多方程组中常见断点的检验

自从√T vT/日志T→ ∞ 作为T→ ∞, 我们可以显示sup（K，θ）∈（B）条()`TK、 θ≤ -|Op公司(T vT）|。这将导致理想的结果。命题A.1和A.2是建立如下定理所述估计收敛性的重要中间步骤。Bai等人（1998年）、Bai（2000年）以及Qu和Perron（2007年）采用了类似的方法，假设中断日期具有共同的位置或渐近不同。他们的方法和我们的方法之间的一个关键区别是，我们考虑到了与不同基本参数相关的中断日期可能不会渐近不同的可能性。定理1的证明。（a） 命题a.1表明^K∈Ξ（B），某些B>0的概率接近1，而^K和Kare都包含在Ξν中。因此，必须考虑τgl- τg，l-1.≥ 某些δ>0或τgl的δT- τg，l-1.≤ Bv公司-2Tlog TFFOR every（g，l）∈ {1，…，G}×{1，…，N}。Ifτgl- τg，l-1.≥ δT，则性质3表示SUP（K，θ）∈（B）×g，l（K，θ）≤ |Op（1）|。（A.23）当τgl- τg，l-1.≤ Bv公司-2Tlog T，有两种情况：Mv-2吨≤ τgl- τg，l-1.≤ Bv公司-2Tlog Tandτgl- τg，l-1.≤ 中压-2t对于某些M>0。为了具体化，让τg，l-1=kgjandτgl=^kgjin两种情况。当kgj+1时≤ t型≤^kgj，我们有（^βg，t，^K，βg，t，K）=（^βgj，βg，j+1）对于1≤ g级≤ G和（^∑t，^K，∑t，K）=（^∑j，∑j+1）表示G=G。由于KβG，j+1- βgjk=vTkδgjk和k∑j+1- ∑jk=vTkΦjk，我们可以显示k^βgj- βg，j+1k-vTkδgjk≤ k^βgj- βgjk和k^∑j- ∑j+1k-vTkΦjk≤ k^∑j- ∑jk。此外，命题A.2表明k^βgj- βgjk=op（vT）和k^∑j- ∑jk=op（vT）。因此，k^βgj- βg，j+1k=vTkδgjk+op（vT）和k∑j- ∑j+1k=vTkΦjk+op（vT）。（A.24）当Mv-2吨≤ τgl- τg，l-1.≤ Bv公司-2Tlog T，属性2与（A.24）一起表示‘\'g，l（K，θ）≤ -|Op（M）|，（A.25）对于足够大的M，而对于τgl- τg，l-1.≤ 中压-2T，带（A.24）的属性4表示“g，l（^K，^θ）=Op（M1/2）。

（A.26）自sup（K，θ）起∈（B）条()（K，θ）=o（1），引理A.3与（A.23），（A.25）和（A.26）意味着SUP（K，θ）∈（B）百万()`T（K，θ）<-|Op（M）|，为了证明这一点，我们使用不等式ka- 黑色- kb- ck公司≤ 灵魂- ck公司≤ 灵魂- 黑色+kb- 对于范数为k·k的空间中的任意元素a、b和c，这是由三角形不等式引起的。A-9对于足够大的M。这就完成了（A）部分的证明。（b） 根据第（a）部分，存在一个M>0，使得max1≤g级≤Gmax1≤j≤m |^kgj- kgj |≤中压-2t概率接近1。因此，有必要考虑τgl-τg，l-1.≤ 中压-2Torτgl-τg，l-1> δT对于某些δ>0。如（A.23）和（A.26）中所示，我们可以证明‘‘g，l（^K，^θ）’对于每一个（g，l）都有一个| Op（1）|阶项的界限∈ {1，…，G+1}×{1，…，2（m+1）}。如果√T k^βgj- βgjk≥ 对于某些群和区域（g，j），对于某些M>0，则存在相应的子区间[τg，l-1+1，τgl]带τgl-τg，l-1> δT和性质3（a）意味着‘’g，l（K，θ）≤ -|Op（M）|对于一个足够大的M。因此，在最大值为1的事件上≤g级≤Gmax1≤j≤m+1k^βgj- βgjk≥ 机器翻译-1/2对于非常大的M，引理a.3意味着归一化对数似然取负值，概率接近1。当max1时，同样的结果成立≤j≤m+1k∑j- ∑jk≥ 机器翻译-1/2对于足够大的M。