评估风险价值范围预测

如果T是一致的，并且如果\'S（T（F），F）=\'S（x，F）意味着x=T（F），则T是严格一致的∈ A和所有F∈ F、 A函数T:F→ 如果A具有严格的F一致的得分函数，则A在F上是可引出的。定义2.5。两个评分函数S，eS:A×R→ 如果有a:R，那么R是等价的→ R和一些λ>0，使得所有（x，y）的es（x，y）=λS（x，y）+a（y）∈ A×R。如果另外A≡ 这个等价关系保持（严格）一致性：如果S对于T是（严格）F-一致的，如果a是F-可积的，那么es对于T也是（严格）F-一致的。与可引出性概念密切相关的是可识别性概念。定义2.6。A映射V:A×R→ Rkis是T:F的F识别函数→ Aif它是F-可积的，如果V（T（F），F）=0表示所有F∈ F、 如果另外V（x，F）=0意味着x=T（F）表示所有x，则这是T的严格F-识别函数∈ A和所有F∈ F.它是一致的，如果\'S（T（F），F）=\'S（x，F）意味着x=T（F）表示所有x∈ A和d代表所有F∈ F、 A函数T:F→ 如果A具有严格一致的评分函数，则A是可引出的。A函数T:F→ 如果A具有严格的F-识别函数，则A可以在F上识别。与Neiting（2011）相反，我们只考虑点值泛函。关于集值泛函可导性的最新综合研究，我们参考了Fissler等人（2020）。为完整起见，我们列出了第3节中使用的一些假设，这些假设最初在附录中介绍了inFissler和Ziegel（2016）。3可引出性和可识别性结果Wang和Wei（2020，定理5.3）表明，对于0<α<β<1，RVaRα，β（以及对（VaRα，RVaRα，β）和（VaRβ，RVaRα，β））在FDI上没有CxLS，这是具有有界和离散支持的分布类。

因此，调用C x l对于可诱导性和可识别性来说是必要的，RVaRα、β以及成对（VaRα、RVaRα、β）和（VaRβ、RVaRα、β）在FDI上都是可诱导和可识别的。然而，我们的新贡献是，三联体（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）是可诱导和可识别的，受温和条件的影响。我们使用符号Sα（x，y）=（1{y≤ x}- α） x个- 1{y≤ x} y，andrecall，Sα对于VaRαifR是F一致的-∞|y|dF（y）<∞ 对于所有F∈ F、 如果进一步F，则严格一致 Fα（片麻岩，2011）。提案3.1。对于0<α<β<1，映射V:R×R→ RV（x，x，x，y）=1{y≤ x}- α1{y≤ x}- βx+β-αSβ（x，y）- Sα（x，y）（3.1）是F（α）∩ F（β）-对于（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的识别函数，它是严格的Fα∩ F（α）∩ Fβ∩ F（β）。证据证明是标准的，观察到“V（VaRα（F），VaRβ（F），x，F）=x- RVaRα，β（F），（3.2），由表示式（2.3）得出。下面的定理建立了一类丰富的（严格）一致的评分函数S:R×R→ R表示（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）。通过先验假设预测与某个立方体中的值有界[cmin，cmax]，-∞ ≤ cmin<cmax≤ ∞ （默认为[cmin，cmax]：=[cmin，cmax]∩如果cmin=-∞ 或cmax=∞), 这个班有七辆b级跑车。定理3.2。

