全球股票和波动率的制度转换vine-copula模型

由于其允许不对称尾部依赖的特性，我们将进一步关注Gumbel copula及其定义为θ的逆时针旋转∈[1,∞)安度，v，∈[0,1]viaCGumbel（u，v）=经验值-(-对数（u））θ+(-对数（v））θθCGumbel90（u，v）=v-CGumbel（1-u、 v）CGumbel180（u，v）=u+v-1+CGumbel（1-u、 1个-v） （4）CGumbel270（u，v）=u-CGumbel（u，1-v） 我们通过回顾Kendall的τ来结束这一小节，Kendall的τ是copula理论中使用最广泛的依赖性度量，因为它对于边际分布的严格单调变换具有不变性。因此，第1节中的ARMA-GARCH滤波不影响Kendall的τ。事实上，如果C是二元随机向量（X，Y）T的对应copula，那么τ（X，Y）=4∫[0,1]C（u，u）dC（u，u）-1.（5）对于给定的样本数据（x，y）T。（xn，yn）T，n≥2，Kendallτ的估计值由^τ（X，Y）=Nc给出-Nd公司√Nc+Nd+NX·√Nc+Nd+NY。（6） 其中，Ndand和Ncare分别是不和谐对和和谐对的数量，NX（NY）表示xi=xj（yi=yj）的对数量，其中i，j∈{1，…，n}，i≠j（Kurowickaand Cooke（2006））。对于没有关系的数据集，也有更简单的公式。我们将^τ（X，Y）称为经验肯德尔τ。2.2. 四分之一尾部依赖性正如前面所指出的，本文的主要目的是在股票和隐含波动率指数之间的关系中识别“正常”和“异常”依赖性机制。可以预见，在市场动荡时期，尤其是股票之间左尾的依赖结构会增加。同样，两个波动率指数的右尾也是如此。这两种效应都可以通过众所周知的（双变量）上下尾相关系数来捕捉，定义如下：定义4（尾相关系数）。

对于随机向量（U，V）的两个边缘分布函数Fand F的copula C，我们通过λU（C）=limu定义其上下尾部依赖系数（tdc↗1P（V>F-1（u）U>F-1（u））=limu↗11-2u+C（u，u）1-u、 （7）λL（C）=limu↘0P（V≤F-1（u）U≤F-1（u））=limu↘0C（u，u）u.（8）度量值λu（C）和λL（C）能够在[0,1]的倒立第三象限内捕捉（双变量）关系。因此，并非每个copula族都有非零的上尾依赖或下尾依赖，参见表3。例如，考虑Gumbel copula及其旋转：所有四个copula都描述了不同的尾部依赖特性。上尾依赖系数仅在Gumbel copula中为非零，而下尾依赖系数在除Gumbel180外的所有情况下均为零。Copula族λLλUGauss-Student-t 2tv+1-√v+11.-θ1+θ 2tv+1-√v+11.-θ1+θGumbel-2-21/θGumbel90-Gumbel180 2-21/θGumbel270-表3：不同copula家族的尾部依赖系数。θ是Gumbel/Student-t族的copula参数，v表示Student-t copula的自由度。然而，当谈到权益与波动性之间的（不对称）关系时，我们预计Gumbel90或Gumbel270会更好，因为在金融市场中观察到的“正常”关系通常如下：一方面，股市动荡通常伴随着波动性水平的急剧上升。另一方面，繁荣的市场往往与波动性下降联系在一起，尽管这种影响通常不是那么强烈。正如上文所示，这种不对称关系无法被较低或较高的尾部相关系数捕捉到。此外，我们也在考虑商品指数。