在确定了估计的收敛速度之后，我们现在能够证明关于中断日期估计和基本参数估计的渐近独立性的结果。为了继续，我们让基于间隔[t，t]中观察值的可能性 [1，T]表示为L（T，T；K，θ）=Qtt=tf（yt | XtT，θT，K）。然后，使用分区{[τl-在给定K和K的区间[1，T]中，我们可以将归一化对数似然表示为\'T（K，θ）=NXl=1对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）- 对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）.定理2的证明。

考虑以下情况（K，θ）∈\'M×\'M对于限制R（θ）=0的足够大的宝石。通过定义，我们可以写出\'T（K，θ）- `T（K，θ）-`T（K，θ）=NXl=1对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）- 对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）（A.27）-NXl=1对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）-对数L（τL-1+1，τl；K、 θ）. （A.28）如果τl- τl-1> 中压-2T，那么我们有θt，K=θt，Kandθt，K=θt，kforallτl-1+ 1 ≤ t型≤ τl。因此，必须考虑（A.27）和（A.28）中的数量，指数l满足τl-τl-1.≤ 中压-2吨。物业4，bT=MT-1/2表示在（K，θ）中均匀∈\'\'M×\'\'M，\'T（K，θ）=\'T（K，θ）+\'T（K，θ）+Op(√T vT）-1..因此，我们得到了期望的结果。为了推导测试的极限分布，我们首先提出了一个技术引理，这是引理a.1（b）的直接结果。为此，我们引入一些符号。对于j=1，m、 我们确定，对于s<0，V（1）T，zη，j(-s） ：=vTTjXt=Tj+[sv-2T]（zt） ηt）和V（1）t，ηη，j(-s） ：=vTTjXt=Tj+[sv-2T]（ηtηt- In），A-10，对于s>0，V（2）T，zη，j（s）：=vTTj+[sv-2T]Xt=Tj（zt ηt）和V（2）t，ηη，j（s）：=vTTj+[sv-2T]Xt=Tj（ηtηt- 英寸）。引理A.4。在假设A6-A9和假设A4中定义的序列V下，对于j=1，m、 V（1）T，zη，j（·）=> V（1）zη，j（·）和V（2）T，zη，j（·）=> V（2）zη，j（·），其中弱收敛在空间D[0，∞)nq和布朗运动V（1）zη，j（·）和V（2）zη，j（·）在正文中定义。此外，对于j=1，m、 V（1）T，ηη，j（·）=> V（1）ηη，j（·）和V（2）T，ηη，j（·）=> V（2）ηη，j（·），其中弱收敛在空间D[0，∞)n×n矩阵V（1）ηη，j（·）和V（2）ηη，j（·）是正文中定义的布朗运动。引理1的证明。考虑制度j∈ {1，…，m}。

对于s∈ R和Tj（s）≤ t型≤Tj（s），观察（∑t，j+{Tj（r）≤t} （）-1=（∑j+1）-1，如果Tj（r）≤ Tj（s）（∑j+1）-1.-{Tj<t≤Tj（r）}{（σj+1）-1.- （σj））-1} ，如果Tj<Tj（r）≤ Tj（s）（σj）-1+{Tj（r）<t≤Tj}{（σj+1）-1.- （σj）-1} ，如果Tj（s）<Tj（r）≤ Tj（∑j）-1，如果Tj（s）≤ Tj（r），其产生（∑t，j+{Tj（r）≤t} （）-1=（σj+{r≤s} )-1.- sgn（r）{| r|≤|s |}{（σj+1）-1.- （σj）-1}.设DT，j（s）：=vTPTj（s）t=Tj（s）+1xtxtt。我们有，对于每个Tj≤ t型≤ Tj（s）和r∈ R、 BT，j（s，R）=SDT，j（s）（σj+{r≤s} )-1秒-sgn（r）{| r|≤|s |}SDT，j（r）{（σj+1）-1.