用半经典方法计算CEV期权定价公式

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英文标题：
《Computing the CEV option pricing formula using the semiclassical
  approximation of path integral》
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作者：
Axel A. Araneda and Marcelo J. Villena
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The Constant Elasticity of Variance (CEV) model significantly outperforms the Black-Scholes (BS) model in forecasting both prices and options. Furthermore, the CEV model has a marked advantage in capturing basic empirical regularities such as: heteroscedasticity, the leverage effect, and the volatility smile. In fact, the performance of the CEV model is comparable to most stochastic volatility models, but it is considerable easier to implement and calibrate. Nevertheless, the standard CEV model solution, using the non-central chi-square approach, still presents high computational times, specially when: i) the maturity is small, ii) the volatility is low, or iii) the elasticity of the variance tends to zero. In this paper, a new numerical method for computing the CEV model is developed. This new approach is based on the semiclassical approximation of Feynman\'s path integral. Our simulations show that the method is efficient and accurate compared to the standard CEV solution considering the pricing of European call options.
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中文摘要：
在预测价格和期权方面，恒定方差弹性（CEV）模型显著优于Black-Scholes（BS）模型。此外，CEV模型在捕捉基本经验规律方面具有显著优势，例如：异方差、杠杆效应和波动率微笑。事实上，CEV模型的性能与大多数随机波动率模型相当，但它更容易实现和校准。尽管如此，使用非中心卡方方法的标准CEV模型解仍然具有很高的计算时间，特别是在以下情况下：i）到期日很小，ii）波动率很低，或iii）方差弹性趋于零。本文提出了一种新的计算CEV模型的数值方法。这种新方法基于费曼路径积分的半经典近似。仿真结果表明，与考虑欧式看涨期权定价的标准CEV解相比，该方法有效且准确。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Computing_the_CEV_option_pricing_formula_using_the_semiclassical_approximation_o.pdf (834.33 KB)

2022-6-14 00:48:38 上传

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关键词：期权定价 cev Applications Quantitative Computation

用路径积分的半经典近似计算CEV期权定价公式Axel A.Araneda*Marcelo J.Villena+最新版本：2018年3月29日摘要在预测价格和期权方面，恒定方差弹性（CEV）模型显著优于Black-Scholes（BS）模型。此外，CEV模型在捕捉基本经验规律方面具有显著优势，例如：异方差、杠杆效应和波动率。事实上，CEV模型的性能与大多数随机波动率模型相当，但它更容易实现和校准。尽管如此，使用非中心卡方方法的标准CEV模型解仍然具有很高的计算时间，特别是在以下情况下：i）饱和度小，ii）波动率低，或iii）方差弹性趋于零。本文提出了一种新的计算CEV模型的数值方法。这种新方法基于费曼路径积分的半经典近似。我们的仿真结果表明，与考虑欧式看涨期权定价的标准CEV解决方案相比，该方法有效且准确。关键词：期权定价、不变方差弹性模型、路径积分、数值方法。*阿道夫·伊巴涅斯大学工程与科学学院，Avda。智利圣地亚哥7941169 Pe~nalolén对角线拉斯托雷斯2640。电子邮件：axel。araneda@edu.uai.cl.+Adolfo Ibá~nez大学，地址：智利圣地亚哥Pe~nalolén对角线Las Torres 2640。

电话：56-223311491，电子邮件：marcelo。villena@uai.cl.Marcelo感谢Fondecyt项目1131096的援助。1简介Black-Scholes（BS）[1]模型最重要的限制之一是恒定波动性的假设，它忽略了一些众所周知的经验规律，如杠杆效应[2，3]和波动率微笑[4，5]。考虑到“随机波动率”或“水平相关波动率”模型，这些缺点激发了连续时间内的几种非恒定波动率模型的灵感【10】。在前者中，资产和波动率都有各自的差异过程。在与水平相关的波动率模型中，只有资产受差异过程控制，其波动率是根据资产水平的函数建模的。在本文中，分析将集中于J.Cox提出的恒定方差弹性（CEV）模型，这是最著名的水平依赖波动率方法[11，12]。此外，CEV模型在捕捉基本经验规律方面具有显著优势，例如：异方差、杠杆效应和波动率微笑【13–16】。因此，CEV模型在预测价格和期权方面明显优于Black-Scholes（BS）模型【17–21】。此外，CEV模型的性能与大多数随机波动率模型相当，但它更容易实现和校准[22]。就使用CEV模型的期权定价而言，普通欧式期权的精确公式解决了不完全伽马函数有限系列的复杂计算问题【11】。随后，[14]将考克斯定价公式与非中心卡方分布相匹配。

