时变极值相关性及其在引导中的应用

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英文标题：
《Time-Varying Extreme Value Dependence with Application to Leading
  European Stock Markets》
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作者：
Daniela Castro Camilo, Miguel de Carvalho, Jennifer Wadsworth
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Extremal dependence between international stock markets is of particular interest in today\'s global financial landscape. However, previous studies have shown this dependence is not necessarily stationary over time. We concern ourselves with modeling extreme value dependence when that dependence is changing over time, or other suitable covariate. Working within a framework of asymptotic dependence, we introduce a regression model for the angular density of a bivariate extreme value distribution that allows us to assess how extremal dependence evolves over a covariate. We apply the proposed model to assess the dynamics governing extremal dependence of some leading European stock markets over the last three decades, and find evidence of an increase in extremal dependence over recent years.
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中文摘要：
在当今全球金融格局中，国际股票市场之间的极端依赖尤其令人感兴趣。然而，之前的研究表明，这种依赖性不一定随时间而稳定。当依赖性随时间或其他合适的协变量变化时，我们关心的是建模极值依赖性。在渐近依赖的框架内，我们引入了一个二元极值分布角密度的回归模型，该模型允许我们评估极值依赖如何在协变量上演化。我们应用所提出的模型来评估过去三十年来欧洲一些主要股票市场的极端依赖动力学，并发现近年来极端依赖性增加的证据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Time-Varying_Extreme_Value_Dependence_with_Application_to_Leading_European_Stock.pdf (1.6 MB)

2022-6-13 23:27:49 上传

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关键词：相关性 distribution Applications Econophysics Quantitative

Daniela Castro Camilo、Miguel de Carvalho和Jennifer Wadswortking Abdullah科技大学提交给《应用统计学时变极值相关性年鉴》，并应用于欧洲主要股市，爱丁堡大学和兰开斯特大学在当今全球金融格局中，国际股市之间的极度依赖尤其令人感兴趣。然而，之前的研究表明，随着时间的推移，这种依赖性不一定是平稳的。当依赖性随时间变化或其他合适的协变量时，我们关心的是建模极值依赖性。在渐近依赖的框架内，我们引入了一个二元极值分布角密度的回归模型，该模型允许我们评估极值依赖如何在协变量上演化。我们应用所提出的模型来评估过去三十年来一些领先欧洲股市的极端依赖动力学，并发现近年来极端依赖性增加的证据。1、简介。近年来，国际股市出现了前所未有的动荡。次贷危机和希腊债务危机等事件进一步加剧了这种动荡，并导致许多人担心金融世界末日的到来。欧洲的情况异常微妙，在最近的金融危机之前，Poon等人（2003、2004）发现了极端依赖性增加的证据。我们希望更新其分析的适当部分，尤其是以比以前更完整的方式分析时变极值依赖。

为了实现这一目标，我们提出了一种在极值依赖结构中建模非平稳性的方法。自20世纪70年代以来，单变量极值的统计建模一直在发展中（自然环境研究委员会，1975年）。对于复杂问题的实际应用来说，最基本的是发展方法来解释利益分布中的非平稳性，这是Davidson和Smith（1990）首次大力倡导的。解决这个问题的典型方法是基于广义线性建模思想，即允许边际分布的参数依赖于协变量；Chavez Demoulin和Davidson（2005）介绍了涉及广义相加建模的更灵活的方法。Eastoe和Tawn（2009）提出了相关的想法，即根据数据对协变量的依赖性对数据进行预处理。Tawn（1988）介绍了建模多元极值的统计方法，并在Tawn（1990）和Coles and Tawn（1991）中发展了该方法。自那时以来，在开发极端依赖建模框架方面做了大量工作，但令人惊讶的是，很少有人关注如何将非平稳性纳入（极端）依赖结构。例外情况包括Eastoe（2009），他引入了一个条件独立的层次模型，Jonathan et al.（2014），他开发了将协变量纳入He ffiernan和Tawn（2004）模型的方法，以及de Carvalho和Davidson（2014），他们开发了一个半参数模型关键词和短语：角度度量、双变量极值、欧洲股市整合、风险、，极端统计。2卡斯特罗·卡米洛（CASTRO CAMILO）、德·卡瓦略（DE CARVALHO）和瓦兹沃思（WADSWORTHfor）的设置通过变量对未指定基线分布的作用将多变量极值分布联系起来。

