用半经典方法计算CEV期权定价公式

18和20，我们需要设置~=1。给定动量算符^p=-我~x=-我x、 哈密顿量可以表示为：^HBS=-σ^p- 我r-σ^p考虑到ψ（x）作为ψ的初始值（即ψ（x，t=0）=ψ（x）），给出了20的通解（见[37]）：ψ（x，t）=e-i^HBStψ（x）=e^HBStψ（x），然而，期权定价上下文中的已知条件（即合同函数）在时间t设置。因此，确定反向时间τ=T-考虑波函数ψ（x，t）=ψt（xT）的最终项值，解为：ψ（x，t）=e-^HBSτψT（x）（21）等效地，使用卷积特性，波函数在时间T的值表示为：ψ（x，T）=^∞-∞e-^HBSτδ（x- xT）ψT（xT）dxT=^∞-∞KBS（x，τ| xT，0）ψT（xT）dxtw其中KBS（x，τ| x，0）是传播子，它在欧几里德矩阵中接受以下路径积分表示【44】：KBS（x，τ| xT，0）=Dx（τ）e-SBS[x（τ）]是SBS[x（τ）]沿连接点x（t）=x和x（t）=x的所有路径x（t）的欧氏经典作用；定义：S[x（t）]=^TtLBSdτ和lbs拉格朗日。为了获得传播子的表达式（等式4-5），我们要求在经典路径上计算经典动作。这可以用经典哈密顿力学得到。与算子^HBSis相关的经典哈密顿量HBS:HBS=-σp- 我r-σP与欧几里德时间内的相关经典汉密尔顿方程：-i˙x=哈佛商学院p-i˙p=-哈佛商学院xor显式：p=iσ˙x-r-σ（22）˙p=0（23）然后，通过勒让德变换给出拉格朗日：LBS=-ip˙x- HBS=-ip˙x+σp+ir-σp=pσp- 2i˙x- r+σ使用解汉密尔顿方程的值（方程式。

22-23），拉格朗日为：LBS=2σ˙x-r-σ（24）后来，Euler-Lagrange方程：ddt磅 ˙x-磅x=0（25）产生自由粒子牛顿方程：¨x=0（26），这导致：˙x=C（27）x=Ct+D（28）C和D的值是使用x的边界条件（固定值）获得的：x（0）=xTx（τ）=xThus，经典路径，0≤ τ≤ T表示为：˙x（T）=xT- xτ（29）x（t）=xT- xττ+x（30），然后使用29和30，在经典路径上对应的经典作用：A[xclass（t）]=^τ2σ˙x（τ）-r-σd（τ）=2στxT公司- x个- τr-σ（31）现在，我们有条件计算传播子。根据等式。11和12，对于这种情况：N=p2πσ（T- t） 传播子的半经典近似为：KSCBS（x，τ| xT，0）=e-SBS[xclass（τ）]p2πσ（T- t）=√2πστe-2στxT公司-x个-τr-σ然后，将波函数解简化为：ψ（x，t）=p2πσ（t）- t） ^∞-∞e-SBS[xclass（τ）]ψT（xT）dxT（32）=√2πστ^∞-∞e-2σ（T-t）xT公司-x个-（T-t）r-σψT（xT）dxT（33），等于传播子和收缩函数之间的卷积：ψ（x，T）=KBSSC* ψT（xT）式32的解取决于边界条件ψT（收缩函数）。

我们分析了欧式看涨期权的情况，即：ψT（xT）=e-rτmax{ST- E、 0}=E-rτmax{exT- E、 0}是执行价格。那么，这种情况下的波函数是：ψ（x，t）=e-rτ√2πστ^∞ln Ke公司-2στxT公司-x个-τr-σ（分机）- E） dxT=E-rτ√2πστ^∞在EexTe中-2στxT公司-x个-τr-σdxT公司-Ee公司-rτ√2πστ^∞ln Ee-2στxT公司-x个-τr-σdxT=I- 发展I，我们有：I=e-rτ√2πστ^∞ln Ee-2στhxT-2xTx+τr-σ+x+τr-σi+xTdxT=ex√2πστ^∞ln Ee-2στxT公司-x+τr+σDXT计算变量u=h的变化-xT+x+τr+σ我/√στ，并替换x=ln S，我们有：I=- S“^-∞x个-ln E+τr+σe-vdu#=SN（d），其中N（·）是标准正态累积函数，d=ln（SE）+τr+σ√στ.要解决Iwe，请使用变量v=-hxT公司- x个- τr-σ我/√στ，so:I=-Ee公司-rτ√2π^-∞x个-ln E+τr-σe-vdu=Ke-rτN（d）为d=ln（SE）+τr-σ√στ=d-√στ .最后，使用路径积分公式ulae，在时间t时看涨期权的价格由以下公式得出：ψ（S，t）=SN（d）- Ke公司-rτN（d），与Black-Scholes[1]获得的欧式看涨期权的值完全相同。4路径积分法对CEV模型的半经典近似在CEV模型中，在风险中性度量下，资产受以下随机微分方程控制【11，12】：dS（S，t）=rSdt+σSαdW（34）是无风险的常数，σ和α取常数值，标准维纳过程，dW~ N（0，dt）。在其论文中，Cox将α的范围限定在[0，2]范围内。在此区间内，观察到资产水平与波动率之间的负相关关系（杠杆效应）。对于大于2的值，等式34中描述的过程不是鞅[57，58]（即，没有唯一的风险中性度量）。对于α<0，随着S的增加，波动率不切实际地变为零[59]。然后，本文假设了α的sameCox条件。等式描述的过程。

