评估风险价值范围预测

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英文标题：
《Evaluating Range Value at Risk Forecasts》
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作者：
Tobias Fissler and Johanna F. Ziegel
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  The debate of what quantitative risk measure to choose in practice has mainly focused on the dichotomy between Value at Risk (VaR) -- a quantile -- and Expected Shortfall (ES) -- a tail expectation. Range Value at Risk (RVaR) is a natural interpolation between these two prominent risk measures, which constitutes a tradeoff between the sensitivity of the latter and the robustness of the former, turning it into a practically relevant risk measure on its own. As such, there is a need to statistically validate RVaR forecasts and to compare and rank the performance of different RVaR models, tasks subsumed under the term \'backtesting\' in finance. The predictive performance is best evaluated and compared in terms of strictly consistent loss or scoring functions. That is, functions which are minimised in expectation by the correct RVaR forecast. Much like ES, it has been shown recently that RVaR does not admit strictly consistent scoring functions, i.e., it is not elicitable. Mitigating this negative result, this paper shows that a triplet of RVaR with two VaR components at different levels is elicitable. We characterise the class of strictly consistent scoring functions for this triplet. Additional properties of these scoring functions are examined, including the diagnostic tool of Murphy diagrams. The results are illustrated with a simulation study, and we put our approach in perspective with respect to the classical approach of trimmed least squares in robust regression.
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中文摘要：
关于在实践中选择何种量化风险度量的争论主要集中在风险价值（VaR）——分位数——和预期短缺（ES）——尾部预期之间的二分法上。风险范围价值（RVaR）是这两个重要风险度量之间的一个自然插值，它在后者的敏感性和前者的稳健性之间进行权衡，使其自身成为一个实际相关的风险度量。因此，需要对RVA预测进行统计验证，并对不同RVA模型的性能进行比较和排序，这些模型和任务包含在财务术语“后验”中。预测性能最好根据严格一致的损失或评分函数进行评估和比较。也就是说，通过正确的RVA预测，函数的期望值最小化。与ES非常相似，最近的研究表明，RVaR不支持严格一致的评分函数，即它是不可导出的。为了缓解这一负面结果，本文表明，在不同水平上具有两个VaR分量的RVaR三元组是可以得出的。我们为这个三元组描述了严格一致的评分函数类。本文还研究了这些评分函数的其他属性，包括墨菲图的诊断工具。结果通过仿真研究进行了说明，我们将我们的方法与稳健回归中的经典修剪最小二乘法进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Evaluating_Range_Value_at_Risk_Forecasts.pdf (401.46 KB)

2022-6-11 16:20:52 上传

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关键词：风险价值 Quantitative Mathematical Multivariate Applications

在RiskFo重铸时评估范围值*Tobias Fissler+Johanna F.Ziegel2021年9月30日摘要。关于在实践中选择何种量化风险度量的争论主要集中在风险价值（VaR）和预期短缺（ES）之间的二分法上，后者是尾部预期。风险价值区间（RVA）是这两个重要风险度量之间的一个自然插值，它在后者的敏感性和前者的稳健性之间构成一个权衡，将其自身转化为一个实际相关的风险度量。因此，需要对RVaR预测进行统计验证，并对不同RVaR模型的执行情况进行比较和排序，这些模型包括在“财务回溯测试”一词下的任务。预测性能最好根据严格一致的损失或评分函数进行评估和比较。也就是说，通过正确的RVA预测，函数的期望值最小化。与ES非常相似，最近已经证明，RVaR不允许严格一致的评分函数，即它是不可导出的。为了缓解这一负面结果，本文表明，在不同水平上具有两个VaR分量的RVaR的完整性是可以得出的。我们为这个三元组描述了严格一致的评分函数类。本文还研究了这些评分函数的其他属性，包括墨菲图的诊断工具。