此外，Huser和Genton（2016）开发了可包含协变量的空间极值非平稳模型。在这项工作中，我们通过为一个简单的设置提出灵活的方法，补充了关于依赖结构中非平稳性建模的文献。在已知渐近依赖的尾部依赖框架下，我们假设相关的二元极值分布涉及某个感兴趣的协变量。我们采用的方法是完全非参数的，这是有利的，因为给定协变量的双变量分布形式和对协变量的依赖形式都无法参数化。我们的方法特别适合于评估极端依赖的时间变化，这就是我们想在激励示例中调查的情况。Poonet al.（2003、2004）研究了美国、英国、法国、德国和日本股市回报之间的相关性。他们工作的主要重点是强调并非所有市场都表现出足够强的尾部依赖性，即渐近依赖性，并提出替代依赖性总结。然而，仅考虑欧洲市场，他们注意到有证据表明存在较强的左尾依赖性，我们还发现这些主要欧洲市场的左尾存在交感依赖性。正如Poonet al.（2003）所指出的，依赖性在时间上不是平稳的，这项工作的主要重点是使用时变依赖结构的完整模型来探索这种非平稳性，而不是简单的汇总统计。在下一节中，我们将提供极值依赖性建模的背景，并介绍我们提出的合并非平稳性的框架。第三节介绍了我们的估计和推断方法；第4节中有数字插图。

第5节的重点是利用CAC、DAX和FTSE对三大欧洲股票市场的收益率应用所提出的方法，以评估其极端依赖结构随时间的演变。我们在第6.2节中得出结论。二元极值的条件建模。2.1. 极值的二元统计。设{（Yi，1，Yi，2）}Ni=1是具有连续边缘分布FY和FY的独立且独立分布的随机向量的集合。我们关心向量分量之间的极端依赖性的评估，因此在不丧失一般性的情况下，我们假设它们具有标准的Fr'echetmargins，即P（Yj>y）=exp(-1/y），对于y>0且j=1，2。Let（MN，1，MN，2）=Nmax16i6N{Yi，1}，max16i6N{Yi，2}是分量最大值的标准化向量。然后ifP（MN，16 y，MN，26 y）→ G（y，y），作为N→ ∞,（2.1）其中G是非退化分布函数，G的形式为G（y，y）=exp(-最大2Z[0,1]wy，1- 怀俄明州H（dw）），y，y>0。（2.2）这里，G（y，y）是所谓的二元极值分布，H是一种概率度量，称为角度度量。Pickands（1981）表示时变极值相关性3理论的一个结果是，角度度量需要遵守以下边际力矩约束Tz[0,1]w H（dw）=1/2；（2.3）例如，见Coles（2001，定理8.1）。设R=Y+Y，W=Y/（Y+Y）。de Haanand Resnick（1977）已经证明，（2.1）中的收敛性等于toP（W∈ · | R>u）→ H（·），u→ ∞.（2.4）在实践中，收敛（2.4）通常比（2.1）更有用，并告诉我们，当“半径”Ris较大时，“伪角”W近似地按照H分布，并且近似地依赖于R。H在[0，1]上的质量分布描述了随机向量（Y，Y）的极值依赖结构。

