评估风险价值范围预测

然后，对于所有x∈ A和所有z，y∈ R0=ddxψ（z，x，x′，y）=φ′′（x+z）- φ′′（x）x+β- αSβ（x，y）- Sα（x，y）.因此，φ′必须是常数。因为φ是凸的，这意味着φ′（x）=dx+d′，d>0。但由于A′=R，φ′是无界的，这是一个矛盾。命题4.1的证明紧随Fissler和Ziegel（2019）中命题4.10的证明。后一个断言带来积极结果的事实有以下背景：inFissler和Ziegel（2019，命题4.10）给出的（VaRα，ESα）的严格一致评分函数仅适用于非常受限的行动领域。为了保证此类行动领域的一致性，需要符合Fissler和Ziegel的spir it（2020年，提案2）中的定理3.2。然而，由于在一个相当有限的行动领域中，这样的积极结果实际上是不相关的，因此我们将其与此类结果分开，并仅陈述相关的消极结果。命题4.2（同质性）。在定理3.5的条件下，对于A∈ {A，A+，A-}具有正同质的得分差异。证据使用定理3.5，T的任何严格F-一致的评分函数必须是形式（3.3），其中φ是严格凸的，可二次微分，φ′是有界的。假设S具有一定程度的正同质得分差异B∈ R、 这意味着函数ψ：（0，∞) ×A×A×R→ R、 ψ（c，x，x′，y）=S（cx，cy）- S（cx′，cy）- cbS（x，y）+cbS（x′，y）消失。因此，对于所有x∈ A、 对于所有y∈ R和所有c>00=ddxψ（z，x，x′，y）=cφ′（cx）- cbφ′（x）x+β- αSβ（x，y）- Sα（x，y）.（4.1）为简洁起见，我们只考虑情况A=A-, 其他情况类似。方程（4.1）表示φ′\'(-x） =φ′\'(-1） xb公司-2对于任何x>0。

由于φ的严格凸性，我们需要φ′(-1) > 0. 然而，对于b≥ 1，infx>0φ′(-x） =-∞对于b≤ 1，supx>0φ′(-x） =∞. 因此，φ′不能有界。备注4.3。命题4.2的否定结果应与定理C.3 inNolde和Ziegel（2017）的结果进行比较，定理C.3 inNolde和Ziegel（2017）的特征是对齐次严格一致的s取芯函数（VaRβ，ESβ）。由于他们对VaR和ES使用的符号约定不同于本文中的符号约定，因此他们对动作域的选择×（0，∞) 对应于我们的选择A-. 当将RVaRα、β解释为风险度量时，使用我们的signconvention，RVaR的负值更有趣、更相关。检查命题4.2和命题3.4（i）的证明时，我们会得出以下观察结果：对于b≥ 1，Nolde和Ziegel（2017）指出了他们选择行动领域的不可能结果。事实上，在我们的上下文中出现的问题是φ′不是从下面有界的。在命题3.4中，函数G2，xat（3.5）增加的事实暗示了这一性质。正是这样一个条件，也存在于对的严格一致的评分函数（VaRβ，ESβ）；参见Fissler和Ziegel（2016）中的定理5.2。另一方面，b＜1项的并发症是由于φ′不是从上面来的。这种情况与G1，xat（3.4）的单调性有关。对于成对的严格一致的评分函数（VaRβ，ESβ），不存在这样的条件。

相应地，对于b<1的这一对，可以有均匀且严格一致的评分函数（Nolde和Ziegel，2017），而对于三联体（VaRα，VaRβ，RVaRα，β），这是不可能的。5评分函数的混合表示当预测与一致的评分函数进行比较和排序时，必须意识到在存在非嵌套信息集、模型错误和/或有限样本的情况下，排名可能取决于所选的一致评分函数（Patton，2020）。在（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的特定情况下，预测排名可能取决于函数g、g和φappearingin定理3.2的特定选择。解决这一问题的一个可能方法是，根据Ehm等人（2016）提出的墨菲图，同时将预测与所有一致的评分函数进行比较。Murphy图基于这样一个事实，即所有一致性评分函数的类别可以被描述为一类依赖于低维参数的元素评分函数的混合物。下面的理论为（3.3）中的评分函数提供了这样的混合表示。第6节说明了适用性。回想一下，Sα（x，y）=（1{y≤ x}- α） x个-1{y≤ x} y.定理5.1。设0<α<β<1。任何评分函数S：[cmin，cmax]×R→ 表（3.3）中的R带有：R→ 选择S（y，y，y，y）=0的suc h可以写入asS（x，x，x，y）=ZLv（x，y）dH（v）+ZLv（x，y）dH（v）+ZLv（x，x，x，y）dH（v），（5.1），其中lv（x，y）=（1{y≤ x}- α） （1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）Lv（x，y）=（1{y≤ x}- β） （1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）Lv（x，x，x，y）=β-α1{v>x}（Sα（x，y）+αy）+1{v≤ x} （Sβ（x，y）+βy）+ （1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）v和H，Hare在[cmin，cmax]上的局部有限测度和他在[cmin，cmax]上的局部有限测度。