对于0<α<β<1，图S：[cmin，cmax]×R→ RS（x，x，x，y）=1{y≤ x}- αg（x）- 1{y≤ x} g（y）（3.3）+1{y≤ x}- βg（x）- 1{y≤ x} g（y）+φ′（x）x+β-αSβ（x，y）- Sα（x，y）- φ（x）+a（y），是（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的F一致评分函数，如果（i）φ：[cmin，cmax]→ 对于所有x，R是次梯度φ′（ii）凸的∈ 【cmin，cmax】函数g1，x:【cmin，cmax】→ R、 x7级→ g（x）- xφ′（x）/（β-α） ，（3.4）G2，x：[cmin，cmax]→ R、 x7级→ g（x）+xφ′（x）/（β-α） （3.5）正在增加，以及（iii）y 7→ a（y）- 1{y≤ x} g（y）- 1{y≤ x} 对于所有x，x，g（y）是F-可积的∈[最小值，最大值]。如果φ是严格凸的，且（3.4）和（3.5）处的函数是严格凸的，则S是严格Fα∩ Fβ-与T一致。证据Let（x，x，x）∈ A、 F级∈ F和（t，t，t）：=t（F）。然后，s从G1开始，xis增大，[cmin，cmax]×R （x′，y）7→ 对于VaRα，S（x′，x，x，y）是F-一致的，如果G1，xis严格增加，则S（x′，x，y）是F-一致的。类似的注释适用于map[cmin，cmax]×R （x′，y）7→ S（t，x′，x，y）。因此，0≤\'S（x，x，x，F）-\'S（t，x，x，F）+\'S（t，x，x，F）-\'S（t，t，x，F）=\'S（x，x，x，F）-在严格一致性条件下，如果（x，x）6=（t，t），则具有严格不等式。最后，S（t，t，x，F）-\'S（t，t，t，F）=φ′（x）（x- t）- φ（x）+φ（t）≥ 0，（3.6），因为φ是凸的。如果φ是严格凸的，如果x6=t，则（3.6）中的不等式是严格凸的。备注3.3。如果定理3.2中的条件（iii）成立，并且如果φ是严格凸的，且G1、x和G2、x是严格增加的，那么（3.3）中给出的S在一般F的RVaR分量中仍然是严格F-一致的 F、 这就是F∈ 法尔格minx∈A'S（x，F）=qα（F）×qβ（F）×{RVaRα，β（F）}。利用（2.4）和启示原则（Osband，1985；Gneiting，2011；Fissler，2017），定理3.2还为（VaRα，VaR1-α、 Wα），其中Wα是α-加权平均值。

以下命题有助于构建示例；参见第6节。提案3.4。设（3.3）形式为（严格）凸非恒常函数φ，且函数g，g使得（3.4）和（3.5）处的函数（严格）增加，且满足定理3.2的条件（iii）。然后，以下情况成立：（i）φ的次梯度φ′必然有界，甘加的单侧导数从下方必然有界。（ii）S与形式（3.3）的评分函数▄S与▄φ′以β为界的（严格）凸函数▄φsuch强等价- α = -infx公司∈[cmin，cmax]~φ′（x）=supx∈[cmin，cmax]~φ′（x），并严格考虑到其单侧导数从下方以1为界，并且（3.4）和（3.5）处的函数（严格）增加，定理3.2的条件（iii）满足证明。（i） 该证明类似于推论5.5 inFissler和Ziegel（2016）：条件（ii）意味着对于任何x，x′，x，x′，x∈ [cmin，cmax]对于x<x′和x<x′，它认为- ∞ < -g（x′）- g（x）x′- x个≤φ′（x）β-α≤g（x′）- g（x）x′- x<∞. （3.7）因此，φ′是有界的，并且gis的单侧导数从下方supxφ′（x）/（β）有界-α） 而gis的单侧导数从belowby开始-infxφ′（x）/（β- α).（ii）对于任何c∈ R、 如果我们用bφ替换φ：x 7→ φ（x）+cx，Gw，带bg:x 7→ g（x）+cx/（β）- α） ，和带bg的Gw:x 7→ g（x）- cx/（β）- α） 在S的公式（3.3）中，S不变。Alsobφ（严格）凸当且仅当φ（严格）凸。此外，定理3.2的条件（ii）和（iii）适用于φ，g，gifand，仅当它们适用于bφ，bg和bg时。根据命题（i）部分，φ′有界。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设-infx公司∈[cmin，cmax]φ′（x）=supx∈[cmin，cmaxφ′（x）=λ>0，sin ceφ是非常数。