- （σj）-1} S，自XtT（σt，j+{Tj（r））起≤t} （）-1XtT=SXTTTXTT （∑t，j+{Tj（r））≤t} （）-1S，同时也是Д（t/t）=Д（λj）+O(√T vT）-2.和wt=wTj+O(√T vT）-2., （A.29）在s中均匀分布∈ R、 在假设A6下，我们可以证明，在s∈ R、 vTTj（s）Xt=Tj（s）+1zt=| s |uz，j+{0<s}+op（1），vTTj（s）Xt=Tj（s）+1ztzt=| s | Qzz，j+{0<s}+op（1）。我们有ar- br=（a- b） 公关部-1l=0ar-1.-LBL适用于a、b∈ R和，对于整数R≥ 2、由此得出|（t/t）r- （Tj/T）r |≤ C |（t- Tj）/T |。A-11如下所示，在s中均匀∈ R、 DT，j（s）=s|Qzz，j+{0<s}uz，j+{0<s}Д（λj）uz，j+{0<s}T-1/2wTjД（λj）uz，j+{0<s}Д（λj）Д（λj）Д（λj）T-1/2 WTJT-1/2wTjuz，j+{0<s}T-1/2wTjД（λj）（T-1/2wTj）（T-1/2 WTJ）+ op（1）。还有XtT（σt，j+{Tj（r））≤t} （）-1ut=S我 （∑t，j+{Tj（r））≤t} （）-1.（xtT ut）和ut=（σj+{0<s}）1/2ηt。因此，对于Tj（s）≤ t型≤Tj（s），WT，j（s，r）=s智商 （σj+{r≤s} )-1.VT，j（s）-sgn（r）{| r|≤|s |}s智商 {（σj+1）-1.- （σj）-1}VT，j（r），其中VT，j（s）：=智商 （∑j+{0<s}）1/2vTPTj（s）t=Tj（s）+1（xtT ηt）。由（A.29）可知，vttj（s）Xt=Tj（s）+1（xtTηt）=vTTj（s）Xt=Tj（s）+1（ztηt），Д（λj），T-1/2 WTJvTTj（s）Xt=Tj（s）+1ηt！+op（1），在s中均匀∈ R、 因此，引理A.4和连续映射定理产生{BT，j（·），WT，j（·）}mj=1=> {Bj（·），Wj（·）}mj=1。定理3的证明。定理1和2意味着，对于足够大的M>0，CBT=2nsupK∈\'M\'T（K，θ）- SUP公司∈\'M，H\'T（K，θ）o+op（1）。（A.30）设M为任意大常数。对于（g，j）∈ {1，…，G}×{1。

，m}，定义rj：=（r1j，…，rGj）带rGj∈ [-M、 M]考虑K∈\'Msuch that kgj=Tj+[rgjv-2吨]。然后，我们可以写出kj=Tj+min{[r1jv-2T]，[rGjv-2T]、0}和kj=Tj+max{[r1jv-2T]，[rGjv-2T]，0}。此外，`T（K，θ）=Pmj=1`（j）T（rj），其中`（j）T（rj）：=P'kjkj+1对数f（yt | XtT，θt，K）-对数f（yt | XtT，θt，t）.注意，对于1≤ t型≤ T，log f（yt | XtT，θT，K）=-nlog（2π）n+log∑t，K |+K（∑t，K）-1/2 UTK-2(βt，K）XtT（∑t，K）ut+K（∑t，K）-1/2XtTβt，K）ko。设kGj：=Tj+min{[rGjv-2T]、0}和kGj：=Tj+max{[rGjv-2T]，0}表示j∈ {1，…，m}。然后，`（j）T（rj）=`（j）T，1（rj）+`（j）T，2（rj），其中`（j）T，1（rj）：=kGjXt=kGj+1nlog∑t，t（∑t，K）-1.+ tr公司（σt，t）-1.- （σt，K）-1.UTUTU公司o、 `（j）T，2（rj）：=kjXt=kj+12(βt，K）XtT（∑t，t）-1吨- k（∑t，t）-1/2XtTβt，Kk.首先，我们考虑术语`（j）T，1（rj）。我们可以写∑t，t（∑t，K）-1=英寸-（∑t，K-∑t，t）（∑t，K）-1和∑t，K-∑t，t=vTΦt，K，其中Φt，K=Φjif kGj<t≤ TjandΦt，K=-Φjif Tj<t≤ kGj。