测试市场微观结构噪音是否由

注意，我们有分解2Φ1/2nψn（ξ）- ψn（ξ）= Φ-1/2n{M（T）+2M（T）+M（T）+M（T）+2M（T）}。首先我们证明Φ-1/2n{M（T）+M（T）+2M（T）}在GT条件下收敛于分布。根据引理A.9和A.10【Clinet和Potiron，2018a】，Φ-1/2nM（T）和Φ-1/2nM（T）都倾向于在GTto混合正态分布的条件下不分布各自的渐近方差SV=σ√T8σA000, （10.82）和V=√T16aσ0 0a+cum[]a0 0 0. （10.83）此外 在其他流程中Wj（θ）θ和X是不相关的，我们推导出任意对之间的条件协方差项Mi（T），Mj（T）i 6=j，i，j∈ {3，4，5}为空，因此与引理10.12中获得的边际收敛一起，这自动产生了以GTΦ1/2n{M（T）+M（T）+2M（T）}为条件的定律收敛→ 明尼苏达州0,一σ√T8σ+√T16σ0 0a+立方米[]a0 0 4a-2Vθ.根据【Clinet和Potiron，2018a】中的Slutsky引理和引理A.6和A.7，我们还可以在M（T）+2M（T）的分布中稳定地收敛到随机方差v的混合正态分布=5Q16T1/2σa0 00 00 00 0 0. （10.84）最后，通过应用[Clinet and Potiron，2018a]中的命题A.8，我们推导出（M（T）+2M（T），M（T）+M（T）+2M（T）的联合GTstable收敛，从而得出全局项Φ1/2n的收敛ψn（ξ）- ψn（ξ）, 我们完成了。我们现在准备证明中心极限定理。定理4.1的证明。

在B=1的情况下，证明完全遵循[Clinet和Potiron，2018a]中定理A.12的证明，并用ξ=（σ，A，θ）替换ξ=（σ，A，θ），用三维对应项替换分数函数以及鱼的信息。10.6定理3.1的证明在a=ηT/n的情况下，即在小剩余噪声框架下，我们有兴趣推导两个估计量的联合定律，即bξn，err=（bσn，err，bθn，err，ban，err）和bДn，exp=（bσn，exp，bθn，exp），这是在拟似然函数中无剩余噪声约束a=0的情况下获得的。对于前面的估计器，极限理论与固定非零噪声的情况截然不同。实际上，我们要证明收敛速度（N1/4n，N1/2n，N1/2n）变为（N1/2n，N3/2n，Nn）。此外，噪声增量和价格增量的阶数相同，复杂的相互作用项现在出现在估计量的极限方差中。为导出CLTbДn，exp，bξn，err, 让我们重新表述一下这个问题，引入bηn，err：=-1Nnban，err，bun，err：=N1/2n（bθn，err- θ） ，和bun，exp：=N1/2n（bθn，exp- θ） ，我们现在有兴趣展示bνn=bwn，exp，bζn，err:= （bσn，exp，bun，exp，bσn，err，bun，err，bηn，err）（10.85）允许速率为N1/2n的CLT。我们注意到，bζn，err是与新对数似然ln相关的QMLE，err（σ，u，η）：=-对数det（λ）-（Y）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1（Y- u（θ+N-1/2nu），（10.86）其中Ohm 用∧=Nn型σ+ 2η -η 0 ··· 0-η σ+ 2η -η......0-η σ+ 2η...............-η0 ··· 0 -η σ+ 2η, （10.87）和bwn，exp是Ln的变量（σ，u）中的一个最大值，exp（σ，u）：=Ln，err（σ，u，0），（10.88），即（10.86），其中∧=NnσINn，where INn∈ RNn×NNI是单位矩阵。