通过仿真研究对结果进行了说明，并与稳健回归中修剪最小二乘法的经典方法进行了比较。关键词：回溯测试；一致性启发性；应为S短球；分位数间期望；点预测；稳健性；评分功能；修剪平均值；风险价值；Winsorized Meansc2020等级：62C99；62G35；62P05；91G70*本文件的早期版本以风险范围值的可引出性为名分发。+维也纳经济和商业大学金融、会计和统计系，Welthandelsplatz 1，1020 Vienna，Austria，电子邮件：tobias。fissler@wu.ac.at伯尔尼大学，数学与统计系，数理统计与实际科学研究所，阿尔卑涅格斯特拉斯22号，3012伯尔尼，瑞士，电子邮件：johanna。ziegel@stat.unibe.ch1简介在量化风险管理领域，过去一到二十年来，关于哪种货币风险度量（Artzner等人，1999）是（监管）实践中最好的，存在着激烈的争论。争论主要集中在风险价值（VaRβ）与预期短缺（ESβ）之间的二分法，另一方面，在一定的概率水平β下∈ （0，1）（定义见第2节）。在经典统计学中，VaRβ（基本上是一个分位数）因其稳健性而备受推崇，而ESβ（尾部期望）则因其敏感性和满足一致风险度量公理的事实而被视为具有吸引力（Artzner et al.，1999），这反映了作为中心性度量的中间值和平均值之间的历史较量。我们建议读者参考Embrechts et al.（2014）和Emmer et al.（2015）进行全面的学术讨论，并参考国际清算银行（2014）对银行业的监管观点。Cont等人。

（2010）考虑了HAMPEL意义下风险度量估计的统计稳健性问题（1971）。他们表明，风险度量不能既可靠又连贯。作为一种折衷，他们提出了风险度量“范围值atRisk”，RVaRα，β在概率水平0<α<β<1时。定义为γ介于α和β之间的所有变量γ的平均值（定义见第2节）。作为极限情况，我们得到了RVaRβ，β=VaRβ和RVaR0，β=ESβ，这表示RVaRα，β是VaRβ和ESβ的自然插值。根据分解点对其稳健性进行量化，并遵循Uber和Ronchetti（2009，第59页）提供的参数，RVaRα，β的分解点为min{α，1-β} ，将其置于绝对VaRβ之间（临界点为min{β，1-β} ）和完全非稳健的ESβ（击穿点0）。这意味着它是一个robus t，因此不是一致的风险度量，除非它退化为RVaR0，β=ESβ（或如果0≤ α < β = 1). 此外，RVA属于畸变风险度量的广泛类别（Kusuoka，2001）。关于在风险度量方面对稳健性的进一步贡献，我们参考了读者toKr¨atschmer et al.（2012、2014）、Kou et al.（2013）、Embrechts et al.（2015）和Z¨ahle（2016）。自最近的articleCont等人（2010年）发表以来，RVA在风险管理文献中得到了越来越多的关注——参见Embrechts等人（2018a，b）的广泛研究——以及在计量经济学中（Barendse，2020年），其中RVA有时具有替代命名的数量间扩展。对于对称情况β=1- α>1/2，RVaRα，1-在经典统计学中，α在α-修剪均值项下是已知的，它是均值和中位数作为中心性度量的替代和插值；参见Lugosi和Mendelson（2019），了解最近的研究和修剪平均数的多元扩展。

它与α-温氏平均值密切相关，见（2.4）。如何评估点预测xt对统计函数T的预测性能，例如利息量yt（有条件）分布的平均值、中值或风险度量？对于一些得分或损失函数S，通常根据平均实现得分Npnt=1S（xt，yt）来衡量，使用的方向越小越好。因此，T（F）=arg minxRS（x，y）dF（y）中的损失函数S应与T严格一致：从长远来看，正确的预测是值得尊重和鼓励的。Eg、 ，平方损失S（x，y）=（x- y） 平均值一致，绝对损失S（x，y）=x- y |与中值一致。如果功能性药物的得分严格一致，则称之为可诱导（Osb和d，1985；Lambert等人，2008；Gneiting，2011）。通过定义，可引出函数允许M估计，并在回归框架中具有自然估计范式（Dimitriadis et al.，2020，Section2），例如分位数回归（Koenker and Basset，1978；Koenker，2005）或预期回归（Newey and Powell，1987）。可激发性对于有意义的预测评估至关重要（Engelberg等人，2009；Murphy和Daan，1985；Gneiting，2011）。在概率预测与分布预测ft或密度预测ft的情况下，（严格）一致的评分函数通常被称为（严格）适当的规则，如对数评分S（f，y）=-日志f（y）（片麻岩和漂流，2007年）。在定量金融领域，尤其是在关于哪种风险衡量方法是最佳实践的辩论中，可激发性获得了相当大的关注（Emmer et al.，2015；Ziegel，2016；Davis，2016）。特别是，回溯测试中的可启发性的作用一直备受争议（Gneiting，2011；Acerbi和Sz\'ekly，2014，2017）。