这种分布的极端情况由渐近独立性给出，其中所有质量都放置在[0，1]的顶点，给出G（y，y）=exp{-（y）-1+y-1） }，通过完全依赖，所有质量都放置在间隔的中心，得到G（y，y）=exp{- 最大值（y-1，y-1)}. 我们将H远离顶点的情况称为渐近依赖，这将是我们建模的框架。然而，在实践中，渐近独立性是一种相对常见的情况，当发现R和W对于R的任何值都不独立时，可以检测到渐近独立性，随着事件变得更加极端，W的质量接近0和1。在这种情况下，H的nomodel将提供关于极值依赖结构的有用信息。最后，统计建模的一个标准假设是，H是绝对连续的，角密度H=dH/dw，这将是我们的框架。角度度量的相关泛函包括二元极值分布（2.2），该分布也表示Fr'echet裕度中的极值copula，CEV，（例如Gudendorf和Segers，2010），即g（y，y）=CEV（e-1/y，e-1年）。其他泛函包括Pickands（1981）依赖函数A（w）=1- w+2RwH（u）du，极值系数C=2A（1/2）。极值独立性对应于A（w）=1，而完全依赖性对应于A（w）=max（w，1- w） 。2.2. 条件建模框架。我们将条件二元极值（BEV）分布定义为Gx（y，y）≡ G（y，y | X=X）=exp(-最大2Z[0,1]wy，1- 怀俄明州H（dw | X=X）），（2.5）表示X∈ 十、 R、 y，y>0。

此处为Hx（·）≡ H（·| X=X）是满足（2.6）Z[0,1]wHx（dw）=1/2，X的条件概率度量∈ 十、如果Hx（w）≡ Hx[0，w]是绝对连续的，其条件角密度为Hx=dHx/dw。de Carvalho（2016）讨论了条件角度度量的其他方面。我们感兴趣的主要建模对象将是一组条件角密度{hx（w）：w∈ [0，1]，x∈ X}，我们称之为角曲面。可以使用条件角密度hx（w）=β（w；ux，ux）获得简单的角表面，其中u：x 7→ (0, ∞), β（·；p，q）表示形状参数p，q>0的β密度。在图1（a）中，我们代表了4卡斯特罗·卡米洛、德·卡瓦略和瓦兹沃思·沃古拉表面图1。（a） 条件beta族的角表面，ux=x，对于x∈ X=[0.5，50]。（b） 条件logistic族的角曲面，αx=Φ（x），对于x∈ X=[-3, 3].基于此模型的角度曲面，ux=x，对于x∈ X=[0.5，50]。可以看出，预测值x的值越大，极端依赖程度越强。其他角度曲面可以很容易地从角密度的参数模型构建。示例1（条件逻辑模型）。logistic角面是logistic模型的协变量调整扩展（Coles，2001，第146页），它基于条件角密度（2.7）hx（w）=αx- 1.{w（1- w） }-1.-1/αx{w-1/αx+（1- w）-1/αx}αx-2，w∈ （0，1），其中α：X 7→ （0，1）。αxis越接近0，极值依赖程度越高，而αxis越接近1，我们就越接近独立。通过使用分布函数F（x）或生存函数1对αx建模，可以获得具有简单“形状”的角曲面- F（x）。使用αx=（F）可以获得更复杂的形状o G） （x），对于某个连续函数G:x 7→ R

在图1（b）中，我们用αx=Φ（x）表示logistic角曲面（2.7），对于x∈ X=[-3，3]，其中Φ表示标准正态分布函数。示例2（条件Dirichlet模型）。Dirichlet角面是Dirichlet模型的协变量调整扩展（Coles and Tawn，1991），它基于条件角密度（2.8）hx（w）=axbxΓ（ax+bx+1）（axw）ax-1{bx（1- w） }bx-12Γ（ax）Γ（bx）{axw+bx（1- w） }ax+bx+1，w∈ （0，1），其中a:X 7→ (0, ∞) 和b:X 7→ (0, ∞). 具有简单形状的角曲面可以使用ax=bx=exp（x）获得，而如果需要更复杂的动力学，则可以基于ax=exp{A（x）}，bx=exp{B（x）}，其中A：x 7→ R和B:X 7→ R是连续函数。时变极值依赖性5条件角度度量的基本思想并不特别复杂，如果：（i）我们知道我们的数据符合特定的参数族，并且（ii）我们确切地知道该族如何依赖于x，那么对其进行推断就很简单了。然而，由于我们对这两种情况都不了解，采取的自然方法是非参数方法。我们假设hx随x平滑变化，因此核平滑成为一种自然选择。我们在第3.2.3节中描述了我们的估计策略。感兴趣的相关条件对象。我们的估计目标{hx（w）：w∈ [0，1]，x∈ 在对二元极值建模时，X}可用于构造其他感兴趣的对象。例如，Pickands（1981）依赖函数的条件版本可以定义为x（w）=1- w+2ZwHx（u）du，x∈ X，w∈ [0，1]，导致条件极值系数Cx=2Ax（1/2）。协变量调整极值copula可以很容易地从（2.5）构造出来。