如果Hputs在所有开放区间上的质量为正，则S i严格一致。相反，对于具有上述限制的度量值H、H、hw的任何选择，我们得到了形式（3.3）的评分函数。证据递增函数h:[cmin，cmax]→ R总是可以写成ash（x）=Z（1{v≤ x}- 1{v≤ z} ）dH（v）+C，x∈ [cmin，cmax]，（5.2）对于一些局部有限测度H和一些z∈ [cmin，cmax]，C∈ R、 函数his严格递增当且仅当H严格为正，即它将正质量置于所有开非空区间。此外，当且仅当h（A）时，h的单侧导数的下界为λ>0≥ λL（A）对于所有Borel集A [cmin，cmax]，其中Lis是R上的Lebesgue测度。使用命题3.4中的参数，显示分数S的估计值，使得λ（β-α) = -infxφ′（x）=supxφ′（x）和g，gare的单侧导数由λ>0从下界。然后，有一个度量Hon[cmin，cmax]，使得H（[cmin，cmax]）=2λ（β- α） ，这是严格正的当且仅当φ是严格凸的，这样对于all x∈ [cmin，cmax]，我们有φ′（x）=Z1{v≤ x} dH（v）- λ(β - α） =Z1{v≤ x}-dH（v）。利用Fubini定理，我们发现φ（x）- φ（y）=Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）φ′（w）dw=Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）Z1{v≤ w}-dH（v）dw=Z Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）1{v≤ w} dw dH（v）-Z（x- y） dH（v）=Z1{v≤ x} （十）- 五）- 1{v≤ y} （y）- 五）-（十）- y） dH（v）。使用（3.3）、（5.2）和命题3.4，可以直接检查形式（3.3）的焦距函数是否可以写成（5.1）中的形式，其中Lv替换为▄Lv（x，x，x，y）=1{v≤ x}-x+β- α（Sβ（x，y）- Sα（x，y））-|x个- v |+| y- v |，并且局部测量H，~Hon【cmin，cmax】，而不是H，Hsuch，Hi（A）≥λL（A），对于i=1，2，以及对于所有Borel集合A R、 测量H。

我们可以计算f函数φ′（x）S（β- α） tanh（（β- α） x）S（β- α） （2/π）arctan（（β- α） x）S（β- α)(2Φ((β - α） x）- 1） S（β- α)(-1{x<c}+1{x>c}+1{c≤ x个≤ c} 2（x- （c+c）/2）/（c- c） ）表1：评分函数示例。在所有情况下，我们选择g（x）=x和g（x）=x。参数c，c∈ R满足c<c。对于某些局部有限测度，写入▄Hi=Hi+λL，i=1，2。集成V 7→ 关于λL，我们得到了函数λ（Sα（x，y）+αy），类似地，对于Lv。使用H（[cmin，cmax]）=2λ（β-α） 得出Lv（x，x，x，y）=2（β）的索赔-α） （Sβ（x，y）+βy+Sα（x，y）+αy）+1{v≤ x}-x+β-α（Sβ（x，y）- Sα（x，y））-|x个- v |+| y- v |，等于定理陈述中给出的公式。对于α和β水平的VaR，烧焦函数LV和LV是一致的。scoringfunction Lvis的形式为（3.3），g（x）=g（x）=x/（2β-2α）和φ（x）=x-v |/2，这使得它是（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的一致评分函数。谈话之后是直接计算。6模拟本模拟研究说明了在比较三元组不同预测的预测性能时，例如在比较回溯测试的背景下，tr iplet（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的一致评分函数的使用（Nolde和Ziegel，2017）。由于第4节中的负面结果，很难为函数φ、gand-gin（3.3）的选择提供具体的例子。在表1中，我们给出了一些初步建议。得分函数体现了Huber损失的精神（Huber，1964，第79页）。它仅在[c，c]上严格一致，但在所有R上保持一致。我们用Neiting et al.（2007）的一个模拟示例的略微扩展版本来说明建议得分函数的辨别能力，该示例也被inFissler et al.（2007）所考虑。