A-12因此，泰勒级数展开的应用得出，对于kGj≤ t型≤ kGj，对数∑t，t（∑t，K）-1 |=tr- vTΦt，K（∑t，K）-1.+tr公司vTΦt，K（∑t，K）-1.+ Op（vT）。（A.31）我们也可以写（∑t，t）-1.-（σt，K）-1=（∑t，t）-1（∑t，K-∑t，t）（∑t，K）-1和ut=（σt，t）1/2ηt，这意味着，对于kGj≤ t型≤ kGj，tr（σt，t）-1.- （σt，K）-1.UTUTU公司= tr公司（σt，t）-1/2vTΦt，K（∑t，K）-1（∑t，t）1/2ηtηt. （A.32）对于kGj≤ t型≤ kGj，我们有（Φt，K，∑t，t，∑t，K）=（Φj，∑j，∑j+1），如果rGj≤ 0(-Φj，∑j+1，∑j），如果rGj>0。将（A.31）和（A.32）与πj（rGj）一起使用：=（σt，t）-1/2Φt，K（∑t，K）-1（σt，t）1/2，我们得到`（j）t，1（rj）=trπj（rGj）VT，ηη，j（rGj）+|rGj | tr{πj（rGj）}+ op（1），（A.33），其中VT，ηη，j（rGj）：=vTPkGjt=kGj+1（ηtηt- 英寸）。接下来，我们考虑术语`（j）T，2（rj）。定义βg，t，K：=π∈盖伊o （βt，K- βt，t）。然后βt，K=PGg=1βg，t，Kand我们有`（j）t，2（rj）=kjXt=kj+1GXg=1(βg，t，K）XtT（∑t，K）-1吨-GXg=1GXl=1(βg，t，K）XtT（∑t，K）-1XtTβl，t，K.对于g组∈ {1，…，G}，我们有βg，t，K=βg，j+1- kgj<t的βgj≤ Tjand那βg，t，K=-（βg，j+1- βgj）对于Tj<t≤ kgj。

因此kjxt=kj+1(βg，t，K）XtT（∑t，K）-1ut=-sgn（rgj）δgjWT，j（rgj，rgj）。类似地，对于g、h组∈ {1，…，G}，我们有kjxt=kj+1(βg，t，K）XtT（∑t，K）-1XtTβh，t，K={kgj∨khj公司≤Tj}δgjBT，j（rgj∨ rhj，rGj）δhj+{Tj<kgj∧khj}δgjBT，j（rgj∧ rhj，rGj）δhj。因此，我们有`（j）T，2（rj）=-GXg=1sgn（rgj）δgjWT，j（rgj，rgj）-GXg=1GXl=1δgjn{rgj∨激光陀螺≤0}BT，jrgj公司∨rlj，rGj+{0<rgj∧rlg}BT，jrgj公司∧rlj，rGjoδlj。应用引理1和（A.33）以及上述方程，我们可以得到`（1） T（r）`（m） T（rm）=>`(1)∞（r） `（m）∞（rm）,A-13其中，对于j=1，m、 `（j）∞（rj）：=trπj（rGj）Vηη，j（rG）+|rGj | trπj（rGj）-GXg=1sgn（rgj）δgjWj（rgj，rgj）-GXg=1GXh=1δgjn{rgj∨rhg公司≤0}Bjrgj公司∨rhj，rGj+{0<rgj∧rhg}Bjrgj公司∧rhj，rGjoδhj。使用sj应用变量更改：=kδjk+tr（Φj）rj，对于j=1，…，sj=（s，…，sm），m、 我们可以显示2`（j）∞（rj）=CB（j）∞（sj）对于所有j=1，m、 因此，连续映射定理可以得到期望的结果。定理4的证明。在两个备选方案H1T下，定理1的收敛速度适用于估计值^θ和^K。因此，给定中断日期^K和K的集合，子区间{[τg，l-1+1，τgl]}Ngl=1对于每个组g满足τgl- τg，l-1.≥ νT或τgl- τg，l-1.≤ 中压-2t对于某些M>0。Ifτgl- τg，l-1.≥ νT，则用于验证属性3（b）的参数√T一致估计^θ表明‘‘g，l（^K，^θ）=Op（1），而获得（A.26）的参数表明‘‘g，l（^K，^θ）=Op（1），如果τgl-τgl≤ 中压-2吨。此外，定理1（b）暗示（^K，^θ）=op（1）。引理A.3得出，`T（^K，^θ）=Op（1）。（A.34）仍需考虑零假设H.（A）Letδ下的归一化似然\'T（eK，eθ）∈ （0，1）固定。如果max1≤j≤mmax1≤g、 g级≤G | kgj- kgj |≥ δT，那么我们有max1≤j≤mmax1≤g级≤G | ekj- kgj |≥ δT/2。应用命题a中使用的类似论点。1，我们可以证明mT=δT/2的性质1和2意味着\'T（eK，eθ）≤ -|Op（T vT）|。

