最坏情况下，单变量和双变量边际预期短缺

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英文标题：
《Worst-Case Expected Shortfall with Univariate and Bivariate Marginals》
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作者：
Anulekha Dhara, Bikramjit Das, and Karthik Natarajan
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Worst-case bounds on the expected shortfall risk given only limited information on the distribution of the random variables has been studied extensively in the literature. In this paper, we develop a new worst-case bound on the expected shortfall when the univariate marginals are known exactly and additional expert information is available in terms of bivariate marginals. Such expert information allows for one to choose from among the many possible parametric families of bivariate copulas. By considering a neighborhood of distance $\\rho$ around the bivariate marginals with the Kullback-Leibler divergence measure, we model the trade-off between conservatism in the worst-case risk measure and confidence in the expert information. Our bound is developed when the only information available on the bivariate marginals forms a tree structure in which case it is efficiently computable using convex optimization. For consistent marginals, as $\\rho$ approaches $\\infty$, the bound reduces to the comonotonic upper bound and as $\\rho$ approaches $0$, the bound reduces to the worst-case bound with bivariates known exactly. We also discuss extensions to inconsistent marginals and instances where the expert information which might be captured using other parameters such as correlations.
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中文摘要：
文献中广泛研究了仅给出随机变量分布有限信息的预期短缺风险的最坏情况界限。在本文中，当单变量边际精确已知，并且可以获得关于双变量边际的额外专家信息时，我们开发了一个关于预期短缺的新的最坏情况界。这样的专家信息允许人们从许多可能的二元copula参数族中进行选择。通过考虑具有Kullback-Leibler散度测度的双变量边缘周围距离$\\ρ$的邻域，我们建立了最坏情况风险测度中的稳健性与专家信息中的置信度之间的权衡模型。我们的界限是在二元边缘上唯一可用的信息形成树结构时发展起来的，在这种情况下，它可以使用凸优化进行有效计算。对于一致的边缘，当$\\rho$接近$\\infty$时，边界降低到共单调上界，当$\\rho$接近$\\0$时，边界降低到最坏情况下的边界，二元变量精确已知。我们还讨论了不一致边缘的扩展，以及可能使用其他参数（如相关性）获取专家信息的实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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关键词：双变量 单变量 Optimization Quantitative neighborhood

最坏情况下，单变量和双变量预期短缺*Bikramjit Das+Karthik Natarajan§AbstractWorst case关于预期短缺风险的界限，鉴于随机变量分布的信息有限，已在文献中进行了广泛研究。在本文中，当单变量边际准确已知，并且可以获得关于双变量边际的额外专家信息时，我们开发了一个关于预期短缺的新的最坏情况界。这样的专家信息允许人们从许多可能的二元copula参数族中进行选择。通过考虑具有Kullback-Leibler散度测度的双变量边缘值周围距离ρ的邻域，我们建立了最坏情况风险测度中的稳健性与专家信息可信度之间的权衡模型。当二元边缘上唯一可用的信息形成一个树结构时，我们的边界就形成了，在这种情况下，它可以使用凸优化进行有效计算。对于一致的边缘，ρ接近∞, 该界减少到共单调上界，当ρ接近0时，该界减少到最坏情况下的界，且二元变量精确已知。我们还讨论了不一致边缘的扩展，以及可能使用其他参数（如相关性）获取专家信息的实例。关键词：预期差额（CVaR），分布稳健界，边际，KL分歧。1简介近年来，当潜在风险的概率分布不确定时，对投资组合联合风险度量的最坏情况界限的估计越来越感兴趣。这些边界在评估投资组合面临给定模型不确定性的最大风险时非常有用。

与本文特别相关的是预期短缺风险度量（也称为条件风险价值（CVaR）度量），该度量已在BaselAccord III中提出，作为银行业风险价值度量的替代方法（见Embrechtset al.2014）。对于具有有限期望绝对值Eθ（|c |））<∞其中θ是概率测度，F（·）是累积分布函数，即α置信水平下的预期短缺∈ （0，1）定义为：ESθα（℃）=1- αZαVaRθγ（~c）dγ，*工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编：487372。电子邮件：anulekha@sutd.edu.sg+工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编487372。电子邮件：bikram@sutd.edu.sg工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编：487372。

