选择可以是两个点选择这三个点中的两个点（在这种情况下，风险计算为样本6.1），三个点选择以正概率α，α，α达到所有三个点，α+α=1。三点选择的风险可以直接计算，因此R（M+R-) =[α+α≤1,α,α≥0- xg（α）- xg（α），-yg（α）- yg（α）+ R+。参考文献【1】F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，大阪，2012年。[2] H·F¨ollmer和A·Schied。随机金融。离散时间简介。DeGruyter，柏林，第2版，2004年。[3] A.Haier、I.Molchanov和M.Schmutz。集团内部转移、集团内部多元化及其风险评估。安。《金融》，12:363–3922016。[4] 哈默尔和海德。集值风险度量的对偶性。暹罗J.FinancialMath。，1:66 –95, 2 010.[5] A.H.哈默尔、F.海德、A和B.鲁德罗夫。锥形市场模型的集值风险度量。数学芬南。《经济学》，2011年5:1-28。[6] E.Jouini、W.Schachermayer和N.Touzi。法律不变风险度量具有Fato特性。高级数学。经济。，9:49–71, 2006.[7] 于。M、 卡巴诺夫和萨法里。具有交易成本的市场。数学理论。柏林斯普林格，2009年。[8] M.Kaina和L.R¨uschendorf。关于Lp空间上的凸风险测度。数学冰毒。操作。Res.，69:475–4952009。[9] J.L eitner。

平衡单一风险措施。内景J.Thero。应用程序。《金融》，7:887–9002004。[10] E.L'epinette和I.Molchanov。随机集的条件cor和条件凸包。技术报告，arXiv材料h:1711.103032017。[11] I.Molchanov。《Random Se ts.Springer理论》，伦敦，2017年第2版。[12] I.Molchanov和I.Cascos。多元风险度量：基于选择的建设性方法。数学《金融》，26:867–900，2016年。[13] N.萨加拉。非加性向量测度的李雅普诺夫型定理。2009年11月30日至12月2日，在日本aji岛举行的《艺术情报建模决策：第六届国际会议》（MDAI 2009）编辑Vicent,cTorra、Yasuo Narukawa和Masahiro Inuiguchi。《会议记录》，第72-80页，柏林，海德堡，2009年。施普林格柏林海德堡。