在全球增长停滞不前或放缓的时期，伴随着低股本或负股本以及高波动率回报，人们可以预计，对工业金属和能源等的需求将大幅下降。因此，商品波动率指数对的尾部依赖性应类似于股票波动率对。有多种方法可以描述这种不对称依赖结构（参见Salazarand Ng（2013），他考虑了尾部连接）。出于我们的目的，我们将稍微调整尾部依赖系数的定义，以获得上述关系的合适度量：定义5（四分之一尾部依赖）。设（U，V）t为具有均匀分布边值的随机向量。我们具体假设，（U，V）皮重相应地转换了权益回报率（Eq）、波动率（Vol）或商品（Com）指数，从现在起使用符号U，V∈（Eq、V ol、Cmd）。此外，让（U，V）的copula C为Gauss（Ga）、Student-t（St-t）、Gumbel或其旋转之一（Gu、Gu90、Gu180或Gu270）。然后用λQT D（U，V，C）定义四分之一尾部相关性（QTD）=λQT D（C），if（U，V）T=（V ol，V ol）TλQT D（C），if（U，V）T∈{（Eq，V ol）T，（Cmd，V ol）T}λQT D（C），if（U，V）T∈{（Eq，Eq）T，（Cmd，Eq）T，（Eq，Cmd）T}λQT D（C），if（U，V）T∈{（V ol，Eq）T，（V ol，Cmd）T}（9），其中λQT D（C）=λU（C），λQT D（C）=λU（St(-θ、 ν）），如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu90（θ）0，否则，λQT D（C）=λL（C），（10）λQT D（C）=λU（St(-θ、 ν）），如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu270（θ）0，否则，式中λLandλude注意定义4中所述和表3中所选copula族的上下尾相关系数。

此外，θ是Gumbel/Student-t copula参数，对于Student-t copula，ν表示自由度。可以看到，（经典的）上尾依赖系数，它描述了依赖λQT D（U，V，C）∶=λQT D（C）λQT D（U，V，C）∶=λQT D（C）（U，V）T∈{（Eq，V ol）T，（Cmd，V ol）T}：对于（U，V）T=（V ol，V ol）T：λQT D（C）=λU（St(-θ、 ν）），如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu90（θ）0，否则λQT D（C）=λU（C（θ，ν））“Eq/Cmd下降，Vol上升”“两个Vol指数上升”λQT D（U，V，C）∶=λQT D（C）λQT D（U，V，C）∶=U，V的λQT D（C）∈{Eq，Cmd}：对于（U，V）T∈{（V ol，Eq）T，（V ol，Cmd）T}：λQT D（C）=λL（C（θ，ν））λQT D（C）=λU（St(-θ、 ν）），如果C=St（θ，ν），τ<0λU（Gu(-θ） ，如果C=Gu270（θ）0，否则“Eq和Cmd/Eq都下降”“Eq/Cmd下降，Vol上升”表4：不同索引对和copula族的四分之一尾相关性λQT D（X，Y，C）：高斯、Student-t和Gumbel，包括旋转。图形示例基于Gumbel copula的等值线图及其旋转，Kendall的τ分别为0.3和-0.3。第一象限的数据用于计算波动率对的QTD。对于股票和股票商品对，我们感兴趣的是第三象限，该象限使用较低的尾部依赖系数来衡量。最后，股票波动率或商品波动率关系位于第二和第四象限，由λQT D（C）和λQT D（C）捕获。表4.3给出了QTD定义的说明。确定合理的R-vine树结构在本节中，我们将首先静态查看索引数据。考虑到第1节中的过滤收益序列，我们首先应用了Dissmann等人（2013）的R-vine结构选择技术（这基本上是连接那些具有Kendallτ测量的最高依赖性的节点），即。

对树结构和所选copula族（Gaussian（Ga）、Student-t（St-t）和Gumbel（Gu），包括所有旋转（Gu90、Gu180和Gu270））没有任何限制。我们将其称为R-vine模型（依赖于1），其前两棵树如图3所示。即将推出的具有预先定义的树结构的静态全局模型将用“（2-…）”表示而我们使用“（3-…）”对于最终状态切换模型。措辞“依赖”或“独立”应表明我们是否允许在连续之间存在潜在的依赖结构。正如我们所看到的，股票指数与其对应的波动率直接相关，表明两者之间存在强烈的依赖结构。在更宏观的层面上，这也适用于所考虑的地理区域，因为来自同一个大陆的指数似乎“粘在一起”——商品指数是唯一的例外，这可以解释为英国广播公司是一个全球指数，其基础期货价格在纽约、芝加哥和伦敦确定。此外，正如预期的那样，Kendall的τ表示权益和权益商品之间存在正相关性，而权益波动率则存在负相关性。除了英国广播公司与欧洲指数挂钩外，各大洲主要通过两对股票指数相连，即HSI-SX5E和DAX-SPX，这可以通过考虑全球交易时间（参见。