现在，我们采用了与定理1的证明【A"it-Sahalia和Xiu，2016】类似的符号，并简化了引入变量φ=1变化的问题-2ηnpσ（4η+σ）- σo和γ=n2η+σ+pσ（4η+σ）o，当η=0时，φ=0。我们有λi，j=-1Nnγ-2φ| i-j|- φi+j- φ2Nn+2-（i+j）- φ2Nn+2-|我-j |（1）- φ)(1 - φ2n+2），（10.89），约定0=1。因此，我们将导出通过将对数似然函数分别视为ζ：=（γ，u，φ）和w：=（σ，u）的函数最大化得到的|νn=（|wn，exp，|ζn，err）=（bσn，exp，bun，exp，bγn，err，bun，err，bφn，err）的渐近性质。给定φ和η的形式，我们看到存在φ∈ （0，1）和γ>γ>0，分别对集合n，err进行优化：=γ, γ×{u∈ Rd+|θ+N-1/2个∈Θ}×-φ, φ, 和Ξn，exp：=γ, γ×{u∈ Rd+|θ+N-1/2个∈ Θ}. 然后，我们将通过delta方法返回到bζn，err。我们保持与前一部分类似的符号，并写出ψn，err（ζ）=-N-1nLn，呃ζ第一个实验的得分函数，类似地，ψn，exp（w）=-N-1nLn，expw、 有时我们会考虑联合过程ψn=（ψn，exp，ψn，err）。我们还自然地将符号（10.15）和（10.37）调整为小噪声上下文（ζ）=（u（θ）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1(u(θ) - u（θ+N-1/2nu），（10.90）和kN（ζ）=（u（θ）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1{X+}. （10.91）我们首先给出了当a=ηT/n时两个估计量的极限。定理10.14。（一致性）假设a=ηT/n。定义η：=ηT-1RTα-1sds。设φ：=1-2？ηnpσ（4？η+σ）- σo和γ：=n2η+σ+pσ（4η+σ）o。设ν：=（w0，exp，ζ0，err）=（σ+2η，0，γ，0，φ）。我们有→Pν。特别是，在零假设η=0的情况下，两个估计量是一致的，因为我们有ν=（σ，0，σ，0，0）。证据我们分别显示了|ζn，errad|wn，exp的一致性。让我们从|ζn，err开始。证明方法与引理10.9和定理10.10相同。

首先，让我们定义ρk：=EW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθ. （10.92）引理10.6和10.7现在很容易适应上ζ∈Ξn，errEU“Nn型αGn（ζ）ζα-αG∞,误差（ζ）ζα#= oP（N-1/2n），（10.93）对于任何多指数α，使得|α|≤ m、 和with G∞,err（ζ）：=Tγ（1+φ）uT（|ρ）- (1 - φ)+∞Xk=1φk-1|ρk）u=γTuTPθ，φu带Pθ，φ：=2（1+φ）-1{~ρ- (1 - φ） P+∞k=1φk-1▄ρk}，和SUPζ∈Ξn，errEU“Nn型αKn（ζ）ζα#= oP（N-1/2n）。（10.94）因此，将【A"it-Sahalia and Xiu，2016】（第45页）的推理改编为我们的设置（通过（10.1），我们得到了观测网格的步长πnT→P0），并将它们与（10.93）、（10.94）和引理10.8相结合，得到收敛性supζ∈Ξn，err |ψn，err（ζ）- Ψ∞,err（ζ）|→P0，（10.95），其中ψ∞,误差（ζ）=2γ-σ+2(1-φ)~η2γ(1-φ)+G∞,误差（ζ）γG∞,误差（ζ）uφσ+2（1-φ)~ηγ(1-φ)-~ηγ(1-φ)+G∞,误差（ζ）φ.现在，通过一个经典的统计参数（参见【范德法特，2000年】、定理5.9）和（10.95），可以证明bζn的一致性，如果有 > 0，infζ∈Ξ∞,错误：|ζ-ζ|>kψ∞,err（ζ）k>0，其中kxk=qPixi，其中Ξ∞,错误=γ, γ×Rd×-φ, φ, 如果ψ∞,误差（ζ）=0。第二个断言是立即的。为了证明前者，让我们取b>0为任意数，并考虑Ξb，err：=γ, γ×[-b、 b]d×-φ, φ. 我们将展示infζ∈Ξ∞,犯错误-Ξb，误差：ζ-ζ|>kψ∞,一方面，err（ζ）k>0，infζ∈Ξb，误差：ζ-ζ|>kψ∞,另一方面，误差（ζ）k>0。在第一种情况下，假设uTu≥ b、 并写入▄M（φ）=▄ρ- (1 - φ） P+∞k=1φk-1▄ρk，我们自动得到▄M（φ）是任意φ的对称正矩阵∈ [-φ、 φ]作为CauchySchwarz不等式和信息过程平稳性的简单结果。