已经明确，可诱导性是比较回溯测试的核心（Fissler等人，2016；Nolde和Ziegel，2017）。并非所有的泛函都是可引出的。Osband（1985）表明，可导函数必然具有凸水平集（CxLS）：如果两个分布F，F的T（F）=T（F）=T，则T（Fλ）=T，其中Fλ=（1-λ） F+λF，λ∈ (0, 1). 方差和ES通常没有CxLS（Weber，2006；Gneiting，2011），因此无法得出。揭示原理（Osband，1985；Gneiting，2011）断言，任何无合理泛函的双射都是可引出的。这意味着，这对（平均值、方差）是前两个时刻的一种投射，尽管方差不可能被激发出来，但它是可以被激发出来的。类似地，Fissler和Ziegel（2016）表明，这对（VaRβ，ESβ）是可引出的，其结构差异是揭示原则在这种情况下不适用的。这就产生了一个更普遍的结论，即最低预期分数及其最小值总是可以共同得出的（Brehmer，2017；Frongillo和Kash，2020）。最近，Wang和Wei（2020，定理5.3）表明，RVaRα，β，0<α<β<1，与ESα类似，没有CxLS特性，这排除了其可诱导性。相反，他们观察到，识别变量α，β=βESβ-αESα/(β - α） ，0<α<β<1，（1.1）并且该对的CxLS特性（VaRα，ESα）暗示了三联体的CxLS特性（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）（Wang和Wei，2020，示例4.6），这导致了这个三联体是否可引出的问题。调用（VaRα，ESα）的可诱导性、在（1.1）处的一致性和启示原则，确定了四倍体（VaRα，VaRβ，ESα，RVaRα，β）和（VaRα，VaRβ，ESβ，RVaRα，β）的可诱导性。

该方法已在巴伦德东南部（2020年）的回归研究中使用。进一步，我们证明了在弱正则性条件下，三重态（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）是可导出的（定理3.2）。实际上，这为有意义的预测性能比较，尤其是对这三元组的比较回溯测试，以及回归框架开辟了道路。理论上，这表明RVaRα、β的诱导复杂性（Lambert et al.，2008；Frongillo and Kash，2020）或诱导ord er（Fissler and Ziegel，2016）最多为3。此外，除了VaR预测之外，只要求VaR预测尤其有利于额外要求ES预测。对于任何分布F，行程let（VaRα（F），VaRβ（F），RVaRα，β（F）），0<α<β<1，存在一个d是有限的，而ESα（F）和ESβ（F）仅在分布F的（左）尾可积时存在。由于RVaRα、β通常用于鲁棒性目的，以防止OUTLIERS和重尾性，这一优势很重要。我们想指出本文中提供的可激发性结果F（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）与Fissler和Ziegel（2016）中的相关结果g（VaRα，ESα）以及Frongillo和Kash（2020）和Brehmer（2017）更一般的结果之间的结构差异。虽然ESα对应于VaRα严格一致的预期得分最小值的负性，但事实证明，RVaRα、β可以表示为VaRα和VaRβ的预期严格一致得分函数的最小值的差异（命题3.1）。因此，三重态（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的严格一致性评分函数类比（VaRα、ESα）的更不灵活；详见备注3.7。

特别是，存在本质上无平移不变或正齐次的评分函数，该评分函数与（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）严格一致；参见第4节。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了有关RVA、评分函数和可引出性的相关符号和定义。第3节介绍了确定三重态（VaRα、VaRβ、VaRα、β）（定理3.2和3.5）可引出性的主要结果和相关发现。第4节表明，（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）存在基本一致的评分函数，这些函数是正齐次的或平移不变的。在第5节中，我们按照ofEhm et al.（2016）的精神，建立了严格一致的评分函数的混合表示。该结果可以根据墨菲图同时比较所有一致评分函数的预测。我们证明了我们的结果的适用性，并在第6节所述的模拟研究中比较了不同评分函数的辨别能力。本文在第7节中讨论了我们在M估计背景下的结果，并将其与统计文献中的其他建议进行了比较，这些建议采用了修剪最小二乘法（Koenker和Basset，1978；Ruppert和Carroll，1980；Rousseeuw，1984）。2符号和定义2.1风险范围值的定义关于风险度量的文献中有不同的符号约定。在本文中，我们使用以下约定：如果一个随机变量Y对损失和收益进行建模，则Y的正值表示收益，Y的负值表示损失。此外，如果ρ是arisk测度，我们假设ρ（Y）∈ R对应于一个人可以提取的最大金额，以便位置Y- ρ（Y）仍然可以接受。因此，ρ的负值对应于风险头寸。