Schroder还提供了一种简单的近似计算方法，有关这两种方法的详细推导，请参见[23]。此后，非中心卡方分布的使用成为CEV模型下最广泛使用的期权定价方法。此外，还开发了几种替代方法来实现它[24]。然而，使用非中心卡方方法的标准CEV模型解决方案仍然存在相当高的计算时间，特别是在以下情况下：i）成熟度小，ii）波动率低，或iii）方差弹性趋于零[14，25，26]。为了解决这些问题，许多欧洲香草型期权定价方法被报道。这些方法包括数值方案【25，27–29】、蒙特卡罗模拟【30】、微扰理论模型【31】以及过渡密度的解析近似【32】或对冲策略【33】等。本文提出了一种新的计算CEV模型的数值方法。这种新方法基于费曼路径积分模型的半经典近似。在金融文献中，路径积分技术已经被用于期权定价问题，参见[34–39]。然而，主要关注的是理论问题，而不是实际应用。另一方面，费曼路径积分技术的半经典近似在金融问题上的应用相当有限，参见示例【40–42】。【42】指出，正如量子力学一样，路径积分法在金融领域既不是万能药，也不是为了产生根本性的新结果，但在某些情况下，它提供了对旧问题的澄清和洞察。

在本文中，我们分析了路径积分法也可能成为解决定量金融中复杂问题的有趣计算工具的可能性。在这种情况下，这项研究可能很重要，不仅因为它开发了一种新的高效技术来解决著名的CEV模型，还因为它可以打开量子力学方法计算应用的大门。事实上，我们的模拟表明，与考虑欧式看涨期权定价的标准CEV解决方案相比，使用路径积分的半经典近似计算CEV期权定价公式是高效和准确的。此外，建议的近似方法可以显著减少执行时间，并保持传统解决方案的简单性。因此，本文的主要思想有两个方面，一是利用量子力学的思想来处理应用金融问题，二是开发实用方法，并在具体案例研究中对其进行数值测试，同时讨论其实际优势和局限性。本文的结构如下。首先，回顾了费曼的路径积分公式。其次，将路径积分近似应用于基本BS模型。第三，路径积分近似用于离散时间波动率建模方法，参见参考文献。[6，7]关于随机波动率模型的全面综述，请参见[8]和[9]。A、 k.A.“局部波动性”CEV模型。随后，对CEV模型进行了数值求解。在下一节中，我们将进行一些数值模拟，以衡量新方法的性能，并将路径积分近似与欧洲看涨期权定价的传统非中心卡方方法进行比较。

最后，总结了一些结论和未来的研究方向。2费曼路径积分方法路径积分形式由理查德·费曼（Richard P.Feynman）[43]提出，介绍了从经典力学到量子力学的作用原理。如今，费曼路径积分是量子力学、统计和数学物理领域的著名工具，在许多物理学分支中都有应用，如：光学、热力学、核物理、原子和分子物理、宇宙学、聚合物科学和其他跨学科领域【44，45】。在以下几行中，我们将介绍路径积分方法的基本原理。

起点是薛定谔方程：i~Ψ~t=^HBSψ（1），其中ψ是波函数，^H是哈密顿量子算符（在这种情况下，我们考虑时间无关的哈密顿量）。将ψ（x）作为ψ的初值（即ψ（x，t=0）=ψ（x）），根据酉演化算子给出了20的通解：ψ（x，t）=e-i^Ht/~ψ（x）（2）等效地，使用卷积特性，波函数在时间t的值表示为：ψ（x，t）=^∞-∞e-i^Ht/~δ（x- x） ψ（x）dx=^∞-∞K（x，t | x，0）ψ（x）dx（3），其中K（x，t | x，0）=<x | e-它被称为传播子。费曼专注于狄拉克之前的一项工作【46】，涉及经典路径上的作用指数（来自拉格朗日形式主义）与量子力学中的传播子之间的比例：K（x，t | x，0）∝ e（i/~）A[xcl]，其中A是作用函数，定义为时间积分拉格朗日：A[x（t）]=^tL（x，˙x，t）dtA[xcl]表明作用是在xto x的经典轨迹上评估的。费曼重新推导了狄拉克公式，并将传播子描述为所有虚拟路径的贡献，不仅是经典的：K（x，t | x，0）=x所有路径x xNe（i/~）A[x（t）]，其中N是K的适当归一化。因此，使用每条路径的黎曼积分（见参考文献[44]），传播子定义为：K（x，t | x，0）=D[x（t）]e（i/~）A[x（t）]（4）等式4右侧的函数积分定义为“路径积分”，积分的度量由D[x（t）]给出，这意味着所有轨迹上的积分。路径积分的计算通过时间切片方案完成【43，44】，这不是一个简单的过程。