(2016).我们考虑一个数据生成过程（Yt）t=1，。。。，Ngiven by Yt=ut+ut，其中（ut）t=1，。。。，Nand（ut）t=1，。。。，Nare是i.i.d.标准正态随机变量的相互独立序列。假设我们有三位不同的预报员提供了这一点-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.02 0.04 0.06 0.08LV1VFIRSTSecond三分之一-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.02 0.04 0.06 0.08Lv2v-6.-4.-2 0 2 4 60.2 0.4 0.6 0.8Lv3vα=α，β=β）图1：α=1的墨菲图- β = 0.1. 文本中描述的三个预测者的预期基本分数Lv、Lv、Lv的曲线图。对于第二个预报员，曲线从下到上分别对应σ=0.3、0.5、0.8。预测，旨在正确区分Yt（条件）分布的（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）。第一个预报员可以访问u并使用正确的条件分布进行预测，即他们预测Ft=（f1、t、f2、t、f3、t）=ut+Φ-1（α），ut+Φ-1（β），ut-β -αφ(Φ-1(β)) - φ(Φ-1(α))对于时间点t，其中，Д和Φ分别表示标准正态分布的密度和分位数函数。第二个预报员预测gt=（g1，t，g2，t，g3，t），其中g1，t=f1，t+εt，g2，t=f2，t+εtand g3，t=f3，t+εtand，其中（εt）t=1，。。。，具有零均值和方差σ的Nisindependent正态分布噪声。第三个预测者ht=（h1，t，h2，t，h3，t）的预测基于Yt的无条件分布，即N（0，2）。因此，预测采用formht=√2Φ-1(α),√2Φ-1(β), -√β - αφ(Φ-1(β)) - φ(Φ-1(α))!.很明显，第一位预测员在第二位和第四位ird预测员中占主导地位，也就是说，在任何一致的评分函数下，他们都是首选。

事实上，援引霍尔兹曼（Holzmann）和欧勒特（Eulert）（2014），就第一个和第二个预报员而言，第一个预报员相对于信息集σ（ut，εt）而言是理想的，而第二个预报员基于相同的信息集，但并不理想。对于第一个和第三个预报员，这两个预报员都是理想的，但第一个预报员的信息集σ（ut）比第三个预报员的信息集σ（ut）大，后者是平凡的σ-代数。选择第二个或第三个预报员取决于方差σ的大小。图1和图2提供了从sizeN=100′000的样本计算出的所有预测者的墨菲图，提供了人口水平的良好近似值。这与我们在上述三个预测排名方面的理论考虑是一致的。-6.-4.-2 0 2 4 60.000 0.004 0.008 0.012LV1VFIRSTSecond三分之一-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.01 0.02 0.03 0.04Lv2v-6.-4.-2 0 2 4 60.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Lv3vα=α，β=β）图2：α=0.01，β=0.05的墨菲图。文本中描述的三个预测者的预期基本分数Lv、Lv、Lv的曲线图。对于第二个预报员，曲线从下到上分别对应σ=0.3、0.5、0.8。我们根据表1中的评分函数，使用Diebold-Mariano检验（Diebold和Mariano，1995）比较预测性能。我们考虑尺寸为N=250的样品，并重复我们的实验10000次。在表2的左面板中，我们考虑α=1的情况- β=0.1，其中RVaRα，β是修剪平均值。我们报告了预测者i优于预测者j，i，j的无效假设的回溯率∈ {1，2，3}，i 6=j，根据显著性水平0.05的得分S进行评估。E、 g.，对于i=1，j=2，我们考虑零假设E[S（ft，Yt）]≤ E【S（gt，Yt）】对于所有t=1，N或inshort，f g。