在续集中，让Fbe表示R上的概率分布函数类。回忆一下α-分位数，α∈ F的[0，1]∈ F定义为集合qα（F）={x∈ R | F（x-) ≤ α ≤ F（x）}，其中F（x）-) := 限制↑xF（t）。定义2.1。风险价值F∈ 脂肪水平α∈ [0，1]定义为VaRα（F）=inf qα（F）。对于任何α∈ [0，1]我们介绍了F的以下子类：Fα=F∈ F | qα（F）={VaRα（F）}, F（α）=F∈ F | F（VaRα（F））=α. （2.1）定义2.2。风险范围值F∈ 脂肪水平0≤ α ≤ β ≤ 1定义为RVARα、β（F）=β - αZβαVaRγ（F）dγ，如果α<β，VaRα（F），如果α=β。RVA的定义意味着th atVaRα（F）≤ RVaRα，β（F）≤ VaRβ（F）。（2.2）对于0<α≤ β<1和F∈ 得到（i）RVaRα，β（F）∈ R（ii）RVaR0，β（F）∈R∪ {-∞} 如果且仅当ifR-∞|y | dF（y）<∞; 和（iii）RVaRα，1（F）∈R∪ {∞} 只有当且仅当ifR∞|y | dF（y）<∞. RVaR0,1（F）仅存在于IFR-∞|y | dF（y）<∞ 奥尔∞|y|dF（y）<∞. 如果F有一个有限的第一时刻，则rVAR0,1（F）=Ry dF（y）与F的第一时刻一致。如果存在RVaRα，β（F），则认为RVaRα，β（F）=β- αZ（VaRα（F），VaRβ（F）]y dF（y）+VaRα（F）F（VaRα（F））- α- VaRβ（F）F（VaRβ（F））- β!,（2.3）使用常用惯例F(-∞) = 0，F(∞) = 1和0·∞ = 0 · (-∞) = 0、IfF∈ F（α）∩ F（β），则（2.3）第二行中的校正项s消失，屈服RVARα，β（F）=EF[Y 1{VaRα（F）<Y≤ VaRβ（F）}]/（β- α） ，它只是RVaR的另一个名称，即分位数间期望。定义2.3。预计短缺F∈ 脂肪水平α∈ （0，1）定义为ESα（F）=RVaR0，α（F）∈ R∪ {-∞}.因此，如果ESα（F）、ESβ（F）是有限的，则可以获得id实体（1.1）。如果Fhas为固定左尾（R-∞|y | dF（y）<∞) 然后可以使用（1.1）的右侧定义RVaRα、β（F）。

然而，根据我们在引言中的讨论，RVaRα、β（F）始终存在，并且对于0<α<β<1是有限的，即使（1.1）的右侧没有定义。有趣的是，Embrechts等人（2018b，定理2）确定RVA的th可以写为VaR和ES在适当水平上的inf卷积。这个结果相当于符号约定中的超卷积。还请注意，RVaRα、β的参数化与它们不同。对于α∈ （0，1/2），RVaRα，1-α对应于α-修剪平均值，并与α-Winsorized平均值Wα密切相关（Huber和Ronchetti，2009，第57-59页），通过Wα（F）：=（1- 2α）RVaRα，1-α（F）+αVaRα（F）+αVaR1-α（F），α∈ (0, 1/2). （2.4）2.2可引出性和评分函数利用Offsler和Ziegel（2016）以及Gneiting（2011）的决策理论框架，我们引入以下符号。让F Fbe一些泛型子类，以及 Rkbe是一个操作域。当我们考虑函数T:F时→ A、 我们默认T（F）对于所有F都定义得很好∈ 并且是A的一个元素。T（F）对应于图像{T（F）∈ A | F∈ F} 。对于任意子集M Rkwe用int（M）表示M的最大开子集。此外，conv（M）表示集合M的凸包。我们说函数a:R→ 如果R是可测的且R | a（y）| dF（y），则R是F-可积的<∞ 对于所有F∈ F、 类似地，函数g:a×R→ R称为F-可积ifg（x，·）：R→ 对于所有x，R是F-可积的∈ A、 如果g是F-可积的，我们定义映射g:A×F→ R、 \'g（x，F）：=Rg（x，y）dF（y）。如果g:A×R→ R在其第一个参数中是充分光滑的，我们用mg（·，y）。定义2.4。A图S:A×R→ R是T:F的F一致性评分函数→ Aif它是F-可积的，如果是S（T（F），F）≤\'S（x，F）表示所有x∈ A、 F级∈ F