34可以解释为Black-Scholes模型[1]中使用的标准几何布朗运动的推广，但考虑到非常数局部波动函数等于σSα-事实上，对于极限情况α=2，等式34退化为BS情况。此外，CEV模型与其他方法也有对应关系：对于α=1，它变成了一个平方根过程，由Cox和Ross[60]提出；对于α=0，S遵循Ornstein-Uhlenbeck型过程[61]。等式34中描述的CEV模型之所以得名，是因为收益的方差由以下公式给出：v=var决策支持系统= 风险值rdt+σSα-2dW= σSα-2然后，关于点的方差弹性：如前所述（第5页），如果拉格朗日是二次的，则半经典近似是精确的，如B-S拉格朗日（等式24）dv/vdS/S=α- 2为常数。获得期权定价公式的策略与第3节中制定的策略相同。那就是：i）我们得到了福克-普朗克方程；ii）我们将其改写为薛定谔方程；iii）之后，我们通过Hamilton或Euler-Lagrange方程找到经典路径，将传播子作为路径积分，iv）我们使用半经典参数评估经典路径；最后，我们以积分形式计算传播子和契约函数之间的协同进化。首先，我们使用以下变换：y（S，t）=S2-α和It^o引理，等式34可以重写为：dy=（2- α)ry+（1- α) σdt+（2- α) σ√福克-普朗克方程规定了变量Y的转移概率P（Y，t）。

因此：Pt型=yh（2- α） σyPi-y(2 - α)ry+（1- α) σP=βσyPy+βr[γ- y]Py- βrP（35）为β和γ常量值（参数），定义为：β=2- αγ =3 - α2rσ关系35可以解释为欧几里德（威克旋转）时间的薛定谔方程，其中~=1：Ψt=^Hψ，其中波函数ψ等于概率P，哈密顿算符^H由：^H=βσy给出y+βr[γ- y]y- βr使用量子动量算符，^p=-我Y、 哈密顿量为：^H=-βσy^p+iβr[γ- y] ^p- βr之后，我们考虑一个形式为：ψ（y，t=t）=ψ（yT）的最终条件（收缩函数）。波函数ψ可以用传播子K表示：ψ（y，t）=^∞-∞K（y，τ| yT，0）ψ（yT）dyTwhereτ=T- t、 是反向时间，K（y，τ| yT，0）=<y | e-τ^H | yT>=e-^Hτδ（y- 另一方面，可以使用路径积分来估计传播子：K（yT，T | y，0）=D[y（T）]e-S[y（t）]是满足边界条件y（t=t）=y和y（t=0）=y的所有路径y（τ）的最小贡献；y（t）上的欧几里德经典作用泛函。使用半经典参数，传播子变为：K（yT，0 | y，τ）=e-经典路径为哈密顿方程的解。与^H相关的经典哈密顿量为：H=-βσyp+iβr[γ- y] p- βrw其中p表示经典动量。考虑到欧氏时间的哈密顿方程，动量可以用y和˙y表示：p=i˙y+βr[γ- y] βσy（36）因此，使用公式36，拉格朗日函数的形式为：L=-i˙yp- H（37）={˙y+βr[γ- y] }2βσy+ArThe唯一的经典轨迹是服从Euler-Lagrange方程的：ddtL ˙y-Ly=0（38）计算导数：L ˙y=˙y+βr（γ- y） βσyddtL ˙y=¨yy- ˙y- βγr˙yβσyLy=-[˙y+βr（γ+y）][˙y+βr（γ- y） ]2βσ，并替换为等式。