然后参数后面是设置▄S=λβ-αS。调用不等式（2.2），三元组（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）只能在域A中获得值：={（x，x，x）∈ R | x≤ x个≤ x} 。因此，我们称之为最大可感作用域。在A之外发布T预测，因此违反（2.2）将是不合理的，与负方差预测相对应。尽管如此，表格（3.3）的评分函数允许对违反（2.2）的预测进行评估。为了（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）获得（严格）一致的SCORINGFUNCTION的必要特征化结果，很快就会意识到[cmin、cmax]中存在灵活性，因为可以将分数设置为一致，并且仍然保持（严格）一致性。因此，一个必要的特征化结果只在域a上起作用并不奇怪 A、 这种必要描述的关键是源自奥斯本（1985）的著名论文《奥斯本原理》（Fissler and Ziegel，2016，定理3.2）。由于它利用了预期分数最小化的一阶条件，因此结果的主要假设包括预期分数的平滑性假设以及分布F的非劣化类的丰富度假设；有关详细的技术公式，请参见附录dix。有关这些条件的讨论，请参见Fissler和Ziegel（2016）。我们介绍了Fcont类 Fof分布持续不同，且具有严格的正导数/密度。（C learly Fcont Fγ∩ F（γ）表示任意γ∈ (0, 1).) 对于任何A R、 我们用a′R表示rth分量上的投影：={xr∈ R|（z，z，z）∈ A、 zr=xr}，r∈ {1, 2, 3}. 对于任何x∈ A′和m∈ {1，2}，设A′m，x：={xm∈ R|（z，z，z）∈ A、 zm=xm，z=x}。定理3.5。让F Fcont，0<α<β<1，T=（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）：F→A. A、 设V=（V，V，V）定义见（3.1）。

如果假设（V1）和（F1）保持不变和（V，V）满足假设（V4），则任何严格F一致的评分函数：A×R→ 满足假设（VS1）和（S2）的T的R几乎在任何地方都必须采用（3.3）的形式，其中函数Gr，x:A′R，x→ R、 R∈ {1，2}，x∈ A′，in（3.4）和（3.5）严格递增，φ：A′→ R是严格凸的。证据首先注意，V满足F的假设（V3） Fcont公司。让F∈ 带导数F和let x的F∈ int（A）。然后得到'V（x，F）=x+β-αx（F（x）- β) - x（F（x）- α) -Zxxyf（y）dyV的偏导数如下所示：\'V（x，F）=F（x），\'V（x，F）=F（x），(R)V（x，F）=-（F（x）- α)/(β - α), (R)V（x，F）=（F（x）- β)/(β - α), V（x，F）=1，和r'V（x，F）和r的m'V（x，F）消失∈ {2，3}和m∈ {1, 3}. 应用Fissler和Ziegel（2016，定理3.2）得出连续可微函数hlm:int（A）的存在性→ R、 l，m∈ {1，2，3}，这样m'S（x，F）=Pi=1hmi（x）'Vi（x，F）（对于m）∈ {1, 2, 3}. 因为我们假设'S（·，F）对于任何F是两次连续可微的∈ F、 二阶偏微分方程需要通勤。L et t=t（F）。然后\'S（t，F）=\'S（t，F）等于h（t）F（t）=h（t）F（t）。这需要保持f或所有f∈ F、 假设（V4）与T的相关性相结合所暗示的密度变化得出h≡ h类≡ int（A）上为0。同样，评估\'S（x，F）=\'S（x，F）和\'S（x，F）=在x=t=t（F）时的S（x，F）产生h（t）=h（t）F（t），h（t）=h（t）F（t）。再次使用假设（V4）以及T的满射性，这意味着h≡ h类≡ h类≡ h类≡ 因此，我们剩下的是特征化hmmfor m∈ {1, 2, 3}. 注意，假设（V1）意味着对于任何x=（x，x，x）∈ int（A）有两个分布F，F∈ F使得（F（x）-α、 F（x）-β)和（F（x）-α、 F（x）-β)林很早就独立了。