表5）。证券交易所开盘-收盘时间（UTC）亚洲东京证券交易所00:00-06:00香港证券交易所01:30-08:00欧洲法兰克福证券交易所（Xetra）08:00-16:30欧洲交易所（适用于SX5E指数期权）08:00-16:30美国纽约证券交易所14:30-21:00表5：国际交易时间（忽略潜在午休时间）。图3：模型（依赖于1）：第一和第二棵树，相应的双变量copula族和肯德尔τ值。最后，Kendallτ测量的连接水平在第二棵树上低于第一棵树，而每个区域内的依赖结构似乎强于大陆之间的依赖结构。对于以后的分析，它建议对大陆内部和大陆之间的行为进行更详细的调查。因此，要准备一个潜在的（并且是合理的！）对于regimeswitching设置预先定义的树结构，我们首先分别调查所有三个区域内的依赖关系。仅在第二步中，我们将添加一个全局树结构。从亚洲开始，我们考虑四种设置，即图4所示的亚洲。前两个模型（亚洲和亚洲）是D-vines，其中的联系分别通过股票（NKY-HSI）或波动率（VNKY-VSHI）进行。在C-vine模型中，亚洲的中心节点是香港股票交易所的股票指数HSI，而在亚洲，该角色由日本NKY接管。从现在起，对于agiven树结构，使用Schepsmeier等人（2015）从VineCopula包中选择的函数RVineCopSelect，基于最大似然度和AIC进行估计和copula选择。欧洲和欧洲的建筑与亚洲地区的类似。C-vine Europeis的中心节点被选为更广泛的欧洲股票指数SX5E。

由于DAX部分包含在SX5E中，Europeis被视为另一个D-vine，“中间”节点是DAX及其隐含波动率指数VDAX。这种特殊设置的另一个原因是，这种结构也是在（1-dependent）中选择的，我们想测试在单独分析欧洲时这是否是最优的。所有模型如图5所示。最后，北美、美国和美国的考虑结构如图6所示。两者都是C-vine模型，其中第一棵树中的中心节点是SPX或VIX。对于所有设置，对数可能性和信息标准如表6所示。通常，亚洲、欧洲和美国的D-vine模型提供了最高的对数可能性和最佳的AIC图4：亚洲模型的树结构和Kendallτ值。图5：欧洲模型的树结构和Kendallτ的值。图6：美国USA模型的树结构和Kendallτ的值。以及BIC值。图7：模型（2-依赖）：第一和第二棵树，对应的二变量copula族和肯德尔τ值。最后，我们结合之前的结果建立了一个全球模型：在每个区域内，第一棵树的结构从表6继承而来，而大陆之间的连接是通过与（1-依赖）相同的成对进行的，即HSI-SX5E和DAX-SPX，从而形成图7所示的模型（2-依赖）。特别是，就对数可能性以及AIC和BIC而言，新的树结构似乎略好于表7总结的（1-依赖）。不足为奇的是，它的表现也优于（2个独立的），这是由亚洲、欧洲和杜萨比假设的独立大陆构建的。4.

马尔可夫转换R-vine copula模型在本节中，我们回顾了基于St"oberand Czado（2014）的R-vine copulas的状态转换设置，该设置稍后将用于建模指数数据集依赖结构内的潜在变化。由于我们对描述“正常”和“异常”市场状态特别感兴趣，为了便于记谱，我们现在将自己限制在两种不同的制度下。最初由Hamilton（1989）提出的马尔可夫切换模型的总体思想是基于控制时间序列依赖结构的潜在马尔可夫链。在我们的例子中，后面的一个应该由{Ut=（Ut，…，Udt）}t给出∈{1，…，T}带{Uit}T∈{1，…，T}beingi。i、 d.制服。精确地说，设{St}t=1，。。。，t是一个齐次离散时间马尔可夫链，它可以有两种不同的状态k=1和k=2，我们也称之为区域。稍后，k=1表示“正常”状态，而k=2表示“异常”状态。过渡矩阵应为AIC BICModel ASIA2027.61-4041.22-3998.24模型ASIA2014.13-4012.25-3963.12模型ASIA1997.10-3978.21-3929.08模型ASIA1973.17-3932.35-3889.36模型EUROPE8973.48-17924.95-17857.40模型EUROPE8758.88-17495.76-17428.21模型EUROPE8964.05-17906.11-17838.55模型EUROPE8944.14-17864.27-17790.58模型USA2017.63-4027.26-4002.69 USA2009.69-4013.37-3994.95表6：所考虑的R-vine模型亚洲、欧洲和美国地理区域的对数似然、AIC和BIC。