虽然很多理论和应用工作都致力于时间相关的copula（Patton，2006；Veraverbeke et al.，2007；Acar et al.，2011；Fermanian and Marten，2012），但相比之下，致力于时变极值copula的工作量相当少，但在大量应用兴趣背景中具有明显的相关性。后一种设置是当前手稿中感兴趣的设置。示例3。使用示例1中的条件角密度，我们得到Ax（w）={（1- w） 1/αx+w1/αx}αx和Cx=2αx，而logistic角面基于条件BEV分布，Gx（y，y）=exp{-（y）-1/αx+y-1/αx）αx}，x∈ X，y，y>0.3。估计和推断。3.1. 伪角度的推导。考虑公式（2.4）。我们现在假设依赖结构中的非平稳性，例如p（W∈ · | R>u，X=X）→ Hx（·），u→ ∞.（3.1）注意，我们仍然假设R和W来自Y，Y，具有标准Fr’echet裕度。通常，当假设极值依赖结构中的平稳性时，在R中搜索高阈值，使得W和R在阈值以上近似独立，并使用与R的阈值超标相关的所有W进行推断。假设x对极限（3.1）内的收敛速度没有影响，这里也有类似的方法。然而，为了谨慎起见，我们使用分位数回归来评估R对x的依赖性（Koenker，2005）。为了与我们方法的非参数性质保持一致，我们使用回归样条曲线进行非参数Cquantile回归。该方法可以灵活地拟合一个分段三次多项式来估计R的95%分位数。如果检测到R和x之间存在任何关系，那么我们可以通过R得出与超出设定阈值相关的W进行推断。下面，我们使用N=o（N）来表示阈值Ri=Yi，1+Yi，2，对于i=1。

N关于数据应用中伪角度推导的更多详细信息，请参见第5.3节。我们注意到，我们不允许利润率在预测值上发生变化。然而，这对于我们的数据应用程序来说是一个合理的建模假设，因为（过滤后的）回报已知6 CASTRO CAMILO、DE CARVALHO和Wadsworth6是近似平稳的。事实上，正如Resnick（2007，第7页）提出的那样，“收益率比平稳性等价格具有更具吸引力的统计特性。”有关数据应用程序中使用的过滤方法的详细信息，请参见第5.2节。3.2. 条件角密度估计。这里我们概述了密度族{hx（w）：w的估计量∈ [0，1]，x∈ X}。假设观测值{（Xi，Wi）}ni=1，其中协变量xiare连续且在X中 R、 设Kb（x）=（1/b）K（x/b）为带宽b>0的内核。对于任何x∈ X，我们定义了估计量（3.2）bhx（w）=nXi=1πb，i（X）β（w；νWiθb（X）+τ，ν{1- Wiθb（x）}+τ，w∈ （0，1），其中θb（x）=1/2Pni=1πb，i（x）Wi，πb，i（x）=Kb（x- Xi）Pnj=1Kb（x- Xj），i=1，n、 满足力矩约束（2.6），因为ZWBHx（w）dw=Pni=1Kb（x- Xi）{νWiθb（x）+τ}（ν+2τ）Pni=1Kb（x- Xi）=ν/2+τν+2τ=1/2，对于所有有效τ>0，替换θb（x）。我们的估计器中涉及的两个核（kb和β）和三个参数可以解释如下。带宽b>0是内核kb的比例参数，控制x方向上的平滑量。内核知识库的选择取决于典型的考虑因素。原则上，kb应该是对称的和单峰的，因为有一种观点认为，基于不满足这些要求的核的密度估计是不可接受的（Cline，1988）。