那么，要求\'S（x，F）=h（x）（F（x）- β) = h（x）（F（x）- α) = \'S（x，F）表示所有x∈ int（A）和所有F∈ F意味着h类≡ h类≡ 0、从开始\'S（x，F）=\'S（x，F），表示高压（x，F）=h（x）+h（x）/（β-α)(R)V（x，F）。同样，假设（V1）意味着有F，F∈ F此类\'V（x，F），\'V（x，F）和\'V（x，F），\'V（x，F）是线性独立的。因此，我们得到h类≡ 0和h类≡ -h/（β）- α). 用同样的论证，从\'S（x，F）=\'S（x，F）可以显示h类≡ 0和h类≡h/（β）-α). 这意味着存在函数c：{（x，x）∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z}→ R、 c：{（x，x）∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z}→ R、 c：int（A）′型→ R、 还有一些z∈ int（A）′，使得对于任何x=（x，x，x）∈ int（A）i认为h（x）=c（x），h（x）=cmin（x，x）=-β -αZxzc（z）dz+b（x），h（x）=cmax（x，x）=β- αZxzc（z）dz+b（x），其中br:int（A）′r→ R、 R∈ {1, 2}. 由于T的任何分量都是混合连续的f作用，并且由于f是凸的和T满射的，投影int（A）′是凸f A泛函T:f的开口→ 对于任何F，G，Rkis称为混合连续∈ 图[0，1] λ 7→ T（（1- λ） F+λG）是连续的。间隔因此，[最小值（z，x），最大值（z，x）] int（A）′。由于假设（V3）和（S2），Fissler和Ziegel（2016，定理3.2）暗示c，c，care局部Lipschitz Continue ou s。上述计算暗示预期分数的Hessian，\'S（x，F），在其最小值x=t=t（F）处，是一个对角线矩阵，其条目为c（t，t）F（t）、c（t，t）F（t）和c（t）。作为二阶条件\'S（t，F）必须为正S emi定义。再次调用T的满射性，这表明c，c，c≥ 0

更重要的是，调用预期分数的连续差异性以及S对于T是严格F一致的事实，对于任何F∈ F，t=t（F），对于任何v∈ R、 v 6=0时，存在ε>0，因此DDS（t+sv，F）对于所有S均为负值∈ (-ε、 0），s=0时为零，所有s为正∈ （ε，0）对于v=e=（0，0，1）, 这意味着对于任何F∈ 当t=t（F）时，存在ε>0的情况，即dds（t+se，F）=c（t+S）S对于所有S具有与S相同的符号∈ (-ε, ε). 因此，对于所有s，c（t+s）>0∈ (-ε, ε) \\ {0}. 使用T的满射性并调用Compactness参数，cattains在任何紧区间上仅多次得出0。回想一下，int（A）′是一个开放区间。因此，它可以用紧致区间的松弛序列来逼近。因此，c-1（{0}）最多可数，因此是Lebesgue null集。通过类似的参数，可以证明对于anyx∈ int（A）′，集合{x∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z，c（x，x）=0}和{x∈ [x，∞) |（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z，c（x，x）=0}是最可数的，因此也是Lebesgue空集。最后，利用命题1 inFissler和Ziegel（2020）（认识到V是局部有界的）可以得出S几乎是形式（3.3）的每个地方。此外，对于m，φ′′=cand，g′m=bm，它几乎都成立∈ {1, 2}. 因此，φ是严格凸的，（3.4）和（3.5）处的函数是严格递增的。结合定理3.2和3.5，我们可以证明givenat（3.3）的评分函数本质上是作用域A={（x，x，x）上三元组（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的唯一严格一致的评分函数∈ R | cmin≤ x个≤x个≤ x个≤ cmax}。推论3.6。设A={（x，x，x）∈ R | cmin≤ x个≤ x个≤ x个≤ cmax}对于某些-∞ ≤ cmin<cmax≤ ∞.