将粗体模型组合在一起会导致（2独立）。对数似然AIC BIC（1依赖）14578.12-29010.24-28561.94（2独立）13018.72-25993.44-25858.33（2依赖）14618.70-29091.40-28643.09表7：所考虑的R-vine模型（1依赖）、（2独立）和（2依赖）的对数似然、AIC和BIC。用P表示，具有为k，k′给定的元素∈{1,2}按Pk，k′计算∶=P（St=k′）St公司-1=k），即时间t时状态k的转移概率-最后，考虑两个不同的藤copula模型（V，C，θ）和（V，C，θ），其中Vi，i={1,2}，是各自的树结构和对应的多元copula，其参数存储在向量θi中。因此，我们的双区马尔可夫切换R-vine（MS-RV）模型由两个R-vinecopula规范和描述潜在马尔可夫链的2×2转移矩阵P给出。条件copula密度由c（ut）给出（Vi，Ci，θi）i∈{1,2}，St）=∑k=1{k}（St）·c（ut（Vk，Ck，θk）），ut∈[0,1]d.（11）继St"ober和Czado（2014）之后，MS-RV copula模型的全似然函数可以通过f（u，…uT）分解为条件密度θ、 θ，P）=∑k=1f（uS=k，θk）P（S=kP）×T∏t=2∑k=1f（utSt=k，θk）P（St=ku1级∶（t-1） ，P） （12） 其中u1∶t型∶=（u，…，ut）表示t={1，…，t}。为了解决上述可能性最大化的问题，St"ober和Czado（2014）基于Aas等人（2009）的程序提出了以下逐步期望最大化（EM）算法：1。给定当前参数（θ1，l，θ2，l，Pl），迭代计算所谓的“平滑”概率(Ohmt型∣T（（θ1，l，θ2，l，Pl））st∶=P（St=Stu1级∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl）），st∈{1,2}，（13）通过汉密尔顿滤波器（参见Hamilton（1989）和St"ober and Czado（2014）了解详情）。2、最大化伪对数似然函数Q（（θ1，l+1，θ2，l+1，Pl+1）；u1级∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））∶=∑s=1。

.∑sT=1日志f（u1∶T、 s1级∶T（θ1，l+1，θ2，l+1，Pl+1））P（S1∶T=s1∶Tu1级∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））∝T∑t=1∑s=1。∑sT=1日志f（ut，St=St，（θ1，l+1，θ2，l+1））P（S1∶T=s1∶Tu1级∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））+∑s=1。∑sT=1T∑t=1日志P（St=StSt公司-1，Pl+1）+对数（P（S=S）l+1）×P（S1∶T=s1∶Tu1级∶T、 （θ1，l，θ2，l，Pl））（14）逐步，从（θ1，l+1，θ2，l+1）开始，依次在葡萄树上执行。之后，可通过Kim和Nelson（2006）的公式分析Pl+1的最大化。5、确定“正常”和“异常”区域上一节概述了我们的MS-RV模型设置，该模型需要预先定义两个区域的R-VINE结构作为输入因子。因此，从模型中的树（2dependent）开始，我们需要确定indexdata的依赖结构中随着时间的推移可能发生的变化。为了做到这一点，我们将遵循St"ober和Czado（2014），对大陆内部和大陆之间的双变量copula进行详细的滚动窗口分析（RWA）。之后，我们开始分别估计每个区域的MS-RV设置，从而得出假设独立大陆的全球模型，我们将其称为（3-independent-MS）。最后，（3-dependent-MS）将是（2-dependent）的相应马尔可夫切换设置，到目前为止，它的性能最好。5.1. 滚动窗口分析对于以下步骤，我们选择未来的250天窗口，并考虑高斯、Student-t和所有Gumbel旋转中哪一个最适合我们的copula。此外，还计算了Kendallτ的值和定义5中的QTD。