因此，将▄c（φ）>0写入M（φ）的最小特征值，并且▄c=minφ∈[-φ、 φ]~c（φ），我们在第一种情况下得到它kψ∞,err（ζ）k>~cTγ（1+φ）b>0。在第二种情况下，由于Ξb，erris是一个紧空间，连续性参数表明它能够证明ψ∞,err（ζ）=0当且仅当ζ=ζ0时，err。因此设ζ∈ Ξb，err使得ζ点的分数为空。给定G的形状∞,求任意φ，ψ的M（φ）的正性∞,err（ζ）=0表示u=0。Then0=ψ∞,误差（ζ）=φσ+2（1- φ)~ηγ(1 - φ)-~ηγ(1 - φ） 得出二阶方程|ηφ-（σ+2￠η）φ+￠η=0，这反过来意味着φ=φ（另一根是不允许的）。最终0=ψ∞,err（ζ）=2γ-σ+ 2(1 - φ)~η2γ(1 - φ） 给出γ=γ，用其表达式替换φ，因此ζ=ζ0，err。特别是，当η=～η=0时，则φ=0，γ=σ。现在我们推导出bwn的极限，exp。通过关系式（10.88），我们还立即推导出thatsupζ∈Ξn，exp |ψn，exp（w）- Ψ∞,exp（宽）|→P0，其中ψ∞,exp（w）=2σ-σ+2~η2σ+G∞,exp（w）σG∞,exp（w）uandG公司∞,exp（w）=TσuT▄ρu- uT▄ρu=TσuTUθu。从那里，一个与应用于bζn的情况类似的推理，err得出bwn，expatroach的概率收敛σ+ 2~η, 0. 特别是，波动率分量在零假设η=0下是一致的，在其他情况下是不一致的，而信息估计量在两种情况下都是一致的。如前一节所述，我们现在引入Hn，err（ζ）=-N-1nLn，err（ζ）ζ、 （10.96）和hn，exp（w）=-N-1nLn，exp（w）w、 （10.97）引理10.15。（Fisher信息）设Γerr（ζ0，err）和Γexp（w0，exp）为矩阵Γerr（ζ0，err）=γ-40 00 γ-2吨-1Pθ0 0（1-φ)-1.（10.98）和Γexp（w0，exp）=(σ+ 2~η)-20 (σ+ 2~η)-1吨-1Uθ, （10.99），其中Pθ：=Pθ，φ。对于任意球Vn，errand Vn，exp分别以ζ0，errand w0为中心，展开收缩到{ζ0，err}和{w0，err}，supζn∈Vn、errkHn、err（ζn）- Γerr（ζ0，err）k→P0（10.100）和SUPWN∈Vn、expkHn、exp（wn）- Γexp（w0，exp）k→P0.（10.101）证明。

在【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中调整推理以获得第三和第四个方程式（第45页）（替换γ-1nbyη），取分数函数的一阶导数，并使用（10.93）和（10.94）作为信息部分，我们直接获得了任何b>0supζ的收敛性∈Ξb，errkHn，err（ζ）- H∞,err（ζ）k→P0，（10.102），其中∞,误差（ζ）：=-2γ+σ+2(1-φ)~ηγ(1-φ)0 -σφ-~η(φ-1)γ(1-φ)0 0 0-σφ-~η(φ-1)γ(1-φ)γσ+2(1-3φ)~η(1-φ)+4φ(σ+2(1-φ)~η)(1-φ)+G∞,误差（ζ）ζ.通过H的连续性∞,呃，我们立即推断出SUPζn∈Vn、errkHn、err（ζn）- H∞,err（ζ0，err）k→P0，（10.103），而且从H的定义∞,呃（ζ）我们有∞,err（ζ0，err）=Γerr（ζ0，err），（10.104）自G∞,err（ζ0，err）ζ=0 0 00 γ-2吨-1Pθ0 0 0 0,使用关系σ=γ（1- φ） 和|η=γφ。在同一条路上证明了收敛性（10.101）。设αi，j=φ| i-j|-φi+j-φ2Nn+2-（i+j）-φ2Nn+2-|我-j |和βi，j=αi，j/φ. 我们定义，与t的（10.68）-（10.72）类似∈ [0，T]，鞅（T）：=Nn（T）Xi=1αi，iXni，t-Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds-Xtni公司-1.