38，我们有一个二阶微分方程，它规定了y（t）的经典行为：2y–y- ˙y+βrγ- y= 0（39）然后，求解等式39，经典路径由：yclass（t）给出=C+2Ce-rtβ- γ4Ce-rtβ（40）是由时间t=0和t=t:y（t）=y（t）=y时路径的固定值给出的常数，其产生：C=erτβ+1qγ（erτβ- 1） +4yyTerτβ- 2erτβ（y+yT）（erτβ- 1） （41）C=yTerτβ+y-qγ（erτβ- 1） +4yyTerτβ（erτβ- 1） （42）之后，使用公式40，经典路径上的拉格朗日为：Lclass=L[yclass]=rC+2Certβ+γ(γ - C） 2σCertβ（C+2 Certβ- γ） +βr（43）因此，经典作用是通过公式43的时间积分得到的：Aclass=t=t^t=tLclassdt=rσ（βσt- 2γrt+2γβlnγ -C+2Certβ+γ- C2Aβertβ）t=Tt=0=βrτ-2γrστ+2γrβσln“γ-C+2Cerτβγ - （C+2C）#+γ- C2βCerτβ1.- erτβ（44）因此，使用公式15，van Vleck行列式（公式12）计算为：M=2γr[γ- （C+2C）]βσ[γ- （C+2Cerτβ）](-x个xT公司C+2Cerτβγ - （C+2C）-h类x（C+2C）ihxT公司C+2Cerτβi+hxT（C+2C）ihx个C+2Cerτβi[γ- （C+2C）]+γ -C+2Cerτβh类xT（C+2C）ihx（C+2C）i[γ- （C+2C）]+γ -C+2Cerτβh类x个xT（C+2C）i[γ- （C+2C）]）-（2γr[γ- （C+2C）]小时-x个C+2Cerτβiβσ[γ- （C+2Cerτβ）]×-xT公司C+2Cerτβγ - （C+2C）+γ -C+2Cerτβh类xT（C+2C）i[γ- （C+2C）])+2γrh-x（C+2C）iβσ[γ- （C+2Cerτβ）](γ -C+2Cerτβh类xT（C+2C）i[γ- （C+2C）]-xT公司C+2Cerτβγ - （C+2C））+reβrτ- 1.h类Cx个CxT公司+Cx个xTiβσCerτβ-reβrτ- 1.h类CxT公司Cx个+Cx个CxT公司-γ- CCx个xT公司iβσCerτβ-reβrτ- 1.γ- CCxT公司Cx个βσCerτβ可以通过泡利公式的欧几里德形式计算半经典传播子（方程式。

5） ：K=e-A【yclass（t）】r2πm最后，时间t的波函数值，由以下公式给出：ψ（y，t）=r2π^∞-∞√我-Aclassψ（yT）dyt回到期权定价问题，如果我们考虑一个欧洲看涨期权，具有行使E和到期时间T，在CEV模型下，时间T的期权价值将为：C（S，T）=r2π^∞E1/（2）-α)√我-A【yclass（t）】y2级-αT- E不幸的是，dyT（45）不可能进行解析计算，但对于任何常规积分方法，它都可以很容易地进行数值计算。5数值模拟我们使用标准方法（全局自适应求积[62]）数值计算公式45中的积分定义。我们还使用考虑非中心卡方分布的Schroder方法计算了同一欧洲看涨期权的定价，并将其作为基准。我们从定价和每次计算的运行时间方面检查了这两个模型的结果；考虑到方差的若干波动性和弹性。此外，我们还测试了短期到期（T={0.25，0.5}）和长期到期（T={2，4}）的结果。在所有实验中，我们假设r=0.05、S=100和E=110，首先，我们认为到期日等于六个月。表1中报告了定价和计算时间。我们可以看到，路径积分法具有类似的定价值，但在运行时间上具有明显的优势。

在表1中观察到的拟议路径积分方法的时间总是慢到0.008秒；然而，对于非中心卡方检验法，当弹性参数较高时，时间至少在一个数量级上更大，并且增加。σα路径积分基准定价（$）运行时间定价（$）运行时间20%1 4.4289e-08 0.0079 4.6567e-08 0.15951.45 0.0580 0.0064 0.0600 0.08861.9 1.8505 0.0060 1.8706 0.210150%1 0.0259 0.0078 0.0583 0.02751.45 1.3437 0.0079 1.4181 0.04801.9 8.0777 0.0059 8.2636 0.060390%1 0.3847 0.0059 0.4148 0.03071.45 3.9003 0.0077 4.2358 0.02361.9 16.4965 0.0074 17.1870 0 0.0413表1：比较对于σ和α某些值的看涨期权的定价和计算时间，使用t=0.5、S=100和E=110。为了更清晰和完整的视图，我们在图中给出了连续的结果。1、2和3显示了两个模型在α值上的定价和运行时间。这些图证实了表1中观察到的震荡，即所提出的路径积分方法的运行时间明显低于CEV模型的传统解决方案方法（右侧图），尤其是当α趋于2时，基准方法的时间大幅上升。就精度而言，我们可以看到路径积分法在所有情况下都非常适用。为了对路径积分法进行估计，图4显示了α和σ的几个值的绝对和相对误差。