电子邮件：karthiknatarajan@sutd.edu.sg§本研究部分由SUTD-MIT国际设计中心关于“复杂离散选择优化”的IDG31300105号拨款和教育部关于“运输系统中消费者选择的分布式鲁棒优化”的第二级拨款资助。其中概率水平γ的风险值∈ （0，1）定义为：VaRθγ（~c）=inf{c∈ R | F（c）≥ γ} .Rockafellar和Uryasev（2002）推广的预期差额的另一种表示形式，对任何具有有限预期绝对值的随机变量c有效，由以下凸最小化问题的最佳目标值给出：ESθα（c）=infβ∈Rβ +1 - αEθ[℃- β]+.考虑投资组合优化问题：minx∈XESθαcTx（1.1）其中x是在凸集x中选择的n维决策向量（投资组合分配），c是具有联合分布θ的n维随机向量（资产损失）。投资组合的损失由随机变量▄cTx=Pi▄Cixi给出，其中预期缺口捕获了投资组合的风险。预期短缺风险度量有几个有吸引力的数学属性。首先，具有预期短缺风险度量的投资组合优化问题是一个凸优化问题（与VaR度量不同），其公式如下：∈X，β∈Rβ +1 - αEθcTx- β+. （1.2）此外，预期缺口是一个连贯的风险衡量指标（见Artzner et al.1999），鼓励风险分散。然而，在投资组合优化中使用这种风险度量仍然存在挑战。Lim et al.（2011）表明，由于模型对收益分布的尾部非常敏感，预计短缺风险度量的估计误差往往会增大。Hanasusanto等人。

（2016）表明，计算形式为θ的随机变量线性组合的非负部分的期望值cTx- β+,对于x和β的固定值，即使是均匀分布的独立随机变量，也是#P-hard。解决这些困难的一种方法是在一组可能的分布Θ中考虑联合概率分布θtolie。给定这组分布，将分布鲁棒投资组合优化问题表述为一个最小值问题∈Xmaxθ∈ΘESθαcTx, （1.3）选择投资组合分配向量，以最小化集合Θ中所有可能分布的最坏情况预期短缺风险。在集合Θ的特定假设下，公式（1.3）已被证明是有效可解的。对于离散分布，可有效解决最坏情况预期短缺和相应分布稳健优化问题的集合示例有：（a）具有固定单变量边际的分布集合（见R¨uschendorf 1983），（b） 具有固定非重叠多元边缘的分布集（见Doan和Natarajan 2012，Embrechts和Pucetti 2006），（c）具有固定重叠多元边缘的分布集，其中重叠边缘的结构满足规律性（见Doan、Li和Natarajan 2015），（d） 假设情景概率位于箱形不确定性集或椭球体不确定性集的分布集（见Zhu和Fukushima 2009），（e）假设情景概率位于标称概率分布周围使用φ-散度度量定义的不确定性集的分布集（见BenTal et al.2013）。

这包括Kullback-Leibler散度、Burg熵和χ-距离作为特例。注意，在（b）、（c）、（d）和（e）情况下，集合Θ的表示本身可能是随机变量数的指数。例如，如果n个随机变量中的每个都取m个可能值，则联合分布最多可以取mn个可能值。因此，情况（b）-（e）中的有效可解性通常是指在多项式时间内以联合离散分布的支撑点数量解决问题的算法。1.1动机在文献中，提出了几种方法来模拟分布，其中关于边缘的信息可用，并且只知道有限的依赖性信息。一种普遍的方法是找到最大熵分布（见Jaynes 1957），其中选择联合分布来最大化满足给定信息的香农熵测度（见香农1948）。例如，给定一元边缘，最大熵分布就是独立分布。类似地，给定形成树结构的二元信息，最大熵分布是树上的条件独立分布，称为马尔可夫（Chow Liu 1968）树分布。另一种方法是使用总体理论，其中联合分布根据单变量边缘和copula建模（见Sklar 1959）。然而，在高维中指定和估计copula仍然具有挑战性。建立在双变量copulas基础上的高维分布的一个密切相关模型是vine copula（见Bedford和Cooke 2002）。

与只依赖于n的n个随机变量的Chow-Liu树分布不同- 1可以指定边，在vine copula中，可以使用双变量copula指定变量之间的其他依赖信息。使用vine copula的最初动机源于需要将依赖性方面的专家意见纳入分布规范。在我们的工作中，我们没有通过指定一个总体结构来描述与一元和二元信息一致的联合分布，而是专注于寻找预期空降风险度量的最坏情况联合分布。在本文中，我们假设一元边际分布是精确已知的，但允许以各种方式生成关于二元分布的信息，包括可能涉及噪声、不精确或不完整数据观测和专家观点的历史数据。因此，很可能不存在与给定的单变量和双变量边际信息一致的分布。例如，在投资组合优化中，经常使用股票之间的相关性来建模依赖关系。这些相关性可以在不同时期的成对股票之间测量。此外，专家通常根据预测提供成对股票之间的相关性估计。结合不同的专家观点，可以得出负半定义或不定义的相关矩阵。这导致了人们对“最近相关矩阵问题”的兴趣，其目标是找到一个最接近给定矩阵的正半细相关矩阵。