∧t<s≤tni公司∧t型Js公司,S（a）（t）：=Nn（t）Xi=1X1≤j<iai，jXnj，tXni，t，a∈ {α，β}，S（a）（t）：=- 2Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=1˙ai，jXnj，ttni，a∈ {α，β}，S（a）（t）：=Nn（t）Xi=0–ai，intni公司- n-1ηo+2Nn（t）Xi=0X0≤j<i–ai，jtnj公司tni，a∈ {α，β}，S（t）：=- N-1/2nNn（t）Xj=1Nn（t）Xi=0˙αi，jWi（θ）θXnj，t+N-1/2nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=0¨αi，jWj（θ）θtni，注意，直到指数可忽略不计的项，我们有表示ψn（ν）=2γ（1+φ）T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=0γ（1+φ）TS（T）|φ=02γ（1-φ） T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=φγ（1-φ） TS（T）|φ=φ-2γ(1-φ） T型2φ1-φnS（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T）o+2S（β）（T）+S（β）（T）+S（β）（T）|φ=φ.引理10.16。Letφ∈] - 1，1[.我们有，GT稳定的定律，即n1/2nS（T）→ MN（0，2T Q）。证据注意αi，i=1- φ2i- φ2Nn+2-2i- φ2Nn+2。

由于|φ|<1，标准计算包括伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式、假设（H）和跳跃式产量的有限活度特性N1/2nS（T）=N1/2neS（T）+oP（1），其中（T）=Nn（T）Xi=1Xni，t-Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds-Xtni公司-1.∧t<s≤tni公司∧t型Js公司.现在，通过对[a"it-Sahalia and Xiu，2016]附录a.3 p.40中定理2的证明中引理1（在q=0的情况下）的简单改编，在形式（2.4）的不规则网格的情况下，并遵循与[Clinet and Potiron，2018a]中引理a.7的证明相同的推理路线，我们得出结论，GT在定律中稳定，N1/2neS（t）→ MN（0，2T Q），我们完成了。引理10.17。Letφ∈] - 1，1[定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。我们有，GT稳定定律，即n1/2nS（T）→ 明尼苏达州0，T Qφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ).证据同样，给定α和β的形状，通过鞅增量的标准计算，引入eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-我们很容易得到N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=Nn（T）Xi=1X1≤j<ieαi，jXnj，tXni，tand S（β）（T）的类似陈述。证明中心极限定理foreS（T）现在归结为在大噪声情况下与M（σ）（T）完全相同的计算（参见[Clinet and Potiron，2018a]中Lemma.7的证明），但替换为ωi，jσ乘以eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-特别是，仔细检查证明表明，所有计算仍然有效，取代了标度64t3/2σa=limnN-2月3日nPNnj=1ωNn，jσ在渐近方差的表达式中，通过2×2矩阵imntPNn公司-1j=1eαNn，jPNn公司-1j=1eαNn，jeβNn，jPNn-1j=1eαNn，jeβNn，jPNn-1j=1eβNn，j= TP+∞k=1φ2kP+∞k=1kφ2k-1便士+∞k=1kφ2k-1便士+∞k=1kφ2k-2.= Tφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ),在分布n1/2neS（T）中产生GT稳定收敛→ 明尼苏达州0，T Qφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ).引理10.18。Letφ∈] - 1，1[定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。