（A.35）根据（A.34）和（A.35），CBT=2{` T（K，θ）- `T（eK，eθ）}≥ |Op（T vT）|。因为临界值c*α是一个有限值，我们得到了期望的结果。（b） 如果max1≤j≤mmax1≤g、 g级≤G | kgj-kgj |≥ 中压-2t对于某些常数M>0，则我们有max1≤j≤mmax1≤g级≤G | ekj-kgj |≥ 中压-2吨/2。当max1≤j≤mmax1≤g级≤G | ekj-kgj |≥ Dv-2Tlog T对于一个足够大的D，可以证明\'T（eK，eθ）≤ -|Op（M）|在命题a的证明中。1、当Mv-2吨≤ 最大值1≤j≤mmax1≤g级≤G | ekj- kgj |≤ Dv-2Tlog T，根据定理1（a）的证明，T（eK，eθ）≤ -|Op（M）|对于足够大的M>0。因此，有一些M>0，这样CBT≥ |Op（M）|证明完成。A-14表1。零假设下的经验拒收频率ar系数α=0.0α=0.4α=0.8破损尺寸标称尺寸标称尺寸δ10%5%1%10%5%1%10%5%1%0.50 0.064 0.036 0.004 0.086 0.050 0.004 0.162 0.104 0.0320.75 0.070 0.036 0.004 0.094 0.054 0.006 0.158 0.088 0.0321.00 0.084 0.004 0.106 0.060 0.010 0.170 0.098 0.0381.25 0.086 0.044 0.004 0.108 0.058 0.0140.182 0.104 0.0401.50 0.096 0.050 0.006 0.120 0.056 0.010 0.186 0.108 0.0360.75 0.75 0.084 0.032 0.004 0.112 0.046 0.004 0.158 0.086 0.0301.00 0.088 0.040 0.004 0.108 0.050 0.010 0.154 0.082 0.0301.25 0.086 0.050 0.006 0.104 0.060 0.006 0.156 0.088 0.0281.50 0.090 0.052 0.006 0.118 0.058 0.010 0.166 0.090 0.0281.00 1.00 0.090 0.044 0.008 0.104 0.060 0.012 0.150 0.078 0.0221.25 0.086 0.050 0.010 0.090.060 0.010 0.140 0.072 0.0261.50 0.092 0.050 0.012 0.096 0.056 0.012 0.152 0.070 0 0.0261.25 1.25 0.080 0.044 0.008 0.084 0.052 0.012 0.118 0.058 0.0181.50 0.074 0.042 0.010 0.080.044 0.010 0.112 0.056 0.0181.50 1.50 0.074 0.038 0.010 0.088 0.040 0.010 0.106 0.048 0.018注：数据生成过程为双变量系统：y1t=1+δ{k<t}+αy1，t-1+u1t（EQ1）y2t=1+δ{k<t}+αy2，t-1+u2t，（EQ2）对于t=1。

，T，其中（u1t，u2t）~ i、 i.d.N（0，i）和δii是i=1，2时方程的断裂尺寸。我们设置样本量T=100，中断日期k=k=50，修剪值ν=0.15。表2：。