类似地，在表2的右侧面板中，我们考虑了α、β均接近零的情况，即α=0.01和β=0.05，如果使用RVaRα、β作为风险度量，这是一个相关的设置。对于计分函数S，我们用值cand和cand进行了试验，并报告了试验中效果最好的选项的结果。本文对如何选择这两个参数进行了系统的研究。对于表2左面板关于α=1的情况- β=0.1，我们可以看到，对于使用的所有评分函数，预测器1（2）的性能优于预测器3，其幂为1（几乎为1）。对于预报员1和预报员2的比较而言，情况更为有趣：虽然预报员1在所有考虑的评分函数方面都优于预报员2，但测试的威力（以及评分函数的相关识别能力）差别很大。而对于零假设f，S的经验幂为0.304 g、 对于相同的无效假设，得分的幂为0.624。表2右侧面板中描述的情况，考虑到参数选择α=0.01和β=0.05，导致了不同的情况。在测试部署中，沙剃出了类似的能量。相比之下，对于空h，Syields具有相当大的均方幂（0.393） g比其他分数高(≥ 所有情况下均为0.874）。

对其他评分函数和其他情况进行更详细的研究和比较有助于今后的工作。HSSSSf g 0 0 0 0 g f 0.304 0.406 0.417 0.624f h 0 0 0 0小时 f 1.000 1.000 1.000 1.000g h 0 0 0 0小时 g 0.999 0.998 0.992 0.998HSSF g 0 0 0 0.003g f 0.515 0.529 0.500 0.566f h 0 0 0 0小时 f 0.995 1.000 0.996 0.835g h 0.001 0 0小时 g 0.874 0.993 0.885 0.393表2：在α=1的情况下，表1中得分函数的Diebold-Mariano检验在显著水平0.05下的功效- β=0.1（左侧面板），α=0.01，β=0.05（右侧面板）。在第一种情况下，我们选择-对于scoringfunction S，c=c=12，c=-5，在第二种情况下，c=1。无效假设f g表示E【S（ft，Yt）】≤ E【S（gt，Yt）】对于所有t=1，N表示列标签中规定的烤焦功能。我们选择σ=0.5作为预测者g.7回归的含义。在第6节说明了一致性评分函数在预测比较和比较回溯测试中的使用之后，我们想概述一下如何在回归背景下实现我们关于三元组（VaRα，VaRβ，RVaRα，β），0<α<β<1的可诱导性的结果。然后，我们想将我们的ansatz与其他关于α-修剪平均值回归的建议进行对比（可以推广到RVaRα，β）。稳健统计文献中最常见的替代方法是Trimmed最小二乘法和使用Huber skippedmean的两步估计程序。7.1（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）Let（Xt，Yt）t的联合回归框架∈Nbe一个时间序列，通常用Yt表示一些实值响应变量，XT是回归器的d维向量。LetΘ Rkbe一些参数s速度和M:Rd×Θ→ T=（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的Ra参数模型，0<α<β<1。

我们假设一个正确的模型规格，即我们假设存在唯一的θ∈ Θ使得t（FYt | Xt）=M（Xt，θ）P-a.s.对于所有t∈ N、 （7.1）其中，FYt | Xt表示给定Xt的条件分布。也就是说，M（Xt，θ）联合建模了条件VaRα，VaRβ和条件RVaRα，β。设S是形式（3.3）的严格一致的得分函数，并假设序列（Xt，Yt）t∈Nsatis规定了某些混合条件（White，2001，C orollary 3.48）（尤其是独立条件下）。然后在附加力矩条件下得到，作为n→ ∞,nnXt=1S（M（Xt，θ），Yt）-nnXt=1ES（M（Xt，θ），Yt）→ 0 P-a.s.从本质上讲，正是这个大数定律的结果，使得参数估计与经验M估计一致bθn=arg minθ∈Θn-1Pnt=1S（M（Xt，θ），Yt）；详情见范德法特（1998）、胡贝尔（Huber）和朗切蒂（Ronchetti）（2009）、诺尔德（Nolde）和齐格尔（Ziegel）（2017）以及迪米特里亚迪斯（Dimitriadis）等人（2020）。综上所述，我们可以看到，该程序的复杂性在于，即使只对RVaRα、β感兴趣，也需要对VaRα、VaRβ的成分进行建模。其优点是，在数据生成过程中可能会严重偏离i.i.d.假设。可以处理串行相关（尽管是混合）和非平稳数据。只需要（7.1）中规定的半参数平稳性。7.2修剪最小二乘法稳健统计领域中关于RVaRα，β的M估计和回归的大多数建议侧重于α修剪平均值，α∈ （0，1/2），对应于RVaRα，1-α. 但它们通常可以以一种简单的方式扩展到一般情况0<α<β<1。在这种情况下，我们将以更一般的方式描述程序。文献中的大多数建议通常被称为修剪最小二乘法（TLS）。