我们有，条件是gtn1/2nS（T）分布的收敛性→ 明尼苏达州0，4σИηT2(1-φ)1-φ-2(1-φ)(1-φ)-2(1-φ)(1-φ)4(1-φ)(1-φ).证据与前面的引理一样，我们引入了系数eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-1、注意˙eαi，j=φi-j |（φ- 1） 对于i≥ j和˙eαi，j=φi-j |（φ-1.- 1） 对于j≥ i+1。此外，如果我≥ j、 ˙eβi，j=φ| i-j |+| i-j |φ| i-j|-1(φ -1） 如果j≥ i+1，˙eβi，j=-φ| j-我|-2+| j-i |φ| j-我|-2(1 -φ). 考虑到系数的指数形状，我们很容易证明，对于前面的引理，N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=-2Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=1˙eαi，jXnj，tt对β有类似的定义。现在，对于S（T），我们采用了来自大型noisecase的M（σ）（T）证明（引理A.9的证明，见【Clinet and Potiron，2018a】）。除此之外，所有计算仍然有效 ˙ωi，jσ应替换为˙eαi，jand˙eβi，j，相应地，在极限方差中√Tσa=林南-1/2NPNJ=1 ˙ωNn/2，jσ替换为2×2矩阵limn4ηT NnnPNn公司-1j=1˙eαNn/2，jPNn公司-1j=1˙eαNn/2，j˙eβNn/2，jPNn-1j=1˙eαNn/2，j˙eβNn/2，jPNn-1j=1˙eβNn/2，j= 4？ηT2(1-φ)1-φ-2(1-φ)(1-φ)-2(1-φ)(1-φ)4(1-φ)(1-φ),其中，最后一步是通过直接计算系数获得的，因为ηT Nn/n→Pηt定义为η。引理10.19。Letφ∈] - 1，1[，定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。我们有，以gtn1/2nS（T）分布的收敛为条件→ N0，4eK+2ηT(1 - φ)-(1 - φ)-(1 - φ) 1+ 4？ηT（1- φ)1-φ-(φ+2)(1-φ)-(φ+2)(1-φ)φ+4φ+5(1-φ)!!.证据对于前面的引理，引入eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-1，我们有旁观者计算，近似值N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=Nn（T）Xi=0–eαi，intni公司- n-1η至|{z}U（α）（t）+2Nn（t）Xi=0X0≤j<i–eαi，jtnj公司tni{z}V（α）（t），以及S（β）（t）的类似陈述。

此外，我们有–eαi，j=-(1 - φ） φ| i-j|-对于i 6=j和–eαi，j=2（1- φ） 对于i=j。类似地，我们有–eβi，j=（1- φ） φ| i-j|-2.- |我- j |（1）- φ） φ| i-j|-2对于i 6=jand–eβi，j=-2对于i=j。现在，定义U=（U（α），U（β））和V=（V（α），V（β）），我们有U和Vare鞅增量的不相关和，因此有必要证明条件上的onGTN1/2nU（T）→ 明尼苏达州0, 4eK+2ηT(1 - φ)-(1 - φ)-(1 - φ) 1andN1/2nV（T）→ MN0，4？