在定理3.5的条件下，a评分函数：a×R→ 对于T=（VaRα，VaRβ，RVaRα，β），0<α<β<1，当且仅当其几乎处处满足条件（i），（ii），（iii），形式（3.3）时，R是严格F一致的。此外，函数φ′：[cmin，cmax]→ R必然有界。证据为了证明这一点，必须证明∈ （3.4），（3.5）中定义的{1，2}，Gr，xd不仅在A′r，xf上增加，对于任何x∈ A′但在A′r上=[cmin，cmax]。对于x∈[cmin，cmax]=A′，我们有A′1，x=[cmin，x]和A′2，x=[x，cmax]。让x∈ A′和x，x′∈ A′，x<x′。如果x，x′∈ A′1，X没有什么可展示的。然而，如果x<x′，那么x，x′∈ A′1，x′。这意味着0≤ g（x′）- g（x）- （x′）- x） φ′（x′）/（β-α)≤ g（x′）- g（x）- （x′）- x） φ′（x）/（β-α） 其中，第二个不等式源自φ′增大的事实。如果函数g1，x′严格递增，则第一个不等式是严格的。G2，x的参数与此类似。备注3.7。请注意定理3.2和3.5与Frongillo和Kash（2020，定理1）、Brehmer（2017，命题4.14），尤其是Fissler和Ziegel（2016，定理5.2和推论5.5）的结构差异。我们感兴趣的函数，RVaRα，β0<α<β<1，不是预期评分函数的最小值-或Bayes风险-而是两个评分函数的最小值的差异。实际上，虽然β（F）=-β′Sβ（VaRβ（F），F），我们有thattrvarα，β（F）=-β -α\'Sβ（VaRβ（F），F）-\'Sα（VaRα（F），F）.这种结构差异反映在（3.4）中的减号中。特别是，这意味着如果我们想确保S的严格一致性，函数和G不能完全消失，而定理5.2 inFissler和Ziegel（2016）中的相应函数很可能被设置为零。

Frongillo和Kash（2020，Theorem2）概括了我们的结果，并给出了任何银行风险线性组合的可引出性结果。第6.4节“平移不变性和同质性”给出并讨论了（3.3）处评分函数的函数g、g和φ选择的具体示例。在（3.3）处评分函数S的公式中出现了函数g、g和φ的许多问题。通常，可以通过对S施加第二理想标准来限制这些问题。在本节中，我们展示了标准标准（Patton（2011）；Nolde和Ziegel（2017）；Fissler和Ziegel（2019）的翻译方差和正h同质性等研究结果对RVA没有多大影响。如果有人对动作域形式为A={x的评分函数感兴趣∈R | cmin≤ x个≤ x个≤ x个≤ cmax}具有变换分数差异的附加属性，唯一合理的选择是cmin=-∞, cmax=∞, 在最大作用域A中。类似地，对于具有正同质得分差异的得分函数，作用域最有趣的选择是A=A，A=A+={（x，x，x）∈ R | 0≤ x个≤ x个≤ x} 或A=A-= {（x，x，x）∈ R | x≤x个≤ x个≤ 0}.命题4.1（翻译不变性）。在定理3.5的条件下，对于（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）在具有平移不变得分差异的情况下，没有严格F一致的得分函数。证据使用定理3.5，T的任何严格F-一致的评分函数必须是形式（3.3），其中φ是严格凸的，可二次微分，φ′是有界的。假设S具有平移不变分数差。这意味着函数ψ：R×A×A×R→ R、 ψ（z，x，x′，y）=S（x+z，x+z，x+z，y+z）- S（x′+z，x′+z，x′+z，y+z）- S（x，x，x，y）+S（x′，x′，x′，y）消失。