然而，在物理学中有一种被称为“半经典近似”的替代和流行的方法，它将路径积分的参数近似为高斯函数，通过这种方式得到经典路径的解，参见【42、47、48】。由于本文的目的是为一个复杂的问题找到更有效的数值解，因此这条途径似乎是可行和有吸引力的，有关期权定价的半经典近似表示，请参见[42]。一般程序如下所述。首先，我们写下连接点x（t）=x和x（t）=x的路径，作为主要贡献加上其周围的函数：x（t）=x（t）cl+δx（t）（5）和固定条件（极值条件）：δx（t）=δx（t）=0（6）之后，我们可以使用函数泰勒级数将作用扩展到xcl（t）【49】：a【x（t）cl+δx】=a【x（t）】xcl（t）+^ttdtδA[x（t）]δx（t）xcl（t）δx（t）（7）+^ttdtdtδAδx（t）δx（t）δx（t）δx（t）δx（t）xcl（t）（8）+3！^ttdtdtdtδAδx（t）δx（t）δx（t）δx（t）δx（t）δx（t）xcl（t）+O（4）（9）半经典近似包括截断为二次项的展开式7:A[x（t）]≈ A[xcl（t）]+^ttδAδx（t）δx（t）δx（t）δx（t）δx（t）xcl（t），其中线性项由于极值条件而消失。因此，半经典极限中的传播子变为：KSC（x，t | x，t）=e（i/~）A[xcl（t）]^xxTD[χ（t）]e（i/~\'）ttδAδx（t）δx（t）δx（t）δx（t）xcl（t）=e（i/~）A[xcl（t）]N（10），其中N是一个归一化常数，包含由高斯路径积分定义的二阶项的贡献。参考文献中给出了其分析表达式。

[50]作为保持概率振幅统一度量的必要条件，它等于：N=r-M2π（11），其中M是van Vleck-Pauli-Morette行列式[50，53]，计算为：M=A类yyT（12）最后，在半经典区域，传播子变成：K（x，t | x，0）=r-M2πei~A[xcl]（13）得到方程13的解的唯一必要条件是对经典路径上的作用有一个解析表达式。这可以通过使用与1中定义的量子哈密顿量相关的经典哈密顿量的哈密顿方程（或Euler-Lagrange方程）来实现。最后，必须考虑与半经典近似有关的两个重要注意事项【45】：i）如果拉格朗日是二次的，则它是精确的。ii）它满足薛定谔方程的高阶项~。在下一节中，我们将路径积分的半经典近似应用于欧式香草型期权定价，得出著名的Black-Scholes模型。3 Black-Scholes模型路径积分法的半经典近似我们假设随机现货价格St，由标准几何布朗运动控制，其形式为：dStSt=udt+σdWt（14），其中Wt是方差为t的标准Gauss-Wiener过程。参数u和σ分别是收益的漂移和波动。在此阶段，我们将这些参数设置为常量。给定无风险利率r，并确定风险的市场价格：λ=u- rσ我们可以使用Girsanov定理，在唯一风险中性度量（Q-度量）而非物理度量（P-度量）下描述扩散过程（详细解释见[54]）。简言之，我们在形式的鞅测度下定义了一个新的布朗运动：dWt=λdt+dwt，并替换为等式。

14，价格动态是在风险中性度量下描述的，它是由A.k.A Morette Van Hove行列式给出的。详见参考文献【52】。公式13被称为泡利公式【45】，也被称为等价鞅测度（EMM）。Girsanov定理确保了一个等价测度，其中Wt是维纳过程，STI是鞅（风险中性）dStSt=rdt+σdWt（15），可以将公式14改写为：d（ln St）=r-σdt+σdWt（16），标记xt=ln St:dxt=r-σdt+σdWt（17）根据Fokker-Planck（或forward Kolmogorov）方程[55]，随机变量xtevolves的概率密度P（xt，t，x，t）：Pt=-x个r-σP+x个σP=σPx个-r-σPx（18），初始条件：P（xt，t=0）=δ（x），使用以下简单变换：c=e-rtPand用S（x=ln S）重写x，等式18得到标准形式的Black-Scholes方程[1]：ct=σScS+rscx个- rc（19）使用wick旋转（~t=it），概率密度P的演化（公式18）可以映射到Sch"odringer方程：i~Ψt=^HBSψ（20），其中波函数ψ表示概率P，量子哈密顿量^HBS，即本例中的Black-Scholes哈密顿量，由[56]给出：^HBS=σx个-r-σxIn为了确保EQ之间的兼容性。