ηT（1- φ)1-φ-(φ+2)(1-φ)-(φ+2)(1-φ)φ+4φ+5(1-φ)!!.第一个极限是U（T）是中心独立且相同分布变量之和，以及αi，i=2（1）这一事实的直接结果-φ） 和–eβi，i=-2，以及 容许四阶矩。对于V（T），与Lemma10.17证明中的ofeS（α）类似的论点产生了N1/2nV（T）的分布收敛到方差矩阵为imn4ηT的正态极限PNn公司-1j=0¨eαNn，jPNn公司-1j=0–eαNn，j–eβNn，jPNn-1j=0–eαNn，j–eβNn，jPNn-1j=0¨eβNn，j= 4？ηT(1-φ)1-φ-(1-φ)(φ+2)(1-φ)-(1-φ)(φ+2)(1-φ)(1-φ)(φ+4φ+5)(1-φ)通过直接计算系数。最后，收敛都是以GT为条件的，因为这个过程 独立于GT。引理10.20。Letφ∈] - 1，1[.我们在分布n1/2n中有稳定的收敛性S（T）-N-1/2nBθ，φ→ MN（0，Aθ，φ），其中Bθ，φ=P0<s≤TPNnk=1φ| k-英寸（s）|uk（θ）θJs和in（s）是唯一的索引，以便tni-1<t≤ tni，andAθ，φ=2ZTσsds（1- φ)~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.§ρk！+2？ηT（1-φ)φ + 31 - φ~ρ++∞Xk=12(1 - φ） φk1- φ- 4φk-1+（k- 1)(1 -φ） φk-2.§ρk！。证据我们采用与S、···、S相同的推理路线。

设eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i-j |φ| i-j|-通过标准力矩计算，我们得到N1/2nS（T）=N1/2neS（T）+oP（1），其中（T）=-N-1/2nNn（t）Xj=1Nn（t）Xi=0˙eαi，jWi（θ）θXnj，t{z}U（t）+N-1/2nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=0–eαi，jWj（θ）θtni{z}V（t）。现在让我们假设价格没有跳跃，即J=0。U和V是鞅增量的不相关量，我们所要证明的是，我们在分布n1/2nU（T）中有GT稳定的边际收敛→ MN0，2ZTσsds（1- φ)~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.ρk！！andN1/2nV（T）→ N0，2？ηT（1-φ)φ + 31 - φ~ρ++∞Xk=12(1 - φ） φk1- φ- 4φk-1+（k- 1)(1 -φ） φk-2.ρk！！。我们从U开始。在这种情况下，我们将把[Jacod，1997]中的定理2-1应用于连续的▄Gt鞅N1/2nU，其中▄Gt：=Gt∨{Qni，i，n∈ N} （注意，鉴于这些假设，X和W仍然分别是It^o过程和▄G下的布朗运动）。条件（2.8）满足B=0。对于条件（2.9），请注意，对于任何t∈ [0，T]NnhU，Uit=NnXj=1NnXi，i=0˙eαi，j˙eαi，jWi（θ）θWi（θ）TθZtnj公司∧ttnj公司-1.∧tσsds，通过与引理10.6证明类似的计算，其概率收敛到极限ct=limnNnXi，i=0˙eαi，Nn/2˙eαi，Nn/2EWi（θ）θWi（θ）TθZtσsds，=2（1- φ)1 - φ~ρ+ 2(1 - φ)+∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.~ρk！Ztσsdsb，通过直接计算系数eαi，j，假设（H），（2.11）和（2.12），并回顾ρk=EhW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθifor任意k∈ N、 同样，我们也有条件（2.10），即N1/2nhU，W it→P0。最后，条件（2.11）来自U的连续性，条件（2.12）自动满足，因为对于与W正交的任何有界鞅N，我们有hU，N it=0，这会产生▄GT（和so GT）稳定收敛。现在我们转向V。