虽然在寻找和构建最接近的相关矩阵方面已经做了很多工作（参见Higham 2002、Qi和Sun 2010），但研究其对投资组合优化的影响的工作却很少。我们的方法与四个工作流程密切相关。Glasserman和Yang（2016）最近提出了一个优化公式，通过结合市场和信用风险模型来计算最坏情况下的信用估值调整风险。在他们的方法中，边际分布是固定的，而最坏情况下的风险是通过对市场和信用风险模型之间依赖关系的双变量参考模型的偏差进行惩罚来计算的。当他们的优化公式为n=2时，我们将其推广到保留多项式时间可解性的任意n。第二项工作是Ben Talet提出的模型。al（2013）研究了稳健优化问题，其中联合分布集位于参考概率分布的一个大范围内，距离是使用φ-散度概念定义的。它们的凸优化公式在联合分布的支撑点数量上是多项式，但在随机变量数量上可以是指数的。另一方面，在我们的工作中，通过考虑低维概率分布的邻域、特定的二元边缘并假设树结构，我们开发了一个凸重新公式，该公式在随机变量数量上呈多项式增长。第三组结果是Byrougarden和Kearns（2013），他们讨论了验证给定的单变量和双变量边际是否存在联合分布的困难，以及找到最接近的一致边际到不一致边际的相应问题。

虽然他们的重点是在一个完整的图上显示这些问题的NPHardent，但我们表明这些问题很容易在树上解决，而且可以评估鲁棒边界。最后，我们的结果建立在Doan、Li和Natarajan（2015）早期工作的基础上，他们利用单变量和双变量边际信息确定了预期短缺的界限。与他们的工作相反，我们允许边缘不一致，即使是一致的，我们也通过考虑边缘周围的邻域，为专家意见的可信度建模提供了灵活性。因此，我们明确建模了最坏情况下风险度量的稳健性与专家信息的可信度之间的权衡。论文概要如下。在第2节中，我们提供了一组分布的正式描述，其中包含给定的单变量边缘值ui和关于双变量边缘值uij的专家信息。我们研究了通过使用给定二元边缘的Kullback-Leibler散度来确定最小ρ邻域（假设Θ为非空）来确定最近一致边缘的问题。我们还通过假设一个树结构，为这个问题提供了一个多项式大小的凸重新表述。我们还将在本节中讨论几个扩展。在第3节中，我们使用二元分布的ρ-邻域来确定分布的不确定性集，例如Θ是非空的。我们提供了一个凸优化问题，以找到预期短缺的最坏情况上界。我们证明了当二元边缘信息形成树结构时，该界是可有效计算的。在第4节中，我们介绍了数值实验。附录中提供了所有证据。在本节中，我们提供了分布集的正式描述。

我们将注意力限制在单变量和双变量边际信息上。用▄c=（▄c，▄c，▄cn，▄cn）表示随机向量，并定义索引集N={1，2，…，N}。让Cidenote表示▄cifor i所取的值集∈ N对于i∈ N，让ui注意给定的单变量分布，其中ui（ci）=Pθ（~ci=ci）表示ci∈ Ci。让N N×N表示二元边际信息的指标集。Thenfor（i，j）∈ n当i<j时，让uij表示二元边际，其中uij（cij）=Pθ（~cij=cij）=Pθ（~ci=ci，~cj=cj），其中ci为▄cij=（~ci，~cj），cij=（ci，cj）∈ Ciand cj公司∈ Cj。我们假设二元边际信息是从专家信息中获得的。这种二元边际可以使用二元copula的许多可能参数族中的一个来选择。我们还讨论了何时可以使用更简单的参数（如相关性）获取有关双变量的专家信息。与这组边值相关的图由顶点集nw组成，其中每个顶点i对应于随机变量cIAN，而弧集nw中，顶点i和j之间的每个无向边（i，j）对应于一对随机变量cIAN和cJ，为其提供了二元边值。设（N，N）表示相应的图。设Θ表示联合分布的Fr'echet类，给定的单变量和双变量边际值定义为Θ={θ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=uij，（i，j）∈ N} ，其中proji（·）和projij（·）表示联合分布对第i个和（i，j）-个变量的投影。一个重要的问题是确定一元和二元边界上的条件，以保证集合Θ是非空的。